Apsolutni broj logaritma. Primjeri rješavanja logaritama. Argument i baza logaritma

Fokus ovog članka je logaritam. Ovdje ćemo dati definiciju logaritma, prikazati prihvaćene zapise, dati primjere logaritama te govoriti o prirodnim i decimalnim logaritmima. Nakon toga razmotrite osnovni logaritamski identitet.

Navigacija po stranici.

Definicija logaritma

Koncept logaritma javlja se pri rješavanju problema u određenom smislu inverzno, kada trebate pronaći eksponent u poznata vrijednost stupanj i poznatu bazu.

Ali dosta preambule, vrijeme je da odgovorimo na pitanje "što je logaritam"? Dajmo odgovarajuću definiciju.

Definicija.

Logaritam od b na bazu a, gdje je a>0 , a≠1 i b>0 eksponent na koji trebate podići broj a da dobijete b kao rezultat.

U ovoj fazi, napominjemo da bi izgovorena riječ "logaritam" odmah trebala pokrenuti dva pitanja koja slijede: "koji broj" i "na kojoj osnovi". Drugim riječima, logaritma jednostavno nema, već postoji samo logaritam broja u nekoj bazi.

Odmah ćemo se predstaviti logaritamski zapis: logaritam broja b na bazu a obično se označava kao log a b . Logaritam broja b s bazom e i logaritam s bazom 10 imaju svoje posebne oznake lnb odnosno lgb, odnosno ne pišu log e b , nego lnb , a ne log 10 b , već lgb .

Sada možete donijeti: .
I zapisi nemaju smisla, budući da je u prvom od njih pod znakom logaritma negativan broj, u drugom - negativan broj u bazi, au trećem - i negativan broj pod znakom logaritma i jedinica u bazi.

Sada razgovarajmo o pravila za čitanje logaritama. Dnevnik unosa a b čita se kao "logaritam od b na bazu a". Na primjer, log 2 3 je logaritam od tri na bazu 2 i logaritam od dva zarez dvije trećine na bazu Korijen od pet. Logaritam s bazom e naziva se prirodni logaritam, a oznaka lnb se čita kao "prirodni logaritam od b". Na primjer, ln7 je prirodni logaritam od sedam, a mi ćemo ga čitati kao prirodni logaritam od pi. Logaritam s bazom 10 ima i poseban naziv - decimalni logaritam , a zapis lgb se čita kao "decimalni logaritam b". Na primjer, lg1 je decimalni logaritam od jedan, a lg2,75 je decimalni logaritam od dva zarez sedamdeset pet stotinki.

Vrijedi se posebno zadržati na uvjetima a>0, a≠1 i b>0, pod kojima je dana definicija logaritma. Objasnimo otkud ta ograničenja. U tome će nam pomoći jednakost oblika, nazvana , koja izravno slijedi iz definicije logaritma dane gore.

Počnimo s a≠1. Budući da je jedan jednak jedan na bilo koju potenciju, tada jednakost može biti istinita samo za b=1, ali log 1 1 može biti bilo koji realni broj. Kako bi se izbjegla ova dvosmislenost, prihvaća se a≠1.

Potkrijepimo svrhovitost uvjeta a>0 . Uz a=0, po definiciji logaritma, imali bismo jednakost , što je moguće samo uz b=0 . Ali tada log 0 0 može biti bilo koji realni broj različit od nule, budući da je nula prema bilo kojoj potenciji različitoj od nule nula. Ova se dvosmislenost može izbjeći uvjetom a≠0 . I za a<0 нам бы пришлось отказаться от рассмотрения рациональных и иррациональных значений логарифма, так как степень с рациональным и иррациональным показателем определена лишь для неотрицательных оснований. Поэтому и принимается условие a>0 .

Konačno, uvjet b>0 slijedi iz nejednakosti a>0 , budući da je , a vrijednost stupnja s pozitivnom bazom a uvijek je pozitivna.

U zaključku ovog odlomka kažemo da vam glasovna definicija logaritma omogućuje da odmah naznačite vrijednost logaritma kada je broj ispod znaka logaritma određeni stupanj baze. Doista, definicija logaritma nam dopušta da tvrdimo da ako je b=a p , onda je logaritam broja b na bazi a jednak p . Odnosno, jednakost log a a p =p je istinita. Na primjer, znamo da je 2 3 =8 , tada je log 2 8=3 . O tome ćemo više govoriti u članku.

izvedeno iz njegove definicije. I tako logaritam broja b razumom A definiran kao eksponent na koji se broj mora podići a da dobijem broj b(logaritam postoji samo za pozitivne brojeve).

Iz ove formulacije proizlazi da je izračun x=log a b, ekvivalentno je rješavanju jednadžbe sjekira=b. Na primjer, log 2 8 = 3 jer 8 = 2 3 . Formulacija logaritma omogućuje opravdanje da ako b=a c, zatim logaritam broja b razumom a jednaki S. Također je jasno da je tema logaritma usko povezana s temom potencije broja.

S logaritmima, kao i sa svim brojevima, možete raditi operacije zbrajanja, oduzimanja i transformirati na svaki mogući način. No s obzirom na to da logaritmi nisu sasvim obični brojevi, ovdje vrijede svoja posebna pravila, koja se nazivaju osnovna svojstva.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama.

Uzmite dva logaritma s istom bazom: log x I prijavite se. Zatim uklonite moguće je izvoditi operacije zbrajanja i oduzimanja:

log a x+ log a y= log a (x y);

log a x - log a y = log a (x:y).

log a(x 1 . x 2 . x 3 ... x k) = log x 1 + log x 2 + log x 3 + ... + log a x k.

Iz teoremi kvocijentnog logaritma može se dobiti još jedno svojstvo logaritma. Poznato je da log a 1= 0, dakle,

log a 1 /b= log a 1 - log a b= -log a b.

Dakle, postoji jednakost:

log a 1 / b = - log a b.

Logaritmi dvaju međusobno recipročnih brojeva na istoj osnovi će se međusobno razlikovati samo predznakom. Tako:

Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.

Logaritam pozitivnog broja b prema bazi a (a>0, a nije jednako 1) je broj c takav da je a c = b: log a b = c ⇔ a c = b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)       

Imajte na umu da logaritam nepozitivnog broja nije definiran. Također, baza logaritma mora biti pozitivan broj, a ne jednaka 1. Na primjer, ako kvadriramo -2, dobit ćemo broj 4, ali to ne znači da je baza -2 logaritma od 4 jednaka 2.

Osnovni logaritamski identitet

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1) (2)

Bitno je da su domene definiranja desnog i lijevog dijela ove formule različite. Lijeva strana je definirana samo za b>0, a>0 i a ≠ 1. Desna strana je definirana za bilo koje b, i uopće ne ovisi o a. Dakle, primjena osnovnog logaritamskog "identiteta" u rješavanju jednadžbi i nejednadžbi može dovesti do promjene DPV-a.

Dvije očite posljedice definicije logaritma

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1) (3)
log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1) (4)

Doista, dizanjem broja a na prvu potenciju dobivamo isti broj, a dizanjem na nultu potenciju dobivamo jedinicu.

Logaritam umnoška i logaritma kvocijenta

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (5)

Log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0) (6)

Želio bih upozoriti učenike na nepromišljeno korištenje ovih formula pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Kada se koriste "slijeva nadesno", ODZ se sužava, a kada se prelazi sa zbroja ili razlike logaritama na logaritam umnoška ili kvocijenta, ODZ se širi.

Doista, izraz log a (f (x) g (x)) je definiran u dva slučaja: kada su obje funkcije strogo pozitivne ili kada su f(x) i g(x) obje manje od nule.

Preobrazba dati izraz u zbroj log a f (x) + log a g (x) , moramo se ograničiti samo na slučaj kada je f(x)>0 i g(x)>0. Postoji sužavanje raspona dopuštenih vrijednosti, a to je kategorički neprihvatljivo, jer može dovesti do gubitka rješenja. Sličan problem postoji i za formulu (6).

Stupanj se može uzeti iz predznaka logaritma

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0) (7)

I opet bih želio pozvati na točnost. Razmotrite sljedeći primjer:

Log a (f (x) 2 = 2 log a f (x)

Lijeva strana jednakosti očito je definirana za sve vrijednosti f(x) osim nule. Desna strana je samo za f(x)>0! Oduzimajući potenciju logaritmu, ponovno sužavamo ODZ. Obrnuti postupak dovodi do proširenja raspona dopuštenih vrijednosti. Sve ove napomene vrijede ne samo za potenciju broja 2, već i za svaku parnu potenciju.

Formula za preseljenje u novu bazu

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1) (8)

Taj rijedak slučaj kada se ODZ ne mijenja tijekom konverzije. Ako ste mudro odabrali bazu c (pozitivnu a ne jednaku 1), formula za prelazak na novu bazu savršeno je sigurna.

Odaberemo li broj b kao novu bazu c, dobivamo važan poseban slučaj formule (8):

Log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1) (9)

Nekoliko jednostavnih primjera s logaritmima

Primjer 1 Izračunaj: lg2 + lg50.
Riješenje. lg2 + lg50 = lg100 = 2. Koristili smo formulu za zbroj logaritama (5) i definiciju decimalnog logaritma.

Primjer 2 Izračunajte: lg125/lg5.
Riješenje. lg125/lg5 = log 5 125 = 3. Koristili smo novu formulu prijelaza baze (8).

Tablica formula povezanih s logaritmima

a log a b = b (a > 0, a ≠ 1)

log a a = 1 (a > 0, a ≠ 1)

log a 1 = 0 (a > 0, a ≠ 1)

log a (b c) = log a b + log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b c = log a b − log a c (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0)

log a b p = p log a b (a > 0, a ≠ 1, b > 0)

log a b = log c b log c a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, c > 0, c ≠ 1)

log a b = 1 log b a (a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1)

\(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)

Objasnimo to lakše. Na primjer, \(\log_(2)(8)\) jednako je potenciji \(2\) na koju se mora podići da bi se dobilo \(8\). Iz ovoga je jasno da je \(\log_(2)(8)=3\).

Primjeri:		\(\log_(5)(25)=2\)		jer \(5^(2)=25\)
		\(\log_(3)(81)=4\)		jer \(3^(4)=81\)
		\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)		jer \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argument i baza logaritma

Svaki logaritam ima sljedeću "anatomiju":

Argument logaritma obično se piše na njegovoj razini, a baza se piše u indeksu bliže znaku logaritma. A ovaj unos se čita ovako: "logaritam od dvadeset pet na bazi pet."

Kako izračunati logaritam?

Da biste izračunali logaritam, morate odgovoriti na pitanje: na koji stupanj treba podići bazu da dobijete argument?

Na primjer, izračunajte logaritam: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Na koju potenciju treba podići \(4\) da bi se dobilo \(16\)? Očito drugo. Zato:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(5)\) da bi se dobilo \(1\)? A koji stupanj čini bilo koji broj jedinicom? Nula, naravno!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Na koju potenciju treba podići \(\sqrt(7)\) da bi se dobilo \(\sqrt(7)\)? U prvom - bilo koji broj u prvom stupnju jednak je sam sebi.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Na koju potenciju treba podići \(3\) da bi se dobilo \(\sqrt(3)\)? Iz znamo da je to razlomačka potencija, pa je stoga kvadratni korijen potencija od \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Primjer : Izračunajte logaritam \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Riješenje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Moramo pronaći vrijednost logaritma, označimo ga kao x. Sada upotrijebimo definiciju logaritma: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Lijeva desna strelica\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Što povezuje \(4\sqrt(2)\) i \(8\)? Dva, jer oba broja mogu biti predstavljena dvojkama: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2))\) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		S lijeve strane koristimo svojstva stupnja: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) i \((a^(m))^(n)=a ^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Baze su jednake, prelazimo na jednakost pokazatelja
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Pomnožite obje strane jednadžbe s \(\frac(2)(5)\)
		Dobiveni korijen je vrijednost logaritma

Odgovor : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Zašto je izmišljen logaritam?

Da bismo ovo razumjeli, riješimo jednadžbu: \(3^(x)=9\). Samo spojite \(x\) da jednakost funkcionira. Naravno, \(x=2\).

Sada riješite jednadžbu: \(3^(x)=8\). Čemu je jednako x? To je bit.

Najgenijalniji će reći: "X je malo manje od dva." Kako točno treba napisati ovaj broj? Kako bi odgovorili na ovo pitanje, smislili su logaritam. Zahvaljujući njemu, odgovor se ovdje može napisati kao \(x=\log_(3)(8)\).

Želim naglasiti da \(\log_(3)(8)\), kao i svaki logaritam je samo broj. Da, izgleda neobično, ali je kratko. Jer da ga želimo napisati kao decimalu, izgledalo bi ovako: \(1,892789260714.....\)

Primjer : Riješite jednadžbu \(4^(5x-4)=10\)

Riješenje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) i \(10\) ne mogu se svesti na istu bazu. Dakle, ovdje ne možete bez logaritma. Poslužimo se definicijom logaritma: \(a^(b)=c\) \(\Lijeva desna strelica\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Okrenite jednadžbu tako da x bude s lijeve strane
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Prije nas. Pomakni \(4\) udesno. I ne bojte se logaritma, tretirajte ga kao normalan broj.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Podijelite jednadžbu s 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Ovdje je naš korijen. Da, izgleda neobično, ali odgovor nije odabran.

Odgovor : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Decimalni i prirodni logaritmi

Kao što je navedeno u definiciji logaritma, njegova baza može biti bilo koji pozitivan broj osim jedan \((a>0, a\neq1)\). A među svim mogućim bazama postoje dvije koje se javljaju toliko često da je za logaritme s njima izmišljen poseban kratki zapis:

Prirodni logaritam: logaritam čija je baza Eulerov broj \(e\) (jednak približno \(2,7182818…\)), a logaritam se piše kao \(\ln(a)\).

To je, \(\ln(a)\) je isto što i \(\log_(e)(a)\)

Decimalni logaritam: Logaritam čija je baza 10 piše \(\lg(a)\).

To je, \(\lg(a)\) je isto što i \(\log_(10)(a)\), gdje je \(a\) neki broj.

Osnovni logaritamski identitet

Logaritmi imaju mnoga svojstva. Jedan od njih se zove "Osnovni logaritamski identitet" i izgleda ovako:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Ovo svojstvo izravno proizlazi iz definicije. Pogledajmo kako je nastala ova formula.

Prisjetimo se kratke definicije logaritma:

ako \(a^(b)=c\), tada \(\log_(a)(c)=b\)

Odnosno, \(b\) je isto što i \(\log_(a)(c)\). Tada možemo napisati \(\log_(a)(c)\) umjesto \(b\) u formuli \(a^(b)=c\) . Ispalo je \(a^(\log_(a)(c))=c\) - glavni logaritamski identitet.

Ostala svojstva logaritama možete pronaći. Uz njihovu pomoć možete pojednostaviti i izračunati vrijednosti izraza s logaritmima, koje je teško izravno izračunati.

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(36^(\log_(6)(5))\)

Riješenje :

Odgovor : \(25\)

Kako napisati broj kao logaritam?

Kao što je gore spomenuto, svaki logaritam je samo broj. Vrijedi i obrnuto: bilo koji broj se može napisati kao logaritam. Na primjer, znamo da je \(\log_(2)(4)\) jednako dva. Tada možete napisati \(\log_(2)(4)\) umjesto dva.

Ali \(\log_(3)(9)\) također je jednako \(2\), tako da također možete napisati \(2=\log_(3)(9)\) . Slično s \(\log_(5)(25)\), i s \(\log_(9)(81)\), itd. Odnosno, ispada

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Stoga, ako trebamo, možemo zapisati dva kao logaritam s bilo kojom bazom bilo gdje (čak iu jednadžbi, čak i u izrazu, čak i u nejednadžbi) - samo zapišemo kvadrat baze kao argument.

Isto je i s trojkom - može se napisati kao \(\log_(2)(8)\), ili kao \(\log_(3)(27)\), ili kao \(\log_(4)( 64) \) ... Ovdje pišemo bazu u kocki kao argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

I sa četiri:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

I sa minus jedan:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\)\(...\)

I s jednom trećinom:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Bilo koji broj \(a\) može se predstaviti kao logaritam s bazom \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Primjer : Pronađite vrijednost izraza \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Riješenje :

Odgovor : \(1\)

Danas ćemo razgovarati o logaritamske formule i dati demonstraciju primjeri rješenja.

Sami po sebi podrazumijevaju obrasce rješenja prema osnovnim svojstvima logaritama. Prije primjene formula logaritma na rješenje, prvo se prisjećamo svih svojstava:

Sada, na temelju ovih formula (svojstava), pokazujemo primjeri rješavanja logaritama.

Primjeri rješavanja logaritama na temelju formula.

Logaritam pozitivan broj b u bazi a (označen kao log a b) je eksponent na koji se a mora podići da bi se dobilo b, s b > 0, a > 0 i 1.

Prema definiciji log a b = x, što je ekvivalentno s a x = b, pa je log a a x = x.

Logaritmi, primjeri:

log 2 8 = 3, jer 2 3 = 8

log 7 49 = 2 jer 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, jer 5 -1 = 1/5

Decimalni logaritam je obični logaritam čija je baza 10. Označava se kao lg.

log 10 100 = 2 jer 10 2 = 100

prirodni logaritam- također uobičajeni logaritamski logaritam, ali već s bazom e (e \u003d 2,71828 ... - iracionalan broj). Navodi se kao ln.

Poželjno je zapamtiti formule odnosno svojstva logaritama jer će nam kasnije trebati pri rješavanju logaritama, logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi. Prođimo ponovno kroz svaku formulu s primjerima.

• Osnovni logaritamski identitet
  a log a b = b

  8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9

• Logaritam umnoška jednak je zbroju logaritama
  log a (bc) = log a b + log a c

  log 3 8,1 + log 3 10 = log 3 (8,1*10) = log 3 81 = 4

• Logaritam kvocijenta jednak je razlici logaritama
  log a (b/c) = log a b - log a c

  9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81

• Svojstva stupnja logaritmljivog broja i baze logaritma

  Eksponent logaritamskog broja log a b m = mlog a b

  Eksponent baze logaritma log a n b =1/n*log a b

  log a n b m = m/n*log a b,

  ako je m = n, dobivamo log a n b n = log a b

  log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3

• Prijelaz na novi temelj
  log a b = log c b / log c a,

  ako je c = b, dobivamo log b b = 1

  tada je log a b = 1/log b a

  log 0,8 3*log 3 1,25 = log 0,8 3*log 0,8 1,25/log 0,8 3 = log 0,8 1,25 = log 4/5 5/4 = -1

Kao što vidite, formule logaritma nisu tako komplicirane kao što se čine. Sada, nakon razmatranja primjera rješavanja logaritama, možemo prijeći na logaritamske jednadžbe. Detaljnije ćemo razmotriti primjere rješavanja logaritamskih jednadžbi u članku: "". Ne propustite!

Ako još uvijek imate pitanja o rješenju, napišite ih u komentarima na članak.

Napomena: odlučio sam kao opciju steći obrazovanje druge klase studija u inozemstvu.