Симетрия на фигури спрямо оста. Централна и аксиална симетрия. Разгледайте аксиалната и централната симетрия като свойства на някои геометрични фигури; Помислете за аксиални и централни

И така, по отношение на геометрията: има три основни типа симетрия.

първо, централна симетрия (или симетрия спрямо точка) - това е трансформация на равнината (или пространството), при която единствената точка (точка O - центърът на симетрия) остава на мястото си, докато останалите точки променят позицията си: вместо точка A, получаваме точка A1 така че точка O да е средата на сегмент AA1. За да се построи фигура Ф1, симетрична на фигурата Ф спрямо точка О, е необходимо да се начертае лъч през всяка точка на фигурата Ф, минаваща през точката О (центъра на симетрия), и върху този лъч да се зададе настрана точка, симетрична на тази, избрана спрямо точка O. Множеството от точки, построени по този начин, ще дадат фигура F1.

Голям интерес представляват фигурите, които имат център на симетрия: със симетрия спрямо точката O всяка точка от фигурата F отново се трансформира в някаква точка от фигурата F. Има много такива фигури в геометрията. Например: отсечка (средата на отсечката е център на симетрия), права линия (която и да е точка е център на нейната симетрия), окръжност (центърът на окръжността е център на симетрия), a правоъгълник (точката на пресичане на неговите диагонали е центърът на симетрия). В живата и неживата природа има много централно симетрични обекти (комуникация на учениците). Често хората сами създават обекти, които имат център на симетрияrii (примери от ръкоделие, примери от машиностроене, примери от архитектура и много други примери).

второ, аксиална симетрия (или симетрия спрямо права) - това е трансформация на равнината (или пространството), при която само точките на правата p остават на мястото си (тази линия е оста на симетрия), докато останалите точки променят позицията си: вместо точка B , получаваме такава точка B1, че правата p е ъглополовяща на отсечката BB1. За да се построи фигура Φ1, симетрична на фигурата Φ спрямо правата p, е необходимо всяка точка от фигурата Φ да построи точка, симетрична на нея спрямо правата p. Съвкупността от всички тези построени точки дава търсената фигура Ф1. Много съществуват геометрични формиимащи ос на симетрия.

Правоъгълникът има две, квадратът има четири, кръгът има права линия, минаваща през центъра му. Ако се вгледате внимателно в буквите на азбуката, тогава сред тях можете да намерите тези, които имат хоризонтална или вертикална, а понякога и двете оси на симетрия. Обекти с оси на симетрия се срещат доста често в живата и неживата природа (доклади на ученици). В своята дейност човек създава много предмети (например орнаменти), които имат няколко оси на симетрия.

______________________________________________________________________________________________________

Трето, равнинна (огледална) симетрия (или симетрия спрямо равнина) - това е трансформация на пространството, при което само точки от една равнина запазват местоположението си (α-равнина на симетрия), останалите точки от пространството променят позицията си: вместо точка C се получава такава точка C1, че равнината α минава през средата на отсечката CC1, перпендикулярна на нея.

За да се построи фигура Ф1, симетрична на фигурата Ф спрямо равнината α, е необходимо за всяка точка от фигурата Ф да се построят точки, симетрични спрямо α, те образуват фигурата Ф1 в своето множество.

Най-често в света на заобикалящите ни вещи и предмети се сблъскваме с триизмерни тела. И някои от тези тела имат равнини на симетрия, понякога дори няколко. И самият човек в своите дейности (конструиране, ръкоделие, моделиране, ...) създава обекти с равнини на симетрия.

Заслужава да се отбележи, че наред с трите изброени вида симетрия, има (в архитектурата)преносим и въртящ се, които в геометрията са композиции от няколко движения.

Помислете за аксиални и централна симетриякато свойства на някои геометрични фигури; Разгледайте аксиалната и централната симетрия като свойства на някои геометрични фигури; Да може да изгражда симетрични точки и да може да разпознава фигури, които са симетрични спрямо точка или права; Да може да изгражда симетрични точки и да може да разпознава фигури, които са симетрични спрямо точка или права; Подобряване на уменията за решаване на проблеми; Подобряване на уменията за решаване на проблеми; Продължаване на работата по точността на записване и изпълнение на геометричен чертеж; Продължаване на работата по точността на записване и изпълнение на геометричен чертеж;

Устно произведение „Нежна анкета“ Устно произведение „Нежна анкета“ Коя точка се нарича среда на отсечката? Кой триъгълник се нарича равнобедрен триъгълник? Какво свойство имат диагоналите на ромба? Формулирайте свойството на ъглополовящата на равнобедрен триъгълник. Кои прави се наричат ​​перпендикулярни? Какво е равностранен триъгълник? Какво свойство имат диагоналите на квадрат? Кои фигури се наричат ​​равни?

Какви нови концепции научихте в клас? Какви нови концепции научихте в клас? Какво научихте за геометричните фигури? Какво научихте за геометричните фигури? Дайте примери за геометрични фигури с осова симетрия. Дайте примери за геометрични фигури с осова симетрия. Дайте пример за фигури с централна симетрия. Дайте пример за фигури с централна симетрия. Дайте примери за обекти от заобикалящия живот, които имат един или два вида симетрия. Дайте примери за обекти от заобикалящия живот, които имат един или два вида симетрия.

« Симетрия“ е дума от гръцки произход. Това означава пропорционалност определен ред, модели в подредбата на частите.

От древни времена хората са използвали симетрия в рисунки, орнаменти и предмети от бита.
Симетрията е широко разпространена в природата. Може да се наблюдава под формата на листа и цветя на растения, в подреждането на различни органи на животни, във формата кристални тела, в пърхаща пеперуда, мистериозна снежинка, мозайка в храм, морска звезда.
Симетрията се използва широко в практиката, в строителството и инженерството. Това е строга симетрия под формата на древни сгради, хармонични древногръцки вази, сградата на Кремъл, автомобили, самолети и много други. (слайд 4) Примери за използване на симетрия са паркет и бордюр. (вижте хипервръзка за използването на симетрия в бордюри и паркети) Нека да разгледаме няколко примера, където можете да видите симетрия в различни обекти с помощта на слайдшоу (икона за включване).

Определение: е симетрия спрямо точка.
Определение: Точките A и B са симетрични спрямо някаква точка O, ако точката O е средата на отсечката AB.
Определение: Точка O се нарича център на симетрия на фигурата, а фигурата централно симетрична.
Свойство: Фигурите, които са симетрични спрямо дадена точка, са равни.
Примери:

Алгоритъм за построяване на централно симетрична фигура
1. Нека построим триъгълник A 1B 1 C 1, симетричен на триъгълника ABC, по отношение на центъра (точка) O. За да направите това, свържете точки A, B, Cс център O и продължете тези сегменти;
2. Измерваме сегментите AO, VO, CO и отделяме от другата страна на точка O, равни сегменти (AO \u003d A 1 O 1, VO \u003d B 1 O 1, CO \u003d C 1 O 1) ;

3. Свържете получените точки със сегменти A 1 B 1; A 1 C 1; B1 C 1.
Получаваме ∆A 1 B 1 C 1 симетричен ∆ABC.

- това е симетрия спрямо начертаната ос (права линия).
Определение: Точките A и B са симетрични спрямо дадена права a, ако тези точки лежат на права, перпендикулярна на дадената и на същото разстояние.
Определение: Оста на симетрия се нарича права линия, когато е огъната, по която "половините" съвпадат, а фигурата се нарича симетрична спрямо някаква ос.
Свойство: Две симетрични фигури са равни.
Примери:

Алгоритъм за построяване на фигура, симетрична спрямо права линия
Нека построим триъгълник A1B1C1, симетричен на триъгълника ABC спрямо правата a.
За това:
1. Изчертаваме прави линии от върховете на триъгълника ABC, перпендикулярни на правата линия a и ги продължаваме по-нататък.
2. Измерваме разстоянията от върховете на триъгълника до получените точки на правата линия и нанасяме същите разстояния от другата страна на правата линия.
3. Свържете получените точки със сегменти A1B1, B1C1, B1C1.

Получен ∆ А1В1С1 симетричен ∆АВС.

аз . Симетрия в математиката :

Основни понятия и определения.

Аксиална симетрия (дефиниции, план за застрояване, примери)

Централна симетрия (дефиниции, строителен план, смерки)

Обобщена таблица (всички свойства, функции)

II . Приложения за симетрия:

1) по математика

2) по химия

3) по биология, ботаника и зоология

4) в изкуството, литературата и архитектурата

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. Основни понятия за симетрия и нейните видове.

Концепцията за симетрия n Рпротича през цялата история на човечеството. Той се намира още в началото на човешкото познание. Възниква във връзка с изучаването на живия организъм, а именно човека. И е използван от скулпторите още през 5 век пр.н.е. д. Думата "симетрия" е гръцка, означава "пропорционалност, пропорционалност, еднаквост в подреждането на частите". Той се използва широко от всички области на съвременната наука без изключение. Много велики хора са мислили за този модел. Например Л. Н. Толстой каза: „Стоейки пред черна дъска и рисувайки различни фигури върху нея с тебешир, изведнъж ме осени мисълта: защо симетрията е ясна за окото? Какво е симетрия? Това е вродено чувство, отговорих си. На какво се основава?" Симетрията е наистина приятна за окото. Кой не се е възхищавал на симетрията на творенията на природата: листа, цветя, птици, животни; или човешки творения: сгради, технологии, - всичко, което ни заобикаля от детството, което се стреми към красота и хармония. Херман Вайл каза: "Симетрията е идеята, чрез която човекът се е опитвал от векове да разбере и създаде ред, красота и съвършенство." Херман Вайл е немски математик. Дейността му пада върху първата половина на ХХ век. Именно той формулира определението за симетрия, установено по какви признаци да се види наличието или, обратно, липсата на симетрия в конкретен случай. Така математически строго представяне се формира сравнително наскоро - в началото на 20 век. Доста е сложно. Ще се обърнем и още веднъж ще си припомним дефинициите, които ни се дават в учебника.

2. Осева симетрия.

2.1 Основни определения

Определение. Две точки A и A 1 се наричат ​​симетрични спрямо правата a, ако тази права минава през средата на отсечката AA 1 и е перпендикулярна на нея. Всяка точка от правата a се счита за симетрична на себе си.

Определение. Казват, че фигурата е симетрична по отношение на права линия. А, ако за всяка точка от фигурата точката, симетрична на нея по отношение на правата линия Асъщо принадлежи към тази фигура. Направо Анаречена ос на симетрия на фигурата. Също така се казва, че фигурата има аксиална симетрия.

2.2 План за застрояване

И така, за да изградим симетрична фигура спрямо права линия от всяка точка, начертаваме перпендикуляр на тази права линия и я удължаваме на същото разстояние, маркираме получената точка. Правим това с всяка точка, получаваме симетричните върхове на новата фигура. След това ги свързваме последователно и получаваме симетрична фигура на тази относителна ос.

2.3 Примери за фигури с аксиална симетрия.

3. Централна симетрия

3.1 Основни определения

Определение. Две точки A и A 1 се наричат ​​симетрични спрямо точка O, ако O е средата на отсечката AA 1. Точка O се счита за симетрична на себе си.

Определение.Една фигура се нарича симетрична спрямо точка O, ако за всяка точка от фигурата точката, симетрична на нея спрямо точка O, също принадлежи на тази фигура.

3.2 План за застрояване

Построяване на триъгълник, симетричен на дадения спрямо центъра O.

Да се ​​построи точка, симетрична на точка Аспрямо точката ОТНОСНО, достатъчно е да начертаете права линия ОА(Фиг. 46 ) и от другата страна на точката ОТНОСНОотделете сегмент, равен на сегмент ОА. С други думи , точки А и ; В и ; C и са симетрични спрямо някаква точка O. На фиг. 46 построи триъгълник, симетричен на триъгълник ABC спрямо точката ОТНОСНО.Тези триъгълници са равни.

Построяване на симетрични точки спрямо центъра.

На фигурата точките M и M 1, N и N 1 са симетрични спрямо точка O, а точките P и Q не са симетрични спрямо тази точка.

Като цяло, фигури, които са симетрични спрямо дадена точка, са равни на .

3.3 Примери

Нека дадем примери за фигури с централна симетрия. Най-простите фигури с централна симетрия са окръжността и успоредникът.

Точка O се нарича център на симетрия на фигурата. В такива случаи фигурата има централна симетрия. Центърът на симетрия на окръжност е центърът на окръжността, а центърът на симетрия на успоредник е пресечната точка на неговите диагонали.

Правата също има централна симетрия, но за разлика от окръжността и успоредника, които имат само един център на симетрия (точка O на фигурата), правата има безкраен брой от тях - всяка точка от правата е нейният център на симетрия .

Фигурите показват ъгъл, симетричен спрямо върха, сегмент, симетричен на друг сегмент спрямо центъра Аи четириъгълник, симетричен спрямо върха си М.

Пример за фигура, която няма център на симетрия, е триъгълник.

4. Обобщение на урока

Нека обобщим получените знания. Днес в урока се запознахме с два основни вида симетрия: централна и аксиална. Нека погледнем екрана и систематизираме получените знания.

Обобщена таблица

	Аксиална симетрия	Централна симетрия
Особеност	Всички точки на фигурата трябва да са симетрични по отношение на някаква права линия.	Всички точки на фигурата трябва да са симетрични спрямо точката, избрана за център на симетрия.
Имоти	1. Симетричните точки лежат на перпендикуляри на правата. 3. Правите се превръщат в прави, ъглите в равни ъгли. 4. Размерите и формите на фигурите са запазени.	1. Симетрични точки лежат на права линия, минаваща през центъра и дадената точка на фигурата. 2. Разстоянието от точка до права е равно на разстоянието от права до симетрична точка. 3. Размерите и формите на фигурите са запазени.

II. Приложение на симетрията

© Сухачева Елена Владимировна, 2008-2009

В този урок ще разгледаме още една характеристика на някои фигури - аксиална и централна симетрия. Ние се сблъскваме с аксиалната симетрия всеки ден, когато се погледнем в огледалото. Централната симетрия е много често срещана в дивата природа. В същото време фигурите, които имат симетрия, имат редица свойства. Освен това по-късно ще научим, че аксиалната и централната симетрия са видове движения, с помощта на които се решава цял клас проблеми.

Този урок е за аксиална и централна симетрия.

Определение

Двете точки и се наричат симетриченспрямо права линия, ако:

На фиг. 1 показва примери за точки, симетрични по отношение на права линия и , и .

Ориз. 1

Отбелязваме също факта, че всяка точка от права е симетрична на себе си по отношение на тази права.

Фигурите също могат да бъдат симетрични по отношение на права линия.

Нека формулираме строго определение.

Определение

Фигурата се нарича симетричен спрямо права линия, ако за всяка точка от фигурата точката, симетрична на нея спрямо тази права, също принадлежи на фигурата. В този случай линията се извиква ос на симетрия. Фигурата има аксиална симетрия.

Разгледайте няколко примера за фигури с аксиална симетрия и техните оси на симетрия.

Пример 1

Ъгълът е аксиално симетричен. Оста на симетрия на ъгъла е ъглополовящата. Наистина: нека спуснем перпендикуляра към ъглополовящата от която и да е точка на ъгъла и да го удължим, докато се пресече с другата страна на ъгъла (виж фиг. 2).

Ориз. 2

(защото - общата страна, (свойство на ъглополовящата), а триъгълниците са правоъгълни). Означава,. Следователно точките и са симетрични спрямо ъглополовящата на ъгъла.

От това следва, че равнобедреният триъгълник също има аксиална симетрия по отношение на ъглополовящата (височина, медиана), начертана към основата.

Пример 2

Равностранен триъгълник има три оси на симетрия (ъглополовящи / медиани / височини на всеки от трите ъгъла (виж фиг. 3).

Ориз. 3

Пример 3

Правоъгълникът има две оси на симетрия, всяка от които минава през средните точки на двете му противоположни страни (виж фиг. 4).

Ориз. 4

Пример 4

Ромбът също има две оси на симетрия: прави линии, които съдържат неговите диагонали (виж фиг. 5).

Ориз. 5

Пример 5

Квадратът, който е едновременно ромб и правоъгълник, има 4 оси на симетрия (виж фиг. 6).

Ориз. 6

Пример 6

За кръг оста на симетрия е всяка права линия, минаваща през неговия център (тоест, съдържаща диаметъра на кръга). Следователно кръгът има безкрайно много оси на симетрия (виж фиг. 7).

Ориз. 7

Помислете сега за концепцията централна симетрия.

Определение

Точките и се наричат симетриченспрямо точката , ако: - средата на отсечката .

Нека да разгледаме няколко примера: на фиг. Фигура 8 показва точките и , както и и , които са симетрични спрямо точката , докато точките и не са симетрични спрямо тази точка.

Ориз. 8

Някои фигури са симетрични спрямо дадена точка. Нека формулираме строго определение.

Определение

Фигурата се нарича симетричен спрямо точка, ако за която и да е точка от фигурата симетричната й точка също принадлежи на тази фигура. Точката се нарича център на симетрия, а фигурата има централна симетрия.

Разгледайте примери за фигури с централна симетрия.

Пример 7

За окръжност центърът на симетрия е центърът на окръжността (това е лесно да се докаже, като си спомним свойствата на диаметъра и радиуса на окръжността) (виж фиг. 9).

Ориз. 9

Пример 8

За успоредник центърът на симетрия е пресечната точка на диагоналите (виж фиг. 10).

Ориз. 10

Нека да решим няколко задачи за аксиална и централна симетрия.

Задача 1.

Колко оси на симетрия има отсечката?

Отсечката има две оси на симетрия. Първата от тях е права, съдържаща сегмент (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази линия). Вторият е средният перпендикуляр на сегмента, тоест права линия, перпендикулярна на сегмента и минаваща през средата му.

Отговор: 2 оси на симетрия.

Задача 2.

Колко оси на симетрия има една линия?

Една права линия има безкрайно много оси на симетрия. Една от тях е самата права (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази права). Освен това осите на симетрия са всички прави, перпендикулярни на дадена права.

Отговор: има безкрайно много оси на симетрия.

Задача 3.

Колко оси на симетрия има един лъч?

Лъчът има една ос на симетрия, която съвпада с правата, съдържаща лъча (тъй като всяка точка от правата е симетрична на себе си по отношение на тази права).

Отговор: една ос на симетрия.

Задача 4.

Докажете, че правите, съдържащи диагоналите на ромба, са неговите оси на симетрия.

Доказателство:

Помислете за ромб. Нека докажем например, че една права линия е нейната ос на симетрия. Очевидно точките и са симетрични на себе си, тъй като лежат на тази права. В допълнение, точките и са симетрични по отношение на тази линия, тъй като . Нека сега изберем произволна точка и докажем, че симетричната спрямо нея точка също принадлежи на ромба (виж фиг. 11).

Ориз. единадесет

Начертайте перпендикуляр на правата през точката и го разширете до пресечната точка с . Помислете за триъгълници и . Тези триъгълници са правоъгълни (по конструкция), освен това в тях: - общ крак и (тъй като диагоналите на ромба са неговите ъглополовящи). Така че тези триъгълници са равни: . Това означава, че всичките им съответстващи елементи също са равни, следователно: . От равенството на тези сегменти следва, че точките и са симетрични спрямо правата. Това означава, че това е оста на симетрия на ромба. Този факт може да се докаже по подобен начин за втория диагонал.

Доказано.

Задача 5.

Докажете, че пресечната точка на диагоналите на успоредник е неговият център на симетрия.

Доказателство:

Помислете за успоредник. Нека докажем, че точката е неговият център на симетрия. Очевидно е, че точките и , и са по двойки симетрични по отношение на точката , тъй като диагоналите на успоредника са разделени от пресечната точка наполовина. Нека сега изберем произволна точка и докажем, че симетричната спрямо нея точка също принадлежи на успоредника (виж фиг. 12).