У дома » Кардиология » Дробна функция и нейната графика. Урок „Линейна дробна функция и нейната графика

Дробна функция и нейната графика. Урок „Линейна дробна функция и нейната графика

1. Дробна линейна функцияи нейния график

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

С концепция рационални числавероятно вече сте запознати с. по същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция за преглед

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е константа). Дробно-линейната функция е дефинирана за всички реални числа, с изключение на x = -d/c. Графиките на дробно-линейни функции не се различават по форма от познатата ви графика y = 1/x. Кривата, която е графиката на функцията y = 1/x, се нарича хипербола. С неограничено увеличение на x с абсолютна стойностфункцията y = 1/x намалява по абсолютна стойност неограничено и двата клона на графиката се приближават към абсцисната ос: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, до които се приближават клоновете на хипербола, се наричат нейни асимптоти.

Пример 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy със 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по същия начин, като се подчертае „цялата част“. Следователно, графиките на всички линейно-дробни функции са хиперболи, по различни начиниизместени по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се начертае графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се преобразува дробта, която определя тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим линиите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана, когато x = -1. Следователно правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделяме числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробта клони към 3/2. Следователно хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3

Начертайте функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Избираме „цялата част“ на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване от 2 единични интервала нагоре по оста Oy.

Област на дефиниция D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията расте на всеки от интервалите на дефиниционната област.

Отговор: фигура 1.

2. Дробно-рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) е частно от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се изгради точно , с всички подробности. Въпреки това, често е достатъчно да се прилагат техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.

Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

График на дробни рационални функции

Обмислете няколко начина за начертаване на дробно-рационална функция.

Пример 4

Начертайте функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y \u003d x 2, за да начертаем графиката y \u003d 1 / x 2 и използваме метода на "разделяне" на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: фигура 2.

Пример 5

Начертайте функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизиране, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: фигура 3.

Пример 6

Начертайте функцията y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниция е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста y. Преди да начертаем, ние отново трансформираме израза, като маркираме целочислената част:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Имайте предвид, че изборът на целочислената част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изчертаване на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. линията y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: фигура 4.

Пример 7

Разгледайте функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитайте да намерите точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно е, че нашата крива не може да се "изкачи" много високо, тъй като знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Това уравнение няма реални корени. Така че нашето предположение е погрешно. За да намерите най голямо значениетрябва да разберете за кое най-голямо A уравнението A \u003d x / (x 2 + 1) ще има решение. Нека заменим оригиналното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A = 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-висока стойностА = 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да изграждате функционални графики?
За да получите помощ от учител -.
Първият урок е безплатен!

blog.site, при пълно или частично копиране на материала е необходима връзка към източника.

Дробна рационална функция

Формула y = k/x, графиката е хипербола. В част 1 на GIA тази функция е предложена без отмествания по осите. Следователно той има само един параметър к. Най-голямата разлика в външен видграфиките зависят от знака к.

По-трудно е да видите разликите в графиките, ако кедин знак:

Както виждаме, толкова повече к, толкова по-висока е хиперболата.

Фигурата показва функции, за които параметърът k се различава значително. Ако разликата не е толкова голяма, тогава е доста трудно да се определи на око.

В тази връзка следната задача, която намерих в общо взето добро ръководство за подготовка за GIA, е просто „шедьовър“:

Не само това, в доста малка картина, тясно разположени графики просто се сливат. Също така в едно са изобразени хиперболи с положително и отрицателно k координатна равнина. Което е напълно дезориентиращо за всеки, който погледне тази рисунка. Просто "яка звезда" хваща окото.

Слава богу, това е само тренировъчна задача. В реалните версии бяха предложени по-правилни формулировки и очевидни чертежи.

Нека да разберем как да определим коефициента кспоред графиката на функцията.

От формулата: y = k / xследва това k = y x. Тоест, можем да вземем всяка целочислена точка с удобни координати и да ги умножим - получаваме к.

к= 1 (- 3) = - 3.

Следователно формулата за тази функция е: y = - 3/x.

Интересно е да се разгледа ситуацията с дробното k. В този случай формулата може да бъде написана по няколко начина. Това не трябва да бъде подвеждащо.

Например,

Невъзможно е да се намери нито една цяло число на тази графика. Следователно стойността кможе да се определи много грубо.

к= 1 0,7≈0,7. Въпреки това може да се разбере, че 0< к< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Така че нека обобщим.

к> 0 хиперболата е разположена в 1-ви и 3-ти координатни ъгли (квадранти),

к < 0 - во 2-м и 4-ом.

Ако кмодул по-голям от 1 ( к= 2 или к= - 2), тогава графиката е разположена над 1 (под - 1) на оста y, изглежда по-широка.

Ако кпо модул по-малко от 1 ( к= 1/2 или к= - 1/2), тогава графиката е разположена под 1 (отгоре - 1) по оста y и изглежда по-тясна, „притисната“ до нула:

Начало > Литература

Общинско учебно заведение

"Средно аритметично общообразователно училище№24"

Проблемна абстрактна работа

в алгебрата и началото на анализа

Графики на дробна рационална функция

Ученици от 11 А клас Товчегречко Наталия Сергеевна ръководител на работата Паршева Валентина Василиевна учител по математика, преподавател по висше образование квалификационна категория

Северодвинск

Съдържание 3Въведение 4Основна част. Графики на дробни рационални функции 6 Заключение 17 Литература 18

Въведение

Графичните функции са една от интересни темипо училищна математика. Един от най-великите математици на нашето време, Израел Моисеевич Гелфанд, пише: „Процесът на конструиране на графики е начин за превръщане на формули и описания в геометрични изображения. Това - чертане - е средство да видите формули и функции и да видите как тези функции се променят. Например, ако е написано y=x 2, веднага виждате парабола; ако y=x 2 -4 виждате парабола, намалена с четири единици; ако y=4-x 2 , тогава виждате предишната парабола с главата надолу. Тази способност да се вижда както формулата, така и нейната геометрична интерпретация наведнъж е важна не само за изучаването на математика, но и за други предмети. Това е умение, което остава с вас за цял живот, като да се научите да карате колело, да пишете или да карате кола." В часовете по математика изграждаме предимно най-простите графики – графики на елементарни функции. Едва в 11 клас с помощта на производната се научиха да изграждат по-сложни функции. Когато четете книги:

Целта на работата: да се изучат съответните теоретични материали, да се идентифицира алгоритъм за конструиране на графики на линейно-дробни и дробно-рационални функции. Задачи: 1. формират понятията за дробно-линейни и дробно-рационални функции въз основа на теоретичен материалпо тази тема; 2. намират методи за построяване на графики на дробно-линейни и дробно-рационални функции.

Главна част. Графики на дробни рационални функции

1. Дробно-линейна функция и нейната графика

Вече се запознахме с функция от вида y=k/x, където k≠0, нейните свойства и графика. Нека обърнем внимание на една особеност на тази функция. Функцията y=k/x върху множеството от положителни числа има свойството, че при неограничено нарастване на стойностите на аргумента (когато x клони към плюс безкрайност), стойностите на функциите, оставайки положителни, се стремят до нула. Тъй като положителните стойности на аргумента намаляват (когато x клони към нула), стойностите на функцията нарастват за неопределено време (y клони към плюс безкрайност). Подобна картина се наблюдава и при комплекта отрицателни числа. На графиката (фиг. 1) това свойство се изразява във факта, че точките на хиперболата, докато се отдалечават до безкрайност (надясно или наляво, нагоре или надолу) от началото, се приближават до правата линия за неопределено време: към оста x, когато │x│ клони към плюс безкрайност, или към оста y, когато │x│ отива към нула. Тази линия се нарича асимптоти на кривата.

Ориз. един

Хиперболата y=k/x има две асимптоти: оста x и оста y. Концепцията за асимптота играе важна роля в изграждането на графики на много функции. Използвайки известните ни трансформации на функционални графики, можем да преместим хиперболата y=k/x в координатната равнина надясно или наляво, нагоре или надолу. В резултат на това ще получим нови графики на функции. Пример 1Нека y=6/x. Нека изместим тази хипербола надясно с 1,5 единици и след това ще изместим получената графика с 3,5 единици нагоре. С тази трансформация асимптотите на хиперболата y=6/x също ще се изместят: оста x ще премине в правата линия y=3.5, оста y в правата линия y=1.5 (фиг. 2). Функцията, чиято графика сме построили, може да бъде дадена с формулата

Нека представим израза от дясната страна на тази формула като дроб:

И така, Фигура 2 показва графиката на функцията, дадена от формулата

Числителят и знаменателят на тази дроб са линейни биноми по отношение на x. Такива функции се наричат дробни линейни функции.

Като цяло, функция, дадена от формула на формата
, където
x е променлива, a,b, ° С, дса дадени числа, като c≠0 и
пр.н.е- реклама≠0 се нарича дробно-линейна функция.Обърнете внимание, че изискването в дефиницията е c≠0 и
bc-ad≠0, съществено. При c=0 и d≠0 или bc-ad=0 получаваме линейна функция. Действително, ако с=0 и d≠0, тогава

Ако bc-ad=0, c≠0, изразявайки b от това равенство по отношение на a, c и d и го замествайки във формулата, получаваме:

И така, в първия случай имаме линейна функция общ изглед
, във втория случай - константа
. Нека сега покажем как да начертаем линейно-дробна функция, ако тя е дадена с формула от вида
Пример 2Нека начертаем функцията
, т.е. нека го представим във формата
: изберете цялата част от дробта, като разделите числителя на знаменателя, получаваме:

Така,
. Виждаме, че графиката на тази функция може да бъде получена от графиката на функцията y=5/x с помощта на две последователни измествания: изместване на хиперболата y=5/x надясно с 3 единици и след това изместване на получената хипербола
нагоре с 2 единици.С тези измествания асимптотите на хиперболата y \u003d 5 / x също ще се преместят: оста x е 2 единици нагоре, а оста y е 3 единици надясно. За да изградим графика, начертаваме пунктирана асимптота в координатната равнина: правата линия y=2 и правата линия x=3. Тъй като хиперболата се състои от два клона, за да изградим всеки от тях, ще направим две таблици: една за x<3, а другую для x>3 (т.е. първата отляво на пресечната точка на асимптотата, а втората вдясно от нея):

Маркирайки в координатната равнина точките, чиито координати са посочени в първата таблица, и ги свързваме с гладка линия, получаваме един клон на хиперболата. По същия начин (използвайки втората таблица) получаваме второто разклонение на хиперболата. Графиката на функцията е показана на фигура 3.

Всяка дроб
може да се напише по подобен начин, като се подчертае цялата му част. Следователно графиките на всички линейно-дробни функции са хиперболи, изместени по различни начини успоредни на координатните оси и опънати по оста Oy.

Пример 3

Нека начертаем функцията
.Тъй като знаем, че графиката е хипербола, достатъчно е да намерим правите, към които се приближават нейните клонове (асимптоти) и още няколко точки. Нека първо намерим вертикалната асимптота. Функцията не е дефинирана, където 2x+2=0, т.е. при х=-1. Следователно вертикалната асимптота е правата x=-1. За да намерим хоризонталната асимптота, трябва да погледнем към какво се приближават стойностите на функциите, когато аргументът нараства (по абсолютна стойност), вторите членове в числителя и знаменателя на дробта
относително малък. Ето защо

Следователно хоризонталната асимптота е права линия y=3/2. Нека да определим пресечните точки на нашата хипербола с координатните оси. За x=0 имаме y=5/2. Функцията е равна на нула, когато 3x+5=0, т.е. при x \u003d -5 / 3. Маркирайки точките (-5 / 3; 0) и (0; 5/2) на чертежа и изчертавайки намерените хоризонтални и вертикални асимптоти, ще изградим графика (фиг. 4) .

Като цяло, за да се намери хоризонталната асимптота, е необходимо да се раздели числителят на знаменателя, тогава y=3/2+1/(x+1), y=3/2 е хоризонталната асимптота.

2. Дробно-рационална функция

Помислете за дробна рационална функция

В които числителят и знаменателят са полиноми, съответно n-ти и m-та степен. Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Където k 1 ... k s са корените на полинома Q (x), имащи съответно кратности m 1 ... m s , а триномите съответстват на двойки спрежения на комплексни корени Q (x) с кратност m 1 ... m t дроби от формата

са наречени елементарен рационални дроби съответно първи, втори, трети и четвърти тип. Тук A, B, C, до - реални числа; m и m са естествени числа, m, m>1; триномът с реални коефициенти x 2 +px+q има въображаеми корени.Очевидно графиката на дробно-рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби. Функционална графика

Получаваме от графиката на функцията 1/x m (m~1, 2, …) чрез паралелно транслиране по оста x с │k│ мащабни единици надясно. Вижте графиката на функцията

Лесно се конструира, ако в знаменателя се избере пълен квадрат и след това се извърши подходящото формиране на графиката на функцията 1/x 2. График на функция

се свежда до конструиране на продукта от графики на две функции:

г= bx+ ° Си

Коментирайте. График на функция

където a d-b c 0 ,
,

където n - естествено число, може да се извърши според обща схемафункция изследване и чертане в някои конкретни примериможете успешно да изградите графика, като извършите подходящите трансформации на графиката; по най-добрия начиндават методи на висшата математика. Пример 1Начертайте функция

Избирайки цялата част, имаме

Фракция
представят като сбор от елементарни дроби:

Нека изградим графики на функции:

След като добавим тези графики, получаваме графика на дадена функция:

Фигури 6, 7, 8 са примери за чертане на функции
и
. Пример 2График на функция
:

(1);
(2);
(3); (4)

Пример 3Построяване на графика на функция

(1);
(2);
(3); (4)

Заключение

При извършване на абстрактна работа: - изясни понятията си за линейно-фракционни и дробно-рационални функции: Определение 1.Дробната линейна функция е функция от вида , където x е променлива, a, b, c и d са дадени числа, като c≠0 и bc-ad≠0. Определение 2.Дробната рационална функция е функция на формата

Където n

Формира алгоритъм за построяване на графики на тези функции;

Натрупан опит в графични функции като:

;

Научих се да работя с допълнителна литература и материали, да подбирам научна информация; - Натрупах опит в изпълнението на графични работи на компютър; - Научих се да съставя проблемно-обобщена работа.

Анотация. В навечерието на 21-ви век бяхме бомбардирани с безкраен поток от разговори и разсъждения за информационната магистрала (информационната магистрала) и идващата ера на технологиите.

В навечерието на 21-ви век бяхме бомбардирани с безкраен поток от разговори и разсъждения за информационната магистрала (информационната магистрала) и идващата ера на технологиите.

Избираемите курсове са една от формите за организация на образователно-познавателни и образователни и изследователски дейности на гимназистите

Документ

Този сборник е петият брой, подготвен от екипа на Московската градска педагогическа гимназия-лаборатория № 1505 с подкрепата на…….

Математика и опит

Книга

Статията прави опит за мащабно сравнение на различни подходи към връзката между математика и опит, които са се развили главно в рамките на априоризма и емпиризма.

“ОСНОВНО ОБРАЗОВАТЕЛНО УЧИЛИЩЕ СУБАШ” ОБЩИНСКИ РАЙОН БЪЛТАШЪ

РЕПУБЛИКА ТАТАРСТАН

Разработка на урок - 9 клас

Тема: Дробна линейна функция

квалификационна категория

ГарифулинаРелсаазРифкатовна

201 4

Тема на урока: Дробно - линейна функция.

Целта на урока:

Образователни: Запознайте учениците с понятиятадробно-линейна функция и уравнение на асимптоти;

Развиващи: Формиране на техники за логическо мислене, развитие на интерес към предмета; да развият намирането на областта на дефиницията, областта на стойността на дробна линейна функция и формирането на умения за изграждане на нейната графика;

- мотивационна цел:възпитание на математическа култура на учениците, внимание, запазване и развитие на интерес към изучаването на предмета чрез използване на различни форми на овладяване на знания.

Оборудване и литература: Лаптоп, проектор, интерактивна дъска, координатна равнина и графика на функцията y= , карта за отражение, мултимедийна презентация,Алгебра: учебник за 9-ти клас на основното общообразователно училище / Ю.Н. Макаричев, Н. Г. Мендюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; под редакцията на С. А. Теляковски / М: „Просвещение“, 2004 г. с допълнения.

Тип урок:

урок за подобряване на знанията, уменията, уменията.

По време на часовете.

I организационен момент:

Цел: - развитие на устни компютърни умения;

повторение на теоретични материали и определения, необходими за изучаване на нова тема.

Добър ден! Започваме урока с проверка на домашното:

Внимание към екрана (слайд 1-4):

Упражнение 1.

Моля, отговорете на 3-тия въпрос според графиката на тази функция (намерете максималната стойност на функцията, ...)

( 24 )

Задача -2. Изчислете стойността на израза:

- =

Задача -3: Намерете тройната сума на корените на квадратното уравнение:

х 2 -671∙X + 670= 0.

Сумата от коефициентите на квадратното уравнение е нула:

1+(-671)+670 = 0. Така че х 1 =1 и х 2 = Следователно,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

А сега ще напишем последователно отговорите на всичките 3 задачи чрез точки. (24.12.2013г.)

Резултат: Да, точно така! И така, темата на днешния урок:

Дробно - линейна функция.

Преди да влезе на пътя, водачът трябва да знае правилата на пътя: забранителни и разрешаващи знаци. Днес също трябва да запомним някои забранителни и разрешаващи знаци. Внимание към екрана! (Слайд-6 )

Изход:

Изразът няма смисъл;

Правилно изразяване, отговор: -2;

правилен израз, отговор: -0;

не можеш да делиш на нула 0!

Обърнете внимание дали всичко е написано правилно? (слайд - 7)

1) ; 2) = ; 3) = а .

(1) истинско равенство, 2) = - ; 3) = - а )

II. Проучване на нова тема: (слайд - 8).

Цел: Да научите умения за намиране на зоната на дефиниция и областта на стойността на дробно-линейна функция, като начертаете нейната графика, като използвате паралелно прехвърляне на графиката на функцията по абсцисата и ординатите.

Определете коя функция е изобразена в координатната равнина?

Дадена е графиката на функцията върху координатната равнина.

Въпрос

Очакван отговор

Намерете домейна на функцията, (д( г)=?)

X ≠0, или(-∞;0]UUU

Преместваме графиката на функцията с помощта на паралелна транслация по оста Ox (абсцисата) с 1 единица надясно;

Коя функция е изобразена?

Преместваме графиката на функцията с помощта на паралелна транслация по оста Oy (ордината) с 2 единици нагоре;

И сега, каква функционална графика е построена?

Начертайте линии x=1 и y=2

Как смятате? Какви директни линии получихме?

Това са тези прави линии, към които точките от кривата на графиката на функцията се приближават при отдалечаване до безкрайност.

И се наричатса асимптоти.

Тоест една асимптота на хиперболата върви успоредно на оста y на разстояние 2 единици вдясно от нея, а втората асимптота върви успоредно на оста x на разстояние 1 единица над нея.

Много добре! Сега нека заключим:

Графиката на дробно-линейна функция е хипербола, която може да се получи от хиперболата y =използвайки паралелни транслации по координатните оси. За целта формулата на линейно-дробна функция трябва да бъде представена в следния вид: y =

където n е броят единици, с които хиперболата се движи надясно или наляво, m е броят единици, с които хиперболата се движи нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към правите x = m, y = n.

Ето примери за дробна линейна функция:

; .

Дробно-линейна функция е функция от формата y = , където x е променлива, a, b, c, d са някои числа, като c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.

c≠0 иреклама- пр.н.е≠0, тъй като при c=0 функцията се превръща в линейна функция.

Акореклама- пр.н.е=0, получаваме намалена дробна стойност, която е равна на (т.е. постоянно).

Свойства на дробно-линейна функция:

1. Тъй като положителните стойности на аргумента се увеличават, стойностите на функцията намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

2. Тъй като положителните стойности на функцията се увеличават, стойностите на аргумента намаляват и клонят към нула, но остават положителни.

III - затвърдяване на преминатия материал.

Цел: - развиват презентационни умения и способностиформули на линейно-дробна функция във вида:

Да се консолидират уменията за съставяне на асимптотични уравнения и чертане на дробна линейна функция.

Пример -1:

Решение: Използвайки трансформации, представяме тази функция във формата .

= (слайд-10)

Физическо възпитание:

(води за загряване - дежурен)

Цел: - Премахване на психическото напрежение и укрепване здравето на учениците.

Работа с учебника: No184.

Решение: Използвайки трансформации, представяме тази функция като y=k/(х-m)+n .

= de x≠0.

Нека напишем асимптотното уравнение: x=2 и y=3.

И така, графиката на функцията се движи по оста x на разстояние 2 единици отдясно и по оста y на разстояние 3 единици над нея.

Групова работа:

Цел: - формиране на умения да слушате другите и в същото време конкретно да изразявате своето мнение;

образование на лидерска личност;

възпитаване на културата на математическата реч в учениците.

Вариант номер 1

Дадена функция:

Вариант номер 2

Дадена функция

1. Приведете дробно-линейната функция към стандартната форма и запишете асимптотното уравнение.

2. Намерете обхвата на функцията

3. Намерете множеството от стойности на функцията

1. Приведете дробно-линейната функция към стандартната форма и запишете асимптотното уравнение.

2. Намерете обхвата на функцията.

3. Намерете набор от стойности на функцията.

(Групата, която първа е завършила работата, се готви да защити групова работа на дъската. Извършва се анализ на работата.)

IV. Обобщаване на урока.

Цел: - анализ на теоретичните и практически дейности в урока;

Формиране на умения за самооценка у учениците;

Рефлексия, самооценка на дейността и съзнанието на учениците.

И така, скъпи мои ученици! Урокът е към своя край. Трябва да попълните карта за отражение. Напишете мнението си ясно и четливо

Фамилия и собствено име _______________________________________

Етапи на урока

Определяне на нивото на сложност на етапите на урока

Вашето нас-тройно

Оценка на вашата дейност в урока, 1-5 точки

лесно

средно тежък

труден

Организационен етап

Учене на нов материал

Формиране на умения за изграждане на графика на дробно-линейна функция

Групова работа

Общо мнение за урока

Домашна работа:

Цел: - проверка на нивото на развитие на тази тема.

[стр.10*, № 180(a), 181(b).]

Подготовка за GIA: (Работи върху "Виртуален факултатив“ )

Задачата от серията GIA (№ 23 - максимален резултат):

Начертайте функцията Y=и определете за какви стойности на c правата y=c има точно една обща точка с графиката.

Въпросите и задачите ще се публикуват от 14.00 до 14.30 часа.

брадва +b
Линейна дробна функция е функция на формата г = --- ,
cx +д

където х- променлива, а,б,° С,дса някои числа и ° С ≠ 0, рекламапр.н.е ≠ 0.

Свойства на дробно-линейна функция:

Графиката на дробно-линейна функция е хипербола, която може да се получи от хиперболата y = k/x с помощта на паралелни транслации по координатните оси. За да направите това, формулата на линейно-фракционна функция трябва да бъде представена в следната форма:

к
y = n + ---
х-м

където н- броя на единиците, с които хиперболата се измества надясно или наляво, м- броя на единиците, с които хиперболата се движи нагоре или надолу. В този случай асимптотите на хиперболата се изместват към правите x = m, y = n.

Асимптотата е права линия, приближена от точките на кривата, докато се отдалечават до безкрайност (вижте фигурата по-долу).

Що се отнася до паралелните трансфери, вижте предишните раздели.

Пример 1Намерете асимптотите на хиперболата и начертайте графиката на функцията:

х + 8
г = ---
х – 2

решение:

к
Нека представим дробта като n + ---
х-м

За това х+ 8 записваме в следната форма: x - 2 + 10 (т.е. 8 беше представено като -2 + 10).

х+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
х – 2 х – 2 х – 2 х – 2

Защо изразът придоби тази форма? Отговорът е прост: направете събирането (като приведете двата термина към общ знаменател) и ще се върнете към предишния израз. Тоест, това е резултат от трансформацията на дадения израз.

И така, имаме всички необходими стойности:

k = 10, m = 2, n = 1.

Така намерихме асимптотите на нашата хипербола (въз основа на факта, че x = m, y = n):

Тоест една асимптота на хиперболата е успоредна на оста гна разстояние 2 единици вдясно от него, а втората асимптота е успоредна на оста х 1 единица над него.

Нека начертаем тази функция. За да направим това, ще направим следното:

1) начертаваме в координатната равнина с пунктирана линия асимптотите - правата x = 2 и правата y = 1.

2) тъй като хиперболата се състои от два клона, тогава за да конструираме тези клонове, ще съставим две таблици: една за x<2, другую для x>2.

Първо избираме стойностите x за първата опция (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3 – 2

Избираме произволно други стойности х(например -2, -1, 0 и 1). Изчислете съответните стойности г. Резултатите от всички получени изчисления се въвеждат в таблицата:

Сега нека направим таблица за опцията x>2:

Дял: