Dana su glavna svojstva potencne funkcije, uključujući formule i svojstva korijena. Prikazana je derivacija, integral, proširenje u redove potencije i prikaz pomoću kompleksnih brojeva funkcije potencije.

Definicija

Definicija
Funkcija potencije s eksponentom p je funkcija f (x) = xp, čija je vrijednost u točki x jednaka vrijednosti eksponencijalne funkcije s bazom x u točki p .
Osim toga, f (0) = 0 p = 0 za p > 0 .

Za prirodne vrijednosti eksponent, funkcija snage je umnožak n brojeva jednakih x:
.
Definiran je za sve stvarne .

Za pozitivno racionalne vrijednosti eksponent, funkcija snage je umnožak n korijena stupnja m iz broja x:
.
Za neparan m definiran je za sve realne x. Za parni m, funkcija snage definirana je za nenegativnu.

Za negativno, funkcija snage definirana je formulom:
.
Stoga nije definiran u točki .

Za iracionalne vrijednosti eksponenta p, eksponencijalna funkcija određena je formulom:
,
gdje je a proizvoljan pozitivan broj koji nije jednak jedinici: .
Za , definirano je za .
Za , funkcija snage definirana je za .

Kontinuitet. Funkcija snage je kontinuirana na svojoj domeni definicije.

Svojstva i formule funkcije snage za x ≥ 0

Ovdje razmatramo svojstva funkcije snage za ne-negativne vrijednosti argumenta x. Kao što je gore spomenuto, za neke vrijednosti eksponenta p, eksponencijalna funkcija je također definirana za negativne vrijednosti x. U ovom slučaju, njegova se svojstva mogu dobiti iz svojstava na , koristeći parni ili neparni paritet. O ovim se slučajevima raspravlja i detaljno ilustrira na stranici "".

Funkcija potencije, y = x p, s eksponentom p ima sljedeća svojstva:
(1.1) definiran i kontinuiran na setu
u ,
u ;
(1.2) ima mnogo značenja
u ,
u ;
(1.3) striktno raste na ,
strogo opada na ;
(1.4) u ;
u ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Dokaz svojstava dan je na stranici Power Function (Dokaz kontinuiteta i svojstva).

Korijeni - definicija, formule, svojstva

Definicija
Korijen od x na potenciju od n je broj čije podizanje na potenciju n daje x:
.
Ovdje je n = 2, 3, 4, ... - prirodni broj, veći od jedan.

Također možete reći da je korijen broja x stupnja n korijen (tj. rješenje) jednadžbe
.
Imajte na umu da je funkcija inverzna funkciji .

Kvadratni korijen iz x je korijen stupnja 2: .

Kubni korijen iz x je korijen stupnja 3: .

Čak i stupanj

Za parne potencije n = 2 m, korijen je definiran za x ≥ 0 . Često korištena formula vrijedi i za pozitivan i za negativan x:
.
Za korijen:
.

Ovdje je bitan redoslijed kojim se operacije izvode - to jest, prvo se izvodi kvadriranje, što rezultira nenegativnim brojem, a zatim se iz njega izvlači korijen (iz nenegativnog broja možete izvući kvadratni korijen ). Kad bismo promijenili redoslijed: , onda bi za negativni x korijen bio nedefiniran, a time i cijeli izraz bi bio nedefiniran.

neparan stupanj

Za neparne potencije, korijen je definiran za sve x:
;
.

Svojstva i formule korijena

Korijen od x je funkcija snage:
.
Za x ≥ 0 vrijede sljedeće formule:
;
;
, ;
.

Ove formule također se mogu primijeniti za negativne vrijednosti varijabli. Potrebno je samo osigurati da radikalni izraz parnih ovlasti nije negativan.

Privatne vrijednosti

Korijen od 0 je 0: .
Korijen iz 1 je 1: .
Kvadratni korijen iz 0 je 0: .
Kvadratni korijen iz 1 je 1: .

Primjer. Korijen iz korijena

Razmotrimo primjer kvadratnog korijena korijena:
.
Pretvorite unutarnji kvadratni korijen pomoću gornjih formula:
.
Sada transformirajmo izvorni korijen:
.
Tako,
.

y = x p za različite vrijednosti eksponenta p.

Ovdje su grafikoni funkcije za ne-negativne vrijednosti argumenta x. Grafikoni funkcije stepena definirani za negativne vrijednosti x dati su na stranici "Funkcija stepena, njezina svojstva i grafikoni"

Inverzna funkcija

Inverzna funkcija potencije s eksponentom p je funkcija potencije s eksponentom 1/p.

Ako tada .

Derivacija funkcije snage

Derivat n-tog reda:
;

Izvođenje formula >>>

Integral potencije

P≠- 1 ;
.

Proširenje niza potencija

u - 1 < x < 1 odvija se sljedeća dekompozicija:

Izrazi u terminima kompleksnih brojeva

Razmotrimo funkciju kompleksne varijable z:
f (z) = z t.
Kompleksnu varijablu z izražavamo u terminima modula r i argumenta φ (r = |z| ):
z = r e i φ.
Kompleksni broj t predstavljamo kao realni i imaginarni dio:
t = p + i q .
Imamo:

Nadalje, uzimamo u obzir da argument φ nije jednoznačno definiran:
,

Razmotrimo slučaj kada je q = 0 , odnosno eksponent je realan broj, t = p. Zatim
.

Ako je p cijeli broj, tada je i kp cijeli broj. Tada, zbog periodičnosti trigonometrijskih funkcija:
.
To jest, eksponencijalna funkcija s cijelim eksponentom, za dani z, ima samo jednu vrijednost i stoga je jednoznačna.

Ako je p iracionalan, tada proizvodi kp ne daju cijeli broj ni za jedno k. Budući da k prolazi kroz beskonačan niz vrijednosti k = 0, 1, 2, 3, ..., tada funkcija z p ima beskonačno mnogo vrijednosti. Kad god se argument z povećava 2 pi(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije.

Ako je p racionalan, onda se može predstaviti kao:
, Gdje m, n su cijeli brojevi bez zajedničkih djelitelja. Zatim
.
Prvih n vrijednosti, za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1, dati n različita značenja kp:
.
Međutim, sljedeće vrijednosti daju vrijednosti koje se od prethodnih razlikuju cijelim brojem. Na primjer, za k = k 0+n imamo:
.
Trigonometrijske funkcije čiji se argumenti razlikuju višekratnicima 2 pi, imaju jednake vrijednosti. Stoga, s daljnjim povećanjem k, dobivamo iste vrijednosti z p kao za k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Dakle, eksponencijalna funkcija s racionalnim eksponentom je višeznačna i ima n vrijednosti (grana). Kad god se argument z povećava 2 pi(jedan okret), prelazimo na novu granu funkcije. Nakon n takvih zavoja vraćamo se na prvu granu od koje je počelo odbrojavanje.

Konkretno, korijen stupnja n ima n vrijednosti. Kao primjer, razmotrite n-ti korijen realnog pozitivnog broja z = x. U ovom slučaju φ 0 = 0, z = r = |z| = x, .
.
Dakle, za kvadratni korijen, n = 2 ,
.
Za čak k, (- 1) k = 1. Za neparan k, (- 1 ) k = - 1.
To jest, kvadratni korijen ima dva značenja: + i -.

Reference:
U. Bronstein, K.A. Semendjajev, Priručnik iz matematike za inženjere i studente visokoškolskih ustanova, Lan, 2009.

Lekcija i prezentacija na temu: "Graf funkcije kvadratnog korijena. Opseg i iscrtavanje"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge. Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 8. razred
Elektronički udžbenik za udžbenik Mordkovich A.G.
Algebra elektronička radna bilježnica za 8. razred

Graf funkcije kvadratnog korijena

Dečki, već smo se susreli s konstrukcijom grafova funkcija, i to više puta. Sagradili smo mnoge linearne funkcije i parabole. Općenito, zgodno je napisati bilo koju funkciju kao $y=f(x)$. Ovo je jednadžba s dvije varijable - za svaku vrijednost x, dobivamo y. Nakon izvođenja neke zadane operacije f, preslikavamo skup svih mogućih x u skup y. Kao funkciju f možemo napisati gotovo svaku matematičku operaciju.

Obično pri crtanju funkcija koristimo tablicu u koju upisujemo vrijednosti x i y. Na primjer, za funkciju $y=5x^2$ zgodno je koristiti sljedeću tablicu: Dobivene točke označiti na Kartezijevom koordinatnom sustavu i pažljivo ih povezati glatkom krivuljom. Naša funkcija nije ograničena. Samo s tim točkama možemo supstituirati apsolutno bilo koju vrijednost x iz zadane domene definicije, odnosno one x za koje izraz ima smisla.

U jednoj od prethodnih lekcija naučili smo novu operaciju vađenja kvadratnog korijena. Postavlja se pitanje možemo li ovom operacijom postaviti neku funkciju i izgraditi njezin graf? Iskoristimo opći pogled funkcije $y=f(x)$. Ostavljamo y i x umjesto njih, a umjesto f uvodimo operaciju kvadratnog korijena: $y=\sqrt(x)$.
Poznavajući matematičku operaciju, mogli smo definirati funkciju.

Iscrtavanje funkcije kvadratnog korijena

Nacrtajmo ovu funkciju. Na temelju definicije kvadratnog korijena, možemo ga izračunati samo iz nenegativnih brojeva, to jest, $x≥0$.
Napravimo tablicu:
Označimo naše točke na koordinatnoj ravnini.

Ostaje nam pažljivo povezati dobivene točke.

Ljudi, obratite pažnju: ako je graf naše funkcije okrenut na stranu, tada ćemo dobiti lijevu granu parabole. Zapravo, ako su linije u tablici vrijednosti međusobno zamijenjene (gornja linija s donjom), tada dobivamo vrijednosti samo za parabolu.

Domena funkcije $y=\sqrt(x)$

Korištenjem grafa funkcije svojstva je prilično lako opisati.
1. Domena definicije: $$.
b) $$.

Riješenje.
Naš primjer možemo riješiti na dva načina. Svako slovo opisuje drugačiji način.

A) Vratimo se na gore konstruirani graf funkcije i označimo tražene točke odsječka. Jasno se vidi da je za $x=9$ funkcija veća od svih ostalih vrijednosti. Dakle i najveća vrijednost doseže u ovoj točki. Za $x=4$, vrijednost funkcije je niža od svih ostalih točaka, što znači da postoji najmanja vrijednost.

$y_(najviše)=\sqrt(9)=3$, $y_(najviše)=\sqrt(4)=2$.

B) Znamo da naša funkcija raste. To znači da svaka veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije. Najveće i najmanje vrijednosti postižu se na krajevima segmenta:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Primjer 2
Riješite jednadžbu:

$\sqrt(x)=12-x$.

Riješenje.
Najlakši način je iscrtati dva grafa funkcije i pronaći njihovu sjecišnu točku.
Grafikon jasno pokazuje točku sjecišta s koordinatama $(9;3)$. Dakle, $x=9$ je rješenje naše jednadžbe.
Odgovor: $x=9$.

Ljudi, možemo li biti sigurni da ovaj primjer nema više rješenja? Jedna od funkcija je rastuća, druga opadajuća. Općenito, ili nemaju zajedničke točke, ili se sijeku samo u jednom.

Primjer 3

Nacrtajte i pročitajte graf funkcije:

$\početak (slučajevi) -x, x 9. \kraj (slučajevi)$

Moramo izgraditi tri parcijalna grafa funkcije, svaki na svom intervalu.

Opišimo svojstva naše funkcije:
1. Domena definicije: $(-∞;+∞)$.
2. $y=0$ za $x=0$ i $x=12$; $y>0$ za $hϵ(-∞;12)$; $y 3. Funkcija je padajuća na segmentima $(-∞;0)U(9;+∞)$. Funkcija raste na segmentu $(0;9)$.
4. Funkcija je neprekidna na cijeloj domeni definicije.
5. Ne postoji maksimalna ili minimalna vrijednost.
6. Raspon vrijednosti: $(-∞;+∞)$.

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Pronađite najveću i najmanju vrijednost funkcije kvadratnog korijena na segmentu:
a) $$;
b) $$.
2. Riješite jednadžbu: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Nacrtajte i pročitajte graf funkcije: $\begin (cases) 2-x, x 4. \end (cases)$
4. Izgradite i pročitajte graf funkcije: $y=\sqrt(-x)$.

Svojstva grafa i funkcije na = │Oh│ (modul)

Razmotrite funkciju na = │Oh│, gdje A- određeni broj.

Opseg definicije funkcije na = │Oh│, je skup svega realni brojevi. Slika prikazuje respektivno grafovi funkcija na = │x│, na = │ 2x │, na = │x/2│.

Možete vidjeti da je graf funkcije na = | Oh| dobiven iz grafa funkcije na = Oh, ako je negativni dio grafa funkcije na = Oh(nalazi se ispod O osi x), odražavati simetrično ovu os.

Grafikon je lako vidjeti Svojstva funkcije na = │ Oh │.

Na x= 0, dobivamo na= 0, odnosno ishodište koordinata pripada grafu funkcije; na x= 0, dobivamo na> 0, odnosno sve ostale točke grafa leže iznad O osi x.

Za suprotne vrijednosti x, vrijednosti na bit će isti; O os na ovo je os simetrije grafa.

Na primjer, možete nacrtati funkciju na = │x 3│. Za usporedbu karakteristika na = │x 3 │i na = x 3, napravit ćemo tablicu njihovih vrijednosti s istim vrijednostima argumenata.

Iz tablice vidimo da kako bismo nacrtali funkciju na = │x 3 │, možete početi iscrtavanjem funkcije na = x 3 . Nakon toga stoji simetrično na O os x prikazati onaj njegov dio koji je ispod ove osi. Kao rezultat toga, dobivamo grafikon prikazan na slici.

Svojstva grafa i funkcije na = x 1/2 (korijen)

Razmotrite funkciju na = x 1/2 .

Opseg definicije ove funkcije je skup nenegativnih realnih brojeva, budući da je izraz x 1/2 je važno samo kada x > 0.

Izgradimo grafikon. Da bismo sastavili tablicu njegovih vrijednosti, koristimo mikrokalkulator, zaokružujući vrijednosti funkcije na desetine.

Nakon prijave na koordinatna ravnina točaka, i njihovu glatku vezu, dobivamo graf funkcije na = x 1/2 .

Konstruirani graf omogućuje nam da formuliramo neke Svojstva funkcije na = x 1/2 .

Na x= 0, dobivamo na= 0; na x> 0, dobivamo na> 0; graf prolazi kroz ishodište; preostale točke grafa nalaze se u prvoj koordinatnoj četvrtini.

Teorema. Grafikon funkcije na = x 1/2 je simetričan grafu funkcije na = x 2, gdje x> 0, relativno ravno na = x.

Dokaz. Grafikon funkcije na = x 2, gdje x> 0 je grana parabole koja se nalazi u prvom koordinatnom kvadrantu. Neka točka R (A; b) je proizvoljna točka ovog grafa. Tada je jednakost istinita b = A 2. Budući da prema stanju broj A je nenegativan, onda je jednakost također istinita A= b 1/2. A to znači da su koordinate točke Q (b; A) transformirajte formulu na = x 1/2 do prave jednakosti, ili u suprotnom, točka Q (b; A na= x 1/2 .

Također je dokazano da ako točka M (S; d) pripada grafu funkcije na = x 1/2 zatim točka N (d; S) pripada grafu na = x 2, gdje x > 0.

Ispada da svaka točka R(A; b) graf funkcije na = x 2, gdje x> 0, odgovara samo jedan bod Q (b; A) graf funkcije na = x 1/2 i obrnuto.

Ostaje dokazati da bodovi R (A; b) I Q (b; A) su simetrične u odnosu na ravnu liniju na = x. Spuštanje okomica na koordinatne osi iz točaka R I Q, dobivamo točke na ovim osima E(A; 0), D (0; b), F (b; 0), S (0; A). Točka R sjecišta okomica PONOVNO I QC ima koordinate ( A; A) i stoga pripada liniji na = x. Trokut PRQ je jednakokračan, budući da su njegove stranice RP I RQ jednako │ b – A│ svaki. Ravno na = x raspoloviti poput kuta DOF, kao i kut PRQ i prelazi crtu PQ u određenom trenutku S. Stoga segment RS je simetrala trokuta PRQ. Budući da je simetrala jednakokračnog trokuta njegova visina i medijan, onda PQ ┴ RS I P.S = QS. A to znači da bodovi R (A; b) I Q (b; A) simetričan u odnosu na ravnu liniju na = x.

Budući da je graf funkcije na = x 1/2 je simetričan grafu funkcije na = x 2, gdje x> 0, relativno ravno na= x, zatim graf funkcije na = x 1/2 je grana parabole.

8. razred

Učitelj: Melnikova T.V.

Ciljevi lekcije:

Oprema:

Računalo, interaktivna ploča, brošura.

Prezentacija za lekciju.

TIJEKOM NASTAVE

Plan učenja.

Uvod nastavnika.

Ponavljanje prethodno naučenog gradiva.

Učenje novog gradiva (grupni rad).

Istraživanje funkcija. Svojstva grafikona.

Rasprava o rasporedu (frontalni rad).

Igra matematičkih karata.

Rezultati lekcije.

I. Aktualizacija temeljnih znanja.

Pozdrav učitelja.

Učitelj, nastavnik, profesor :

Ovisnost jedne varijable o drugoj naziva se funkcija. Do sada ste proučavali funkcije y = kx + b; y \u003d k / x, y \u003d x 2. Danas ćemo nastaviti proučavati funkcije. U današnjoj lekciji naučit ćete kako izgleda graf funkcije kvadratnog korijena, naučiti kako sami iscrtati funkciju kvadratnog korijena.

Zapišite temu lekcije (slajd1).

2. Ponavljanje proučenog gradiva.

1. Kako se zovu funkcije definirane formulama:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y \u003d -1 / 2x + 4; d) y=2x; e) y \u003d -6 / x e) y \u003d x 2?

2. Kakav je njihov raspored? Kako se nalazi? Navedite opseg i opseg svake od ovih funkcija ( na sl. prikazani su grafovi funkcija danih ovim formulama, za svaku funkciju označite njen tip) (slajd2).

3. Što je graf svake funkcije, kako se grade ti grafovi?

(slide3, grafici funkcija su shematski konstruirani).

3. Učenje novog gradiva.

Učitelj, nastavnik, profesor:

Dakle, danas proučavamo funkciju
i njezin raspored.

Znamo da je graf funkcije y \u003d x 2 parabola. Kakav će biti graf funkcije y \u003d x 2 ako uzmemo samo x ≥ 0? Je li dio parabole - njezin desna grana. Sada nacrtajmo funkciju
.

Ponovimo algoritam za konstrukciju grafova funkcija ( slajd 4, s algoritmom)

Pitanje : Što mislite, gledajući analitički zapis funkcije, možete reći koje vrijednosti x dopušteno? (Da, x≥0). Budući da je izraz
ima smisla za sve x veće ili jednako 0.

Učitelj, nastavnik, profesor: U prirodnim pojavama, u ljudskom djelovanju, često postoje odnosi između dviju veličina. Koji graf može prikazati ovaj odnos? ( grupni rad)

Razred je podijeljen u grupe. Svaka skupina dobiva zadatak: nacrtati graf funkcije
na milimetarskom papiru, slijedeći sve točke algoritma. Zatim izlazi predstavnik svake skupine i pokazuje rad skupine. (otvara se skladište 5, provjera je u tijeku, zatim se raspored ugrađuje u bilježnice)

4. Proučavanje funkcije (nastavlja se grupni rad)

Učitelj, nastavnik, profesor:

pronaći opseg funkcije;

pronaći opseg funkcije;

odrediti intervale opadanja (porasta) funkcije;

y>0, y<0.

Zapišite rezultate (slajd 6).

Učitelj, nastavnik, profesor: Analizirajmo graf. Graf funkcije je grana parabole.

Pitanje : Recite mi, jeste li već negdje vidjeli ovaj grafikon?

Pogledaj graf i reci mi da li on siječe pravac OX? (Ne) OU? (Ne). Pogledajte graf i recite mi ima li graf centar simetrije? Os simetrije?

Ukratko:

Sada vjerujmo kako smo naučili novu temu i ponovili pređeno gradivo. Igra matematičkih karata (Pravila igre: svakoj skupini od 5 osoba nudi se set karata (25 karata). Svaki igrač dobiva 5 karata na kojima su ispisana pitanja. Prvi učenik daje jednu od karata drugom. učenik, koji mora odgovoriti na pitanje s kartice Ako učenik odgovori na pitanje, tada je karta tučena, ako ne, onda učenik uzima kartu za sebe i odaje potez itd. samo 5 poteza. Ako učenik nema preostale karte, tada je rezultat -5, postoji 1 karta - rezultat 4, 2 karte - rezultat 3, 3 karte - rezultat - 2)

5. Rezultati lekcije.(učenici se ocjenjuju na kontrolnim listama)

Domaća zadaća.

Proučite stavku 8.

Riješite #172, #179, #183.

Pripremiti izvješća na temu “Primjena funkcije u raznim područjima znanosti i književnosti”.

Odraz.

Pokažite svoje raspoloženje slikama na stolu.

Današnja lekcija

Sviđa mi se.

Nije mi se svidjelo.

Materijal za nastavu i razumio, nije razumio).

Lekcija i prezentacija na temu: "Funkcije snage. Kubični korijen. Svojstva kubičnog korijena"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, povratne informacije, prijedloge! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Nastavna pomagala i simulatori u online trgovini "Integral" za 9. razred
Obrazovni kompleks 1C: "Algebarski problemi s parametrima, razredi 9-11" Softversko okruženje "1C: Matematički konstruktor 6.0"

Definicija potencne funkcije - kubni korijen

Dečki, nastavljamo proučavati funkcije snage. Danas ćemo govoriti o kubnom korijenu funkcije x.
Što je kubni korijen?
Broj y naziva se kubni korijen iz x (korijen trećeg stupnja) ako je $y^3=x$ točno.
Označavaju se kao $\sqrt(x)$, gdje je x korijenski broj, 3 je eksponent.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Kao što vidimo, kubni korijen se može izvući i iz negativnih brojeva. Ispada da naš korijen postoji za sve brojeve.
Treći korijen negativnog broja jednak je negativnom broju. Kad se digne na neparnu potenciju, predznak se čuva, treća potencija je neparna.

Provjerimo jednakost: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
Neka $\sqrt((-x))=a$ i $\sqrt(x)=b$. Podignimo oba izraza na treću potenciju. $–x=a^3$ i $x=b^3$. Tada $a^3=-b^3$ ili $a=-b$. U zapisu korijena dobivamo željeni identitet.

Svojstva kockastih korijena

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

Dokažimo drugo svojstvo. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Otkrili smo da je broj $\sqrt(\frac(a)(b))$ u kocki jednak $\frac(a)(b)$, a zatim je jednak $\sqrt(\frac(a) (b))$, što je i trebalo dokazati.

Dečki, iscrtajmo naš graf funkcije.
1) Područje definiranja je skup realnih brojeva.
2) Funkcija je neparna jer je $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Zatim razmotrite našu funkciju za $x≥0$, a zatim reflektirajte graf u odnosu na ishodište.
3) Funkcija raste za $h≥0$. Za našu funkciju, veća vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, što znači povećanje.
4) Funkcija nije ograničena odozgo. Zapravo, iz proizvoljno velikog broja, možete izračunati korijen trećeg stupnja, a možemo se kretati do beskonačnosti, pronalazeći sve veće vrijednosti argumenta.
5) Za $x≥0$, najmanja vrijednost je 0. Ovo svojstvo je očito.
Izgradimo graf funkcije po točkama za x≥0.

Izgradimo naš graf funkcije na cijeloj domeni definicije. Zapamtite da je naša funkcija čudna.

Svojstva funkcije:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Neparna funkcija.
3) Povećava se za (-∞;+∞).
4) Neograničeno.
5) Ne postoji minimalna ili maksimalna vrijednost.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Konveksno prema dolje za (-∞;0), konveksno prema gore za (0;+∞).

Primjeri rješavanja potencijskih funkcija

Primjeri
1. Riješite jednadžbu $\sqrt(x)=x$.
Riješenje. Izgradimo dva grafikona na istoj koordinatnoj ravnini $y=\sqrt(x)$ i $y=x$.

Kao što vidite, naši se grafovi sijeku u tri točke.
Odgovor: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Izgradite graf funkcije. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Riješenje. Naš graf dobivamo iz grafa funkcije $y=\sqrt(x)$, paralelnim pomakom dvije jedinice udesno i tri jedinice prema dolje.

3. Izgradite graf funkcije i pročitajte ga. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(cases)$.
Riješenje. Izgradimo dva grafa funkcija na istoj koordinatnoj ravnini, uzimajući u obzir naše uvjete. Za $h≥-1$ gradimo graf kubičnog korijena, za $h≤-1$ graf linearne funkcije.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Funkcija nije ni parna ni neparna.
3) Smanjuje se za (-∞;-1), povećava se za (-1;+∞).
4) Neograničeno odozgo, ograničeno odozdo.
5) Ne postoji najveća vrijednost. Najmanja vrijednost je minus jedan.
6) Funkcija je neprekinuta na cijelom realnom pravcu.
7) E(y)= (-1;+∞).

Zadaci za samostalno rješavanje

1. Riješite jednadžbu $\sqrt(x)=2-x$.
2. Nacrtajte funkciju $y=\sqrt((x+1))+1$.
3. Izgradite graf funkcije i pročitajte ga. $\begin(cases)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(cases)$.