Područje bočne i pune površine prizme. Teorem o površini bočne površine ravne prizme
Video tečaj "Get an A" uključuje sve teme potrebne za uspješan položivši ispit iz matematike za 60-65 bodova. Potpuno svi zadaci 1-13 profila USE iz matematike. Prikladno i za polaganje Basic USE iz matematike. Ako želite položiti ispit sa 90-100 bodova, trebate riješiti 1. dio za 30 minuta i to bez greške!
Pripremni tečaj za ispit za 10-11 razred, kao i za nastavnike. Sve što je potrebno za rješavanje 1. dijela ispita iz matematike (prvih 12 zadataka) i 13. zadatka (trigonometrija). A ovo je više od 70 bodova na Jedinstvenom državnom ispitu, a bez njih ne može ni student sa sto bodova ni humanist.
Sva potrebna teorija. Brzi načini rješenja, zamke i tajne ispita. Analizirani su svi relevantni zadaci 1. dijela iz zadaća Banke FIPI. Tečaj je u potpunosti u skladu sa zahtjevima USE-2018.
Tečaj sadrži 5 velikih tema, svaka po 2,5 sata. Svaka tema je dana od nule, jednostavno i jasno.
Stotine ispitnih zadataka. Tekstualni problemi i teorija vjerojatnosti. Jednostavni i lako pamtljivi algoritmi za rješavanje problema. Geometrija. Teorija, referentni materijal, analiza svih vrsta USE zadataka. Stereometrija. Lukavi trikovi za rješavanje, korisne varalice, razvoj prostorne mašte. Trigonometrija ispočetka - do zadatka 13. Razumijevanje umjesto natrpavanja. Vizualno objašnjenje složenih pojmova. Algebra. Korijeni, potencije i logaritmi, funkcija i izvod. Podloga za rješavanje složenih zadataka 2. dijela ispita.
U školskom kurikulumu za predmet čvrste geometrije, proučavanje trodimenzionalnih figura obično počinje jednostavnim geometrijskim tijelom - poliedrom prizme. Ulogu njegovih baza obavljaju 2 jednaka poligona koji leže u paralelnim ravninama. Poseban slučaj je pravilna četverokutna prizma. Njegove baze su 2 jednaka pravilna četverokuta, na koje su stranice okomite, imaju oblik paralelograma (ili pravokutnika ako prizma nije nagnuta).
Kako izgleda prizma
Pravilna četverokutna prizma je heksaedar čije su baze 2 kvadrata, i bočna lica predstavljeni pravokutnicima. Drugi naziv za ovo geometrijski lik- ravni paralelopiped.
Dolje je prikazana slika koja prikazuje četverokutnu prizmu.
Vidite i na slici bitni elementi, koji čine geometrijsko tijelo. Obično se nazivaju:
Ponekad u problemima iz geometrije možete pronaći koncept presjeka. Definicija će zvučati ovako: odjeljak su sve točke volumetrijskog tijela koje pripadaju ravnini rezanja. Presjek je okomit (presijeca rubove figure pod kutom od 90 stupnjeva). Za pravokutna prizma u obzir dolazi i dijagonalni presjek (maksimalni broj presjeka koji se mogu sagraditi je 2) koji prolazi kroz 2 brida i dijagonale baze.
Ako je presjek nacrtan na takav način da rezna ravnina nije paralelna ni s bazama ni s bočnim stranama, rezultat je krnja prizma.
Za pronalaženje reduciranih prizmatičnih elemenata koriste se različiti omjeri i formule. Neki od njih poznati su iz tečaja planimetrije (na primjer, da biste pronašli područje baze prizme, dovoljno je prisjetiti se formule za područje kvadrata).
Površina i volumen
Da biste odredili volumen prizme pomoću formule, morate znati područje njezine baze i visine:
V = Sprim h
Budući da je baza pravilne tetraedarske prizme kvadrat sa stranicom a, Formulu možete napisati u detaljnijem obliku:
V = a² h
Ako govorimo o kocki - pravilnoj prizmi jednake duljine, širine i visine, volumen se izračunava na sljedeći način:
Da biste razumjeli kako pronaći bočnu površinu prizme, morate zamisliti njezino kretanje.
Iz crteža je vidljivo da bočnu plohu čine 4 jednaka pravokutnika. Njegova površina izračunava se kao umnožak opsega baze i visine figure:
S strana = položaj h
Budući da je opseg kvadrata P = 4a, formula ima oblik:
S strana = 4a h
Za kocku:
S strana = 4a²
Da biste izračunali ukupnu površinu prizme, dodajte 2 osnovne površine bočnoj površini:
Pun = Sstrana + 2Sosnova
Primijenjena na četverokutnu pravilnu prizmu, formula ima oblik:
Pun = 4a h + 2a²
Za površinu kocke:
Pun = 6a²
Znajući volumen ili površinu, možete izračunati pojedinačne elemente geometrijskog tijela.
Pronalaženje elemenata prizme
Često se javljaju zadaci u kojima je zadan volumen ili je poznata vrijednost bočne plohe, gdje je potrebno odrediti duljinu stranice baze ili visinu. U takvim slučajevima mogu se izvesti formule:
- duljina osnovne stranice: a = Sstrana / 4h = √(V / h);
- visina ili duljina bočnog rebra: h = Sstrana / 4a = V / a²;
- osnovna površina: Sprim = V / h;
- bočno lice: Strana gr = Sstrana / 4.
Da biste odredili koliko površine ima dijagonalni presjek, morate znati duljinu dijagonale i visinu figure. Za kvadrat d = a√2. Stoga:
Sdiag = ah√2
Za izračunavanje dijagonale prizme koristi se formula:
dnagrada = √(2a² + h²)
Da biste razumjeli kako primijeniti gornje omjere, možete vježbati i riješiti nekoliko jednostavnih zadataka.
Primjeri problema s rješenjima
Evo nekih zadataka koji se pojavljuju na državnoj maturi iz matematike.
Vježba 1.
Pijesak se sipa u kutiju koja ima oblik pravilne četverokutne prizme. Visina njegove razine je 10 cm.Kolika će biti razina pijeska ako ga premjestite u posudu istog oblika, ali s 2 puta dužom bazom?
Treba argumentirati na sljedeći način. Količina pijeska u prvoj i drugoj posudi nije se promijenila, tj. njegov volumen u njima je isti. Duljinu baze možete definirati kao a. U ovom slučaju, za prvu kutiju, volumen tvari će biti:
V₁ = ha² = 10a²
Za drugu kutiju, duljina baze je 2a, ali visina razine pijeska nije poznata:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Jer V₁ = V₂, izrazi se mogu izjednačiti:
10a² = 4ha²
Nakon smanjenja obje strane jednadžbe za a², dobivamo:
Kao rezultat toga, nova razina pijeska bit će h = 10 / 4 = 2,5 cm.
Zadatak 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ je pravilna prizma. Poznato je da je BD = AB₁ = 6√2. Pronađite ukupnu površinu tijela.
Da biste lakše razumjeli koji su elementi poznati, možete nacrtati lik.
Budući da je riječ o pravilnoj prizmi, možemo zaključiti da je baza kvadrat s dijagonalom 6√2. Dijagonala bočne plohe ima istu vrijednost, stoga i bočna ploha ima oblik kvadrata jednak osnovici. Ispada da su sve tri dimenzije - duljina, širina i visina - jednake. Možemo zaključiti da je ABCDA₁B₁C₁D₁ kocka.
Duljina bilo kojeg ruba određena je poznatom dijagonalom:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Ukupna površina nalazi se formulom za kocku:
Pun = 6a² = 6 6² = 216
Zadatak 3.
Soba se renovira. Poznato je da njegov pod ima oblik kvadrata površine 9 m². Visina sobe je 2,5 m. Koji je najniži trošak tapeta za sobu ako 1 m² košta 50 rubalja?
Budući da su pod i strop kvadrati, odnosno pravilni četverokuti, a zidovi okomiti na horizontalne plohe, možemo zaključiti da se radi o pravilnoj prizmi. Potrebno je odrediti površinu njegove bočne površine.
Dužina sobe je a = √9 = 3 m.
Trg će biti oblijepljen tapetama Sstrana = 4 3 2,5 = 30 m².
Najniža cijena tapeta za ovu sobu bit će 50 30 = 1500 rubalja.
Dakle, za rješavanje problema za pravokutnu prizmu dovoljno je znati izračunati površinu i opseg kvadrata i pravokutnika, kao i znati formule za pronalaženje volumena i površine.
Kako pronaći površinu kocke
Kako ona izgleda
Pravokutne prizme okružene modernog čovjeka prilično malo. To je, na primjer, uobičajeni karton ispod cipela, računalne komponente itd. Razgledati. Čak iu sobi, sigurno ćete vidjeti mnogo pravokutnih prizmi. Ovo je kućište za računalo, i polica za knjige, i hladnjak, i ormarić, i mnogi drugi predmeti. Forma je iznimno popularna ponajprije jer vam omogućuje što učinkovitije korištenje prostora, bilo da uređujete interijer ili stvari pakirate u karton prije selidbe.Svojstva pravokutne prizme
Pravokutna prizma ima niz specifičnih svojstava. Bilo koji par lica može poslužiti kao njegov, budući da su sva susjedna lica smještena pod istim kutom jedna prema drugoj, a taj kut je 90 °. Volumen i površinu pravokutne prizme lakše je izračunati nego bilo koju drugu. Uzmite bilo koji predmet koji ima oblik pravokutne prizme. Izmjerite njegovu duljinu, širinu i visinu. Da biste pronašli volumen, dovoljno je pomnožiti ove mjere. Odnosno, formula izgleda ovako: V \u003d a * b * h, gdje je V volumen, a i b su strane baze, h je visina koja se podudara s bočnim rubom ovog geometrijskog tijela. Osnovna površina izračunava se po formuli S1=a*b. Da biste dobili bočnu površinu, prvo morate izračunati opseg baze pomoću formule P=2(a+b), a zatim ga pomnožiti s visinom. Ispada formula S2=P*h=2(a+b)*h. Da biste izračunali ukupnu površinu pravokutne prizme, dodajte dvostruku površinu baze i površinu bočne površine. Formula je S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2Različite prizme se razlikuju jedna od druge. Istovremeno, imaju mnogo toga zajedničkog. Da biste pronašli područje baze prizme, morate shvatiti kako izgleda.
Opća teorija
Prizma je svaki poliedar čije stranice imaju oblik paralelograma. Štoviše, bilo koji poliedar može biti u svojoj bazi - od trokuta do n-kuta. Štoviše, baze prizme uvijek su međusobno jednake. Ono što se ne odnosi na bočna lica - mogu se značajno razlikovati u veličini.
Pri rješavanju problema ne nailazi se samo na područje baze prizme. Možda će biti potrebno poznavati bočnu plohu, odnosno sva lica koja nisu baze. Puna površina već će biti spoj svih površina koje čine prizmu.
Ponekad se u zadacima pojavljuju visine. Okomit je na baze. Dijagonala poliedra je isječak koji u paru povezuje bilo koja dva vrha koji ne pripadaju istoj plohi.
Treba napomenuti da područje baze ravne ili nagnute prizme ne ovisi o kutu između njih i bočnih strana. Ako imaju iste figure na gornjem i donjem licu, tada će im površine biti jednake.
trokutasta prizma
U osnovi ima lik s tri vrha, odnosno trokut. Zna se da je drugačije. Ako je tada dovoljno prisjetiti se da je njegova površina određena polovicom umnoška krakova.
Matematički zapis izgleda ovako: S = ½ av.
Da biste pronašli područje baze u opći pogled, korisne su formule: Čaplja i ona kod koje je polovica stranice uzeta na visinu nacrtanu na nju.
Prva formula bi trebala biti napisana ovako: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Ovaj unos sadrži poluopseg (p), to jest zbroj tri strane podijeljen s dva.
Drugo: S = ½ n a * a.
Ako želite znati područje baze trokutaste prizme, koja je pravilna, tada se trokut ispostavlja kao jednakostraničan. Ima svoju formulu: S = ¼ a 2 * √3.
četverokutna prizma
Njegova baza je bilo koji od poznatih četverokuta. To može biti pravokutnik ili kvadrat, paralelopiped ili romb. U svakom slučaju, da biste izračunali površinu baze prizme, trebat će vam vlastita formula.
Ako je baza pravokutnik, tada se njegova površina određuje na sljedeći način: S = av, gdje su a, b stranice pravokutnika.
Kada je u pitanju četverokutna prizma, osnovna površina pravilne prizme izračunava se pomoću formule za kvadrat. Jer on je taj koji leži u bazi. S \u003d a 2.
U slučaju kada je baza paralelopiped, bit će potrebna sljedeća jednakost: S \u003d a * n a. Dešava se da su zadane stranica paralelopipeda i jedan od uglova. Zatim, da biste izračunali visinu, morat ćete upotrijebiti dodatnu formulu: na \u003d b * sin A. Štoviše, kut A je uz stranu "b", a visina je na suprotno od ovog kuta.
Ako romb leži na dnu prizme, tada će biti potrebna ista formula za određivanje njegove površine kao i za paralelogram (budući da je to njegov poseban slučaj). Ali možete koristiti i ovaj: S = ½ d 1 d 2. Ovdje su d 1 i d 2 dvije dijagonale romba.
Pravilna peterokutna prizma
Ovaj slučaj uključuje dijeljenje poligona u trokute, čija je površina lakše pronaći. Iako se događa da figure mogu biti s različitim brojem vrhova.
Budući da je baza prizme pravilan peterokut, može se podijeliti na pet jednakostraničnog trokuta. Tada je površina baze prizme jednaka površini jednog takvog trokuta (formula se može vidjeti gore), pomnožena s pet.
Pravilna heksagonalna prizma
Prema principu opisanom za peterokutnu prizmu, moguće je podijeliti osnovni šesterokut na 6 jednakostraničnog trokuta. Formula za površinu baze takve prizme slična je prethodnoj. Samo u njemu treba pomnožiti sa šest.
Formula će izgledati ovako: S = 3/2 i 2 * √3.
Zadaci
1. Dana je pravilna ravna linija. Njena dijagonala je 22 cm, visina poliedra je 14 cm. Izračunajte površinu baze prizme i cijele površine.
Riješenje. Osnovica prizme je kvadrat, ali njena stranica nije poznata. Njegovu vrijednost možete pronaći iz dijagonale kvadrata (x), koja je povezana s dijagonalom prizme (d) i njezinom visinom (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. S druge strane, ovaj segment "x" je hipotenuza u trokutu čije su katete jednake stranici kvadrata. Odnosno, x 2 \u003d a 2 + a 2. Dakle, ispada da je a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Zamijenite broj 22 umjesto d i zamijenite "n" njegovom vrijednošću - 14, ispada da je stranica kvadrata 12 cm. Sada je lako saznati osnovnu površinu: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Da biste saznali površinu cijele površine, morate dodati dvostruku vrijednost osnovne površine i učetverostručiti stranu. Potonje je lako pronaći formulom za pravokutnik: pomnožite visinu poliedra i stranu baze. Odnosno, 14 i 12, ovaj broj će biti jednak 168 cm 2. Utvrđeno je da je ukupna površina prizme 960 cm 2 .
Odgovor. Osnovna površina prizme je 144 cm2. Ukupna površina - 960 cm 2 .
Broj 2. Dana Na bazi leži trokut sa stranicom 6 cm.U ovom slučaju dijagonala bočne plohe je 10 cm.Izračunaj površine: baze i bočne plohe.
Riješenje. Kako je prizma pravilna, to je i njezina baza jednakostraničan trokut. Stoga se ispostavlja da je njegova površina jednaka 6 kvadratnih puta ¼ i kvadratnom korijenu iz 3. Jednostavan izračun dovodi do rezultata: 9√3 cm 2. Ovo je površina jedne baze prizme.
Sve bočne strane su jednake i pravokutnici su sa stranicama 6 i 10 cm, a za izračunavanje njihovih površina dovoljno je pomnožiti te brojeve. Zatim ih pomnožite s tri, jer prizma ima točno toliko bočnih stranica. Zatim je površina bočne površine namotana 180 cm 2.
Odgovor. Područja: baza - 9√3 cm 2, bočna površina prizme - 180 cm 2.
Predavanje: Prizma, njezine baze, bočni bridovi, visina, bočna ploha; ravna prizma; desna prizma
Prizma
Ako ste s nama naučili ravne figure iz prethodnih pitanja, onda ste potpuno spremni za proučavanje trodimenzionalnih figura. Prvo tijelo koje ćemo naučiti bit će prizma.
Prizma je voluminozno tijelo koje ima veliki broj lica.
Ova figura ima dva poligona na bazama, koji se nalaze u paralelnim ravninama, a sve bočne strane su u obliku paralelograma.
Slika 1. Fig. 2
Dakle, shvatimo od čega se sastoji prizma. Da biste to učinili, obratite pozornost na sl.1
Kao što je ranije spomenuto, prizma ima dvije baze koje su međusobno paralelne - to su peterokuti ABCEF i GMNJK. Štoviše, ti poligoni su međusobno jednaki.
Sve ostale plohe prizme nazivamo bočnim plohama – sastoje se od paralelograma. Na primjer, BMNC, AGKF, FKJE itd.
Zajednička ploha svih bočnih ploha naziva se bočna površina.
Svaki par susjednih stranica ima zajedničku stranicu. Takva zajednička stranica naziva se brid. Na primjer, MB, CE, AB itd.
Ako su gornja i donja osnovica prizme spojene okomicom, tada će se to zvati visina prizme. Na slici je visina označena ravnom linijom OO 1.
Postoje dvije glavne vrste prizme: kosa i ravna.
Ako bočna rebra prizme nisu okomite na osnovice, onda se takva prizma naziva kosi.
Ako su svi bridovi prizme okomiti na baze, tada se takva prizma naziva ravno.
Ako su osnovice prizme pravilni poligoni(one čije su stranice jednake), tada se takva prizma naziva ispraviti.
Ako osnovice prizme nisu međusobno paralelne, tada će se takva prizma zvati krnji.
Možete ga vidjeti na sl.2
Formule za pronalaženje volumena, površine prizme
Postoje tri osnovne formule za pronalaženje volumena. Međusobno se razlikuju po primjeni:
Slične formule za pronalaženje površine prizme:
