بيت » جراحة تجميلية » كيفية طرح الجذور بدرجات مختلفة. ما هي الصعوبات التي تنتظر أولئك الذين تعهدوا بأداء إضافة الجذور

كيفية طرح الجذور بدرجات مختلفة. ما هي الصعوبات التي تنتظر أولئك الذين تعهدوا بأداء إضافة الجذور

الجذر التربيعي لرقم Xيسمى رقم أ، والتي في عملية ضرب نفسها بنفسها ( أ * أ) يمكن أن تعطي رقمًا X.
أولئك. أ * أ = أ 2 = س، و √X = أ.

على الجذور التربيعية ( √x) ، كما هو الحال مع الأرقام الأخرى ، يمكنك إجراء عمليات حسابية مثل الطرح والجمع. لطرح وإضافة الجذور ، يجب أن يتم توصيلها باستخدام الإشارات المقابلة لهذه الإجراءات (على سبيل المثال √x- √y ).
ثم قم بإحضار الجذور إلى أبسط أشكالها - إذا كانت هناك جذور متشابهة بينها ، فأنت بحاجة إلى عمل قالب. وهو يتألف من حقيقة أن معاملات المصطلحات المتشابهة تؤخذ مع إشارات المصطلحات المقابلة ، ثم يتم وضعها بين قوسين ويتم عرض الجذر المشترك خارج أقواس المضاعف. تم تبسيط المعامل الذي حصلنا عليه وفقًا للقواعد المعتادة.

الخطوة 1. استخلاص الجذور التربيعية

أولاً ، لإضافة الجذور التربيعية ، عليك أولاً استخراج هذه الجذور. يمكن القيام بذلك إذا كانت الأرقام الموجودة أسفل علامة الجذر مربعات كاملة. على سبيل المثال ، خذ التعبير المعطى √4 + √9 . الرقم الأول 4 هو مربع الرقم 2 . الرقم الثاني 9 هو مربع الرقم 3 . وبالتالي ، يمكن الحصول على المساواة التالية: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
كل شيء ، يتم حل المثال. لكن هذا لا يحدث دائمًا بهذه الطريقة.

الخطوة 2. أخذ مضاعف عدد من تحت الجذر

إذا لم تكن هناك مربعات كاملة تحت علامة الجذر ، يمكنك محاولة إخراج مضاعف الرقم من تحت علامة الجذر. على سبيل المثال ، خذ التعبير √24 + √54 .

دعونا نحلل الأرقام:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

ضمن 24 لدينا مضاعف 4 ، يمكن إزالته من تحت علامة الجذر التربيعي. ضمن 54 لدينا مضاعف 9 .

نحصل على المساواة:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

بالنظر إلى هذا المثال ، نحصل على إزالة العامل من تحت علامة الجذر ، وبالتالي نبسط التعبير المعطى.

الخطوة 3. اختزال المقام

ضع في اعتبارك الحالة التالية: مجموع الجذور التربيعية هو مقام كسر ، على سبيل المثال ، أ / (√a + b).
والآن نحن أمام مهمة "التخلص من اللاعقلانية في المقام".
دعنا نستخدم الطريقة التالية: اضرب بسط الكسر ومقامه في التعبير √a - b.

نحصل الآن على صيغة الضرب المختصرة في المقام:
(√a + b) * (a - b) = أ - ب.

وبالمثل ، إذا احتوى المقام على فرق الجذور: √a - b، يتم ضرب بسط ومقام الكسر في التعبير √a + b.

لنأخذ الكسر كمثال:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

مثال على تقليل القاسم المعقد

الآن دعونا نفكر بما فيه الكفاية مثال معقدالتخلص من اللاعقلانية في المقام.

لنأخذ الكسر كمثال: 12 / (√2 + √3 + √5) .
عليك أن تأخذ البسط والمقام وتضرب في التعبير √2 + √3 - √5 .

نحن نحصل:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

الخطوة 4. احسب القيمة التقريبية على الآلة الحاسبة

إذا كنت تحتاج فقط إلى قيمة تقريبية ، فيمكن القيام بذلك باستخدام الآلة الحاسبة عن طريق حساب قيمة الجذور التربيعية. بشكل منفصل ، لكل رقم ، يتم حساب القيمة وتسجيلها بالدقة المطلوبة ، والتي يتم تحديدها من خلال عدد المنازل العشرية. علاوة على ذلك ، يتم تنفيذ جميع العمليات المطلوبة ، كما هو الحال مع الأرقام العادية.

مثال حساب تقديري

من الضروري حساب القيمة التقريبية لهذا التعبير √7 + √5 .

نتيجة لذلك ، نحصل على:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

يرجى ملاحظة: لا ينبغي بأي حال من الأحوال إضافة جذور تربيعية كأعداد أولية ، فهذا غير مقبول تمامًا. أي إذا جمعت الجذر التربيعي لخمسة وثلاثة ، فلا يمكننا الحصول على الجذر التربيعي لثمانية.

نصيحة مفيدة: إذا قررت تحليل رقم إلى عوامل ، من أجل اشتقاق مربع من أسفل علامة الجذر ، فأنت بحاجة إلى إجراء فحص عكسي ، أي ضرب جميع العوامل التي نتجت عن الحسابات ، وفي النتيجة النهائيةيجب أن ينتج عن هذا الحساب الرياضي الرقم الذي حصلنا عليه في الأصل.

جمع وطرح الجذور- واحدة من "العوائق" الأكثر شيوعًا لأولئك الذين يأخذون دورة في الرياضيات (الجبر) في المدرسة الثانوية. ومع ذلك ، فإن تعلم كيفية جمعها وطرحها بشكل صحيح أمر مهم للغاية ، لأن أمثلة لمجموع أو اختلاف الجذور مدرجة في برنامج امتحان الدولة الموحد الأساسي في تخصص "الرياضيات".

من أجل إتقان حل مثل هذه الأمثلة ، تحتاج إلى شيئين - لفهم القواعد ، وكذلك لاكتساب الممارسة. بعد حل واحد أو عشرين مثالًا نموذجيًا ، سيحضر الطالب هذه المهارة إلى الأتمتة ، وبعد ذلك لن يكون لديه ما يخشاه في الامتحان. يوصى بالبدء في إتقان العمليات الحسابية مع الجمع ، لأن إضافتها أسهل قليلاً من طرحها.

أسهل طريقة لشرح ذلك هي باستخدام مثال الجذر التربيعي. في الرياضيات ، هناك مصطلح راسخ "مربع". تعني كلمة "مربع" ضرب رقم معين بنفسه مرة واحدة.. على سبيل المثال ، إذا تربعت 2 ، فستحصل على 4. إذا كنت تربيع 7 ، فستحصل على 49. مربع 9 هو 81. إذن الجذر التربيعي لـ 4 هو 2 ، و 49 هو 7 ، و 81 يساوي 9.

كقاعدة عامة ، يبدأ تدريس هذا الموضوع في الرياضيات بالجذور التربيعية. من أجل تحديده على الفور ، الطالب المدرسة الثانويةيجب أن يعرف جدول الضرب عن ظهر قلب. بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون هذا الجدول جيدًا ، عليك استخدام تلميحات. عادة ، يتم إعطاء عملية استخراج الجذر التربيعي من رقم في شكل جدول على أغلفة العديد من دفاتر الرياضيات المدرسية.

الجذور من الأنواع التالية:

مربع؛
مكعب (أو ما يسمى الدرجة الثالثة) ؛
الدرجة الرابعة
الدرجة الخامسة.

قواعد الإضافة

من أجل حل مثال نموذجي بنجاح ، يجب ألا يغيب عن البال أنه ليس كل أرقام الجذر يمكن تكديسها مع بعضها البعض. من أجل التمكن من تجميعها معًا ، يجب إحضارها إلى نمط واحد. إذا لم يكن ذلك ممكنًا ، فلن يكون هناك حل للمشكلة. غالبًا ما توجد مثل هذه المشكلات في كتب الرياضيات المدرسية كنوع من المصيدة للطلاب.

الجمع غير مسموح به في التخصيصات عندما تختلف التعبيرات الجذرية عن بعضها البعض. يمكن توضيح ذلك في مثال جيد:

يواجه الطالب المهمة التالية: إضافة الجذر التربيعي للرقمين 4 و 9 ؛
طالب عديم الخبرة معرفة القواعد، يكتب عادةً: "الجذر التربيعي للعدد 4 + جذر 9 \ u003d جذر 13."
من السهل جدًا إثبات أن طريقة الحل هذه خاطئة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد الجذر التربيعي لـ 13 ومعرفة ما إذا كان المثال قد تم حله بشكل صحيح ؛
باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، يمكنك تحديد ما يقرب من 3.6. الآن يبقى التحقق من الحل ؛
جذر 4 = 2 و 9 = 3 ؛
مجموع اثنين وثلاثة يساوي خمسة. وبالتالي ، يمكن اعتبار خوارزمية الحل هذه غير صحيحة.

إذا كانت الجذور لها نفس الدرجة ، ولكن لها تعبيرات عددية مختلفة ، فسيتم إخراجها من الأقواس ، و مجموع تعبيرين جذريين. وبالتالي ، فقد تم استخراجه بالفعل من هذه الكمية.

خوارزمية الجمع

من أجل أن تقرر بشكل صحيح أبسط مهمة، ضروري:

حدد بالضبط ما يتطلب إضافة.
اكتشف ما إذا كان من الممكن إضافة قيم لبعضها البعض ، مسترشدًا بالقواعد الموجودة في الرياضيات.
إذا تعذر إضافتها ، فأنت بحاجة إلى تحويلها بطريقة يمكن إضافتها.
بعد إجراء جميع التحولات اللازمة ، من الضروري إجراء الإضافة وكتابة الإجابة النهائية. يمكن إجراء الإضافة ذهنيًا أو باستخدام آلة حاسبة ، اعتمادًا على مدى تعقيد المثال.

ما هي الجذور المتشابهة

من أجل حل مثال إضافة بشكل صحيح ، من الضروري أولاً وقبل كل شيء التفكير في كيفية تبسيطه. للقيام بذلك ، يجب أن يكون لديك معرفة أساسية عن التشابه.

تساعد القدرة على تحديد أمثلة مماثلة على حل نفس النوع من أمثلة الإضافة بسرعة ، وجعلها في شكل مبسط. لتبسيط مثال إضافة نموذجي ، تحتاج إلى:

ابحث عن مجموعات متشابهة وخصصها لمجموعة واحدة (أو عدة مجموعات).
أعد كتابة المثال الحالي بحيث تتبع الجذور التي لها نفس المؤشر بعضها البعض بوضوح (وهذا ما يسمى "التجميع").
بعد ذلك ، يجب عليك كتابة التعبير مرة أخرى ، هذه المرة بطريقة تتبعها أيضًا المتشابهة (التي لها نفس المؤشر ونفس الشكل الجذر).

بعد ذلك ، عادة ما يكون من السهل حل المثال المبسط.

من أجل حل أي مثال إضافة بشكل صحيح ، تحتاج إلى فهم القواعد الأساسية للإضافة بوضوح ، وكذلك معرفة ماهية الجذر وكيف يحدث.

تبدو مثل هذه المهام أحيانًا معقدة للغاية للوهلة الأولى ، ولكن عادةً ما يتم حلها بسهولة عن طريق تجميع المهام المتشابهة. أهم شيء هو التدريب ، وبعد ذلك سيبدأ الطالب في "النقر فوق مهام مثل المكسرات". تعد إضافة الجذر من أهم فروع الرياضيات ، لذلك يجب على المدرسين تخصيص وقت كافٍ لدراستها.

فيديو

سيساعدك هذا الفيديو على فهم المعادلات ذات الجذور التربيعية.

من الأسهل طرح جذر الرقم باستخدام الآلة الحاسبة. لكن إذا لم يكن لديك آلة حاسبة ، فأنت بحاجة إلى معرفة الخوارزمية لحساب الجذر التربيعي. الحقيقة هي أن عددًا في مربع يقع تحت الجذر. على سبيل المثال ، 4 تربيع تساوي 16. أي أن الجذر التربيعي لـ 16 يساوي أربعة. أيضًا ، 5 تربيع يساوي 25. إذن ، جذر 25 سيكون 5. وهكذا.

إذا كان الرقم صغيرًا ، فيمكن طرحه لفظيًا بسهولة ، على سبيل المثال ، سيكون جذر 25 هو 5 وجذر 144-12. يمكنك أيضًا الحساب على الآلة الحاسبة ، فهناك رمز جذر خاص ، تحتاج إلى القيادة برقم والنقر فوق الرمز.

سيساعد جدول الجذر التربيعي أيضًا:

هناك طرق أخرى أكثر تعقيدًا لكنها فعالة جدًا:

يمكن طرح جذر أي رقم باستخدام الآلة الحاسبة ، خاصةً لأنها موجودة في كل هاتف اليوم.

يمكنك محاولة معرفة كيفية ظهور رقم معين تقريبًا بضرب رقم واحد في نفسه.

حساب الجذر التربيعي لرقم ليس بالأمر الصعب ، خاصة إذا كان هناك جدول خاص. جدول مشهور من دروس الجبر. تسمى هذه العملية بأخذ الجذر التربيعي للرقم أ ، بمعنى آخر ، حل المعادلة. تحتوي جميع الآلات الحاسبة في الهواتف الذكية تقريبًا على دالة الجذر التربيعي.

ستكون نتيجة استخراج الجذر التربيعي لرقم معروف هو رقم آخر ، والذي عند رفعه إلى القوة الثانية (مربع) ، سيعطي نفس الرقم الذي نعرفه. تأمل في أحد أوصاف المستوطنات التي تبدو قصيرة ومفهومة:

هذا فيديو حول الموضوع:

توجد عدة طرق لحساب الجذر التربيعي لرقم.

الطريقة الأكثر شيوعًا هي استخدام جدول جذر خاص (انظر أدناه).

يوجد أيضًا في كل آلة حاسبة وظيفة يمكنك من خلالها العثور على الجذر.

أو باستخدام صيغة خاصة.

توجد عدة طرق لاستخراج الجذر التربيعي لرقم. واحد منهم هو الأسرع باستخدام الآلة الحاسبة.

ولكن إذا لم تكن هناك آلة حاسبة ، فيمكنك القيام بذلك يدويًا.

ستكون النتيجة دقيقة.

المبدأ هو نفسه تقريبًا مبدأ القسمة على عمود:

لنحاول بدون آلة حاسبة إيجاد قيمة الجذر التربيعي لرقم ، على سبيل المثال ، 190969.

وبالتالي ، كل شيء بسيط للغاية. في الحسابات ، الشيء الرئيسي هو اتباع بعض القواعد البسيطة والتفكير المنطقي.

لهذا تحتاج إلى جدول المربعات

على سبيل المثال ، جذر 100 = 10 ، 20 = 400 من 43 = 1849

الآن يمكن لجميع الآلات الحاسبة تقريبًا ، بما في ذلك تلك الموجودة على الهواتف الذكية ، حساب الجذر التربيعي للرقم. ولكن إذا لم يكن لديك آلة حاسبة ، فيمكنك العثور على جذر الرقم بعدة طرق بسيطة:

عامل رئيسي

حلل العدد الجذر إلى عوامل تمثل أعدادًا مربعة. اعتمادًا على رقم الجذر ، ستحصل على إجابة تقريبية أو دقيقة. الأعداد التربيعية هي الأعداد التي يمكن أخذ الجذر التربيعي الكامل منها. عوامل العدد التي ، عند ضربها ، تعطي الرقم الأصلي. على سبيل المثال ، عوامل العدد 8 هي 2 و 4 ، نظرًا لأن 2 × 4 = 8 ، فإن الأرقام 25 ، 36 ، 49 هي أرقام مربعة ، نظرًا لأن 25 = 5 ، 36 = 6 ، 49 = 7. العوامل المربعة هي عوامل هي أرقام مربعة. أولاً ، حاول تحليل عدد الجذر إلى عوامل مربعة.

على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي لـ 400 (يدويًا). حاول أولاً تحليل 400 إلى عوامل مربعة. 400 هو مضاعف 100 ، وهو رقم مربع يقبل القسمة على 25. بقسمة 400 على 25 ، نحصل على 16 ، وهو أيضًا رقم مربع. وبالتالي ، يمكن تحليل 400 إلى عوامل مربعة من 25 و 16 ، أي 25 × 16 = 400.

اكتبها على النحو التالي: 400 = (25 × 16).

الجذر التربيعي لمنتج بعض الحدود يساوي حاصل ضرب الجذور التربيعية لكل حد ، أي (أ س ب) = أ س ب. باستخدام هذه القاعدة ، خذ الجذر التربيعي لكل عامل مربع واضرب النتائج لإيجاد الإجابة.

في مثالنا ، خذ الجذر التربيعي للرقمين 25 و 16.

إذا لم يكن الرقم الجذر عاملًا في عاملين مربعين (وهو كذلك في معظم الحالات) ، فلن تتمكن من العثور على الإجابة الدقيقة كرقم كامل. لكن يمكنك تبسيط المشكلة عن طريق تحليل الرقم الجذر إلى عامل مربع وعامل عادي (رقم لا يمكن أخذ الجذر التربيعي بالكامل منه). ثم ستأخذ الجذر التربيعي للعامل التربيعي وستأخذ جذر العامل العادي.

على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي للرقم 147. لا يمكن تحليل الرقم 147 إلى عاملين مربعين ، ولكن يمكن تحليله في العوامل التالية: 49 و 3. حل المشكلة على النحو التالي:

يمكنك الآن تقييم قيمة الجذر (ابحث عن قيمة تقريبية) من خلال مقارنتها بقيم الجذور التربيعية الأقرب (على جانبي خط الأعداد) إلى رقم الجذر. ستحصل على قيمة الجذر في صورة كسر عشري ، والتي يجب ضربها بالرقم الموجود خلف علامة الجذر.

دعنا نعود إلى مثالنا. رقم الجذر هو 3. أقرب رقم مربع له سيكون الرقم 1 (1 \ u003d 1) و 4 (4 \ u003d 2). وبالتالي ، فإن قيمة 3 تقع بين 1 و 2. نظرًا لأن قيمة 3 ربما تكون أقرب إلى 2 من 1 ، فإن تقديرنا هو: 3 = 1.7. نضرب هذه القيمة في الرقم الموجود في علامة الجذر: 7 × 1.7 \ u003d 11.9. إذا أجريت العمليات الحسابية باستخدام آلة حاسبة ، فستحصل على 12.13 ، وهي قريبة جدًا من إجابتنا.

تعمل هذه الطريقة أيضًا مع الأعداد الكبيرة. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك 35. رقم الجذر هو 35. أقرب رقم تربيع له هو 25 (25 = 5) و 36 (36 = 6). وبالتالي ، فإن القيمة 35 تقع بين 5 و 6. نظرًا لأن القيمة 35 أقرب كثيرًا إلى 6 من 5 (لأن 35 أقل من 36 بمقدار 1 فقط) ، يمكننا القول أن 35 أقل قليلاً من 6. التحقق من الآلة الحاسبة يعطي لنا الجواب 5.92 - كنا على حق.

طريقة أخرى هي تحليل عدد الجذر إلى عوامل أولية. العوامل الأولية لعدد لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى أنفسهم. اكتب العوامل الأولية في صف وابحث عن أزواج من العوامل المتطابقة. يمكن إخراج هذه العوامل من علامة الجذر.

على سبيل المثال ، احسب الجذر التربيعي لـ 45. نقوم بتحليل رقم الجذر إلى عوامل أولية: 45 \ u003d 9 × 5 ، و 9 \ u003d 3 × 3. وهكذا ، 45 \ u003d (3 × 3 × 5). 3 يمكن إخراجها من علامة الجذر: 45 = 35. الآن يمكننا تقدير 5.

تأمل في مثال آخر: 88.

= (2 × 4 × 11)

= (2 × 2 × 2 × 11). لقد حصلت على ثلاثة مضاعف 2s ؛ خذ زوجًا منهم وأخرجهم من علامة الجذر.

2 (2 × 11) = 22 × 11. الآن يمكنك إيجاد قيمة 2 و 11 وإيجاد إجابة تقريبية.

قد يكون هذا الفيديو التعليمي مفيدًا أيضًا:

لاستخراج الجذر من رقم ، يجب عليك استخدام آلة حاسبة ، أو إذا لم يكن هناك واحد مناسب ، أنصحك بالذهاب إلى هذا الموقع وحل المشكلة باستخدام آلة حاسبة على الانترنت، والتي ستعطي القيمة الصحيحة في ثوانٍ.

ما هو الجذر

كقاعدة عامة ، يبدأ تدريس هذا الموضوع في الرياضيات بالجذور التربيعية. من أجل تحديده على الفور ، يجب على طالب المدرسة الثانوية معرفة جدول الضرب عن ظهر قلب. بالنسبة لأولئك الذين لا يعرفون هذا الجدول جيدًا ، عليك استخدام تلميحات. عادة ، يتم إعطاء عملية استخراج الجذر التربيعي من رقم في شكل جدول على أغلفة العديد من دفاتر الرياضيات المدرسية.

الجذور من الأنواع التالية:

مربع؛
مكعب (أو ما يسمى الدرجة الثالثة) ؛
الدرجة الرابعة
الدرجة الخامسة.

قواعد الإضافة

الجمع غير مسموح به في التخصيصات عندما تختلف التعبيرات الجذرية عن بعضها البعض. يمكن توضيح ذلك بمثال توضيحي:

يواجه الطالب المهمة التالية: إضافة الجذر التربيعي للرقمين 4 و 9 ؛
عادةً ما يكتب الطالب عديم الخبرة الذي لا يعرف القاعدة: "جذر 4 + جذر 9 \ u003d جذر 13."
من السهل جدًا إثبات أن طريقة الحل هذه خاطئة. للقيام بذلك ، تحتاج إلى إيجاد الجذر التربيعي لـ 13 ومعرفة ما إذا كان المثال قد تم حله بشكل صحيح ؛
باستخدام آلة حاسبة صغيرة ، يمكنك تحديد ما يقرب من 3.6. الآن يبقى التحقق من الحل ؛
جذر 4 = 2 و 9 = 3 ؛
مجموع اثنين وثلاثة يساوي خمسة. وبالتالي ، يمكن اعتبار خوارزمية الحل هذه غير صحيحة.

خوارزمية الجمع

من أجل حل أبسط مشكلة بشكل صحيح ، من الضروري:

حدد بالضبط ما يتطلب إضافة.
اكتشف ما إذا كان من الممكن إضافة قيم لبعضها البعض ، مسترشدًا بالقواعد الموجودة في الرياضيات.
إذا تعذر إضافتها ، فأنت بحاجة إلى تحويلها بطريقة يمكن إضافتها.
بعد إجراء جميع التحولات اللازمة ، من الضروري إجراء الإضافة وكتابة الإجابة النهائية. يمكن إجراء الإضافة ذهنيًا أو باستخدام آلة حاسبة ، اعتمادًا على مدى تعقيد المثال.

ما هي الجذور المتشابهة

ابحث عن مجموعات متشابهة وخصصها لمجموعة واحدة (أو عدة مجموعات).
أعد كتابة المثال الحالي بحيث تتبع الجذور التي لها نفس المؤشر بعضها البعض بوضوح (وهذا ما يسمى "التجميع").
بعد ذلك ، يجب عليك كتابة التعبير مرة أخرى ، هذه المرة بطريقة تتبعها أيضًا المتشابهة (التي لها نفس المؤشر ونفس الشكل الجذر).

بعد ذلك ، عادة ما يكون من السهل حل المثال المبسط.

الآن في المناهج المدرسية ، هناك شيء غير واضح تمامًا. يسعد المرء أن كل شيء في الرياضيات يبقى على حاله. العمل مع الجذور ، أي الجمع والطرح ، ليس عملية صعبة للغاية. لكن بعض الطلاب يواجهون صعوبات معينة.

وفي هذه المقالة سنحلل قواعد كيفية الجمع والطرح الجذور التربيعية.

يمكنك طرح وإضافة الجذور التربيعية إذا تم تفعيل الشرط بأن هذه الجذور لها نفس التعبيرات الجذرية. بعبارة أخرى ، يمكننا العمل على 2√3 و 4√3 ، لكن ليس على 2√3 و 2√7. لكن يمكنك اتخاذ إجراءات لتبسيط التعبير الجذري ، حتى تصلهم إلى الجذور التي سيكون لها نفس التعبيرات الجذرية. وفقط بعد ذلك ابدأ بالفعل في الجمع أو الطرح.

نظرية جمع وطرح الجذور التربيعية

المبدأ نفسه بسيط للغاية. وستتكون من ثلاث خطوات. علينا تبسيط التعبير الجذري. ابحث عن التعبيرات الجذرية المتطابقة الناتجة واجمع أو اطرح الجذور.

كيفية تبسيط التعبير الجذري

للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحليل الرقم الجذر ، والذي يتكون من عاملين. الحالة الرئيسية. يجب أن يكون أحد هذه الأرقام رقمًا مربعًا (مثال: 25 أو 9). بعد هذا الإجراء ، نستخرج جذر العدد المربع المحدد. ونكتب هذا العدد أمام الجذر ، وتحت الجذر لدينا العامل الثاني.

على سبيل المثال ، 6√50 - 2√8 + 5√12

6√50 = 6√ (25 × 2) = (6 × 5) 2 = 30√2. هنا نحلل 50 إلى عاملين 25 و 2. ثم من 25 نستخرج الجذر التربيعي (نحصل على الرقم 5) ونخرجه من تحت الجذر. ثم نضرب 5 في 6 ونحصل على 30√2

2√8 = 2√ (4 × 2) = (2 × 2) √2 = 4√2. في أمثلة معينةنحلل 8 إلى رقمين 4 و 2. من 4 نستخرج الجذر ونخرج الرقم الناتج من الجذر ونضربه في الرقم الموجود بالفعل خلف الجذر.

5√12 = 5√ (4 × 3) = (5 × 2) √3 = 10√3. نحن هنا ، كما في السابق ، نحلل الرقم الموجود تحت الجذر إلى عددين 4 و 3. من 4 نستخرج الجذر. نأخذ الرقم الناتج على أنه جذر ونضربه في الرقم الموجود خلف الجذر.

نتيجة لذلك ، قمنا بتحويل المعادلة 6√50 - 2√8 + 5√12 إلى هذه الصورة 30√2 - 4√2 + 10√3

نضع خطًا تحت الجذور التي لها نفس التعبيرات الجذرية

في مثالنا 30√2 - 4√2 + 10√3 ، نختار 30√2 و 4√2 ، لأن هذه الأرقام لها نفس الرقم الجذر 2.
إذا كان هناك عدة تعبيرات جذرية متطابقة في مثالك. ضع خطًا تحت نفس الأسطر بخطوط مختلفة.

اجمع أو اطرح الجذور

الآن نجمع أو نطرح الأعداد التي لها نفس المقادير الجذرية. وما تحت الجذر نتركه كما هو. النقطة المهمة هي إظهار عدد الجذور التي لها تعبيرات جذرية معينة في معادلة معينة.

في مثالنا 30√2 - 4√2 + 10√3 ، نطرح 4 من 30 ونحصل على 26√2

الجواب في مثالنا سيكون: 26√2 + 10√3

Sabibon - الشيء الأكثر إثارة للاهتمام على الإنترنت

ما هو الجذر الرياضي؟

نشأ هذا الإجراء على عكس الأس. تفترض الرياضيات وجود عمليتين متعارضتين. هناك طرح للجمع. الضرب يعارض القسمة. الإجراء العكسي للدرجة هو استخراج الجذر المقابل.

إذا كان الأس 2 ، فسيكون الجذر تربيعًا. إنه الأكثر شيوعًا في رياضيات المدرسة. ليس لديها حتى إشارة إلى أنها مربعة ، أي أن الرقم 2. لم يتم تعيينه لها.تظهر التدوين الرياضي لهذا العامل (جذري) في الشكل.

من الإجراء الموصوف ، يتبع تعريفه بسلاسة. لاستخراج الجذر التربيعي لعدد معين ، عليك معرفة ما سيعطيه التعبير الجذري عند ضربه في نفسه. سيكون هذا الرقم هو الجذر التربيعي. إذا كتبنا هذا رياضيًا ، فسنحصل على ما يلي: x * x \ u003d x 2 \ u003d y ، مما يعني √y \ u003d x.

ما هي الإجراءات التي يمكن اتخاذها معهم؟

الجذر في جوهره قوة كسرية لها وحدة في البسط. ويمكن أن يكون المقام أي شيء. على سبيل المثال ، الجذر التربيعي له قيمة اثنين. لذلك ، فإن جميع الإجراءات التي يمكن تنفيذها بالدرجات ستكون صالحة أيضًا للجذور.

ولديهم نفس المتطلبات لهذه الإجراءات. إذا لم تواجه الطلاب صعوبات في الضرب والقسمة والأس ، فإن إضافة الجذور وطرحها يؤدي أحيانًا إلى حدوث ارتباك. وكل ذلك لأنك تريد إجراء هذه العمليات دون النظر إلى علامة الجذر. وهنا تبدأ الأخطاء.

ما هي قواعد الجمع والطرح؟

عليك أولاً أن تتذكر "لا" بشكل قاطع:

من المستحيل إجراء عمليات الجمع والطرح للجذور ، كما هو الحال مع الأعداد الأولية ، أي أنه من المستحيل كتابة التعبيرات الجذرية للمجموع تحت علامة واحدة وإجراء العمليات الحسابية معهم ؛
لا يمكنك إضافة أو طرح الجذور من مؤشرات مختلفة، مثل المربع والمكعب.

مثال توضيحي للحظر الأول: √6 + √10 ≠ √16 لكن √ (6 + 10) = √16.

في الحالة الثانية ، من الأفضل أن نحصر أنفسنا في تبسيط الجذور نفسها. وفي الجواب اترك مجموعهم.

الآن إلى القواعد

ابحث عن الجذور المتشابهة وقم بتجميعها. هذا هو ، أولئك الذين ليس لديهم فقط نفس الأرقامتحت الراديكالية ، لكن لديهم مؤشر واحد.
قم بإضافة الجذور مجتمعة في مجموعة واحدة من خلال الإجراء الأول. إنه سهل التنفيذ ، لأنك تحتاج فقط إلى إضافة القيم التي تأتي قبل الجذور.
استخرج الجذور من تلك المصطلحات التي يشكل فيها التعبير الجذري مربعًا كاملاً. بعبارة أخرى ، لا تترك أي شيء تحت علامة الراديكالي.
بسّط التعابير الجذرية. للقيام بذلك ، تحتاج إلى تحليلها إلى عوامل أولية ومعرفة ما إذا كانت تعطي مربع أي عدد. من الواضح أن هذا صحيح عندما يتعلق الأمر بالجذر التربيعي. عندما يكون الأس ثلاثة أو أربعة ، يجب أن تعطي العوامل الأولية المكعب أو القوة الرابعة من العدد.
اخرج من تحت علامة الجذر عاملاً يعطي قوة عددية صحيحة.
انظر إذا ظهرت مصطلحات مماثلة مرة أخرى. إذا كانت الإجابة بنعم ، فقم بإجراء الخطوة الثانية مرة أخرى.

في الحالة التي لا تتطلب فيها المشكلة القيمة الدقيقة للجذر ، يمكن حسابها باستخدام الآلة الحاسبة. تقريب الكسر العشري اللانهائي الذي سيتم عرضه في نافذته. غالبًا ما يتم ذلك حتى المئات. ثم قم بإجراء جميع العمليات على الكسور العشرية.

هذه هي كل المعلومات حول كيفية إجراء إضافة الجذور. الأمثلة أدناه توضح ما ورد أعلاه.

المهمة الأولى

احسب قيمة التعبيرات:

أ) √2 + 3√32 + √128-6√18 ؛

ب) √75 - 147 + 48 - 1/5 300 ؛

ج) √275 - 10√11 + 2√99 + 396.

أ) إذا اتبعت الخوارزمية أعلاه ، يمكنك أن ترى أنه لا يوجد شيء للإجراءين الأولين في هذا المثال. لكن يمكنك تبسيط بعض المقادير الجذرية.

على سبيل المثال ، عامل 32 في عاملين 2 و 16 ؛ 18 سيساوي حاصل ضرب 9 و 2 ؛ 128 هي 2 في 64. بالنظر إلى هذا ، سيتم كتابة التعبير على النحو التالي:

√2 + 3√ (2 * 16) + √ (2 * 64) - 6 (2 * 9).

الآن عليك أن تأخذ من تحت علامة الجذر تلك العوامل التي تعطي مربع العدد. هذا هو 16 = 4 2 ، 9 = 3 2 ، 64 = 8 2. سيأخذ التعبير الشكل:

√2 + 3 * 4√2 + * 8 2 - 6 * 3√2.

علينا تبسيط الكتابة قليلًا. لهذا ، يتم ضرب المعاملات قبل علامات الجذر:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

في هذا التعبير ، تبين أن جميع المصطلحات متشابهة. لذلك ، هم فقط بحاجة إلى طيها. ستكون الإجابة: 5√2.

ب) مثل المثال السابق ، فإن إضافة الجذور تبدأ بتبسيطها. سيتم تمثيل التعبيرات الجذرية 75 و 147 و 48 و 300 بالأزواج التالية: 5 و 25 و 3 و 49 و 3 و 16 و 3 و 100. لكل منها رقم يمكن إزالته من تحت علامة الجذر :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

بعد التبسيط ، الإجابة هي: 5√5 - 5√3. يمكن تركها بهذا الشكل ، لكن من الأفضل إخراج العامل المشترك 5 من القوس: 5 (√5 - √3).

ج) ومرة أخرى التحليل إلى العوامل: 275 = 11 * 25 ، 99 = 11 * 9 ، 396 = 11 * 36. بعد احتساب علامة الجذر ، لدينا:

5-11 - 10-11 + 2 * 3√11 + 6√11. بعد تقليل الحدود المتشابهة ، نحصل على النتيجة: 7-11.

مثال كسري

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

ستحتاج إلى تحليل الأرقام التالية: 45 = 5 * 9 ، 20 = 4 * 5 ، 18 = 2 * 9 ، 245 = 5 * 49. على غرار الأرقام التي تم أخذها في الاعتبار بالفعل ، تحتاج إلى إخراج العوامل من تحت الجذر قم بتبسيط التعبير:

3/2 √5 - 2√5 - 5/3 (½) - 7/6 √5 + 7 (½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √ (½) = - 5/3 √5 + 16/3 √ (½).

هذا التعبير يتطلب التخلص من اللاعقلانية في المقام. للقيام بذلك ، اضرب الحد الثاني في √2 / √2:

- 5/3 √5 + 16/3 (½) * √2 / √2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

لإكمال الإجراء ، تحتاج إلى تحديد الجزء الصحيح من العوامل أمام الجذور. الأول هو 1 ، والثاني هو 2.

صيغ الجذر. خصائص الجذور التربيعية.

انتباه!
هناك المزيد
المادة في القسم الخاص 555.
بالنسبة لأولئك الذين بقوة "ليس جدا ..."
ولأولئك الذين "كثيرًا ...")

في الدرس السابق ، اكتشفنا ما هو الجذر التربيعي. حان الوقت لمعرفة ما هو صيغ للجذور، ماذا يكون خصائص الجذروما الذي يمكن عمله حيال ذلك كله.

الصيغ الجذرية وخصائص الجذر وقواعد الإجراءات ذات الجذور- إنه في الأساس نفس الشيء. من المدهش أن هناك عددًا قليلاً من الصيغ للجذور التربيعية. وهو بالطبع يرضي! بدلاً من ذلك ، يمكنك كتابة الكثير من جميع أنواع الصيغ ، لكن ثلاثة منها فقط تكفي للعمل العملي والثقة مع الجذور. كل شيء آخر يتدفق من هؤلاء الثلاثة. على الرغم من أن الكثيرين ضلوا الطريق في الصيغ الثلاث للجذور ، نعم ...

لنبدأ بالأبسط. ها هي:

إذا أعجبك هذا الموقع ...

بالمناسبة ، لديّ موقعان أكثر تشويقًا لك).

يمكنك التدرب على حل الأمثلة ومعرفة مستواك. الاختبار مع التحقق الفوري. التعلم - باهتمام!)

يمكنك التعرف على الوظائف والمشتقات.

يشارك: