• 09.10.2014

  Il preamplificatore mostrato in figura è predisposto per essere utilizzato con 4 tipi di sorgenti sonore, come microfono, lettore CD, radioregistratore, ecc. Allo stesso tempo, il preamplificatore dispone di un ingresso che può modificare la sensibilità da 50mV a 500 mV. la tensione di uscita dell'amplificatore è 1000 mV. Collegando diverse sorgenti di segnale quando si commuta l'interruttore SA1, otterremo sempre ...

• 20.09.2014

  L'alimentatore è progettato per un carico con una potenza di 15 ... 20 watt. La sorgente è realizzata secondo lo schema di un convertitore ad alta frequenza pulsata a ciclo singolo. Sul transistor è assemblato un oscillatore che opera a una frequenza di 20 ... 40 kHz. La frequenza è regolata dalla capacità C5. Gli elementi VD5, VD6 e C6 formano un circuito per avviare un oscillatore. Nel circuito secondario, dopo il raddrizzatore a ponte, è presente uno stabilizzatore lineare convenzionale su un microcircuito, che consente di avere ...

• 28.09.2014

  La figura mostra un generatore su un chip K174XA11, la cui frequenza è controllata dalla tensione. Modificando la capacità C1 da 560 a 4700pF si ottiene un'ampia gamma di frequenze, mentre la frequenza viene regolata modificando la resistenza R4. Ad esempio, l'autore ha scoperto che, a C1 \u003d 560pF, la frequenza del generatore può essere modificata utilizzando R4 da 600 Hz a 200 kHz, ...

• 03.10.2014

  L'unità è progettata per alimentare un potente ULF, è progettata per una tensione di uscita di ± 27 V e quindi carica fino a 3 A su ciascun braccio. L'alimentatore è bipolare, realizzato su transistor compositi completi KT825-KT827. Entrambi i bracci dello stabilizzatore sono realizzati secondo lo stesso schema, ma nell'altro braccio (non mostrato), la polarità dei condensatori viene modificata e vengono utilizzati i transistor dell'altro ...

La capacità di calcolare il volume delle figure spaziali è importante per risolvere una serie di problemi pratici in geometria. Una delle forme più comuni è la piramide. In questo articolo considereremo le piramidi, sia piene che tronche.

La piramide come figura tridimensionale

Tutti lo sanno piramidi egizie, quindi, è ben rappresentato quale figura verrà discussa. Tuttavia, le strutture in pietra egiziane sono solo un caso speciale di un'enorme classe di piramidi.

L'oggetto geometrico in esame nel caso generale è una base poligonale, ogni vertice della quale è connesso a un punto dello spazio che non appartiene al piano di base. Questa definizione porta a una figura composta da un n-gon e n triangoli.

Ogni piramide è composta da n+1 facce, 2*n spigoli e n+1 vertici. Poiché la figura in esame è un poliedro perfetto, il numero degli elementi contrassegnati obbedisce all'equazione di Eulero:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Il poligono situato alla base dà il nome della piramide, ad esempio triangolare, pentagonale e così via. Nella foto sotto è mostrato un insieme di piramidi con basi diverse.

Il punto in cui sono collegati n triangoli della figura è chiamato cima della piramide. Se una perpendicolare viene abbassata da essa alla base e la interseca nel centro geometrico, allora tale figura sarà chiamata linea retta. Se questa condizione non è soddisfatta, allora c'è una piramide inclinata.

Una figura retta, la cui base è formata da un n-gon equilatero (equiangolare), si dice regolare.

Formula del volume piramidale

Per calcolare il volume della piramide utilizziamo il calcolo integrale. Per fare ciò, dividiamo la figura per piani secanti paralleli alla base in un numero infinito di strati sottili. La figura sottostante mostra una piramide quadrangolare di altezza h e di lato L, in cui un sottile strato sezionale è contrassegnato da un quadrilatero.

L'area di ciascuno di questi strati può essere calcolata con la formula:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Qui A 0 è l'area della base, z è il valore della coordinata verticale. Si può vedere che se z = 0, allora la formula dà il valore A 0 .

Per ottenere la formula per il volume della piramide, dovresti calcolare l'integrale sull'intera altezza della figura, ovvero:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Sostituendo la dipendenza A(z) e calcolando l'antiderivata, si arriva all'espressione:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Abbiamo ottenuto la formula per il volume di una piramide. Per trovare il valore di V, è sufficiente moltiplicare l'altezza della figura per l'area della base, quindi dividere il risultato per tre.

Si noti che l'espressione risultante è valida per calcolare il volume di una piramide di tipo arbitrario. Cioè, può essere inclinato e la sua base può essere un arbitrario n-gon.

e il suo volume

Ricevuto nel paragrafo precedente formula generale per volume può essere specificato nel caso di una piramide con giusto fondamento. L'area di tale base è calcolata dalla seguente formula:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Qui L è la lunghezza del lato di un poligono regolare con n vertici. Il simbolo pi è il numero pi.

Sostituendo l'espressione di A 0 nella formula generale, otteniamo il volume piramide corretta:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Ad esempio, per una piramide triangolare, questa formula porta alla seguente espressione:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Per una piramide quadrangolare regolare, la formula del volume assume la forma:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Determinare i volumi delle piramidi regolari richiede la conoscenza del lato della loro base e dell'altezza della figura.

Piramide troncata

Supponiamo di aver preso una piramide arbitraria e di aver tagliato una parte della sua superficie laterale contenente il vertice. La figura rimanente è chiamata tronco di piramide. È già costituito da due basi n-gonali e n trapezi che le collegano. Se il piano di taglio era parallelo alla base della figura, si forma una piramide tronca con basi parallele simili. Cioè, le lunghezze dei lati di uno di essi possono essere ottenute moltiplicando le lunghezze dell'altro per un coefficiente k.

La figura sopra ne mostra una regolare tronca, si può notare che la sua base superiore, come quella inferiore, è formata da un esagono regolare.

La formula che può essere derivata utilizzando un calcolo integrale simile al precedente è:

V = 1/3*h*(LA 0 + LA 1 + √(LA 0 *LA 1)).

Dove A 0 e A 1 sono rispettivamente le aree delle basi inferiore (grande) e superiore (piccola). La variabile h indica l'altezza della piramide tronca.

Il volume della piramide di Cheope

È curioso risolvere il problema della determinazione del volume che contiene la più grande piramide egizia.

Nel 1984, gli egittologi britannici Mark Lehner e Jon Goodman stabilirono le dimensioni esatte della piramide di Cheope. La sua altezza originale era di 146,50 metri (attualmente circa 137 metri). La lunghezza media di ciascuno dei quattro lati della struttura era di 230.363 metri. La base della piramide è quadrata con elevata precisione.

Usiamo le cifre fornite per determinare il volume di questo gigante di pietra. Poiché la piramide è una quadrangolare regolare, la formula è valida per essa:

Inserendo i numeri, otteniamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Il volume della piramide di Cheope è di quasi 2,6 milioni di m 3. Per fare un confronto, notiamo che la piscina olimpica ha un volume di 2,5 mila m 3. Cioè, per riempire l'intera piramide di Cheope, saranno necessari più di 1000 pool di questo tipo!

Piramide. Tronco di piramide

Piramideè chiamato poliedro, una delle cui facce è un poligono ( base ), e tutte le altre facce sono triangoli con un vertice comune ( facce laterali ) (Fig. 15). La piramide si chiama corretta se la sua base è poligono regolare e la sommità della piramide è proiettata al centro della base (Fig. 16). Si chiama piramide triangolare in cui tutti gli spigoli sono uguali tetraedro .

Costata laterale piramide è chiamato il lato della faccia laterale che non appartiene alla base Altezza piramide è la distanza dalla sua sommità al piano della base. Tutti gli spigoli laterali di una piramide regolare sono uguali tra loro, tutte le facce laterali sono triangoli isoscele uguali. Si chiama l'altezza della faccia laterale di una piramide regolare disegnata dal vertice apotema . sezione diagonale Una sezione di una piramide è chiamata piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Superficie laterale piramide è chiamata la somma delle aree di tutte le facce laterali. la zona piena superficie è la somma delle aree di tutte le facce laterali e della base.

Teoremi

1. Se in una piramide tutti i bordi laterali sono ugualmente inclinati rispetto al piano della base, la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

2. Se in una piramide tutti i bordi laterali hanno la stessa lunghezza, la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio circoscritto vicino alla base.

3. Se nella piramide tutte le facce sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, la sommità della piramide viene proiettata nel centro del cerchio inscritto nella base.

Per calcolare il volume di una piramide arbitraria, la formula è corretta:

dove v- volume;

S principale- superficie di base;

Hè l'altezza della piramide.

Per una piramide regolare, valgono le seguenti formule:

dove p- il perimetro della base;

h a- apotema;

H- altezza;

S pieno

lato S

S principale- superficie di base;

vè il volume di una piramide regolare.

tronco di piramide detta parte della piramide racchiusa tra la base ed il piano di taglio parallelo alla base della piramide (Fig. 17). Corretta piramide tronca detta parte di una piramide regolare, racchiusa tra la base ed un piano di taglio parallelo alla base della piramide.

Fondamenti tronco di piramide - poligoni simili. Facce laterali - trapezio. Altezza tronco piramidale si chiama distanza tra le sue basi. Diagonale Una piramide tronca è un segmento che collega i suoi vertici che non giacciono sulla stessa faccia. sezione diagonale Una sezione di una piramide tronca è chiamata piano passante per due spigoli laterali che non appartengono alla stessa faccia.

Per una piramide tronca valgono le formule:

(4)

dove S 1 , S 2 - aree delle basi superiore e inferiore;

S pienoè la superficie totale;

lato Sè la superficie laterale;

H- altezza;

vè il volume della piramide tronca.

Per una piramide tronca regolare, vale la seguente formula:

dove p 1 , p 2 - perimetri di base;

h a- l'apotema di una piramide tronca regolare.

Esempio 1 In una piramide triangolare regolare, l'angolo diedro alla base è di 60º. Trova la tangente della pendenza nervatura laterale al piano di base.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 18).

La piramide è corretta, significa alla base triangolo equilatero e tutte le facce laterali sono triangoli isoscele uguali. Angolo diedro alla base - questo è l'angolo di inclinazione della faccia laterale della piramide rispetto al piano della base. L'angolo lineare sarà l'angolo un tra due perpendicolari: cioè La sommità della piramide è proiettata al centro del triangolo (il centro del cerchio circoscritto e il cerchio inscritto nel triangolo ABC). L'angolo di inclinazione della nervatura laterale (ad es SB) è l'angolo tra il bordo stesso e la sua proiezione sul piano di base. Per costolette SB questo angolo sarà l'angolo SBD. Per trovare la tangente devi conoscere le gambe COSÌ e OB. Lascia la lunghezza del segmento BDè 3 un. punto o segmento BDè diviso in parti: e Da troviamo COSÌ: Da troviamo:

Risposta:

Esempio 2 Trova il volume di una piramide tronca quadrangolare regolare se le diagonali delle sue basi sono cm e cm e l'altezza è 4 cm.

Soluzione. Per trovare il volume di una piramide tronca, utilizziamo la formula (4). Per trovare le aree delle basi, devi trovare i lati dei quadrati delle basi, conoscendone le diagonali. I lati delle basi sono rispettivamente di 2 cm e 8 cm Questo significa le aree delle basi e Sostituendo tutti i dati nella formula, calcoliamo il volume della piramide tronca:

Risposta: 112 cm3.

Esempio 3 Trova l'area della faccia laterale di una piramide tronca triangolare regolare i cui lati delle basi sono 10 cm e 4 cm e l'altezza della piramide è 2 cm.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 19).

La faccia laterale di questa piramide è un trapezio isoscele. Per calcolare l'area di un trapezio, devi conoscere le basi e l'altezza. Le basi sono date dalla condizione, solo l'altezza rimane sconosciuta. Trovalo da dove MA 1 e perpendicolare a un punto MA 1 sul piano della base inferiore, UN 1 D- perpendicolare da MA 1 su corrente alternata. MA 1 e\u003d 2 cm, poiché questa è l'altezza della piramide. Per trovare DE faremo un disegno aggiuntivo, in cui rappresenteremo una vista dall'alto (Fig. 20). Punto o- proiezione dei centri delle basi superiore e inferiore. poiché (vedi Fig. 20) e D'altra parte OKè il raggio del cerchio inscritto e OMè il raggio del cerchio inscritto:

MK=DE.

Secondo il teorema di Pitagora di

Area del viso laterale:

Risposta:

Esempio 4 Alla base della piramide giace un trapezio isoscele, le cui basi un e b (un> b). A testa faccia laterale forma un angolo con il piano della base della piramide j. Trova la superficie totale della piramide.

Soluzione. Facciamo un disegno (Fig. 21). Superficie totale della piramide SABCDè uguale alla somma delle aree e dell'area del trapezio ABCD.

Usiamo l'affermazione che se tutte le facce della piramide sono ugualmente inclinate rispetto al piano della base, allora il vertice è proiettato nel centro del cerchio inscritto nella base. Punto o- proiezione dei vertici S alla base della piramide. Triangolo ZOLLA ERBOSAè la proiezione ortogonale del triangolo CSD al piano di base. Secondo il teorema sull'area della proiezione ortogonale di una figura piatta, otteniamo:

Allo stesso modo, significa Pertanto, il problema si è ridotto a trovare l'area del trapezio ABCD. Disegna un trapezio ABCD separatamente (Fig. 22). Punto oè il centro di un cerchio inscritto in un trapezio.

Poiché un cerchio può essere inscritto in un trapezio, allora o Per il teorema di Pitagora abbiamo