Как се решават дробни линейни функции. Дробна линейна функция в часовете по математика с преподавател

“ОСНОВНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ СУБАШИ” ОБЩИНСКИ РАЙОН БАЛТАШЪ

РЕПУБЛИКА ТАТАРСТАН

Разработка на урока - 9 клас

Тема: Дробно – линейна функцияция

квалификационна категория

ГарифулинАРелсаазРифкатовна

201 4

Тема на урока: Дробната функция е линейна.

Целта на урока:

Образователни: Запознайте учениците с концепциитедробно – линейна функция и уравнение на асимптоти;

Развитие: Формиране на техники логично мислене, развитие на интерес към предмета; развиват определянето на областта на дефиниция, областта на стойността на дробна линейна функция и формирането на умения за конструиране на нейната графика;

- мотивационна цел:възпитаване на математическа култура, внимание на учениците, поддържане и развитие на интерес към изучаването на предмета чрез приложение различни формивладеене на знания.

Оборудване и литература: Лаптоп, проектор, интерактивна дъска, координатна равнина и графика на функцията y= , карта за отражение, мултимедийна презентация,Алгебра: учебник за 9. клас осн средно училище/ Ю.Н. Макаричев, Н. Г. Мендюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцията на С. А. Теляковски / М: „Просвещение“, 2004 г. с допълнения.

Тип урок:

урок за подобряване на знанията, уменията, способностите.

По време на часовете.

аз Организиране на времето:

Мишена: - развитие на устни компютърни умения;

повторение теоретични материалии определения, необходими за изучаване на нова тема.

Добър ден Започваме урока с проверка на домашното:

Внимание към екрана (слайд 1-4):

Упражнение 1.

Моля, отговорете на въпрос 3 според графиката на тази функция (намерете най-висока стойностфункции, ...)

( 24 )

Задача -2. Изчислете стойността на израза:

- =

Задача -3: Намерете утроената сума на корените квадратно уравнение:

х 2 -671∙X + 670= 0.

Сумата от коефициентите на квадратното уравнение е нула:

1+(-671)+670 = 0. Така че х 1 =1 и х 2 = следователно

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Сега нека напишем отговорите на всичките 3 задачи последователно с точки. (24 декември 2013 г.)

Резултат: Да, точно така! И така, темата на днешния урок:

Дробната функция е линейна.

Преди да тръгне по пътя, водачът трябва да знае правилата трафик: забранителни и разрешаващи знаци. Днес вие и аз също трябва да запомним някои забранителни и разрешителни знаци. Внимание към екрана! (Слайд-6 )

Заключение:

Изразът няма смисъл;

Правилно изразяване, отговор: -2;

правилен израз, отговор: -0;

Не можете да разделите 0 на нула!

Моля, обърнете внимание, всичко ли е написано правилно? (слайд – 7)

1) ; 2) = ; 3) = а .

(1) истинско равенство, 2) = - ; 3) = - а )

II. Изучаване на нова тема: (слайд – 8).

Мишена: Да научите уменията за намиране на дефиниционната област и стойностната област на дробна линейна функция, като построите нейната графика, като използвате паралелно прехвърляне на графиката на функцията по абсцисната и ординатната ос.

Определете върху коя функция е дадена графиката координатна равнина?

Дадена е графиката на функция върху координатната равнина.

Въпрос

Очакван отговор

Намерете областта на дефиниция на функцията, (д( г)=?)

X ≠0, или(-∞;0]UUU

Преместваме графиката на функцията с помощта на паралелна транслация по оста Ox (абсцисата) 1 единица надясно;

Каква функция изобразихте?

Преместваме графиката на функцията с помощта на паралелна транслация по оста Oy (ордината) с 2 единици нагоре;

Сега, каква функция сте изобразили?

Начертайте прави линии x=1 и y=2

Как смятате? Какви директни съобщения получихме вие ​​и аз?

Това са правите, към които се приближават точките от кривата на графиката на функцията при отдалечаване до безкрайност.

И се наричат– асимптоти.

Тоест една асимптота на хиперболата е успоредна на оста y на разстояние 2 единици вдясно от нея, а втората асимптота е успоредна на оста x на разстояние 1 единица над нея.

Много добре! Сега нека заключим:

Графиката на линейна дробна функция е хипербола, която може да се получи от хиперболата y =използвайки паралелни транслации по координатните оси. За да направите това, формулата на дробната линейна функция трябва да бъде представена в следния вид: y=

където n е броят на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, m е броят на единиците, с които хиперболата се измества нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към прави x = m, y = n.

Нека дадем примери за дробна линейна функция:

; .

Дробна линейна функция е функция от формата y = , където x е променлива, a, b, c, d са някои числа и c ≠ 0, ad – bc ≠ 0.

c≠0 иреклама- пр.н.е≠0, тъй като при c=0 функцията се превръща в линейна функция.

Акореклама- пр.н.е=0, получената дроб е стойност, която е равна на (т.е. постоянно).

Свойства на дробна линейна функция:

1. Тъй като положителните стойности на аргумента се увеличават, стойностите на функцията намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

2. Тъй като положителните стойности на функцията се увеличават, стойностите на аргумента намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

III – затвърдяване на преминатия материал.

Мишена: - развиват презентационни умения и способностиформули на дробна линейна функция във вида:

Укрепване на уменията за съставяне на асимптотични уравнения и начертаване на графика на дробна линейна функция.

Пример -1:

Решение: Използвайки трансформации, представяме тази функция във формата .

= (слайд 10)

Физкултурна минута:

(загрявката се ръководи от дежурния)

Мишена: - облекчаване на психическото напрежение и подобряване на здравето на учениците.

Работа с учебника: No184.

Решение: Използвайки трансформации, представяме тази функция във формата y=k/(x-m)+n.

= de x≠0.

Нека напишем асимптотното уравнение: x=2 и y=3.

И така, графиката на функцията се движи по оста Ox на разстояние 2 единици вдясно от нея и по оста Oy на разстояние 3 единици над нея.

Групова работа:

Мишена: - развиване на способността да изслушвате другите и в същото време конкретно да изразявате своето мнение;

образование на лидерска личност;

възпитаване на култура на математическата реч у учениците.

Опция 1

Дадена функция:

.

.

Вариант №2

Дадена функция

1. Редуцирайте линейната дробна функция до стандартна форма и запишете уравнението на асимптотите.

2. Намерете домейна на функцията

3. Намерете множеството от стойности на функцията

1. Редуцирайте линейната дробна функция до стандартна форма и запишете уравнението на асимптотите.

2. Намерете домейна на функцията.

3. Намерете набора от стойности на функцията.

(Групата, която е завършила работата първа, се подготвя да защити груповата работа на дъската. Работата се анализира.)

IV. Обобщаване на урока.

Мишена: - анализ на теоретичните и практически дейностина урока;

Формиране на умения за самооценка у учениците;

Рефлексия, самооценка на дейността и съзнанието на учениците.

И така, скъпи мои ученици! Урокът е към своя край. Трябва да попълните карта за размисъл. Пишете мненията си внимателно и четливо

Фамилия и собствено име _______________________________________

Стъпки на урока

Определяне на нивото на сложност на етапите на урока

Вашите нас-трима

Оценка на вашата дейност в урока, 1-5 точки

лесно

средно тежък

труден

Организационен етап

Учене на нов материал

Формиране на умения за построяване на графика на дробна линейна функция

Групова работа

Общо мнение за урока

Домашна работа:

Мишена: - проверка на нивото на владеене на тази тема.

[клауза 10*, № 180(a), 181(b).]

Подготовка за държавен изпит: (Работя върху "Виртуален факультатив" )

Упражнение от серията GIA (№ 23 - максимален резултат):

Начертайте графика на функцията Y=и определете при какви стойности на c правата линия y=c има точно една обща точка с графиката.

Въпросите и задачите ще се публикуват от 14.00 до 14.30 часа.

1. Дробна линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

С концепцията рационални числавероятно вече се познавате. По същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно на два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частното на две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция на формата

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е постоянна). Линейната дробна функция е дефинирана за всички реални числа с изключение на x = -d/c. Графиките на дробни линейни функции не се различават по форма от графиката y = 1/x, която познавате. Извиква се крива, която е графика на функцията y = 1/x хипербола. С неограничено увеличение на х абсолютна стойностфункцията y = 1/x намалява неограничено по абсолютна стойност и двата клона на графиката се приближават към оста x: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, към които се приближават клоновете на хипербола, се наричат ​​нейни асимптоти.

Пример 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy 7 пъти и изместване с 2 единични сегменти нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по подобен начин, като се подчертава „цялата част“. Следователно, графиките на всички дробни линейни функции са хиперболи, по различни начиниизместени по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се построи графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се трансформира дробта, определяща тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим правите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2.

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана при x = -1. Това означава, че правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделете числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Когато x → ∞ дробта ще клони към 3/2. Това означава, че хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3.

Начертайте графика на функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Нека изберем "цялата част" на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване с 2 единични сегмента нагоре по оста Oy.

Област D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията нараства на всеки интервал от областта на дефиниране.

Отговор: Фигура 1.

2. Дробна рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) или y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) представлява частното от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се конструира точно , с всички подробности. Често обаче е достатъчно да се използват техники, подобни на тези, които вече представихме по-горе.

Нека дробта е правилна дроб (n< m). Известно, что любую несократимую рационална дробможе да бъде представено и по уникален начин като сума от краен брой елементарни дроби, чиято форма се определя чрез разлагане на знаменателя на дробта Q(x) в произведението на реални фактори:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

Построяване на графики на дробни рационални функции

Нека разгледаме няколко начина за конструиране на графики на дробна рационална функция.

Пример 4.

Начертайте графика на функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y = x 2, за да построим графика на y = 1/x 2 и използваме техниката на „разделяне“ на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: Фигура 2.

Пример 5.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизация, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: Фигура 3.

Пример 6.

Начертайте графика на функцията y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниране е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо ординатата. Преди да изградим графика, нека трансформираме израза отново, като подчертаем цялата част:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Имайте предвид, че изолирането на цялата част във формулата на дробна рационална функция е едно от основните при конструирането на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. правата линия y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: Фигура 4.

Пример 7.

Нека разгледаме функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитаме да намерим точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно нашата крива не може да се „издигне“ много високо, т.к знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направим това, трябва да решим уравнението x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Това уравнение няма реални корени. Това означава, че нашето предположение е неправилно. За да намерите най голямо значениефункция, трябва да откриете при какво най-голямо A уравнението A = x/(x 2 + 1) ще има решение. Нека заменим първоначалното уравнение с квадратно: Ax 2 – x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 – 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Все още имате въпроси? Не знаете как да чертаете функции?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материал е необходима връзка към първоизточника.

брадва +b
Дробната линейна функция е функция на формата г = --- ,
cx +д

Където х– променлива, а,б,° С,д– някои числа и ° С ≠ 0, реклама -пр.н.е ≠ 0.

Свойства на дробна линейна функция:

Графиката на линейна дробна функция е хипербола, която може да се получи от хипербола y = k/x с помощта на паралелни транслации по координатните оси. За да направите това, формулата на дробната линейна функция трябва да бъде представена в следната форма:

к
y = n + ---
x–m

Където н– броя на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, м– броя на единиците, с които хиперболата се движи нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към прави x = m, y = n.

Асимптотата е права линия, към която точките на кривата се приближават, докато се отдалечават до безкрайност (вижте фигурата по-долу).

Що се отнася до паралелните трансфери, вижте предишните раздели.

Пример 1.Нека намерим асимптотите на хиперболата и начертаем функцията:

х + 8
г = ---
х – 2

Решение:

к
Нека представим дробта като n + ---
x–m

За това х+ 8 записваме в следната форма: x – 2 + 10 (т.е. 8 се представя като –2 + 10).

х+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
х – 2 х – 2 х – 2 х – 2

Защо изразът е приел тази форма? Отговорът е прост: направете събирането (намаляване на двата члена до общ знаменател) и ще се върнете към предишния израз. Тоест, това е резултатът от трансформирането на даден израз.

И така, имаме всички необходими стойности:

k = 10, m = 2, n = 1.

Така намерихме асимптотите на нашата хипербола (въз основа на факта, че x = m, y = n):

Тоест една асимптота на хиперболата е успоредна на оста гна разстояние 2 единици вдясно от нея, а втората асимптота е успоредна на оста хна разстояние 1 единица над него.

Нека изградим графика на тази функция. За да направим това, ще направим следното:

1) начертайте в координатната равнина с пунктирана линия асимптотите – правата x = 2 и правата y = 1.

2) тъй като хиперболата се състои от два клона, тогава за да конструираме тези клонове, ще съставим две таблици: една за x<2, другую для x>2.

Първо, нека изберем стойностите x за първата опция (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 – 2 = –1
–3 – 2

Избираме произволно други стойности х(например -2, -1, 0 и 1). Изчислете съответните стойности г. Резултатите от всички получени изчисления се въвеждат в таблицата:

Сега нека създадем таблица за опция x>2:

Ето коефициентите за хи са дадени свободни членове в числителя и знаменателя реални числа. Графиката на дробно-линейна функция в общия случай е хипербола.

Най-простият дробна линейна функция y = -Вие-

стачки обратен пропорционална зависимост ; хиперболата, която го представлява, е добре позната от курса гимназия(фиг. 5.5).

Ориз. 5.5

Пример. 5.3

Начертайте графика на линейна дробна функция:

• 1. Тъй като тази дроб няма смисъл, когато х = 3, Че област на функция Xсе състои от два безкрайни интервала:
• 3) и (3; +°°).

2. За да се изследва поведението на функция на границата на областта на дефиниция (т.е. когато х-»3 и при х-> ±°°), е полезно да се конвертира този изразна сумата от два члена, както следва:

Тъй като първият член е постоянен, поведението на функцията на границата всъщност се определя от втория, променлив член. Изучавайки процеса на неговата промяна, когато х-> 3 и х->±°°, правим следните изводи относно дадената функция:

• а) за х->3 на дясно(т.е. за *>3) стойността на функцията нараства неограничено: при-> +°°: при x->3 наляво(т.е. при x y - Така желаната хипербола се доближава до правата линия без ограничение с уравнението x = 3 (долу влявоИ горе в дясно)и по този начин тази права линия е вертикална асимптотахипербола;
• б) когато x ->±°° вторият член намалява неограничено, така че стойността на функцията се доближава до първия, постоянен член без ограничение, т.е. да оценявам y = 2. В този случай графиката на функцията се приближава неограничено (долу вляво и горе вдясно) към правата, дадена от уравнението y = 2; по този начин тази линия е хоризонтална асимптотахипербола.

Коментирайте.Информацията, получена в този раздел, е най-важната за характеризиране на поведението на графиката на функция в отдалечената част на равнината (образно казано, в безкрайност).

• 3. Приемайки l = 0, намираме y = ~.Следователно желаната хи-

пербола пресича оста OUв точката M x = (0;-^).

• 4. Функция нула ( при= 0) ще бъде, когато х= -2; следователно тази хипербола пресича оста ов точка М 2 (-2; 0).
• 5. Дробта е положителна, ако числителят и знаменателят имат еднакъв знак, и отрицателна, ако имат различни знаци. Решавайки съответните системи от неравенства, откриваме, че функцията има два положителни интервала: (-°°; -2) и (3; +°°) и един отрицателен интервал: (-2; 3).
• 6. Представянето на функция като сума от два члена (виж т. 2) прави доста лесно откриването на два интервала на намаление: (-°°; 3) и (3; +°°).
• 7. Очевидно тази функция няма екстремуми.
• 8. Задайте Y от стойностите на тази функция: (-°°; 2) и (2; +°°).
• 9. Също така няма четно, нечетно или периодичност. Събраната информация е достатъчна за схематично

нарисувайте хипербола графичноотразяващи свойствата на тази функция (фиг. 5.6).

Ориз. 5.6

Обсъдените до тук функции се извикват алгебричен.Нека сега да преминем към разглеждане трансценденталенфункции.

Дробна рационална функция

Формула y = k/ x, графиката е хипербола. В част 1 на GIA тази функция се предлага без измествания по осите. Следователно има само един параметър к. Най-голямата разлика в външен видграфиката зависи от знака к.

По-трудно е да се видят разликите в графиките, ако кедин знак:

Както виждаме, толкова повече к, толкова по-висока е хиперболата.

Фигурата показва функции, за които параметърът k се различава значително. Ако разликата не е толкова голяма, тогава е доста трудно да се определи на око.

В тази връзка следната задача, която намерих в общо взето добър наръчник за подготовка за държавен изпит, е просто „шедьовър“:

Не само това, в сравнително малка картина близко разположените графики просто се сливат. Също така хиперболи с положително и отрицателно k са изобразени в една и съща координатна равнина. Което напълно ще дезориентира всеки, който погледне тази рисунка. „Готината малка звезда“ просто хваща окото ви.

Слава Богу, това е само тренировъчна задача. В реалните версии бяха предложени по-правилни формулировки и очевидни чертежи.

Нека да разберем как да определим коефициента кспоред графиката на функцията.

От формулата: y = k/xследва това k = y x. Тоест, можем да вземем всяка целочислена точка с удобни координати и да ги умножим - получаваме к.

к= 1·(- 3) = - 3.

Следователно формулата на тази функция е: y = - 3/x.

Интересно е да се разгледа ситуацията с дробното k. В този случай формулата може да бъде написана по няколко начина. Това не трябва да бъде подвеждащо.

Например,

Невъзможно е да се намери нито една цяло число на тази графика. Следователно стойността кможе да се определи много приблизително.

к= 1·0,7≈0,7. Въпреки това може да се разбере, че 0< к< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

И така, нека обобщим.

к> 0 хипербола се намира в 1-ви и 3-ти координатни ъгли (квадранти),

к < 0 - во 2-м и 4-ом.

Ако кмодул по-голям от 1 ( к= 2 или к= - 2), тогава графиката е разположена над 1 (под - 1) по оста y и изглежда по-широка.

Ако кпо модул по-малко от 1 ( к= 1/2 или к= - 1/2), тогава графиката е разположена под 1 (над - 1) по оста y и изглежда по-тясна, „притисната“ към нула: