У дома » Дете от 1 година до 1,5 години » Дробно линейна асимптотна функция. Изграждането на графики на функции е една от най-интересните теми в училищната математика.

Дробно линейна асимптотна функция. Изграждането на графики на функции е една от най-интересните теми в училищната математика.

Функция y = и нейната графика.

ЦЕЛИ:

1) въведете дефиницията на функцията y = ;

2) научите как да начертаете графика на функцията y = с помощта на програмата Agrapher;

3) да формира способността за изграждане на скици на графики на функцията y \u003d с помощта на свойствата на трансформацията на графики на функции;

I. Нов материал – разширен разговор.

Y: Разгледайте функциите, дадени от формулите y = ; y = ; y = .

Какви са изразите, записани от дясната страна на тези формули?

Г: Десните части на тези формули имат формата на рационална дроб, в която числителят е бином от първа степен или число, различно от нула, а знаменателят е бином от първа степен.

U: Обичайно е такива функции да се задават чрез формула на формата

Разгледайте случаите, когато a) c = 0 или c) = .

(Ако във втория случай учениците ще изпитат трудности, тогава трябва да ги помолите да изразят сот дадена пропорция и след това заместете получения израз във формула (1)).

D1: Ако c \u003d 0, тогава y \u003d x + b е линейна функция.

D2: Ако = , тогава c = . Заместване на стойността с във формула (1) получаваме:

Тоест y = е линейна функция.

Y: Функция, която може да бъде определена чрез формула под формата y \u003d, където буквата x означава независим

тази променлива и буквите a, b, c и d са произволни числа, а c0 и ad са всички 0, се нарича дробно-линейна функция.

Нека покажем, че графиката на дробно-линейна функция е хипербола.

Пример 1Нека начертаем функцията y = . Нека извлечем цялата част от дробта.

Имаме: = = = 1 + .

Графиката на функцията y \u003d +1 може да бъде получена от графиката на функцията y \u003d с помощта на две успоредни преводи: изместване с 2 единици надясно по оста X и изместване с 1 единица нагоре в посока на оста Y. С тези измествания асимптотите на хиперболата y \u003d ще се преместят: правата линия x \u003d 0 (т.е. оста y) е 2 единици надясно, а правата линия y = 0 (т.е. оста x) е една единица нагоре. Преди да начертаем, нека рисуваме координатна равнинапунктирани асимптоти: прави x = 2 и y = 1 (фиг. 1а). Като се има предвид, че хиперболата се състои от два клона, за да конструираме всеки от тях, ще съставим с помощта на програмата Agrapher две таблици: едната за x>2, а другата за x<2.

х	1	0	-1	-2	-4	-10
при	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
х	3	4	5	6	8	12
при	7	4	3	2,5	2	1,6

Маркирайте (с помощта на програмата Agrapher) в координатната равнина точките, чиито координати са записани в първата таблица, и ги свържете с гладка непрекъсната линия. Получаваме едно разклонение на хиперболата. По същия начин, използвайки втората таблица, получаваме второто разклонение на хиперболата (фиг. 1b).

Пример 2. Нека начертаем функцията y \u003d -.Избираме цялата част от фракцията, като разделяме бинома 2x + 10 на бинома x + 3. Получаваме = 2 +. Следователно y = -2.

Графиката на функцията y = -2 може да се получи от графиката на функцията y = - с помощта на две успоредни транслации: изместване с 3 единици наляво и изместване с 2 единици надолу. Асимптотите на хиперболата са правите x = -3 и y = -2. Компилирайте (с помощта на програмата Agrapher) таблици за x<-3 и для х>-3.

х	-2	-1	1	2	7
при	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
х	-4	-5	-7	-8	-11
при	2	0	-1	-1,2	-1,5

След като изградихме (използвайки програмата Agrapher) точки в координатната равнина и изчертавайки клонове на хиперболата през тях, получаваме графика на функцията y = - (фиг. 2).

W:Каква е графиката на линейна дробна функция?

D: Графиката на всяка дробно-линейна функция е хипербола.

Въпрос: Как да начертая линейна дробна функция?

D: Графиката на дробно-линейна функция се получава от графиката на функцията y \u003d с помощта на паралелни транслации по координатните оси, клоновете на хиперболата на дробно-линейната функция са симетрични спрямо точката (-. Правата линия x \u003d - се нарича вертикална асимптота на хиперболата Правата линия y \u003d се нарича хоризонтална асимптота.

Въпрос: Какъв е домейнът на линейно-фракционна функция?

Въпрос: Какъв е диапазонът на линейна дробна функция?

Д: E(y) = .

T: Функцията има ли нули?

D: Ако x \u003d 0, тогава f (0) \u003d, d. Тоест функцията има нули - точка А.

Въпрос: Графиката на дробно-линейна функция има ли пресечни точки с оста x?

D: Ако y = 0, тогава x = -. Така че, ако a, тогава точката на пресичане с оста X има координати. Ако a \u003d 0, in, тогава графиката на линейно-фракционна функция няма точки на пресичане с абсцисната ос.

Y: Функцията намалява на интервали от цялата област на дефиниция, ако bc-ad > 0 и се увеличава на интервали от цялата област на дефиниция, ако bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.

T: Възможно ли е да посочите най-голямата и най-малката стойност на функцията?

D: Функцията няма максимални и минимални стойности.

T: Кои прави са асимптотите на графиката на дробно-линейна функция?

D: Вертикалната асимптота е правата x = -; а хоризонталната асимптота е правата линия y = .

(Всички обобщаващи изводи-дефиниции и свойства на дробно-линейна функция учениците записват в тетрадка)

II. Консолидация.

При конструиране и „четене“ на графики на линейно-фракционни функции се използват свойствата на програмата Agrapher

III. Преподаване на самостоятелна работа.

Намерете центъра на хиперболата, асимптотите и начертайте графика на функцията:

а) y = b) y = c) y = ; г) y = ; д) y = ; е) y = ;

g) y = h) y = -

Всеки ученик работи със собствено темпо. Ако е необходимо, учителят оказва помощ, като задава въпроси, отговорите на които ще помогнат на ученика да изпълни правилно задачата.

Лабораторна и практическа работа по изучаване на свойствата на функциите y = и y = и характеристиките на графиките на тези функции.

ЦЕЛИ: 1) да продължи формирането на умения за изграждане на графики на функции y = и y = с помощта на програмата Agrapher;

2) да консолидира уменията за „четене на графики“ на функции и способността да „прогнозира“ промени в графиките при различни трансформации на дробни линейни функции.

I. Диференцирано повторение на свойствата на дробно-линейна функция.

На всеки ученик се дава карта – разпечатка със задачи. Всички конструкции се извършват с помощта на програмата Agrapher. Резултатите от всяка задача се обсъждат веднага.

Всеки ученик с помощта на самоконтрола може да коригира получените резултати по време на заданието и да потърси помощ от учител или ученик-консултант.

Намерете стойността на аргумента X, за който f(x) =6 ; f(x)=-2,5.

3. Постройте графика на функцията y \u003d Определете дали точката принадлежи на графиката на тази функция: a) A (20; 0,5); b) B(-30;-); в) С(-4;2,5); г) D(25;0,4)?

4. Начертайте функцията y \u003d Намерете интервалите, в които y\u003e 0 и в които y<0.

5. Начертайте функцията y = . Намерете домейна и диапазона на функцията.

6. Посочете асимптотите на хиперболата - графиката на функцията y \u003d -. Извършете чертеж.

7. Начертайте функцията y = . Намерете нулите на функцията.

II. Лабораторни и практически упражнения.

На всеки ученик се дават 2 карти: карта номер 1 „Инструкция“с план, който работи се и текстът със задачата и карта номер 2 “ Резултати от изследването на функцията ”.

Начертайте зададената функция.
Намерете обхвата на функцията.
Намерете диапазона на функцията.
Дайте асимптотите на хиперболата.
Намерете нулите на функцията (f(x) = 0).
Намерете пресечната точка на хиперболата с оста x (y = 0).

7. Намерете пропуските, в които: а) y<0; б) y>0.

8. Посочете интервали на нарастване (намаляване) на функцията.

I опция.

Изградете, използвайки програмата Agrapher, функционална графика и изследвайте нейните свойства:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -5-

В този урок ще разгледаме по-отблизо линейна функция, решаване на задачи с помощта на дробно-линейна функция, модул, параметър.

Тема: Повторение

Урок: Дробна линейна функция

определение:

Дробно-линейна функция се нарича функция от вида:

Например:

Нека докажем, че графиката на тази дробно-линейна функция е хипербола.

Нека извадим двойката в числителя, получаваме:

Имаме х както в числителя, така и в знаменателя. Сега трансформираме така, че изразът да се появи в числителя:

Сега нека намалим член по член на дробта:

Очевидно графиката на тази функция е хипербола.

Можем да предложим втори начин за доказателство, а именно да разделим числителя на знаменателя в колона:

Има:

Важно е да можете лесно да построите графика на линейно-фракционна функция, по-специално да намерите центъра на симетрия на хипербола. Да решим проблема.

Пример 1 - скицирайте графика на функция:

Вече преобразувахме тази функция и получихме:

За да изградим тази графика, няма да изместваме осите или самата хипербола. Използваме стандартния метод за конструиране на функционални графики, използвайки наличието на интервали на постоянство.

Ние действаме според алгоритъма. Първо, разглеждаме дадената функция.

Така имаме три интервала на постоянство: най-вдясно () функцията има знак плюс, след това знаците се редуват, тъй като всички корени имат първа степен. И така, на интервала функцията е отрицателна, на интервала функцията е положителна.

Изграждаме скица на графиката в близост до корените и точките на прекъсване на ODZ. Имаме: тъй като в точката знакът на функцията се променя от плюс на минус, тогава кривата е първо над оста, след това преминава през нула и след това се намира под оста x. Когато знаменателят на дроб е практически нула, тогава когато стойността на аргумента клони към три, стойността на дробта клони към безкрайност. В този случай, когато аргументът се доближи до тройката отляво, функцията е отрицателна и клони към минус безкрайност, отдясно функцията е положителна и излиза от плюс безкрайност.

Сега изграждаме скица на графиката на функцията в близост до безкрайно отдалечени точки, т.е. когато аргументът клони към плюс или минус безкрайност. В този случай постоянните членове могат да бъдат пренебрегнати. Ние имаме:

Така имаме хоризонтална асимптота и вертикална, центърът на хиперболата е точката (3;2). Нека да илюстрираме:

Ориз. 1. Графика на хипербола за пример 1

Проблемите с дробно-линейна функция могат да бъдат усложнени от наличието на модул или параметър. За да изградите например функционална графика, трябва да следвате следния алгоритъм:

Ориз. 2. Илюстрация към алгоритъма

Получената графика има клонове, които са над оста x и под оста x.

1. Приложете посочения модул. В този случай частите от графиката, които са над оста x, остават непроменени, а тези, които са под оста, се отразяват огледално спрямо оста x. Получаваме:

Ориз. 3. Илюстрация към алгоритъма

Пример 2 - начертайте графика на функция:

Ориз. 4. Функционална графика за пример 2

Да разгледаме следната задача – да начертаем графика на функция. За да направите това, трябва да следвате следния алгоритъм:

1. Графика на субмодулната функция

Да предположим, че имаме следната графика:

Ориз. 5. Илюстрация към алгоритъма

1. Приложете посочения модул. За да разберете как да направите това, нека разширим модула.

По този начин за стойностите на функцията с неотрицателни стойности на аргумента няма да има промени. По отношение на второто уравнение знаем, че то се получава чрез симетрично картографиране около оста y. имаме графика на функцията:

Ориз. 6. Илюстрация към алгоритъма

Пример 3 - начертайте графика на функция:

Според алгоритъма, първо трябва да начертаете графика на субмодулна функция, ние вече сме я построили (вижте Фигура 1)

Ориз. 7. Функционална графика за пример 3

Пример 4 - намерете броя на корените на уравнение с параметър:

Спомнете си, че решаването на уравнение с параметър означава итериране на всички стойности на параметъра и посочване на отговора за всяка от тях. Действаме по методика. Първо изграждаме графика на функцията, вече направихме това в предишния пример (вижте Фигура 7). След това трябва да изрежете графиката със семейство линии за различни a, да намерите пресечните точки и да напишете отговора.

Гледайки графиката, изписваме отговора: за и уравнението има две решения; за , уравнението има едно решение; за , уравнението няма решения.

Обмислете въпросите на методологията за изучаване на такава тема като "изчертаване на графика на дробна линейна функция." За съжаление, изучаването му е премахнато от основната програма и учителят по математика в часовете си не го докосва толкова често, колкото би искал. Все още обаче никой не е отменил часовете по математика, втората част от GIA също. Да, и в Единния държавен изпит има възможност за проникването му в тялото на задачата C5 (чрез параметрите). Следователно ще трябва да запретнете ръкави и да работите върху метода за обяснение в урок със среден или средно силен ученик. По правило учителят по математика разработва обяснения за основните раздели от училищната програма през първите 5-7 години работа. През това време през очите и ръцете на преподавателя успяват да минат десетки ученици от различни категории. От пренебрегнати и природно слаби деца, безделници и безделници до целенасочени таланти.

С течение на времето учителят по математика идва с умението да обяснява сложни концепции на прост език, без да прави компромис с математическата пълнота и точност. Разработва се индивидуален стил на представяне на материал, реч, визуален съпровод и регистрация на записи. Всеки опитен учител ще разкаже урока със затворени очи, защото знае предварително какви проблеми възникват при разбирането на материала и какво е необходимо за разрешаването им. Важно е да изберете правилните думи и записи, примери за началото на урока, за средата и края, както и правилно да композирате упражнения за домашна работа.

Някои конкретни методи за работа с темата ще бъдат обсъдени в тази статия.

С какви графики започва учителят по математика?

Трябва да започнете с определение на изучаваното понятие. Напомням ви, че дробната линейна функция е функция на формата. Конструкцията му се свежда до конструкцията най-често срещаната хиперболачрез добре известни прости техники за конвертиране на графики. На практика те са прости само за самия учител. Дори ако силен ученик дойде при учителя, с достатъчна скорост на изчисления и трансформации, той все още трябва да каже тези техники отделно. Защо? В училище, в 9-ти клас, графиките се изграждат само чрез преместване и не използват методи за добавяне на числени фактори (методи на компресия и разтягане). Каква диаграма се използва от учителя по математика? Кое е най-доброто място да започнете? Цялата подготовка се извършва по примера на най-удобната, според мен, функция . Какво друго да използвам? Тригонометрията в 9 клас се учи без графики (и изобщо не минават в преобразуваните учебници по условията на ЗИА по математика). Квадратната функция няма същата „методологична тежест“ в тази тема, както има коренът. Защо? В 9-ти клас квадратният тричлен се изучава задълбочено и ученикът е доста способен да решава конструктивни задачи без смени. Формата незабавно предизвиква рефлекс за отваряне на скобите, след което можете да приложите правилото за стандартно изобразяване през върха на параболата и таблицата със стойности. С такава маневра няма да е възможно да се изпълни и ще бъде по-лесно за учителя по математика да мотивира ученика да изучава общите методи на трансформация. Използване на y=|x| също не се оправдава, защото не се изучава толкова внимателно, колкото корена и учениците се страхуват ужасно от него. Освен това самият модул (по-точно неговото "окачване") е сред изследваните трансформации.

Така че учителят няма нищо по-удобно и ефективно от това да се подготви за трансформации, използвайки квадратния корен. Необходима е практика за изграждане на графики като тази. Да приемем, че тази подготовка е била успешна. Детето знае как да измества и дори да компресира / разтяга диаграми. Какво следва?

Следващият етап е да се научите да избирате цялата част. Може би това е основната задача на учителя по математика, защото след като се подчертае цялата част, тя поема лъвския пай от цялото изчислително натоварване по темата. Изключително важно е да се подготви функция за форма, която да се вписва в една от стандартните конструктивни схеми. Също така е важно да се опише логиката на трансформациите по достъпен, разбираем начин, а от друга страна, математически точен и хармоничен.

Нека ви напомня, че за да начертаете графика, трябва да преобразувате дроб във формата . На това, а не на
, запазвайки знаменателя. Защо? Трудно е да се извършват трансформации на графиката, която не само се състои от части, но има и асимптоти. Непрекъснатостта се използва за свързване на две или три повече или по-малко ясно преместени точки с една линия. В случай на прекъсната функция не е ясно кои точки да се свържат. Следователно компресирането или разтягането на хипербола е изключително неудобно. Учителят по математика е просто длъжен да научи ученика да се справя сам със смени.

За да направите това, освен да маркирате цялата част, трябва да премахнете и коефициента в знаменателя ° С.

Извличане на цяла част от дроб

Как да преподавам избора на цялата част? Преподавателите по математика не винаги оценяват адекватно нивото на знанията на ученика и въпреки липсата на подробно изучаване на теоремата за разделяне на полиноми с остатък в програмата, те прилагат правилото за разделяне на ъгъл. Ако учителят поеме ъгловото разделение, тогава ще трябва да отделите почти половината от урока, за да го обясните (освен ако, разбира се, всичко е внимателно обосновано). За съжаление, учителят не винаги разполага с това време. По-добре изобщо да не мислите за никакви ъгли.

Има два начина за работа с ученик:
1) Учителят му показва готовия алгоритъм, използвайки пример за дробна функция.
2) Учителят създава условия за логическото търсене на този алгоритъм.

Прилагането на втория начин ми се струва най-интересно за преподавателската практика и изключително полезно да развиват мисленето на ученика. С помощта на определени подсказки и указания често е възможно да се доведе до откриването на определена последователност от правилни стъпки. За разлика от автоматичното изпълнение на начертан от някого план, ученикът от 9 клас се научава да го търси сам. Естествено, всички обяснения трябва да се извършват с примери. Нека вземем функция за това и разгледаме коментарите на преподавателя относно логиката на търсене на алгоритъма. Учител по математика пита: „Какво ни пречи да извършим стандартна трансформация на графика чрез преместване по осите? Разбира се, едновременното присъствие на X както в числителя, така и в знаменателя. Така че трябва да го премахнете от числителя. Как да направите това с идентични трансформации? Има само един начин - да намалите фракцията. Но нямаме равни множители (скоби). Така че трябва да се опитате да ги създадете изкуствено. Но как? Не можете да замените числителя със знаменателя без идентичен преход. Нека се опитаме да преобразуваме числителя така, че да включва скоба, равна на знаменателя. Нека го поставим там насилаи „наслагване“ на коефициентите, така че когато те „действат“ върху скобата, т.е. когато тя се отвори и се добавят подобни членове, ще се получи линеен полином 2x + 3.

Учителят по математика вмъква пропуски за коефициентите под формата на празни правоъгълници (както често се използва в учебниците за 5-6 клас) и поставя задачата да ги запълни с числа. Изборът трябва да бъде от ляво на дяснозапочвайки от първото преминаване. Ученикът трябва да си представи как ще отвори скобата. Тъй като неговото разкриване ще доведе до само един член с x, тогава неговият коефициент трябва да бъде равен на най-високия коефициент в стария числител 2x + 3. Следователно е очевидно, че първото квадратче съдържа числото 2. То е запълнено. Учителят по математика трябва да вземе доста проста дробна линейна функция с c=1. Едва след това можете да преминете към анализ на примери с неприятна форма на числителя и знаменателя (включително тези с дробни коефициенти).

Продължа напред. Учителят отваря скобата и подписва резултата точно над нея.
Можете да засенчите съответната двойка фактори. Към „разширения член“ е необходимо да добавите такова число от втората празнина, за да получите безплатния коефициент на стария числител. Очевидно е 7.

След това фракцията се разделя на сумата от отделни фракции (обикновено ограждам фракциите с облак, като сравнявам местоположението им с крилете на пеперуда). И аз казвам: "Да разбием дробта с пеперуда." Учениците помнят добре тази фраза.

Учителят по математика показва целия процес на извличане на целочислената част във формата, към която вече е възможно да се приложи алгоритъмът за изместване на хипербола:

Ако знаменателят има старши коефициент, който не е равен на единица, тогава в никакъв случай не трябва да остава там. Това ще донесе както на преподавателя, така и на ученика допълнително главоболие, свързано с необходимостта от допълнителна трансформация и най-трудната: компресия - разтягане. За схематичното изграждане на графика на права пропорционалност видът на числителя не е важен. Основното нещо е да знаете неговия знак. Тогава е по-добре да прехвърлите най-високия коефициент на знаменателя към него. Например, ако работим с функцията , тогава просто изваждаме 3 от скобата и го „вдигаме“ в числителя, конструирайки дроб в него. Получаваме много по-удобен израз за изграждане: Остава да се премести надясно и 2 нагоре.

Ако се появи „минус“ между цялата част 2 и останалата дроб, също е по-добре да го поставите в числителя. В противен случай на определен етап от изграждането ще трябва допълнително да изведете хиперболата спрямо оста Oy. Това само ще усложни процеса.

Златното правило на учителя по математика:
всички неудобни коефициенти, водещи до симетрии, свивания или разширения на графиката, трябва да бъдат прехвърлени към числителя.

Трудно е да се опишат техниките за работа с която и да е тема. Винаги има усещане за някакво подценяване. Колко успяхте да говорите за дробна линейна функция, остава да прецените вие. Изпратете вашите коментари и отзиви към статията (можете да ги напишете в полето, което виждате в долната част на страницата). Със сигурност ще ги публикувам.

Колпаков А.Н. Учител по математика Москва. Строгино. Методи за преподаватели.

1. Дробно-линейна функция и нейната графика

Функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми, се нарича дробна рационална функция.

Вероятно вече сте запознати с концепцията за рационални числа. по същия начин рационални функцииса функции, които могат да бъдат представени като частно от два полинома.

Ако една дробна рационална функция е частно от две линейни функции - полиноми от първа степен, т.е. функция за преглед

y = (ax + b) / (cx + d), тогава се нарича дробно линейно.

Обърнете внимание, че във функцията y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (в противен случай функцията става линейна y = ax/d + b/d) и че a/c ≠ b/d (в противен случай функцията функцията е константа). Дробно-линейната функция е дефинирана за всички реални числа, с изключение на x = -d/c. Графиките на дробно-линейни функции не се различават по форма от познатата ви графика y = 1/x. Кривата, която е графиката на функцията y = 1/x, се нарича хипербола. С неограничено увеличение на x с абсолютна стойностфункцията y = 1/x намалява по абсолютна стойност неограничено и двата клона на графиката се приближават към абсцисната ос: десният се приближава отгоре, а левият отдолу. Правите, до които се приближават клоновете на хипербола, се наричат нейни асимптоти.

Пример 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Решение.

Нека изберем цялата част: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 3 единични сегмента надясно, разтягане по оста Oy със 7 пъти и изместване с 2 единични сегмента нагоре.

Всяка дроб y = (ax + b) / (cx + d) може да бъде написана по същия начин, като се подчертае „цялата част“. Следователно, графиките на всички линейно-дробни функции са хиперболи, по различни начиниизместени по координатните оси и опънати по оста Oy.

За да се начертае графика на произволна дробно-линейна функция, изобщо не е необходимо да се преобразува дробта, която определя тази функция. Тъй като знаем, че графиката е хипербола, ще бъде достатъчно да намерим линиите, към които се приближават нейните клонове - асимптотите на хиперболата x = -d/c и y = a/c.

Пример 2

Намерете асимптотите на графиката на функцията y = (3x + 5)/(2x + 2).

Решение.

Функцията не е дефинирана за x = -1. Следователно правата x = -1 служи като вертикална асимптота. За да намерим хоризонталната асимптота, нека да разберем какви са стойностите на функцията y(x), когато аргументът x нараства по абсолютна стойност.

За да направите това, разделяме числителя и знаменателя на дробта на x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

При x → ∞ дробта клони към 3/2. Следователно хоризонталната асимптота е правата линия y = 3/2.

Пример 3

Начертайте функцията y = (2x + 1)/(x + 1).

Решение.

Избираме „цялата част“ на фракцията:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Сега е лесно да се види, че графиката на тази функция се получава от графиката на функцията y = 1/x чрез следните трансформации: изместване с 1 единица наляво, симетрично показване по отношение на Ox и изместване от 2 единични интервала нагоре по оста Oy.

Област на дефиниция D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Пресечни точки с оси: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Функцията расте на всеки от интервалите на дефиниционната област.

Отговор: фигура 1.

2. Дробно-рационална функция

Разгледайте дробна рационална функция от формата y = P(x) / Q(x), където P(x) и Q(x) са полиноми със степен по-висока от първата.

Примери за такива рационални функции:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) или y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Ако функцията y = P(x) / Q(x) е частно от два полинома със степен по-висока от първата, тогава нейната графика по правило ще бъде по-сложна и понякога може да бъде трудно да се изгради точно , с всички подробности. Въпреки това, често е достатъчно да се прилагат техники, подобни на тези, с които вече се запознахме по-горе.

Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Очевидно графиката на дробна рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби.

График на дробни рационални функции

Обмислете няколко начина за начертаване на дробно-рационална функция.

Пример 4

Начертайте функцията y = 1/x 2 .

Решение.

Използваме графиката на функцията y \u003d x 2, за да начертаем графиката y \u003d 1 / x 2 и използваме метода на "разделяне" на графиките.

Област D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Диапазон от стойности E(y) = (0; +∞).

Няма точки на пресичане с осите. Функцията е равномерна. Увеличава се за всички x от интервала (-∞; 0), намалява за x от 0 до +∞.

Отговор: фигура 2.

Пример 5

Начертайте функцията y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).

Решение.

Област D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Тук използвахме техниката на факторизиране, редукция и редукция до линейна функция.

Отговор: фигура 3.

Пример 6

Начертайте функцията y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).

Решение.

Областта на дефиниция е D(y) = R. Тъй като функцията е четна, графиката е симетрична спрямо оста y. Преди да начертаем, ние отново трансформираме израза, като маркираме целочислената част:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Имайте предвид, че изборът на целочислената част във формулата на дробно-рационална функция е един от основните при изчертаване на графики.

Ако x → ±∞, тогава y → 1, т.е. линията y = 1 е хоризонтална асимптота.

Отговор: фигура 4.

Пример 7

Разгледайте функцията y = x/(x 2 + 1) и се опитайте да намерите точно нейната най-голяма стойност, т.е. най-високата точка в дясната половина на графиката. За да се изгради точно тази графика, днешните знания не са достатъчни. Очевидно е, че нашата крива не може да се "изкачи" много високо, тъй като знаменателят бързо започва да "изпреварва" числителя. Да видим дали стойността на функцията може да бъде равна на 1. За да направите това, трябва да решите уравнението x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Това уравнение няма реални корени. Така че нашето предположение е погрешно. За да намерите най-голямата стойност на функцията, трябва да разберете за кое най-голямо A уравнението A \u003d x / (x 2 + 1) ще има решение. Нека заменим оригиналното уравнение с квадратно: Ax 2 - x + A \u003d 0. Това уравнение има решение, когато 1 - 4A 2 ≥ 0. От тук намираме най-голямата стойност A \u003d 1/2.

Отговор: Фигура 5, max y(x) = ½.

Имате ли някакви въпроси? Не знаете как да изграждате функционални графики?
За да получите помощта на преподавател - регистрирайте се.
Първият урок е безплатен!

сайт, с пълно или частично копиране на материала, връзката към източника е задължителна.

Начало > Литература

Общинско учебно заведение

"Средно аритметично общообразователно училище№24"

Проблемна абстрактна работа

в алгебрата и началото на анализа

Графики на дробна рационална функция

Ученици от 11 А клас Товчегречко Наталия Сергеевна ръководител на работата Паршева Валентина Василиевна учител по математика, преподавател по висше образование квалификационна категория

Северодвинск

Съдържание 3Въведение 4Основна част. Графики на дробни рационални функции 6 Заключение 17 Литература 18

Въведение

Изграждането на графики на функции е една от най-интересните теми в училищната математика. Един от най-великите математици на нашето време, Израел Моисеевич Гелфанд, пише: „Процесът на конструиране на графики е начин за превръщане на формули и описания в геометрични изображения. Това - чертане - е средство да видите формули и функции и да видите как тези функции се променят. Например, ако е написано y=x 2, веднага виждате парабола; ако y=x 2 -4 виждате парабола, намалена с четири единици; ако y=4-x 2 , тогава виждате предишната парабола с главата надолу. Тази способност да се вижда както формулата, така и нейната геометрична интерпретация наведнъж е важна не само за изучаването на математика, но и за други предмети. Това е умение, което остава с вас за цял живот, като да се научите да карате колело, да пишете или да карате кола." В часовете по математика изграждаме предимно най-простите графики – графики на елементарни функции. Едва в 11 клас с помощта на производната се научиха да изграждат по-сложни функции. Когато четете книги:

Целта на работата: да се изучат съответните теоретични материали, да се идентифицира алгоритъм за конструиране на графики на линейно-дробни и дробно-рационални функции. Задачи: 1. формират понятията за дробно-линейни и дробно-рационални функции въз основа на теоретичен материалпо тази тема; 2. намират методи за построяване на графики на дробно-линейни и дробно-рационални функции.

Главна част. Графики на дробни рационални функции

1. Дробно-линейна функция и нейната графика

Вече се запознахме с функция от вида y=k/x, където k≠0, нейните свойства и графика. Нека обърнем внимание на една особеност на тази функция. Функцията y=k/x върху множеството от положителни числа има свойството, че при неограничено нарастване на стойностите на аргумента (когато x клони към плюс безкрайност), стойностите на функциите, оставайки положителни, се стремят до нула. Тъй като положителните стойности на аргумента намаляват (когато x клони към нула), стойностите на функцията нарастват за неопределено време (y клони към плюс безкрайност). Подобна картина се наблюдава и при комплекта отрицателни числа. На графиката (фиг. 1) това свойство се изразява във факта, че точките на хиперболата, докато се отдалечават до безкрайност (надясно или наляво, нагоре или надолу) от началото, се приближават до правата линия за неопределено време: към оста x, когато │x│ клони към плюс безкрайност, или към оста y, когато │x│ отива към нула. Тази линия се нарича асимптоти на кривата.

Ориз. един

Хиперболата y=k/x има две асимптоти: оста x и оста y. Концепцията за асимптота играе важна роля в изграждането на графики на много функции. Използвайки известните ни трансформации на функционални графики, можем да преместим хиперболата y=k/x в координатната равнина надясно или наляво, нагоре или надолу. В резултат на това ще получим нови графики на функции. Пример 1Нека y=6/x. Нека изместим тази хипербола надясно с 1,5 единици и след това ще изместим получената графика с 3,5 единици нагоре. С тази трансформация асимптотите на хиперболата y=6/x също ще се изместят: оста x ще премине в правата линия y=3.5, оста y в правата линия y=1.5 (фиг. 2). Функцията, чиято графика сме построили, може да бъде дадена с формулата

Нека представим израза от дясната страна на тази формула като дроб:

И така, Фигура 2 показва графиката на функцията, дадена от формулата

Числителят и знаменателят на тази дроб са линейни биноми по отношение на x. Такива функции се наричат дробни линейни функции.

Като цяло, функция, дадена от формула на формата
, където
x е променлива, a,b, ° С, дса дадени числа, като c≠0 и
пр.н.е- реклама≠0 се нарича дробно-линейна функция.Обърнете внимание, че изискването в дефиницията е c≠0 и
bc-ad≠0, съществено. При c=0 и d≠0 или bc-ad=0 получаваме линейна функция. Действително, ако с=0 и d≠0, тогава

Ако bc-ad=0, c≠0, изразявайки b от това равенство по отношение на a, c и d и го замествайки във формулата, получаваме:

И така, в първия случай имаме линейна функция общ изглед
, във втория случай - константа
. Нека сега покажем как да начертаем линейно-дробна функция, ако тя е дадена с формула от вида
Пример 2Нека начертаем функцията
, т.е. нека го представим във формата
: изберете цялата част от дробта, като разделите числителя на знаменателя, получаваме:

Така,
. Виждаме, че графиката на тази функция може да бъде получена от графиката на функцията y=5/x с помощта на две последователни измествания: изместване на хиперболата y=5/x надясно с 3 единици и след това изместване на получената хипербола
нагоре с 2 единици.С тези измествания асимптотите на хиперболата y \u003d 5 / x също ще се преместят: оста x е 2 единици нагоре, а оста y е 3 единици надясно. За да изградим графика, начертаваме пунктирана асимптота в координатната равнина: правата линия y=2 и правата линия x=3. Тъй като хиперболата се състои от два клона, за да изградим всеки от тях, ще направим две таблици: една за x<3, а другую для x>3 (т.е. първата отляво на пресечната точка на асимптотата, а втората вдясно от нея):

Маркирайки в координатната равнина точките, чиито координати са посочени в първата таблица, и ги свързваме с гладка линия, получаваме един клон на хиперболата. По същия начин (използвайки втората таблица) получаваме второто разклонение на хиперболата. Графиката на функцията е показана на фигура 3.

Всяка дроб
може да се напише по подобен начин, като се подчертае цялата му част. Следователно графиките на всички линейно-дробни функции са хиперболи, изместени по различни начини успоредни на координатните оси и опънати по оста Oy.

Пример 3

Нека начертаем функцията
.Тъй като знаем, че графиката е хипербола, достатъчно е да намерим правите, към които се приближават нейните клонове (асимптоти) и още няколко точки. Нека първо намерим вертикалната асимптота. Функцията не е дефинирана, където 2x+2=0, т.е. при х=-1. Следователно вертикалната асимптота е правата x=-1. За да намерим хоризонталната асимптота, трябва да погледнем към какво се приближават стойностите на функциите, когато аргументът нараства (по абсолютна стойност), вторите членове в числителя и знаменателя на дробта
относително малък. Ето защо

Следователно хоризонталната асимптота е права линия y=3/2. Нека да определим пресечните точки на нашата хипербола с координатните оси. За x=0 имаме y=5/2. Функцията е равна на нула, когато 3x+5=0, т.е. при x \u003d -5 / 3. Маркирайки точките (-5 / 3; 0) и (0; 5/2) на чертежа и изчертавайки намерените хоризонтални и вертикални асимптоти, ще изградим графика (фиг. 4) .

Като цяло, за да се намери хоризонталната асимптота, е необходимо да се раздели числителят на знаменателя, тогава y=3/2+1/(x+1), y=3/2 е хоризонталната асимптота.

2. Дробно-рационална функция

Помислете за дробна рационална функция

В които числителят и знаменателят са полиноми, съответно n-ти и m-та степен. Нека дробта е правилна (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Където k 1 ... k s са корените на полинома Q (x), имащи съответно кратности m 1 ... m s , а триномите съответстват на двойки спрежения на комплексни корени Q (x) с кратност m 1 ... m t дроби от формата

са наречени елементарен рационални дроби съответно първи, втори, трети и четвърти тип. Тук A, B, C, до - реални числа; m и m са естествени числа, m, m>1; триномът с реални коефициенти x 2 +px+q има въображаеми корени.Очевидно графиката на дробно-рационална функция може да се получи като сума от графики на елементарни дроби. Функционална графика

Получаваме от графиката на функцията 1/x m (m~1, 2, …) чрез паралелно транслиране по оста x с │k│ мащабни единици надясно. Вижте графиката на функцията

Лесно се конструира, ако в знаменателя се избере пълен квадрат и след това се извърши подходящото формиране на графиката на функцията 1/x 2. График на функция

се свежда до конструиране на продукта от графики на две функции:

г= bx+ ° Си

Коментирайте. График на функция

където a d-b c 0 ,
,

където n - естествено число, може да се извърши според обща схемафункция изследване и чертане в някои конкретни примериможете успешно да изградите графика, като извършите подходящите трансформации на графиката; по най-добрия начиндават методи на висшата математика. Пример 1Начертайте функция

Избирайки цялата част, имаме

Фракция
представят като сбор от елементарни дроби:

Нека изградим графики на функции:

След като добавим тези графики, получаваме графика на дадена функция:

Фигури 6, 7, 8 са примери за чертане на функции
и
. Пример 2График на функция
:

(1);
(2);
(3); (4)

Пример 3Построяване на графика на функция

(1);
(2);
(3); (4)

Заключение

При извършване на абстрактна работа: - изясни понятията си за линейно-фракционни и дробно-рационални функции: Определение 1.Дробната линейна функция е функция от вида , където x е променлива, a, b, c и d са дадени числа, като c≠0 и bc-ad≠0. Определение 2.Дробната рационална функция е функция на формата

Където n

Формира алгоритъм за построяване на графики на тези функции;

Натрупан опит в графични функции като:

;

Научих се да работя с допълнителна литература и материали, да подбирам научна информация; - Натрупах опит в изпълнението на графични работи на компютър; - Научих се да съставя проблемно-обобщена работа.

Анотация. В навечерието на 21-ви век бяхме бомбардирани с безкраен поток от разговори и разсъждения за информационната магистрала (информационната магистрала) и идващата ера на технологиите.

В навечерието на 21-ви век бяхме бомбардирани с безкраен поток от разговори и разсъждения за информационната магистрала (информационната магистрала) и идващата ера на технологиите.

Избираемите курсове са една от формите за организация на образователно-познавателни и образователни и изследователски дейности на гимназистите

Документ

Този сборник е петият брой, подготвен от екипа на Московската градска педагогическа гимназия-лаборатория № 1505 с подкрепата на…….

Математика и опит

Книга

Статията прави опит за мащабно сравнение на различни подходи към връзката между математика и опит, които са се развили главно в рамките на априоризма и емпиризма.

Дял: