Абсолютното число на логаритъма. Примери за решаване на логаритми. Аргумент и основа на логаритъма

Фокусът на тази статия е логаритъм. Тук ще дадем дефиницията на логаритъм, ще покажем приетата нотация, ще дадем примери за логаритми и ще говорим за естествени и десетични логаритми. След това разгледайте основното логаритмично тъждество.

Навигация в страницата.

Дефиниция на логаритъм

Концепцията за логаритъм възниква при решаване на проблем в определен обратен смисъл, когато трябва да намерите експонента в известна стойностстепен и известна база.

Но достатъчно преамбюл, време е да отговорим на въпроса "какво е логаритъм"? Нека дадем подходящо определение.

Определение.

Логаритъм от b при основа a, където a>0 , a≠1 и b>0 е степента, до която трябва да повишите числото a, за да получите b като резултат.

На този етап отбелязваме, че изречената дума „логаритъм“ трябва незабавно да предизвика два произтичащи въпроса: „какво число“ и „на каква основа“. С други думи, просто няма логаритъм, а има само логаритъм от число в някаква основа.

Веднага ще ви представим логаритмична нотация: логаритъма на числото b при основата a обикновено се означава като log a b . Логаритъмът на числото b при основа e и логаритъмът при основа 10 имат свои собствени специални обозначения съответно lnb и lgb, тоест те пишат не log e b, а lnb, и не log 10 b, а lgb.

Сега можете да донесете: .
И записите нямат смисъл, тъй като в първия от тях под знака на логаритъма е отрицателно число, във втория - отрицателно число в основата, а в третия - едновременно отрицателно число под знака на логаритъма и единица в основата.

Сега нека поговорим за правила за четене на логаритми. Входният журнал a b се чете като "логаритъм от b по основа a". Например log 2 3 е логаритъм от три по основа 2 и е логаритъм от две цяло две трети по основа Корен квадратенот пет. Логаритъмът при основа e се нарича натурален логаритъм, а обозначението lnb се чете като "натурален логаритъм от b". Например ln7 е натурален логаритъм от седем и ние ще го прочетем като натурален логаритъм от пи. Логаритъмът при основа 10 също има специално име - десетичен логаритъм , а нотацията lgb се чете като "десетичен логаритъм b". Например lg1 е десетичният логаритъм от едно, а lg2,75 е десетичният логаритъм от две цяло седемдесет и пет стотни.

Струва си да се спрем отделно на условията a>0, a≠1 и b>0, при които е дадена дефиницията на логаритъма. Нека обясним откъде идват тези ограничения. За да направим това, ще ни помогне равенство на формата, наречено , което пряко следва от дефиницията на логаритъма, дадена по-горе.

Нека започнем с a≠1. Тъй като едно е равно на едно на произволна степен, тогава равенството може да е вярно само за b=1, но log 1 1 може да бъде всяко реално число. За да се избегне тази неяснота, се приема a≠1.

Нека обосновем целесъобразността на условието a>0 . При a=0, по дефиницията на логаритъма, ще имаме равенство , което е възможно само при b=0 . Но тогава log 0 0 може да бъде всяко ненулево реално число, тъй като нула на всяка ненулева степен е нула. Тази неяснота може да бъде избегната чрез условието a≠0. И за а<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

И накрая, условието b>0 следва от неравенството a>0 , тъй като , и стойността на степента с положителна основа a винаги е положителна.

В заключение на този параграф казваме, че изразената дефиниция на логаритъма ви позволява незабавно да посочите стойността на логаритъма, когато числото под знака на логаритъма е определена степен на база. Наистина, дефиницията на логаритъма ни позволява да твърдим, че ако b=a p , тогава логаритъма на числото b при основа a е равен на p . Тоест равенството log a a p =p е вярно. Например знаем, че 2 3 =8 , тогава log 2 8=3 . Ще говорим повече за това в статията.

произтичащи от неговата дефиниция. И така, логаритъма на числото bпо разум Адефинирана като степенна степен, до която трябва да се повдигне число аза да получите номера b(логаритъмът съществува само за положителни числа).

От тази формулировка следва, че изчислението x=log a b, е еквивалентно на решаването на уравнението брадва=b.Например, log 2 8 = 3защото 8 = 2 3 . Формулировката на логаритъма дава възможност да се обоснове, че ако b=a c, след това логаритъма на числото bпо разум аравно на с. Също така е ясно, че темата за логаритъма е тясно свързана с темата за степента на числото.

С логаритмите, както с всички числа, можете да изпълнявате операции събиране, изважданеи трансформирайте по всякакъв възможен начин. Но с оглед на факта, че логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук важат техните собствени специални правила, които се наричат основни свойства.

Събиране и изваждане на логаритми.

Вземете два логаритма с една и съща основа: дневник xИ log a y. След това премахнете възможно е да извършвате операции за събиране и изваждане:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

дневник а(х 1 . х 2 . х 3 ... x k) = дневник x 1 + дневник x 2 + дневник x 3 + ... + log a x k.

от теореми за частен логаритъмможе да се получи още едно свойство на логаритъма. Добре известно е, че лог а 1= 0, следователно,

дневник а 1 /b= дневник а 1 - дневник а б= -дневник а б.

Така че има равенство:

log a 1 / b = - log a b.

Логаритми на две взаимно реципрочни числана една и съща основа ще се различават един от друг само по знак. Така:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Логаритъмът на положително число b при основа a (a>0, a не е равно на 1) е число c, такова че a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Имайте предвид, че логаритъма на неположително число не е дефиниран. Освен това основата на логаритъма трябва да е положително число, а не равно на 1. Например, ако повдигнем на квадрат -2, получаваме числото 4, но това не означава, че логаритъмът с основа -2 от 4 е 2.

Основно логаритмично тъждество

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Важно е, че областите на дефиниране на дясната и лявата част на тази формула са различни. Лявата страна е дефинирана само за b>0, a>0 и a ≠ 1. Дясната страна е дефинирана за всяко b и изобщо не зависи от a. По този начин прилагането на основното логаритмично "тъждество" при решаване на уравнения и неравенства може да доведе до промяна в DPV.

Две очевидни следствия от дефиницията на логаритъма

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Наистина, при повишаване на числото a на първа степен получаваме същото число, а при повдигане на нулева степен получаваме единица.

Логаритъм от произведението и логаритъм от частното

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Бих искал да предупредя учениците срещу необмисленото използване на тези формули при решаване на логаритмични уравнения и неравенства. Когато се използват "отляво надясно", ODZ се стеснява, а при преминаване от сбора или разликата на логаритмите към логаритъма на произведението или частното ODZ се разширява.

Наистина, изразът log a (f (x) g (x)) е дефиниран в два случая: когато и двете функции са строго положителни или когато f(x) и g(x) са и двете по-малки от нула.

Трансформиране даден изразв сумата log a f (x) + log a g (x) , трябва да се ограничим само до случая, когато f(x)>0 и g(x)>0. Има стесняване на обхвата на допустимите стойности, което е категорично недопустимо, тъй като може да доведе до загуба на решения. Подобен проблем съществува и за формула (6).

Степента може да бъде извадена от знака на логаритъма

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

И отново искам да призова за точност. Разгледайте следния пример:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Лявата страна на равенството очевидно е дефинирана за всички стойности на f(x) с изключение на нула. Дясната страна е само за f(x)>0! Изваждайки степента на логаритъма, ние отново стесняваме ODZ. Обратната процедура води до разширяване на обхвата на допустимите стойности. Всички тези бележки се отнасят не само за степен 2, но и за всяка четна степен.

Формула за преместване в нова база

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Този рядък случай, когато ODZ не се променя по време на преобразуването. Ако сте избрали разумно основата c (положителна и не равна на 1), формулата за преминаване към нова база е напълно безопасна.

Ако изберем числото b като нова база c, получаваме важен частен случай на формула (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Няколко прости примера с логаритми

Пример 1 Изчислете: lg2 + lg50.
Решение. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Използвахме формулата за сумата от логаритми (5) и дефиницията на десетичния логаритъм.

Пример 2 Изчислете: lg125/lg5.
Решение. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Използвахме новата формула за базов преход (8).

Таблица с формули, свързани с логаритми

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)

Нека го обясним по-лесно. Например \(\log_(2)(8)\) е равно на степента \(2\), на която трябва да се повиши, за да се получи \(8\). От това е ясно, че \(\log_(2)(8)=3\).

Примери:		\(\log_(5)(25)=2\)		защото \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		защото \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		защото \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Аргумент и основа на логаритъма

Всеки логаритъм има следната "анатомия":

Аргументът на логаритъма обикновено се записва на неговото ниво, а основата се записва с долен индекс по-близо до знака на логаритъма. И този запис се чете така: "логаритъм от двадесет и пет при основа пет."

Как да изчислим логаритъма?

За да изчислите логаритъма, трябва да отговорите на въпроса: до каква степен трябва да се повдигне основата, за да получите аргумента?

Например, изчислете логаритъма: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

а) На каква степен трябва да се повдигне \(4\), за да се получи \(16\)? Очевидно второто. Ето защо:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(5)\), за да се получи \(1\)? И каква степен прави всяко число единица? Нула разбира се!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

г) На каква степен трябва да се повдигне \(\sqrt(7)\), за да се получи \(\sqrt(7)\)? В първата - всяко число от първа степен е равно на себе си.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

д) На каква степен трябва да се повдигне \(3\), за да се получи \(\sqrt(3)\)? От знаем, че това е дробна степен и следователно квадратният корен е степента на \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Пример : Изчислете логаритъма \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Решение :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Трябва да намерим стойността на логаритъма, нека го означим като х. Сега нека използваме дефиницията на логаритъма: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Какво свързва \(4\sqrt(2)\) и \(8\)? Две, защото и двете числа могат да бъдат представени с двойки: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Отляво използваме свойствата на степента: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) и \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Базите са равни, преминаваме към равенството на показателите
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Умножете двете страни на уравнението по \(\frac(2)(5)\)
		Полученият корен е стойността на логаритъма

Отговор : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Защо е измислен логаритъма?

За да разберем това, нека решим уравнението: \(3^(x)=9\). Просто съпоставете \(x\), за да работи равенството. Разбира се, \(x=2\).

Сега решете уравнението: \(3^(x)=8\). На какво е равно x? Това е смисълът.

Най-гениалните ще кажат: "Х е малко по-малко от две." Как точно трябва да се напише това число? За да отговорят на този въпрос, те измислиха логаритъм. Благодарение на него отговорът тук може да бъде записан като \(x=\log_(3)(8)\).

Искам да подчертая, че \(\log_(3)(8)\), както и всеки логаритъм е просто число. Да, изглежда необичайно, но е кратко. Защото, ако искахме да го запишем като десетичен знак, щеше да изглежда така: \(1.892789260714.....\)

Пример : Решете уравнението \(4^(5x-4)=10\)

Решение :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) и \(10\) не могат да бъдат намалени до една и съща основа. Така че тук не можете без логаритъма. Нека използваме дефиницията на логаритъма: \(a^(b)=c\) \(\Ляво-дясна стрелка\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Обърнете уравнението така, че x да е отляво
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		пред нас. Преместете \(4\) надясно. И не се страхувайте от логаритъма, третирайте го като нормално число.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Разделете уравнението на 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Тук е нашият корен. Да, изглежда необичайно, но отговорът не е избран.

Отговор : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Десетични и естествени логаритми

Както е посочено в дефиницията на логаритъма, неговата основа може да бъде всяко положително число освен едно \((a>0, a\neq1)\). И сред всички възможни основи има две, които се срещат толкова често, че е измислена специална кратка нотация за логаритми с тях:

Натурален логаритъм: логаритъм, чиято основа е числото на Ойлер \(e\) (равно приблизително на \(2,7182818…\)), а логаритъмът се записва като \(\ln(a)\).

Това е, \(\ln(a)\) е същото като \(\log_(e)(a)\)

Десетичен логаритъм: Логаритъм, чиято основа е 10, се записва \(\lg(a)\).

Това е, \(\lg(a)\) е същото като \(\log_(10)(a)\), където \(a\) е някакво число.

Основно логаритмично тъждество

Логаритмите имат много свойства. Един от тях се нарича "Основна логаритмична идентичност" и изглежда така:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Това свойство следва пряко от определението. Нека видим как точно се появи тази формула.

Спомнете си кратката дефиниция на логаритъма:

ако \(a^(b)=c\), тогава \(\log_(a)(c)=b\)

Тоест \(b\) е същото като \(\log_(a)(c)\). Тогава можем да запишем \(\log_(a)(c)\) вместо \(b\) във формулата \(a^(b)=c\) . Оказа се \(a^(\log_(a)(c))=c\) - основното логаритмично тъждество.

Можете да намерите останалите свойства на логаритмите. С тяхна помощ можете да опростите и изчислите стойностите на изрази с логаритми, които са трудни за директно изчисляване.

Пример : Намерете стойността на израза \(36^(\log_(6)(5))\)

Решение :

Отговор : \(25\)

Как да напиша число като логаритъм?

Както бе споменато по-горе, всеки логаритъм е просто число. Обратното също е вярно: всяко число може да бъде записано като логаритъм. Например знаем, че \(\log_(2)(4)\) е равно на две. Тогава можете да напишете \(\log_(2)(4)\) вместо две.

Но \(\log_(3)(9)\) също е равно на \(2\), така че можете също да напишете \(2=\log_(3)(9)\) . По същия начин с \(\log_(5)(25)\) и с \(\log_(9)(81)\) и т.н. Тоест, оказва се

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Така, ако имаме нужда, можем да запишем двете като логаритъм с произволна основа навсякъде (дори в уравнение, дори в израз, дори в неравенство) - просто записваме основата на квадрат като аргумент.

Същото е и с тройката - може да се запише като \(\log_(2)(8)\), или като \(\log_(3)(27)\), или като \(\log_(4)( 64) \) ... Тук записваме основата в куба като аргумент:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

И с четири:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

И с минус едно:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

И с една трета:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Всяко число \(a\) може да бъде представено като логаритъм с основа \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Пример : Намерете стойността на израз \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Решение :

Отговор : \(1\)

Днес ще говорим за логаритмични формулии направете демонстрация примери за решение.

Сами по себе си те предполагат модели на решение според основните свойства на логаритмите. Преди да приложим формулите за логаритъм към решението, ние ви припомняме първо всички свойства:

Сега, въз основа на тези формули (свойства), показваме примери за решаване на логаритми.

Примери за решаване на логаритми по формули.

Логаритъмположително число b при основа a (означено като log a b) е степента, до която a трябва да се повдигне, за да се получи b, с b > 0, a > 0 и 1.

Според определението log a b = x, което е еквивалентно на a x = b, така че log a a x = x.

Логаритми, примери:

log 2 8 = 3, защото 2 3 = 8

log 7 49 = 2 защото 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, защото 5 -1 = 1/5

Десетичен логаритъме обикновен логаритъм, чиято основа е 10. Означава се като lg.

log 10 100 = 2 защото 10 2 = 100

натурален логаритъм- също обичайният логаритъм логаритъм, но вече с основата e (e \u003d 2.71828 ... - ирационално число). Наричан като ln.

Желателно е да си припомним формулите или свойствата на логаритмите, защото те ще ни трябват по-късно при решаване на логаритми, логаритмични уравнения и неравенства. Нека да разгледаме всяка формула отново с примери.

• Основно логаритмично тъждество
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Логаритъмът на произведението е равен на сбора от логаритмите
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4

• Логаритъмът на частното е равен на разликата на логаритмите
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Свойства на степента на логаритмуемо число и основата на логаритъма

  Показателят на числото логаритъм log a b m = mlog a b

  Показател на основата на логаритъма log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ако m = n, получаваме log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Преход към нова основа
  log a b = log c b / log c a,

  ако c = b, получаваме log b b = 1

  тогава log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Както можете да видите, формулите за логаритъм не са толкова сложни, колкото изглеждат. Сега, след като разгледахме примери за решаване на логаритми, можем да преминем към логаритмични уравнения. Ще разгледаме примери за решаване на логаритмични уравнения по-подробно в статията: "". Не пропускайте!

Ако все още имате въпроси относно решението, напишете ги в коментарите към статията.

Забележка: реших да получа образование в друг клас в чужбина като опция.