Şekillerin eksene göre simetrisi. Merkezi ve eksenel simetri. Eksenel ve merkezi simetrileri bazı geometrik şekillerin özellikleri olarak düşünün; Eksenel ve merkezi düşünün

Yani, geometri ile ilgili olarak: üç ana simetri türü vardır.

İlk önce, merkezi simetri (veya bir nokta etrafında simetri) - bu, tek noktanın (O noktası - simetri merkezi) yerinde kaldığı, geri kalan noktaların konumlarını değiştirdiği düzlemin (veya uzayın) bir dönüşümüdür: A noktası yerine A1 noktasını alırız öyle ki O noktası AA1 segmentinin ortasıdır. O noktasına göre Ф şekline simetrik bir Ф1 şekli oluşturmak için, Ф şeklinin her noktasından O noktasından (simetri merkezi) geçen bir ışın çizmek ve bu ışın üzerinde ayarlamak gerekir. O noktasına göre seçilene simetrik bir noktayı bir kenara bırakın. Bu şekilde oluşturulan noktalar kümesi bir F1 şekli verecektir.

Bir simetri merkezine sahip şekiller çok ilgi çekicidir: O noktası etrafındaki simetri ile, F şeklinin herhangi bir noktası yine F şeklinin bir noktasına dönüşür. Geometride buna benzer pek çok şekil vardır. Örneğin: bir parça (parçanın ortası simetri merkezidir), düz bir çizgi (noktalarından herhangi biri simetrisinin merkezidir), bir daire (dairenin merkezi simetri merkezidir), bir dikdörtgen (köşegenlerinin kesişme noktası simetri merkezidir). Canlı ve cansız doğada (öğrenci iletişimi) birçok merkezi simetrik nesne vardır. Çoğu zaman insanlar kendileri bir simetri merkezine sahip nesneler yaratırlar.rii (iğne işi örnekleri, makine mühendisliği örnekleri, mimari örnekleri ve diğer birçok örnek).

ikincisi, eksenel simetri (veya bir çizgi etrafındaki simetri) - bu, sadece p çizgisinin noktalarının yerinde kaldığı (bu çizgi simetri eksenidir) düzlemin (veya uzayın) bir dönüşümüdür, geri kalan noktalar ise konumlarını değiştirir: B noktası yerine , öyle bir B1 noktası elde ederiz ki, p doğrusu BB1 doğru parçasına dik açıortay olur. p doğrusuna göre Φ şekline simetrik bir Φ1 şekli oluşturmak için, Φ şeklinin her noktasının p doğrusuna göre kendisine simetrik bir nokta oluşturması gerekir. Tüm bu oluşturulmuş noktaların kümesi, gerekli olan Ф1 rakamını verir. Birçoğu var geometrik şekiller bir simetri eksenine sahiptir.

Dikdörtgende iki, karede dört, dairenin merkezinden geçen herhangi bir düz çizgi vardır. Alfabenin harflerine yakından bakarsanız, aralarında yatay veya dikey ve bazen her iki simetri eksenine sahip olanları bulabilirsiniz. Canlı ve cansız doğada simetri eksenli nesneler oldukça yaygındır (öğrenci raporları). Faaliyetinde, bir kişi birkaç simetri eksenine sahip birçok nesne (örneğin süs eşyaları) yaratır.

______________________________________________________________________________________________________

Üçüncü, düzlemsel (ayna) simetri (veya bir düzlem etrafındaki simetri) - bu, yalnızca bir düzlemin noktalarının konumlarını koruduğu (α-simetri düzlemi), uzayın geri kalan noktalarının konumlarını değiştirdiği bir uzay dönüşümüdür: C noktası yerine, öyle bir C1 noktası elde edilir ki, α düzlemi CC1 segmentinin ortasından ona dik olarak geçer.

α düzlemine göre Ф şekline simetrik bir Ф1 şekli oluşturmak için, Ф şeklinin her noktasının α'ya göre simetrik noktalar oluşturması gerekir, bunlar kümelerinde Ф1 şeklini oluştururlar.

Çoğu zaman, etrafımızdaki şeylerin ve nesnelerin dünyasında üç boyutlu cisimlerle karşılaşırız. Ve bu cisimlerin bazılarının simetri düzlemleri vardır, hatta bazen birkaç tane. Ve faaliyetlerinde (inşaat, iğne işi, modelleme, ...) insanın kendisi simetri düzlemlerine sahip nesneler yaratır.

Listelenen üç simetri türüyle birlikte (mimaride) olduğunu belirtmekte fayda var.taşınabilir ve döner, geometride çeşitli hareketlerin bileşimleridir.

Eksenel düşünün ve merkezi simetri bazı geometrik şekillerin özellikleri olarak; Eksenel ve merkezi simetrileri bazı geometrik şekillerin özellikleri olarak düşünün; Simetrik noktalar oluşturabilme ve bir nokta ya da çizgi etrafında simetrik olan şekilleri tanıyabilme; Simetrik noktalar oluşturabilme ve bir nokta ya da çizgi etrafında simetrik olan şekilleri tanıyabilme; Problem çözme becerilerini geliştirmek; Problem çözme becerilerini geliştirmek; Geometrik bir çizimi kaydetmenin ve gerçekleştirmenin doğruluğu üzerinde çalışmaya devam edin; Geometrik bir çizimi kaydetmenin ve gerçekleştirmenin doğruluğu üzerinde çalışmaya devam edin;

Sözlü çalışma "Gentle yoklama" Sözlü çalışma "Gentle yoklama" Hangi nokta parçanın orta noktası olarak adlandırılır? Hangi üçgene ikizkenar üçgen denir? Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerinin hangi özelliği vardır? Bir ikizkenar üçgenin açıortay özelliğini formüle edin. Hangi çizgilere dik denir? Eşkenar üçgen nedir? Bir karenin köşegenlerinin hangi özelliği vardır? Hangi rakamlara eşit denir?

Sınıfta hangi yeni kavramları öğrendiniz? Sınıfta hangi yeni kavramları öğrendiniz? Geometrik şekiller hakkında neler öğrendiniz? Geometrik şekiller hakkında neler öğrendiniz? Eksenel simetriye sahip geometrik şekillere örnekler verin. Eksenel simetriye sahip geometrik şekillere örnekler verin. Merkezi simetriye sahip şekillere bir örnek verin. Merkezi simetriye sahip şekillere bir örnek verin. Çevredeki yaşamdan bir veya iki tür simetriye sahip nesnelere örnekler verin. Çevredeki yaşamdan bir veya iki tür simetriye sahip nesnelere örnekler verin.

« Simetri" Yunanca kökenli bir kelimedir. orantılılık demektir kesin emir, parçaların düzenlenmesindeki desenler.

Antik çağlardan beri insanlar çizimlerde, süs eşyalarında ve ev eşyalarında simetriyi kullanmışlardır.
Simetri doğada yaygındır. Bitkilerde yaprak ve çiçek şeklinde, hayvanlarda çeşitli organların dizilişinde, şeklinde gözlenebilir. kristal cisimler, çırpınan bir kelebekte, gizemli bir kar tanesinde, bir tapınakta bir mozaikte, bir denizyıldızında.
Simetri, uygulamada, inşaat ve mühendislikte yaygın olarak kullanılmaktadır. Bu, eski binalar, uyumlu antik Yunan vazoları, Kremlin binası, arabalar, uçaklar ve çok daha fazlası şeklindeki katı simetridir. (slayt 4) Simetri kullanımına örnekler parke ve bordürdür. (bordürlerde ve parkelerde simetri kullanımıyla ilgili köprüye bakın) Bir slayt gösterisi kullanarak (simgeyi aç) çeşitli nesnelerde simetri görebileceğiniz birkaç örneğe bakalım.

Tanım: Bir nokta etrafındaki simetridir.
Tanım: O noktası AB doğru parçasının orta noktası ise, A ve B noktaları bir O noktasına göre simetriktir.
Tanım: O noktasına şeklin simetri merkezi, şekle de merkezi simetrik denir.
Özellik: Bir noktaya göre simetrik olan şekiller eşittir.
Örnekler:

Merkezi olarak simetrik bir şekil oluşturmak için algoritma
1. O merkezine (noktasına) göre ABC üçgenine simetrik bir A 1B 1 C 1 üçgeni oluşturalım. A, B, C noktaları O merkezli ve bu segmentlere devam eden;
2. AO, VO, CO segmentlerini ölçüyoruz ve O noktasının diğer tarafında eşit segmentler ayırıyoruz (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1) ;

3. Ortaya çıkan noktaları A 1 B 1 segmentleriyle birleştirin; A1C1; B1C1.
∆A 1 B 1 C 1 simetrik ∆ABC elde ettik.

- bu, çizilen eksen (düz çizgi) etrafındaki simetridir.
Tanım: A ve B noktaları, bu noktalar belirli bir doğruya dik ve aynı uzaklıkta bulunuyorsa, bir a doğrusuna göre simetriktir.
Tanım: Simetri ekseni, "yarımların" çakıştığı büküldüğünde düz bir çizgi olarak adlandırılır ve şekil, bir eksen etrafında simetrik olarak adlandırılır.
Özellik: İki simetrik şekil eşittir.
Örnekler:

Bir düz çizgiye göre simetrik bir şekil oluşturmak için algoritma
ABC üçgenine a doğrusuna göre simetrik bir A1B1C1 üçgeni çizelim.
Bunun için:
1. ABC üçgeninin köşelerinden a düz doğrusuna dik doğrular çizip devam ettiriyoruz.
2. Üçgenin köşelerinden düz çizgi üzerinde ortaya çıkan noktalara olan mesafeleri ölçüyoruz ve aynı mesafeleri düz çizginin diğer tarafına çiziyoruz.
3. Ortaya çıkan noktaları A1B1, B1C1, B1C1 segmentleriyle birleştirin.

Alınan ∆ А1В1С1 simetrik ∆АВС.

BEN . matematikte simetri :

Temel kavramlar ve tanımlar.

Eksenel simetri (tanımlar, İnşaat planı, örnekler)

Merkezi simetri (tanımlar, yapım planı, ilemiktar)

Özet tablosu (tüm özellikler, özellikler)

III . Simetri Uygulamaları:

1) matematikte

2) kimyada

3) biyoloji, botanik ve zoolojide

4) sanatta, edebiyatta ve mimaride

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetri/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Simetri ile ilgili temel kavramlar ve çeşitleri.

simetri kavramı R insanlık tarihi boyunca devam eder. Zaten insan bilgisinin kökenlerinde bulunur. Canlı bir organizmanın, yani insanın incelenmesiyle bağlantılı olarak ortaya çıktı. MÖ 5. yüzyılda heykeltıraşlar tarafından kullanılmıştır. e. "Simetri" kelimesi Yunancadır, "orantılılık, orantılılık, parçaların düzenlenmesinde aynılık" anlamına gelir. İstisnasız modern bilimin tüm alanlarında yaygın olarak kullanılmaktadır. Birçok harika insan bu model hakkında düşündü. Örneğin, L. N. Tolstoy şöyle dedi: “Kara tahtanın önünde durup üzerine tebeşirle farklı figürler çizerken, birdenbire şu düşünceye kapıldım: simetri neden göze çarpıyor? Simetri nedir? Bu doğuştan gelen bir duygu, diye cevapladım kendi kendime. Neye dayanıyor?" Simetri gerçekten göze hoş geliyor. Doğanın yarattıklarının simetrisine kim hayran kalmamıştır: yapraklar, çiçekler, kuşlar, hayvanlar; veya insan kreasyonları: binalar, teknoloji, - bizi çocukluktan beri çevreleyen, güzellik ve uyum için çabalayan her şey. Hermann Weyl şöye demiştir: "Simetri, insanın yüzyıllardır düzen, güzellik ve mükemmelliği kavramaya ve yaratmaya çalıştığı fikirdir." Hermann Weyl, Alman bir matematikçidir. Faaliyeti yirminci yüzyılın ilk yarısına denk geliyor. Belirli bir durumda simetrinin varlığını veya tersine simetri yokluğunu görmek için hangi işaretlerle kurulan simetri tanımını formüle eden oydu. Böylece, nispeten yakın zamanda - 20. yüzyılın başında matematiksel olarak kesin bir temsil oluşturuldu. Oldukça karmaşık. Ders kitabında bize verilen tanımları dönüp bir kez daha hatırlayacağız.

2. Eksenel simetri.

2.1 Temel tanımlar

Tanım. A ve A 1 noktaları, bu çizgi AA 1 segmentinin orta noktasından geçiyorsa ve ona dikse, a çizgisine göre simetrik olarak adlandırılır. a doğrusunun her noktası kendisine simetrik kabul edilir.

Tanım. Şeklin düz bir çizgiye göre simetrik olduğu söylenir. A, şeklin her noktası için nokta düz çizgiye göre simetrikse A da bu rakama aittir. Dümdüz Aşeklin simetri ekseni denir. Şeklin ayrıca eksenel simetriye sahip olduğu söylenir.

2.2 İnşaat planı

Ve böylece, her noktadan düz bir çizgiye göre simetrik bir şekil oluşturmak için, bu düz çizgiye dik bir çizgi çizeriz ve onu aynı mesafe kadar uzatırız, ortaya çıkan noktayı işaretleriz. Bunu her nokta ile yapıyoruz, yeni şeklin simetrik köşelerini alıyoruz. Sonra bunları seri olarak bağlarız ve bu göreli eksenin simetrik bir şeklini elde ederiz.

2.3 Eksenel simetriye sahip şekil örnekleri.

3. Merkezi simetri

3.1 Temel tanımlar

Tanım. O, AA 1 segmentinin orta noktası ise, A ve A 1 noktaları O noktasına göre simetrik olarak adlandırılır. O noktası kendisine simetrik kabul edilir.

Tanım.Şeklin her noktası için O noktasına göre ona simetrik olan nokta da bu şekle aitse, bir şekle O noktasına göre simetrik denir.

3.2 İnşaat planı

O merkezine göre verilene simetrik bir üçgenin inşası.

Bir noktaya simetrik bir nokta oluşturmak için A noktaya göre HAKKINDA, düz bir çizgi çizmek yeterlidir OA(Şek. 46 ) ve noktanın diğer tarafında HAKKINDA bir parçaya eşit bir parça ayırmak OA. Başka bir deyişle , A noktaları ve ; içinde ve ; Ç ve bir O noktasına göre simetriktir. Şek. 46 bir üçgene simetrik bir üçgen inşa etti ABC noktaya göre HAKKINDA. Bu üçgenler eşittir.

Merkeze göre simetrik noktaların inşası.

Şekilde M ve M 1, N ve N 1 noktaları O noktasına göre simetriktir ve P ve Q noktaları bu noktaya göre simetrik değildir.

Genel olarak, bir noktaya göre simetrik olan şekiller şuna eşittir: .

3.3 Örnekler

Merkezi simetriye sahip şekillere örnekler verelim. Merkezi simetriye sahip en basit şekiller daire ve paralelkenardır.

O noktasına şeklin simetri merkezi denir. Bu gibi durumlarda, şeklin merkezi simetrisi vardır. Bir dairenin simetri merkezi, dairenin merkezidir ve bir paralelkenarın simetri merkezi, köşegenlerinin kesişme noktasıdır.

Doğrunun da merkezi simetrisi vardır, ancak yalnızca bir simetri merkezine (şekildeki O noktası) sahip olan daire ve paralelkenarın aksine, çizgide sonsuz sayıda simetri vardır - çizgi üzerindeki herhangi bir nokta simetri merkezidir .

Şekiller, tepe noktasına göre simetrik bir açıyı, merkeze göre başka bir parçaya simetrik olan bir parçayı göstermektedir. A ve köşesi etrafında simetrik bir dörtgen M.

Simetri merkezi olmayan bir şekle örnek olarak üçgen verilebilir.

4. Dersin özeti

Kazanılan bilgileri özetleyelim. Bugün derste iki ana simetri türü ile tanıştık: merkezi ve eksenel. Ekrana bakalım ve kazanılan bilgileri sistemleştirelim.

Özet tablosu

	eksenel simetri	merkezi simetri
tuhaflık	Şeklin tüm noktaları bir düz çizgiye göre simetrik olmalıdır.	Şeklin tüm noktaları, simetri merkezi olarak seçilen nokta etrafında simetrik olmalıdır.
Özellikler	1. Simetrik noktalar doğruya diktir. 3. Düz çizgiler düz çizgilere, açılar eşit açılara dönüşür. 4. Şekillerin boyutları ve şekilleri kaydedilir.	1. Simetrik noktalar, şeklin merkezinden ve verilen noktasından geçen düz bir çizgi üzerinde bulunur. 2. Bir noktadan düz bir çizgiye olan mesafe, düz bir çizgiden simetrik bir noktaya olan mesafeye eşittir. 3. Figürlerin boyutları ve şekilleri kaydedilir.

II. simetri uygulaması

© Sukhacheva Elena Vladimirovna, 2008-2009

Bu derste, bazı şekillerin başka bir özelliğine - eksenel ve merkezi simetriye - bakacağız. Her gün aynaya baktığımızda eksenel simetri ile karşılaşırız. Merkezi simetri vahşi yaşamda çok yaygındır. Aynı zamanda simetriye sahip olan figürlerin bir takım özellikleri vardır. Ek olarak, daha sonra eksenel ve merkezi simetrilerin, yardımıyla bütün bir problem sınıfının çözüldüğü hareket türleri olduğunu öğreneceğiz.

Bu ders eksenel ve merkezi simetri hakkındadır.

Tanım

İki nokta ve denir simetrik Aşağıdaki durumlarda düz bir çizgiye göre:

Şek. Şekil 1, düz bir çizgiye göre simetrik noktaların örneklerini gösterir ve , ve .

Pirinç. 1

Ayrıca bir doğrunun herhangi bir noktasının bu doğruya göre kendisine simetrik olduğuna da dikkat çekiyoruz.

Şekiller düz bir çizgiye göre simetrik de olabilir.

Kesin bir tanım formüle edelim.

Tanım

şekil denir düz bir çizgi hakkında simetrik, eğer şeklin her noktası için bu çizgiye göre kendisine simetrik olan nokta da şekle aitse. Bu durumda, hat denir simetri ekseni. şekil vardır eksenel simetri.

Eksenel simetriye ve simetri eksenlerine sahip birkaç şekil örneğini ele alalım.

örnek 1

Açı eksenel olarak simetriktir. Açının simetri ekseni açıortaydır. Aslında: Açıortay dikmeyi açının herhangi bir noktasından bırakalım ve açının diğer tarafıyla kesişene kadar uzatalım (bkz. Şekil 2).

Pirinç. 2

(çünkü - ortak taraf, (ortay özelliği) ve üçgenler dik açılıdır). Araç, . Bu nedenle, noktalar ve açının açıortay göre simetriktir.

Bundan, ikizkenar üçgenin tabana çizilen açıortaya (yükseklik, medyan) göre eksenel simetriye sahip olduğu sonucu çıkar.

Örnek 2

Bir eşkenar üçgenin üç simetri ekseni vardır (ortaylar / medyanlar / üç açının her birinin yükseklikleri (bkz. Şekil 3).

Pirinç. 3

Örnek 3

Dikdörtgenin, her biri karşılıklı iki kenarının orta noktalarından geçen iki simetri ekseni vardır (bkz. Şekil 4).

Pirinç. 4

Örnek 4

Eşkenar dörtgenin ayrıca iki simetri ekseni vardır: köşegenlerini içeren düz çizgiler (bkz. Şekil 5).

Pirinç. 5

Örnek 5

Hem eşkenar dörtgen hem de dikdörtgen olan bir karenin 4 simetri ekseni vardır (bkz. Şekil 6).

Pirinç. 6

Örnek 6

Bir daire için simetri ekseni, merkezinden geçen herhangi bir düz çizgidir (yani dairenin çapını içerir). Bu nedenle, dairenin sonsuz sayıda simetri ekseni vardır (bkz. Şekil 7).

Pirinç. 7

Şimdi kavramı düşünün merkezi simetri.

Tanım

noktalar ve denir simetrik noktaya göre, eğer: - segmentin ortası.

Birkaç örneğe bakalım: Şek. Şekil 8, noktasına göre simetrik olan ve noktalarının yanı sıra ve noktalarını gösterirken, ve noktaları bu noktaya göre simetrik değildir.

Pirinç. 8

Bazı rakamlar bir noktada simetriktir. Kesin bir tanım formüle edelim.

Tanım

şekil denir bir nokta etrafında simetrik, eğer şeklin herhangi bir noktası için ona simetrik olan nokta da bu şekle aitse. nokta denir simetri merkezi ve şekil vardır merkezi simetri.

Merkezi simetriye sahip şekil örneklerini düşünün.

Örnek 7

Bir daire için, simetri merkezi dairenin merkezidir (dairenin çapının ve yarıçapının özelliklerini hatırlayarak bunu kanıtlamak kolaydır) (bkz. Şekil 9).

Pirinç. 9

Örnek 8

Bir paralelkenar için simetri merkezi, köşegenlerin kesişme noktasıdır (bkz. Şekil 10).

Pirinç. 10

Eksenel ve merkezi simetri ile ilgili birkaç problemi çözelim.

Görev 1.

Doğru parçasının kaç tane simetri ekseni vardır?

Segmentin iki simetri ekseni vardır. Bunlardan ilki, doğru parçası içeren bir çizgidir (çünkü bir çizginin herhangi bir noktası bu çizgiye göre kendisine simetriktir). İkincisi, segmente dik olan orta, yani segmente dik olan ve ortasından geçen düz bir çizgidir.

Cevap: 2 simetri ekseni.

Görev 2.

Bir doğrunun kaç tane simetri ekseni vardır?

Düz bir çizginin sonsuz sayıda simetri ekseni vardır. Bunlardan biri çizginin kendisidir (çünkü çizginin herhangi bir noktası bu çizgiye göre kendisine simetriktir). Ve ayrıca simetri eksenleri, belirli bir çizgiye dik olan herhangi bir çizgidir.

Cevap: Sonsuz sayıda simetri ekseni vardır.

Görev 3.

Bir ışının kaç tane simetri ekseni vardır?

Işın, ışını içeren çizgiyle çakışan bir simetri eksenine sahiptir (çünkü çizginin herhangi bir noktası bu çizgiye göre kendisine simetriktir).

Cevap: bir simetri ekseni.

Görev 4.

Bir eşkenar dörtgenin köşegenlerini içeren doğruların onun simetri eksenleri olduğunu kanıtlayın.

Kanıt:

Bir eşkenar dörtgen düşünün. Örneğin, düz bir çizginin simetri ekseni olduğunu kanıtlayalım. Açıkçası, noktalar ve bu doğru üzerinde bulundukları için kendilerine simetriktirler. Ayrıca ve noktaları bu doğruya göre simetriktir, çünkü . Şimdi rastgele bir nokta seçelim ve ona göre simetrik olan noktanın da eşkenar dörtgene ait olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 11).

Pirinç. onbir

Noktadan geçen doğruya bir dik çizin ve ile kesiştiği noktaya kadar uzatın. Üçgenleri düşünün ve . Bu üçgenler dikdörtgen şeklindedir (yapı gereği), ayrıca içlerinde: - ortak bir bacak ve (bir eşkenar dörtgenin köşegenleri onun açıortayları olduğu için). Yani bu üçgenler eşittir: . Bu, karşılık gelen tüm öğelerinin de eşit olduğu anlamına gelir, bu nedenle: . Bu segmentlerin eşitliğinden, ve noktalarının düz çizgiye göre simetrik olduğu sonucu çıkar. Bu, eşkenar dörtgenin simetri ekseni olduğu anlamına gelir. Bu gerçek, ikinci köşegen için benzer şekilde kanıtlanabilir.

Kanıtlanmış.

Görev 5.

Bir paralelkenarın köşegenlerinin kesişme noktasının simetri merkezi olduğunu kanıtlayın.

Kanıt:

Bir paralelkenar düşünün. Noktanın simetri merkezi olduğunu kanıtlayalım. Paralelkenarın köşegenleri kesişme noktası tarafından ikiye bölündüğünden, ve , ve noktalarının noktaya göre ikili simetrik olduğu açıktır. Şimdi keyfi bir nokta seçelim ve ona göre simetrik noktanın da paralelkenara ait olduğunu kanıtlayalım (bkz. Şekil 12).