Sposobnost izračunavanja volumena prostornih likova važna je u rješavanju niza praktičnih problema u geometriji. Jedan od najčešćih oblika je piramida. U ovom ćemo članku razmotriti piramide, pune i skraćene.

Piramida kao trodimenzionalni lik

Svi znaju za Egipatske piramide, dakle, dobro je predstavljeno o kojoj će se figuri raspravljati. Ipak, egipatske kamene strukture samo su poseban slučaj ogromne klase piramida.

Geometrijski objekt koji se razmatra u općem slučaju je poligonalna baza, čiji je svaki vrh povezan s nekom točkom u prostoru koja ne pripada osnovnoj ravnini. Ova definicija dovodi do figure koja se sastoji od jednog n-kuta i n trokuta.

Bilo koja piramida sastoji se od n+1 stranica, 2*n bridova i n+1 vrhova. Budući da je figura koja se razmatra savršeni poliedar, broj označenih elemenata pokorava se Eulerovoj jednadžbi:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Poligon koji se nalazi u podnožju daje ime piramide, na primjer, trokutasta, peterokutna i tako dalje. Skup piramida s različitim bazama prikazan je na slici ispod.

Točka u kojoj je spojeno n trokuta figure naziva se vrhom piramide. Ako se okomica spusti s nje na bazu i siječe je u geometrijskom središtu, tada će se takav lik nazvati ravnom linijom. Ako ovaj uvjet nije ispunjen, tada postoji nagnuta piramida.

Prava figura kojoj je osnovica jednakostraničnog (jednakokutnog) n-kuta naziva se pravilna.

Formula volumena piramide

Za izračun volumena piramide koristimo se integralnim računom. Da bismo to učinili, podijelimo lik sekansnim ravninama paralelnim s bazom u beskonačan broj tankih slojeva. Donja slika prikazuje četverokutnu piramidu visine h i stranice duljine L, u kojoj je tanki presječni sloj označen četverokutom.

Površina svakog takvog sloja može se izračunati formulom:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Ovdje je A 0 područje baze, z je vrijednost okomite koordinate. Vidi se da ako je z = 0, tada formula daje vrijednost A 0 .

Da biste dobili formulu za volumen piramide, trebali biste izračunati integral po cijeloj visini figure, to jest:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Zamjenom ovisnosti A(z) i izračunavanjem antiderivacije dolazimo do izraza:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Dobili smo formulu za volumen piramide. Da biste pronašli vrijednost V, dovoljno je pomnožiti visinu figure s površinom baze, a zatim rezultat podijeliti s tri.

Imajte na umu da je dobiveni izraz valjan za izračunavanje volumena piramide proizvoljnog tipa. To jest, može biti nagnut, a njegova baza može biti proizvoljan n-kut.

i njegov volumen

Primljeno u paragrafu iznad opća formula jer se volumen može odrediti u slučaju piramide s pravi temelj. Područje takve baze izračunava se sljedećom formulom:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Ovdje je L duljina stranice pravilnog mnogokuta s n vrhova. Simbol pi je broj pi.

Zamjenom izraza za A 0 u opću formulu dobivamo volumen pravilna piramida:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Na primjer, za trokutastu piramidu, ova formula dovodi do sljedećeg izraza:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Za pravilnu četverokutnu piramidu, formula volumena ima oblik:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Određivanje volumena pravilnih piramida zahtijeva poznavanje strane njihove baze i visine figure.

Piramida krnja

Pretpostavimo da smo uzeli proizvoljnu piramidu i odrezali joj dio bočne plohe koji sadrži vrh. Preostala figura naziva se krnja piramida. Već se sastoji od dvije n-kutne baze i n trapeza koji ih spajaju. Ako je rezna ravnina bila paralelna s bazom figure, tada se formira krnja piramida s paralelnim sličnim bazama. Odnosno, duljine stranica jedne od njih mogu se dobiti množenjem duljina druge s nekim koeficijentom k.

Na gornjoj slici prikazan je skraćeni pravilan.Vidi se da mu gornju bazu, kao i donju, čini pravilan šesterokut.

Formula koja se može izvesti koristeći integralni račun sličan gornjem je:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Gdje su A 0 i A 1 površine donje (velike) odnosno gornje (male) baze. Varijabla h označava visinu krnje piramide.

Volumen Keopsove piramide

Zanimljivo je riješiti problem određivanja volumena najveće egipatske piramide.

Godine 1984. britanski egiptolozi Mark Lehner i Jon Goodman ustanovili su točne dimenzije Keopsove piramide. Njegova izvorna visina bila je 146,50 metara (trenutno oko 137 metara). Prosječna duljina svake od četiri strane strukture bila je 230,363 metra. Baza piramide je kvadratna s velikom točnošću.

Odredimo pomoću navedenih brojki volumen ovog kamenog diva. Budući da je piramida pravilan četverokut, onda za nju vrijedi formula:

Ubacivanjem brojeva dobivamo:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Volumen Keopsove piramide je gotovo 2,6 milijuna m 3. Za usporedbu, napominjemo da olimpijski bazen ima volumen od 2,5 tisuće m 3. Odnosno, da bi se napunila cijela Keopsova piramida, bit će potrebno više od 1000 takvih bazena!

Piramida. Krnja piramida

Piramida naziva se poliedar, čija je jedna strana poligon ( baza ), a sva ostala lica su trokuti sa zajedničkim vrhom ( bočna lica ) (Slika 15). Piramida se zove ispraviti ako je njegova baza pravilan poligon a vrh piramide je projiciran u središte baze (slika 16). Trokutasta piramida kojoj su svi bridovi jednaki naziva se tetraedar .

Bočno rebro piramidom se naziva stranica bočne plohe koja ne pripada osnovici Visina piramida je udaljenost od njenog vrha do ravnine baze. Svi bočni bridovi pravilne piramide su međusobno jednaki, sve bočne strane su jednaki jednakokračni trokuti. Visina bočne plohe pravilne piramide povučena iz vrha naziva se apothema . dijagonalni presjek Odsjek piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Površina bočne površine piramida se zove zbroj površina svih bočnih stranica. područje puna površina je zbroj površina svih bočnih stranica i baze.

Teoremi

1. Ako su u piramidi svi bočni bridovi podjednako nagnuti prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.

2. Ako u piramidi svi bočni bridovi imaju jednake duljine, tada se vrh piramide projicira u središte opisane kružnice blizu baze.

3. Ako su u piramidi sva lica podjednako nagnuta prema ravnini baze, tada se vrh piramide projicira u središte kružnice upisane u bazu.

Za izračun volumena proizvoljne piramide točna je formula:

Gdje V- volumen;

S glavni- osnovna površina;

H je visina piramide.

Za pravilnu piramidu vrijede sljedeće formule:

Gdje str- opseg baze;

h a- apotema;

H- visina;

S puna

S strana

S glavni- osnovna površina;

V je volumen pravilne piramide.

krnja piramida naziva se dio piramide zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide (slika 17). Ispravna krnja piramida naziva se dio pravilne piramide, zatvoren između baze i rezne ravnine paralelne s bazom piramide.

Temelji krnja piramida – slični poligoni. Bočna lica - trapez. Visina krnja piramida naziva se udaljenost između njezinih baza. Dijagonalno Krnja piramida je segment koji povezuje njezine vrhove koji ne leže na istoj plohi. dijagonalni presjek Odsjek krnje piramide naziva se ravnina koja prolazi kroz dva bočna brida koji ne pripadaju istoj plohi.

Za krnju piramidu vrijede formule:

(4)

Gdje S 1 , S 2 - područja gornje i donje baze;

S puna je ukupna površina;

S strana je površina bočne površine;

H- visina;

V je volumen krnje piramide.

Za pravilnu krnju piramidu vrijedi sljedeća formula:

Gdje str 1 , str 2 - perimetri baze;

h a- apotem pravilne krnje piramide.

Primjer 1 U pravilnoj trokutastoj piramidi diedralni kut na bazi je 60º. Pronađite tangentu nagiba bočno rebro na osnovnu ravninu.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 18).

Piramida je točna, znači u osnovi jednakostraničan trokut a sve su bočne strane jednaki jednakokračni trokuti. Diedarski kut pri bazi je kut nagiba bočne strane piramide prema ravnini baze. Linearni kut bit će kut a između dvije okomice, tj. Vrh piramide je projiciran u središte trokuta (središte opisane kružnice i upisane kružnice u trokutu ABC). Kut nagiba bočnog rebra (npr SB) je kut između samog brida i njegove projekcije na osnovnu ravninu. Za rebro SB ovaj kut će biti kut SBD. Da biste pronašli tangentu morate znati krake TAKO I OB. Neka duljina segmenta BD je 3 A. točka OKO segment linije BD dijeli se na dijelove: i Od nalazimo TAKO: Od nalazimo:

Odgovor:

Primjer 2 Odredi obujam pravilne krnje četverokutne piramide ako su dijagonale njezinih baza cm i cm, a visina 4 cm.

Riješenje. Za pronalaženje volumena krnje piramide koristimo formulu (4). Da biste pronašli površine baza, morate pronaći stranice kvadrata baza, znajući njihove dijagonale. Stranice baza su 2 cm, odnosno 8 cm. To znači površine baza i Zamjenom svih podataka u formulu izračunavamo volumen krnje piramide:

Odgovor: 112 cm3.

Primjer 3 Odredite površinu bočne strane pravilne trokutaste krnje piramide čije su stranice baza 10 cm i 4 cm, a visina piramide 2 cm.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 19).

Bočna strana ove piramide je jednakokračan trapez. Da biste izračunali površinu trapeza, morate znati baze i visinu. Osnove su date stanjem, samo visina ostaje nepoznata. Pronađite odakle A 1 E okomito od točke A 1 na ravnini donje baze, A 1 D- okomito od A 1 uključeno AC. A 1 E\u003d 2 cm, jer je to visina piramide. Za pronalaženje DE napravit ćemo dodatni crtež, u kojem ćemo prikazati pogled odozgo (slika 20). Točka OKO- projekcija središta gornje i donje baze. budući (vidi sliku 20) i S druge strane u redu je polumjer upisane kružnice i OM je polumjer upisane kružnice:

MK=DE.

Prema Pitagorinom teoremu iz

Bočno područje lica:

Odgovor:

Primjer 4 U osnovi piramide nalazi se jednakokračni trapez čije su osnovice A I b (a> b). Svaki bočno lice tvori kut s ravninom baze piramide j. Pronađite ukupnu površinu piramide.

Riješenje. Napravimo crtež (slika 21). Ukupna površina piramide SABCD jednaka je zbroju površina i površine trapeza ABCD.

Koristimo se tvrdnjom da ako su sve plohe piramide jednako nagnute prema ravnini baze, tada se vrh projicira u središte kružnice upisane u bazu. Točka OKO- projekcija vrha S u podnožju piramide. Trokut TRAVNJAK je ortogonalna projekcija trokuta CSD na osnovnu ravninu. Prema teoremu o području ortogonalne projekcije ravne figure, dobivamo:

Slično tome, znači Dakle, problem je smanjen na pronalaženje površine trapeza ABCD. Nacrtaj trapez ABCD odvojeno (slika 22). Točka OKO je središte kružnice upisane u trapez.

Kako se krug može upisati u trapez, tada ili Prema Pitagorinom teoremu imamo

• 09.10.2014

  Predpojačalo prikazano na slici dizajnirano je za korištenje s 4 vrste izvora zvuka, kao što su mikrofon, CD player, radio kasetofon, itd. U isto vrijeme, pretpojačalo ima jedan ulaz koji može promijeniti osjetljivost od 50mV do 500 mV. izlazni napon pojačala je 1000mV. Spajanjem različitih izvora signala prilikom prebacivanja sklopke SA1 uvijek ćemo dobiti ...

• 20.09.2014

  PSU je dizajniran za opterećenje snage 15 ... 20 vata. Izvor je izrađen prema shemi jednocikličnog impulsnog visokofrekventnog pretvarača. Na tranzistoru je sastavljen oscilator koji radi na frekvenciji od 20 ... 40 kHz. Frekvencija se podešava pomoću kapaciteta C5. Elementi VD5, VD6 i C6 tvore krug za pokretanje oscilatora. U sekundarnom krugu, nakon mosnog ispravljača, nalazi se konvencionalni linearni stabilizator na mikro krugu, koji vam omogućuje ...

• 28.09.2014

  Slika prikazuje generator na čipu K174XA11, čija se frekvencija kontrolira naponom. Promjenom kapaciteta C1 od 560 do 4700pF može se dobiti širok raspon frekvencija, dok se frekvencija podešava promjenom otpora R4. Na primjer, autor je otkrio da se kod C1 \u003d 560pF frekvencija generatora može promijeniti pomoću R4 od 600Hz do 200kHz, ...

• 03.10.2014

  Jedinica je dizajnirana za napajanje snažnog ULF-a, dizajnirana je za izlazni napon od ± 27 V i tako opterećuje do 3 A na svakoj ruci. PSU je bipolarni, izrađen na kompletnim kompozitnim tranzistorima KT825-KT827. Oba kraka stabilizatora izrađena su prema istoj shemi, ali u drugom kraku (nije prikazan) mijenja se polaritet kondenzatora i koriste se tranzistori drugog ...