Rješavanje složenih trigonometrijskih jednadžbi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Kako riješiti trigonometrijsku jednadžbu

Sat integrirane primjene znanja.

Ciljevi lekcije.

  1. Smatrati razne metode rješavanje trigonometrijskih jednadžbi.
  2. Razvoj kreativnost učenika rješavanjem jednadžbi.
  3. Poticanje učenika na samokontrolu, međusobnu kontrolu i samoanalizu nastavnog rada.

Oprema: platno, projektor, referentni materijal.

Tijekom nastave

Uvodni razgovor.

Glavna metoda za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi je njihovo svođenje na najjednostavniji oblik. U ovom slučaju primjenjuju se uobičajenim načinima, kao što je faktoring, kao i tehnike koje se koriste samo za rješavanje trigonometrijskih jednadžbi. Postoji dosta ovih tehnika, na primjer, razne trigonometrijske zamjene, transformacije kutova, transformacije trigonometrijskih funkcija. Neselektivna primjena bilo koje trigonometrijske transformacije obično ne pojednostavljuje jednadžbu, već ju katastrofalno komplicira. Za vježbanje u opći nacrt plan rješavanja jednadžbe, nacrt načina redukcije jednadžbe na najjednostavniju, prvo morate analizirati kutove - argumente trigonometrijskih funkcija uključenih u jednadžbu.

Danas ćemo govoriti o metodama rješavanja trigonometrijskih jednadžbi. Ispravno odabrana metoda često vam omogućuje da značajno pojednostavite rješenje, tako da sve metode koje smo proučavali uvijek trebaju biti u vašem području pažnje kako biste riješili trigonometrijske jednadžbe najprikladnija metoda.

II. (Pomoću projektora ponavljamo metode rješavanja jednadžbi.)

1. Metoda redukcije trigonometrijske jednadžbe na algebarsku.

Potrebno je sve trigonometrijske funkcije izraziti kroz jednu, s istim argumentom. To se može učiniti pomoću osnovnog trigonometrijskog identiteta i njegovih posljedica. Dobivamo jednadžbu s jednom trigonometrijskom funkcijom. Uzimajući ga kao novu nepoznanicu, dobivamo algebarsku jednadžbu. Pronalazimo njegove korijene i vraćamo se staroj nepoznanici, rješavajući najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe.

2. Metoda faktorizacije.

Za promjenu kutova često su korisne formule za smanjenje, zbroj i razliku argumenata, kao i formule za pretvaranje zbroja (razlike) trigonometrijskih funkcija u umnožak i obrnuto.

sin x + sin 3x = sin 2x + sin4x

3. Metoda uvođenja dodatnog kuta.

4. Metoda korištenja univerzalne supstitucije.

Jednadžbe oblika F(sinx, cosx, tanx) = 0 svode se na algebarske pomoću univerzalne trigonometrijske supstitucije

Izražavanje sinusa, kosinusa i tangensa preko tangensa polukuta. Ova tehnika može dovesti do jednadžbe visokog reda. Rješenje je teško.

Lekcija i prezentacija na temu: "Rješavanje jednostavnih trigonometrijskih jednadžbi"

Dodatni materijali
Dragi korisnici, ne zaboravite ostaviti svoje komentare, recenzije, želje! Svi materijali su provjereni antivirusnim programom.

Priručnici i simulatori u internetskoj trgovini Integral za razred 10 od 1C
Rješavanje zadataka iz geometrije. Interaktivni zadaci za građenje u prostoru
Softversko okruženje "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Što ćemo proučavati:
1. Što su trigonometrijske jednadžbe?

3. Dvije glavne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.
4. Homogene trigonometrijske jednadžbe.
5. Primjeri.

Što su trigonometrijske jednadžbe?

Dečki, već smo proučavali arksinus, arkosinus, arktangens i arkotangens. Pogledajmo sada trigonometrijske jednadžbe općenito.

Trigonometrijske jednadžbe su jednadžbe u kojima je varijabla sadržana pod predznakom trigonometrijske funkcije.

Ponovimo oblik rješavanja najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi:

1) Ako je |a|≤ 1, tada jednadžba cos(x) = a ima rješenje:

X= ± arccos(a) + 2πk

2) Ako je |a|≤ 1, onda jednadžba sin(x) = a ima rješenje:

3) Ako je |a| > 1, tada jednadžba sin(x) = a i cos(x) = a nemaju rješenja 4) Jednadžba tg(x)=a ima rješenje: x=arctg(a)+ πk

5) Jednadžba ctg(x)=a ima rješenje: x=arcctg(a)+ πk

Za sve formule k je cijeli broj

Najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe imaju oblik: T(kx+m)=a, T je neka trigonometrijska funkcija.

Primjer.

Riješite jednadžbe: a) sin(3x)= √3/2

Riješenje:

A) Označimo 3x=t, pa ćemo prepisati našu jednadžbu u obliku:

Rješenje ove jednadžbe bit će: t=((-1)^n)arcsin(√3 /2)+ πn.

Iz tablice vrijednosti dobivamo: t=((-1)^n)×π/3+ πn.

Vratimo se našoj varijabli: 3x =((-1)^n)×π/3+ πn,

Tada je x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3

Odgovor: x= ((-1)^n)×π/9+ πn/3, gdje je n cijeli broj. (-1)^n – minus jedan na potenciju n.

Više primjera trigonometrijskih jednadžbi.

Riješite jednadžbe: a) cos(x/5)=1 b)tg(3x- π/3)= √3

Riješenje:

A) Ovaj put prijeđimo odmah na izračunavanje korijena jednadžbe:

X/5= ± arccos(1) + 2πk. Tada je x/5= πk => x=5πk

Odgovor: x=5πk, gdje je k cijeli broj.

B) Zapisujemo ga u obliku: 3x- π/3=arctg(√3)+ πk. Znamo da je: arctan(√3)= π/3

3x- π/3= π/3+ πk => 3x=2π/3 + πk => x=2π/9 + πk/3

Odgovor: x=2π/9 + πk/3, gdje je k cijeli broj.

Riješite jednadžbe: cos(4x)= √2/2. I pronađite sve korijene na segmentu.

Riješenje:

Odlučit ćemo u opći pogled naša jednadžba: 4x= ± arccos(√2/2) + 2πk

4x= ± π/4 + 2πk;

X= ± π/16+ πk/2;

Sada da vidimo koji korijeni padaju na naš segment. Pri k Pri k=0, x= π/16, nalazimo se u zadanom segmentu.
Uz k=1, x= π/16+ π/2=9π/16, ponovno smo pogodili.
Za k=2, x= π/16+ π=17π/16, ali ovdje nismo pogodili, što znači da za veliko k također očito nećemo pogoditi.

Odgovor: x= π/16, x= 9π/16

Dvije glavne metode rješenja.

Razmotrili smo najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe, no postoje i one složenije. Za njihovo rješavanje koristi se metoda uvođenja nove varijable i metoda faktorizacije. Pogledajmo primjere.

Riješimo jednadžbu:

Riješenje:
Za rješavanje naše jednadžbe koristit ćemo se metodom uvođenja nove varijable, koja označava: t=tg(x).

Kao rezultat zamjene dobivamo: t 2 + 2t -1 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-1 i t=1/3

Tada je tg(x)=-1 i tg(x)=1/3, dobili smo najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu, hajmo pronaći njene korijene.

X=arctg(-1) +πk= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Odgovor: x= -π/4+πk; x=arctg(1/3) + πk.

Primjer rješavanja jednadžbe

Riješite jednadžbe: 2sin 2 (x) + 3 cos(x) = 0

Riješenje:

Upotrijebimo identitet: sin 2 (x) + cos 2 (x)=1

Naša jednadžba će imati oblik: 2-2cos 2 (x) + 3 cos (x) = 0

2 cos 2 (x) - 3 cos(x) -2 = 0

Uvedimo zamjenu t=cos(x): 2t 2 -3t - 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe su korijeni: t=2 i t=-1/2

Tada je cos(x)=2 i cos(x)=-1/2.

Jer kosinus ne može poprimiti vrijednosti veće od jedan, tada cos(x)=2 nema korijena.

Za cos(x)=-1/2: x= ± arccos(-1/2) + 2πk; x= ±2π/3 + 2πk

Odgovor: x= ±2π/3 + 2πk

Homogene trigonometrijske jednadžbe.

Definicija: Jednadžbe oblika a sin(x)+b cos(x) nazivaju se homogene trigonometrijske jednadžbe prvog stupnja.

Jednadžbe oblika

homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja.

Da biste riješili homogenu trigonometrijsku jednadžbu prvog stupnja, podijelite je s cos(x): Ne možete dijeliti kosinusom ako je jednak nuli, uvjerimo se da to nije slučaj:
Neka cos(x)=0, tada asin(x)+0=0 => sin(x)=0, ali sinus i kosinus nisu jednaki nuli u isto vrijeme, dobivamo kontradikciju, tako da možemo sigurno dijeliti nulom.

Riješite jednadžbu:
Primjer: cos 2 (x) + sin(x) cos(x) = 0

Riješenje:

Izbacimo zajednički faktor: cos(x)(c0s(x) + sin (x)) = 0

Zatim moramo riješiti dvije jednadžbe:

Cos(x)=0 i cos(x)+sin(x)=0

Cos(x)=0 pri x= π/2 + πk;

Razmotrimo jednadžbu cos(x)+sin(x)=0 Podijelimo našu jednadžbu s cos(x):

1+tg(x)=0 => tg(x)=-1 => x=arctg(-1) +πk= -π/4+πk

Odgovor: x= π/2 + πk i x= -π/4+πk

Kako riješiti homogene trigonometrijske jednadžbe drugog stupnja?
Ljudi, uvijek se pridržavajte ovih pravila!

1. Vidi što koeficijent je jednak i, ako je a=0 tada će naša jednadžba imati oblik cos(x)(bsin(x)+ccos(x)), čiji je primjer rješenja na prethodnom slajdu

2. Ako je a≠0, tada obje strane jednadžbe trebate podijeliti kosinusom na kvadrat, dobivamo:


Mijenjamo varijablu t=tg(x) i dobivamo jednadžbu:

Riješite primjer br.:3

Riješite jednadžbu:
Riješenje:

Podijelimo obje strane jednadžbe kosinusnim kvadratom:

Mijenjamo varijablu t=tg(x): t 2 + 2 t - 3 = 0

Nađimo korijene kvadratne jednadžbe: t=-3 i t=1

Zatim: tg(x)=-3 => x=arctg(-3) + πk=-arctg(3) + πk

Tg(x)=1 => x= π/4+ πk

Odgovor: x=-arctg(3) + πk i x= π/4+ πk

Riješite primjer br.:4

Riješite jednadžbu:

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:


Možemo riješiti takve jednadžbe: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Odgovor: x= - π/4 + 2πk i x=5π/4 + 2πk

Riješite primjer br.:5

Riješite jednadžbu:

Riješenje:
Preobrazimo naš izraz:


Uvedimo zamjenu tg(2x)=t:2 2 - 5t + 2 = 0

Rješenje naše kvadratne jednadžbe bit će korijeni: t=-2 i t=1/2

Tada dobivamo: tg(2x)=-2 i tg(2x)=1/2
2x=-arctg(2)+ πk => x=-arctg(2)/2 + πk/2

2x= arctg(1/2) + πk => x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Odgovor: x=-arctg(2)/2 + πk/2 i x=arctg(1/2)/2+ πk/2

Problemi za samostalno rješavanje.

1) Riješite jednadžbu

A) sin(7x)= 1/2 b) cos(3x)= √3/2 c) cos(-x) = -1 d) tg(4x) = √3 d) ctg(0,5x) = -1,7

2) Riješite jednadžbe: sin(3x)= √3/2. I pronađite sve korijene na segmentu [π/2; π].

3) Riješite jednadžbu: krevetić 2 (x) + 2 krevetić (x) + 1 =0

4) Riješite jednadžbu: 3 sin 2 (x) + √3sin (x) cos(x) = 0

5) Riješite jednadžbu: 3sin 2 (3x) + 10 sin(3x)cos(3x) + 3 cos 2 (3x) =0

6) Riješite jednadžbu: cos 2 (2x) -1 - cos(x) =√3/2 -sin 2 (2x)

Složenije trigonometrijske jednadžbe

Jednadžbe

grijeh x = a,
cos x = a,
tg x = a,
ctg x = a

su najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. U ovom paragrafu na konkretni primjeri Razmotrit ćemo složenije trigonometrijske jednadžbe. Njihovo rješavanje se u pravilu svodi na rješavanje najjednostavnijih trigonometrijskih jednadžbi.

Primjer 1 . Riješite jednadžbu

grijeh 2 x=cos x grijeh 2 x.

Prenoseći sve članove ove jednadžbe na lijevu stranu i faktorizirajući dobiveni izraz, dobivamo:

grijeh 2 x(1 - cos x) = 0.

Umnožak dvaju izraza jednak je nuli ako i samo ako je barem jedan od faktora jednak nuli, a drugi ima bilo koju brojčanu vrijednost, sve dok je definiran.

Ako grijeh 2 x = 0 , zatim 2 x= n π ; x = π / 2 n.

Ako 1 - cos x = 0 , zatim cos x = 1; x = 2kπ .

Dakle, dobili smo dvije grupe korijena: x = π / 2 n; x = 2kπ . Druga skupina korijena je očito sadržana u prvoj, budući da je za n = 4k izraz x = π / 2 n postaje
x = 2kπ .

Stoga se odgovor može napisati jednom formulom: x = π / 2 n, Gdje n- bilo koji cijeli broj.

Imajte na umu da se ova jednadžba ne može riješiti redukcijom za sin 2 x. Doista, nakon redukcije bismo dobili 1 - cos x = 0, odakle x= 2k π . Tako bismo izgubili neke korijene, na primjer π / 2 , π , 3π / 2 .

Primjer 2. Riješite jednadžbu

Razlomak je jednak nuli samo ako mu je brojnik jednak nuli.
Zato grijeh 2 x = 0 , odakle 2 x= n π ; x = π / 2 n.

Iz ovih vrijednosti x trebate izbaciti kao vanjske one vrijednosti kod kojih grijehx ide na nulu (razlomci s nula nazivnika nemaju značenje: dijeljenje s nulom je nedefinirano). Ove vrijednosti su brojevi koji su višekratnici π . U formuli
x = π / 2 n dobivaju se za čak n. Stoga će korijeni ove jednadžbe biti brojevi

x = π / 2 (2k + 1),

gdje je k bilo koji cijeli broj.

Primjer 3 . Riješite jednadžbu

2 grijeh 2 x+ 7cos x - 5 = 0.

Izrazimo se grijeh 2 x kroz cosx : grijeh 2 x = 1 - cos 2x . Tada se ova jednadžba može prepisati kao

2 (1 - cos 2 x) + 7cos x - 5 = 0 , ili

2cos 2 x- 7 cos x + 3 = 0.

Određivanje cosx kroz na, dolazimo do kvadratne jednadžbe

2u 2 - 7u + 3 = 0,

čiji su korijeni brojevi 1/2 i 3. To znači da ili cos x= 1/2, ili cos x= 3. Međutim, potonje je nemoguće, budući da je kosinus bilo kojeg kuta duž apsolutna vrijednost ne prelazi 1.

Ostaje da priznamo da cos x = 1 / 2 , gdje

x = ± 60° + 360° n.

Primjer 4 . Riješite jednadžbu

2 grijeh x+ 3cos x = 6.

Od grijeha x i cos x u apsolutnoj vrijednosti ne prelazi 1, onda izraz
2 grijeh x+ 3cos x ne može uzeti vrijednosti veće od 5 . Stoga ova jednadžba nema korijena.

Primjer 5 . Riješite jednadžbu

grijeh x+cos x = 1

Kvadriranjem obje strane ove jednadžbe dobivamo:

grijeh 2 x+ 2 grijeha x cos x+ cos 2 x = 1,

Ali grijeh 2 x + jer 2 x = 1 . Zato 2 grijeh x cos x = 0 . Ako grijeh x = 0 , To x = nπ ; ako
cos x , To x = π / 2 + kπ . Ove dvije skupine rješenja mogu se napisati u jednoj formuli:

x = π / 2 n

Budući da smo kvadrirali obje strane ove jednadžbe, moguće je da postoje strani korijeni među korijenima koje smo dobili. Zato je u ovom primjeru, za razliku od svih prethodnih, potrebno napraviti provjeru. Sva značenja

x = π / 2 n mogu se podijeliti u 4 skupine

1) x = 2kπ .

 (n = 4k)

2) x = π / 2 + 2kπ .

 (n = 4k + 1)

3) x = π + 2kπ .

 (n = 4k + 2)

4) x = 3π / 2 + 2kπ .

 (n = 4k + 3)

Na x = 2kπ grijeh x+cos x= 0 + 1 = 1. Prema tome, x = 2kπ su korijeni ove jednadžbe.

Na x = π / 2 + 2kπ. grijeh x+cos x= 1 + 0 = 1 Dakle x = π / 2 + 2kπ- također korijeni ove jednadžbe.

Na x = π + 2kπ grijeh x+cos x= 0 - 1 = - 1. Dakle, vrijednosti x = π + 2kπ nisu korijeni ove jednadžbe. Slično se pokazuje da x = 3π / 2 + 2kπ. nisu korijeni.

Dakle, ova jednadžba ima sljedeće korijene: x = 2kπ I x = π / 2 + 2mπ., Gdje k I m- bilo koji cijeli brojevi.

Pri rješavanju mnogih matematički problemi, posebno onih koji se javljaju prije 10. razreda, jasno je definiran redoslijed radnji koje će dovesti do cilja. Takvi problemi uključuju, na primjer, linearne i kvadratne jednadžbe, linearne i kvadratne nejednadžbe, frakcijske jednadžbe te jednadžbe koje se svode na kvadratne. Princip uspješnog rješavanja svakog od navedenih problema je sljedeći: potrebno je utvrditi koju vrstu problema rješavate, zapamtiti potreban redoslijed radnji koje će dovesti do željenog rezultata, tj. odgovorite i slijedite ove korake.

Očito je da uspjeh ili neuspjeh u rješavanju određenog problema ovisi uglavnom o tome koliko je ispravno određena vrsta jednadžbe koja se rješava, koliko je ispravno reproduciran slijed svih faza njezina rješenja. Naravno, u ovom slučaju potrebno je imati vještine za izvođenje identičnih transformacija i izračuna.

Drugačija je situacija sa trigonometrijske jednadžbe. Nije uopće teško utvrditi činjenicu da je jednadžba trigonometrijska. Poteškoće nastaju pri određivanju slijeda radnji koje bi dovele do točnog odgovora.

Po izgled jednadžbe, ponekad je teško odrediti njenu vrstu. A bez poznavanja vrste jednadžbe, gotovo je nemoguće odabrati pravu među nekoliko desetaka trigonometrijskih formula.

Da biste riješili trigonometrijsku jednadžbu, morate pokušati:

1. dovesti sve funkcije uključene u jednadžbu pod “iste kutove”;
2. dovesti jednadžbu do “identičnih funkcija”;
3. faktorizirati lijevu stranu jednadžbe, itd.

Razmotrimo osnovne metode rješavanja trigonometrijskih jednadžbi.

I. Svođenje na najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Izrazi trigonometrijsku funkciju preko poznatih komponenti.

Korak 2. Pronađite argument funkcije pomoću formula:

cos x = a; x = ±arccos a + 2πn, n ÊZ.

sin x = a; x = (-1) n arcsin a + πn, n Ê Z.

tan x = a; x = arctan a + πn, n Ê Z.

ctg x = a; x = arcctg a + πn, n Ê Z.

3. korak Pronađite nepoznatu varijablu.

Primjer.

2 cos(3x – π/4) = -√2.

Riješenje.

1) cos(3x – π/4) = -√2/2.

2) 3x – π/4 = ±(π – π/4) + 2πn, n Ê Z;

3x – π/4 = ±3π/4 + 2πn, n Ê Z.

3) 3x = ±3π/4 + π/4 + 2πn, n Ê Z;

x = ±3π/12 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z;

x = ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

Odgovor: ±π/4 + π/12 + 2πn/3, n Ê Z.

II. Zamjena varijable

Dijagram rješenja

Korak 1. Reducirajte jednadžbu na algebarski oblik s obzirom na jednu od trigonometrijskih funkcija.

Korak 2. Rezultirajuću funkciju označimo varijablom t (po potrebi uvesti ograničenja na t).

3. korak Zapiši i riješi dobivenu algebarsku jednadžbu.

Korak 4. Napravite obrnutu zamjenu.

Korak 5. Riješite najjednostavniju trigonometrijsku jednadžbu.

Primjer.

2cos 2 (x/2) – 5sin (x/2) – 5 = 0.

Riješenje.

1) 2(1 – sin 2 (x/2)) – 5sin (x/2) – 5 = 0;

2sin 2 (x/2) + 5sin (x/2) + 3 = 0.

2) Neka je sin (x/2) = t, gdje je |t| ≤ 1.

3) 2t 2 + 5t + 3 = 0;

t = 1 ili e = -3/2, ne zadovoljava uvjet |t| ≤ 1.

4) sin(x/2) = 1.

5) x/2 = π/2 + 2πn, n Ê Z;

x = π + 4πn, n Ê Z.

Odgovor: x = π + 4πn, n Ê Z.

III. Metoda redukcije reda jednadžbi

Dijagram rješenja

Korak 1. Zamijenite ovu jednadžbu linearnom, koristeći formulu za smanjenje stupnja:

sin 2 x = 1/2 · (1 – cos 2x);

cos 2 x = 1/2 · (1 + cos 2x);

tg 2 x = (1 – cos 2x) / (1 + cos 2x).

Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu metodama I. i II.

Primjer.

cos 2x + cos 2 x = 5/4.

Riješenje.

1) cos 2x + 1/2 · (1 + cos 2x) = 5/4.

2) cos 2x + 1/2 + 1/2 · cos 2x = 5/4;

3/2 cos 2x = 3/4;

2x = ±π/3 + 2πn, n Ê Z;

x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

Odgovor: x = ±π/6 + πn, n Ê Z.

IV. Homogene jednadžbe

Dijagram rješenja

Korak 1. Svedite ovu jednadžbu na oblik

a) a sin x + b cos x = 0 (homogena jednadžba prvog stupnja)

ili na pogled

b) a sin 2 x + b sin x · cos x + c cos 2 x = 0 (homogena jednadžba drugog stupnja).

Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe s

a) cos x ≠ 0;

b) cos 2 x ≠ 0;

i dobijte jednadžbu za tan x:

a) a tan x + b = 0;

b) a tan 2 x + b arctan x + c = 0.

3. korak Riješite jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

5sin 2 x + 3sin x cos x – 4 = 0.

Riješenje.

1) 5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4(sin 2 x + cos 2 x) = 0;

5sin 2 x + 3sin x · cos x – 4sin² x – 4cos 2 x = 0;

sin 2 x + 3sin x · cos x – 4cos 2 x = 0/cos 2 x ≠ 0.

2) tg 2 x + 3tg x – 4 = 0.

3) Neka je tada tg x = t

t 2 + 3t – 4 = 0;

t = 1 ili t = -4, što znači

tg x = 1 ili tg x = -4.

Iz prve jednadžbe x = π/4 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn, n Ê Z; x = -arctg 4 + πk, k Ê Z.

V. Metoda transformacije jednadžbe pomoću trigonometrijskih formula

Dijagram rješenja

Korak 1. Koristeći sve moguće trigonometrijske formule svedite ovu jednadžbu na jednadžbu riješenu metodama I, II, III, IV.

Korak 2. Riješite dobivenu jednadžbu poznatim metodama.

Primjer.

sin x + sin 2x + sin 3x = 0.

Riješenje.

1) (sin x + sin 3x) + sin 2x = 0;

2sin 2x cos x + sin 2x = 0.

2) sin 2x (2cos x + 1) = 0;

sin 2x = 0 ili 2cos x + 1 = 0;

Iz prve jednadžbe 2x = π/2 + πn, n Ê Z; iz druge jednadžbe cos x = -1/2.

Imamo x = π/4 + πn/2, n Ê Z; iz druge jednadžbe x = ±(π – π/3) + 2πk, k Ê Z.

Kao rezultat, x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Odgovor: x = π/4 + πn/2, n Ê Z; x = ±2π/3 + 2πk, k Ê Z.

Sposobnost i vještina rješavanja trigonometrijskih jednadžbi vrlo je važno, njihov razvoj zahtijeva značajan napor, kako od strane učenika tako i od strane nastavnika.

Mnogi problemi stereometrije, fizike itd. povezani su s rješavanjem trigonometrijskih jednadžbi. Proces rješavanja takvih problema utjelovljuje mnoga znanja i vještine koje se stječu proučavanjem elemenata trigonometrije.

Trigonometrijske jednadžbe uzimaju važno mjesto u procesu nastave matematike i razvoja osobnosti općenito.

Još uvijek imate pitanja? Ne znate kako riješiti trigonometrijske jednadžbe?
Za pomoć od mentora, registrirajte se.
Prvi sat je besplatan!

web stranice, pri kopiranju materijala u cijelosti ili djelomično, poveznica na izvor je obavezna.

Zahtijeva poznavanje osnovnih formula trigonometrije – zbroj kvadrata sinusa i kosinusa, izražavanje tangensa kroz sinus i kosinus i dr. Za one koji su ih zaboravili ili ih ne znaju, preporučujemo čitanje članka "".
Dakle, znamo osnovne trigonometrijske formule, vrijeme je da ih upotrijebimo u praksi. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi s pravim pristupom, to je prilično uzbudljiva aktivnost, poput, na primjer, rješavanja Rubikove kocke.

Već iz samog naziva jasno je da je trigonometrijska jednadžba jednadžba u kojoj je nepoznanica pod predznakom trigonometrijske funkcije.
Postoje takozvane najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe. Evo kako izgledaju: sinx = a, cos x = a, tan x = a. Razmotrimo kako riješiti takve trigonometrijske jednadžbe, radi jasnoće koristit ćemo već poznati trigonometrijski krug.

sinx = a

cos x = a

tan x = a

krevetić x = a

Svaka trigonometrijska jednadžba rješava se u dvije faze: jednadžbu reduciramo na njezin najjednostavniji oblik, a zatim je rješavamo kao jednostavnu trigonometrijsku jednadžbu.
Postoji 7 glavnih metoda kojima se rješavaju trigonometrijske jednadžbe.

  1. Supstitucija varijable i metoda supstitucije

    2. Riješite jednadžbu 2cos 2 (x + /6) – 3sin( /3 – x) +1 = 0

    Koristeći formule redukcije dobivamo:

    2cos 2 (x + /6) – 3cos(x + /6) +1 = 0

    Zamijenite cos(x + /6) s y da biste pojednostavili i dobili uobičajenu kvadratnu jednadžbu:

    2g 2 – 3g + 1 + 0

    Korijeni su y 1 = 1, y 2 = 1/2

    Sada idemo obrnutim redom

    Zamjenjujemo pronađene vrijednosti y i dobivamo dvije mogućnosti odgovora:

  2. Rješavanje trigonometrijskih jednadžbi faktoriziranjem

    3. Kako riješiti jednadžbu sin x + cos x = 1?

    Pomaknimo sve ulijevo tako da 0 ostane na desnoj strani:

    sin x + cos x – 1 = 0

    Upotrijebimo gore spomenute identitete da pojednostavimo jednadžbu:

    sin x - 2 sin 2 (x/2) = 0

    Rastavimo na faktore:

    2sin(x/2) * cos(x/2) - 2 sin 2 (x/2) = 0

    2sin(x/2) * = 0

    Dobivamo dvije jednadžbe

  3. Svođenje na homogenu jednadžbu

    4. Jednadžba je homogena s obzirom na sinus i kosinus ako su svi njezini članovi relativni na sinus i kosinus istog stupnja i istog kuta. Za rješavanje homogene jednadžbe postupite na sljedeći način:

    a) prebaci sve svoje članove na lijevu stranu;

    b) sve zajedničke faktore izvadite iz zagrada;

    c) izjednačiti sve faktore i zagrade s 0;

    d) u zagradama se dobiva homogena jednadžba nižeg stupnja, koja se pak dijeli na sinus ili kosinus višeg stupnja;

    e) riješite dobivenu jednadžbu za tg.

    Riješite jednadžbu 3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos 2 x = 2

    Upotrijebimo formulu sin 2 x + cos 2 x = 1 i riješimo se otvorena dva s desne strane:

    3sin 2 x + 4 sin x cos x + 5 cos x = 2sin 2 x + 2cos 2 x

    sin 2 x + 4 sin x cos x + 3 cos 2 x = 0

    Podijeli s cos x:

    tg 2 x + 4 tg x + 3 = 0

    Zamijenite tan x s y i dobit ćete kvadratnu jednadžbu:

    y 2 + 4y +3 = 0, čiji su korijeni y 1 =1, y 2 = 3

    Odavde nalazimo dva rješenja izvorne jednadžbe:

    x 2 = arctan 3 + k

  4. Rješavanje jednadžbi kroz prijelaz na polukut

    5. Riješite jednadžbu 3sin x – 5cos x = 7

    Prijeđimo na x/2:

    6sin(x/2) * cos(x/2) – 5cos 2 (x/2) + 5sin 2 (x/2) = 7sin 2 (x/2) + 7cos 2 (x/2)

    Pomaknimo sve ulijevo:

    2sin 2 (x/2) – 6sin(x/2) * cos(x/2) + 12cos 2 (x/2) = 0

    Podijeli s cos(x/2):

    tg 2 (x/2) – 3tg(x/2) + 6 = 0

  5. Uvođenje pomoćnog kuta

    6. Za razmatranje, uzmimo jednadžbu oblika: a sin x + b cos x = c,

    gdje su a, b, c neki proizvoljni koeficijenti, a x je nepoznanica.

    Podijelimo obje strane jednadžbe sa:

    Sada koeficijenti jednadžbe, prema trigonometrijskim formulama, imaju svojstva sin i cos, naime: njihov modul nije veći od 1, a zbroj kvadrata = 1. Označimo ih redom kao cos i sin, gdje - ovo je takozvani pomoćni kut. Tada će jednadžba imati oblik:

    cos * sin x + sin * cos x = C

    ili sin(x + ) = C

    Rješenje ove najjednostavnije trigonometrijske jednadžbe je

    x = (-1) k * arcsin C - + k, gdje je

    Treba napomenuti da su oznake cos i sin međusobno zamjenjive.

    Riješite jednadžbu sin 3x – cos 3x = 1

    Koeficijenti u ovoj jednadžbi su:

    a = , b = -1, pa obje strane podijelite s = 2

Udio: