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Come sottrarre radici con diversi gradi. Quali difficoltà attendono coloro che si sono impegnati a eseguire l'aggiunta di radici

La radice quadrata di un numero X chiamato un numero UN, che nel processo di moltiplicarsi per se stesso ( AA) può dare un numero X.
Quelli. LA * LA = LA 2 = X, E √X = A.

Su radici quadrate ( √x), come con altri numeri, puoi eseguire operazioni aritmetiche come sottrazioni e addizioni. Per sottrarre e aggiungere radici, devono essere collegate utilizzando segni corrispondenti a queste azioni (ad esempio √x- √y ).
E poi porta le radici nella loro forma più semplice: se ce ne sono di simili tra loro, devi fare un cast. Consiste nel fatto che i coefficienti di termini simili vengono presi con i segni dei termini corrispondenti, quindi vengono racchiusi tra parentesi e la radice comune viene visualizzata fuori dalle parentesi del moltiplicatore. Il coefficiente che abbiamo ottenuto è semplificato secondo le solite regole.

Passaggio 1. Estrazione delle radici quadrate

Innanzitutto, per aggiungere radici quadrate, devi prima estrarre queste radici. Questo può essere fatto se i numeri sotto il segno della radice sono quadrati perfetti. Ad esempio, prendi l'espressione data √4 + √9 . Primo numero 4 è il quadrato del numero 2 . Secondo numero 9 è il quadrato del numero 3 . Si può quindi ottenere la seguente uguaglianza: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Tutto, l'esempio è risolto. Ma non sempre accade così.

Passaggio 2. Estrarre il moltiplicatore di un numero da sotto la radice

Se non ci sono quadrati interi sotto il segno della radice, puoi provare a estrarre il moltiplicatore del numero da sotto il segno della radice. Ad esempio, prendi l'espressione √24 + √54 .

Fattorizziamo i numeri:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Tra 24 abbiamo un moltiplicatore 4 , può essere estratto da sotto il segno della radice quadrata. Tra 54 abbiamo un moltiplicatore 9 .

Otteniamo l'uguaglianza:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Considerando questo esempio, otteniamo la rimozione del fattore da sotto il segno radice, semplificando così l'espressione data.

Passaggio 3. Ridurre il denominatore

Considera la seguente situazione: la somma di due radici quadrate è il denominatore di una frazione, ad esempio, LA / (√a + √b).
Ora ci troviamo di fronte al compito di "eliminare l'irrazionalità nel denominatore".
Usiamo il seguente metodo: moltiplichiamo il numeratore e il denominatore della frazione per l'espressione √a - √b.

Ora otteniamo la formula di moltiplicazione abbreviata al denominatore:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Allo stesso modo, se il denominatore contiene la differenza delle radici: √a - √b, il numeratore e il denominatore della frazione vengono moltiplicati per l'espressione √a + √b.

Prendiamo come esempio una frazione:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Un esempio di riduzione del denominatore complesso

Ora consideriamo abbastanza esempio complesso sbarazzarsi dell'irrazionalità nel denominatore.

Prendiamo come esempio una frazione: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Devi prendere il suo numeratore e denominatore e moltiplicare per l'espressione √2 + √3 - √5 .

Noi abbiamo:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Passaggio 4. Calcola il valore approssimativo sulla calcolatrice

Se hai solo bisogno di un valore approssimativo, puoi farlo su una calcolatrice calcolando il valore delle radici quadrate. Separatamente, per ogni numero, il valore viene calcolato e registrato con la precisione richiesta, che è determinata dal numero di cifre decimali. Inoltre, vengono eseguite tutte le operazioni richieste, come con i numeri ordinari.

Esempio di calcolo stimato

È necessario calcolare il valore approssimativo di questa espressione √7 + √5 .

Di conseguenza, otteniamo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Nota: in nessun caso le radici quadrate devono essere aggiunte come numeri primi, questo è del tutto inaccettabile. Cioè, se aggiungi la radice quadrata di cinque e tre, non possiamo ottenere la radice quadrata di otto.

Consiglio utile: se si decide di scomporre in fattori un numero, per ricavare un quadrato da sotto il segno della radice, bisogna fare un controllo inverso, cioè moltiplicare tutti i fattori risultanti dai calcoli, e in risultato finale Questo calcolo matematico dovrebbe risultare nel numero che ci è stato originariamente dato.

Addizione e sottrazione di radici- uno degli "inciampi" più comuni per chi segue un corso di matematica (algebra) alle superiori. Tuttavia, imparare a sommarle e sottrarle correttamente è molto importante, perché gli esempi per la somma o la differenza di radici sono inclusi nel programma dell'Esame di Stato Unificato di base nella disciplina "matematica".

Per padroneggiare la soluzione di tali esempi, hai bisogno di due cose: capire le regole e fare pratica. Dopo aver risolto una o due dozzine di esempi tipici, lo studente porterà questa abilità all'automatismo, e quindi non avrà nulla da temere all'esame. Si consiglia di iniziare a padroneggiare le operazioni aritmetiche con l'addizione, perché sommarle è un po' più facile che sottrarle.

Il modo più semplice per spiegarlo è con l'esempio di una radice quadrata. In matematica esiste un termine ben consolidato "quadrato". "Quadrato" significa moltiplicare un numero specifico per se stesso una volta.. Ad esempio, se estrai 2 al quadrato, ottieni 4. Se estrai 7, ottieni 49. Il quadrato di 9 è 81. Quindi la radice quadrata di 4 è 2, di 49 è 7 e di 81 è 9.

Di norma, l'insegnamento di questo argomento in matematica inizia con radici quadrate. Per determinarlo immediatamente, lo studente Scuola superiore deve conoscere a memoria la tavola pitagorica. Per coloro che non conoscono bene questa tabella, devi usare i suggerimenti. Di solito, il processo di estrazione della radice quadrata da un numero viene fornito sotto forma di tabella sulle copertine di molti quaderni di matematica scolastica.

Le radici sono dei seguenti tipi:

piazza;
cubico (o il cosiddetto terzo grado);
quarto grado;
quinto grado.

Regole di addizione

Per risolvere con successo un esempio tipico, è necessario tenere presente che non tutti i numeri radice possono essere impilati tra loro. Per poterli mettere insieme, devono essere portati a un unico schema. Se ciò non è possibile, il problema non ha soluzione. Tali problemi si trovano spesso anche nei libri di testo di matematica come una sorta di trappola per gli studenti.

L'aggiunta non è consentita negli incarichi quando le espressioni radicali differiscono l'una dall'altra. Questo può essere illustrato in buon esempio:

lo studente si trova di fronte al compito: sommare la radice quadrata di 4 e di 9;
studente inesperto, conoscendo le regole, di solito scrive: "radice quadrata di 4 + radice di 9 \u003d radice di 13".
è molto facile dimostrare che questo modo di risolvere è sbagliato. Per fare ciò, devi trovare la radice quadrata di 13 e verificare se l'esempio è risolto correttamente;
usando un microcalcolatore, puoi determinare che è approssimativamente 3,6. Ora resta da verificare la soluzione;
radice di 4=2, e di 9=3;
La somma di due e tre è cinque. Pertanto, questo algoritmo di soluzione può essere considerato errato.

Se le radici hanno lo stesso grado, ma espressioni numeriche diverse, viene tolto dalle parentesi e la somma di due espressioni radicali. Pertanto, è già estratto da questo importo.

Algoritmo di addizione

Per decidere correttamente il compito più semplice, necessario:

Determina cosa richiede esattamente l'aggiunta.
Scopri se è possibile sommare valori tra loro, guidati dalle regole esistenti in matematica.
Se non possono essere aggiunti, è necessario trasformarli in modo tale che possano essere aggiunti.
Dopo aver effettuato tutte le trasformazioni necessarie, è necessario eseguire l'addizione e annotare la risposta finita. L'addizione può essere fatta mentalmente o con una calcolatrice, a seconda della complessità dell'esempio.

Quali sono le radici simili

Per risolvere correttamente un esempio di addizione, è necessario, prima di tutto, pensare a come può essere semplificato. Per fare questo, devi avere una conoscenza di base di cosa sia la somiglianza.

La capacità di identificare quelli simili aiuta a risolvere rapidamente lo stesso tipo di esempi di addizione, portandoli in una forma semplificata. Per semplificare un tipico esempio di addizione, è necessario:

Trova quelli simili e assegnali a un gruppo (o più gruppi).
Riscrivi l'esempio esistente in modo tale che le radici che hanno lo stesso indicatore si seguano chiaramente (questo si chiama "raggruppamento").
Successivamente, dovresti scrivere di nuovo l'espressione, questa volta in modo tale che anche quelle simili (che hanno lo stesso indicatore e la stessa cifra radice) si susseguono.

Successivamente, un esempio semplificato è solitamente facile da risolvere.

Per risolvere correttamente qualsiasi esempio di addizione, è necessario comprendere chiaramente le regole di base dell'addizione e sapere anche cos'è una radice e come avviene.

A volte tali compiti sembrano molto complicati a prima vista, ma di solito sono facilmente risolvibili raggruppando quelli simili. La cosa più importante è la pratica, e quindi lo studente inizierà a "fare clic su compiti come matti". L'addizione delle radici è una delle branche più importanti della matematica, quindi gli insegnanti dovrebbero dedicare abbastanza tempo per studiarla.

video

Questo video ti aiuterà a capire le equazioni con radici quadrate.

La radice di un numero è più facile da sottrarre usando una calcolatrice. Ma se non hai una calcolatrice, devi conoscere l'algoritmo per calcolare la radice quadrata. Il fatto è che un numero in un quadrato si trova sotto la radice. Ad esempio, 4 al quadrato fa 16. Cioè, la radice quadrata di 16 sarà uguale a quattro. Inoltre, 5^2 fa 25. Pertanto, la radice di 25 sarà 5. E così via.

Se il numero è piccolo, può essere facilmente sottratto verbalmente, ad esempio la radice di 25 sarà 5 e la radice di 144-12. Puoi anche calcolare sulla calcolatrice, c'è un'icona radice speciale, devi inserire un numero e fare clic sull'icona.

La tabella radice quadrata aiuterà anche:

Esistono altri modi più complessi, ma molto efficaci:

La radice di qualsiasi numero può essere sottratta utilizzando una calcolatrice, soprattutto perché oggi sono presenti in ogni telefono.

Puoi provare a capire approssimativamente come può risultare un dato numero moltiplicando un numero per se stesso.

Calcolare la radice quadrata di un numero non è difficile, soprattutto se esiste una tabella speciale. Un noto tavolo delle lezioni di algebra. Tale operazione si chiama prendere la radice quadrata del numero a, in altre parole, risolvere l'equazione. Quasi tutte le calcolatrici negli smartphone hanno una funzione di radice quadrata.

Il risultato dell'estrazione della radice quadrata di un numero noto sarà un altro numero che, elevato alla seconda potenza (quadrato), darà lo stesso numero che conosciamo. Considera una delle descrizioni degli insediamenti, che sembra breve e comprensibile:

Ecco un video sull'argomento:

Esistono diversi modi per calcolare la radice quadrata di un numero.

Il modo più popolare è usare una tabella radice speciale (vedi sotto).

Inoltre su ogni calcolatrice è presente una funzione con la quale è possibile trovare la radice.

O usando una formula speciale.

Esistono diversi modi per estrarre la radice quadrata di un numero. Uno di questi è il più veloce, usando una calcolatrice.

Ma se non c'è una calcolatrice, puoi farlo manualmente.

Il risultato sarà accurato.

Il principio è quasi lo stesso della divisione per colonna:

Proviamo senza calcolatrice a trovare il valore della radice quadrata di un numero, ad esempio 190969.

Quindi, tutto è estremamente semplice. Nei calcoli, la cosa principale è seguire alcune semplici regole e pensare logicamente.

Per questo hai bisogno di una tabella di quadrati

Ad esempio, la radice di 100 = 10, di 20 = 400 di 43 = 1849

Ormai quasi tutte le calcolatrici, comprese quelle da smartphone, possono calcolare la radice quadrata di un numero. MA se non hai una calcolatrice, puoi trovare la radice del numero in diversi modi semplici:

fattorizzazione in numeri primi

Fattorizzare il numero radice in fattori che sono numeri quadrati. A seconda del numero della radice, otterrai una risposta approssimativa o esatta. I numeri quadrati sono numeri da cui si può ricavare l'intera radice quadrata. Fattori di un numero che, moltiplicati, danno il numero originale. Ad esempio, i fattori del numero 8 sono 2 e 4, poiché 2 x 4 = 8, i numeri 25, 36, 49 sono numeri quadrati, poiché 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. I fattori quadrati sono fattori che sono numeri quadrati Innanzitutto, prova a fattorizzare il numero radice in fattori quadrati.

Ad esempio, calcola la radice quadrata di 400 (manualmente). Prima prova a fattorizzare 400 in fattori quadrati. 400 è un multiplo di 100, che è un numero quadrato divisibile per 25. Dividendo 400 per 25 ottieni 16, che è anche un numero quadrato. Pertanto, 400 può essere scomposto in fattori quadrati di 25 e 16, ovvero 25 x 16 = 400.

Scrivilo come: 400 = (25 x 16).

La radice quadrata del prodotto di alcuni termini è uguale al prodotto delle radici quadrate di ciascun termine, cioè (a x b) = a x b. Usando questa regola, prendi la radice quadrata di ogni fattore quadrato e moltiplica i risultati per trovare la risposta.

Nel nostro esempio, prendi la radice quadrata di 25 e 16.

Se il numero radice non si scompone in due fattori quadrati (e lo fa nella maggior parte dei casi), non sarai in grado di trovare la risposta esatta come numero intero. Ma puoi semplificare il problema scomponendo la radice del numero in un fattore quadrato e un fattore ordinario (un numero da cui non si può ricavare l'intera radice quadrata). Quindi prenderai la radice quadrata del fattore quadrato e prenderai la radice del fattore ordinario.

Ad esempio, calcola la radice quadrata del numero 147. Il numero 147 non può essere scomposto in due fattori quadrati, ma può essere scomposto nei seguenti fattori: 49 e 3. Risolvi il problema come segue:

Ora puoi valutare il valore della radice (trova un valore approssimativo) confrontandolo con i valori delle radici quadrate che sono più vicine (su entrambi i lati della linea numerica) al numero della radice. Otterrai il valore della radice come frazione decimale, che deve essere moltiplicata per il numero dietro il segno della radice.

Torniamo al nostro esempio. Il numero radice è 3. I numeri quadrati più vicini ad esso saranno i numeri 1 (1 \u003d 1) e 4 (4 \u003d 2). Pertanto, il valore di 3 è compreso tra 1 e 2. Poiché il valore di 3 è probabilmente più vicino a 2 che a 1, la nostra stima è: 3 = 1,7. Moltiplichiamo questo valore per il numero al segno di radice: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Se fai i calcoli su una calcolatrice, ottieni 12.13, che è abbastanza vicino alla nostra risposta.

Questo metodo funziona anche con numeri grandi. Ad esempio, considera 35. Il numero radice è 35. I numeri quadrati più vicini ad esso sono 25 (25 = 5) e 36 (36 = 6). Pertanto, il valore 35 è compreso tra 5 e 6. Poiché il valore 35 è molto più vicino a 6 che a 5 (poiché 35 è solo 1 inferiore a 36), possiamo dire che 35 è leggermente inferiore a 6. Controllando sulla calcolatrice si ottiene noi la risposta 5.92 - avevamo ragione.

Un altro modo è fattorizzare il numero radice in fattori primi. Fattori primi di un numero divisibili solo per 1 e per se stessi. Scrivi i fattori primi di seguito e trova le coppie di fattori identici. Tali fattori possono essere tolti dal segno della radice.

Ad esempio, calcola la radice quadrata di 45. Decomponiamo il numero radice in fattori primi: 45 \u003d 9 x 5 e 9 \u003d 3 x 3. Pertanto, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 può essere tolto dal segno della radice: 45 = 35. Ora possiamo stimare 5.

Consideriamo un altro esempio: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Hai tre moltiplicatori 2; prendine un paio e toglili dal segno della radice.

2(2 x 11) = 22 x 11. Ora puoi valutare 2 e 11 e trovare una risposta approssimativa.

Anche questo video tutorial può essere utile:

Per estrarre la radice da un numero, dovresti usare una calcolatrice, o se non ce n'è una adatta, ti consiglio di andare su questo sito e risolvere il problema usando calcolatrice in linea, che darà il valore corretto in secondi.

Cos'è una radice

Di norma, l'insegnamento di questo argomento in matematica inizia con radici quadrate. Per determinarlo immediatamente, uno studente delle superiori deve conoscere a memoria la tavola pitagorica. Per coloro che non conoscono bene questa tabella, devi usare i suggerimenti. Di solito, il processo di estrazione della radice quadrata da un numero viene fornito sotto forma di tabella sulle copertine di molti quaderni di matematica scolastica.

Le radici sono dei seguenti tipi:

piazza;
cubico (o il cosiddetto terzo grado);
quarto grado;
quinto grado.

Regole di addizione

L'aggiunta non è consentita negli incarichi quando le espressioni radicali differiscono l'una dall'altra. Questo può essere illustrato con un esempio illustrativo:

lo studente si trova di fronte al compito: sommare la radice quadrata di 4 e di 9;
uno studente inesperto che non conosce la regola di solito scrive: "radice di 4 + radice di 9 \u003d radice di 13".
è molto facile dimostrare che questo modo di risolvere è sbagliato. Per fare ciò, devi trovare la radice quadrata di 13 e verificare se l'esempio è risolto correttamente;
usando un microcalcolatore, puoi determinare che è approssimativamente 3,6. Ora resta da verificare la soluzione;
radice di 4=2, e di 9=3;
La somma di due e tre è cinque. Pertanto, questo algoritmo di soluzione può essere considerato errato.

Se le radici hanno lo stesso grado, ma espressioni numeriche diverse, viene tolto dalle parentesi e la somma di due espressioni radicali. Pertanto, è già estratto da questo importo.

Algoritmo di addizione

Per risolvere correttamente il problema più semplice, è necessario:

Determina cosa richiede esattamente l'aggiunta.
Scopri se è possibile sommare valori tra loro, guidati dalle regole esistenti in matematica.
Se non possono essere aggiunti, è necessario trasformarli in modo tale che possano essere aggiunti.
Dopo aver effettuato tutte le trasformazioni necessarie, è necessario eseguire l'addizione e annotare la risposta finita. L'addizione può essere fatta mentalmente o con una calcolatrice, a seconda della complessità dell'esempio.

Quali sono le radici simili

Trova quelli simili e assegnali a un gruppo (o più gruppi).
Riscrivi l'esempio esistente in modo tale che le radici che hanno lo stesso indicatore si seguano chiaramente (questo si chiama "raggruppamento").
Successivamente, dovresti scrivere di nuovo l'espressione, questa volta in modo tale che anche quelle simili (che hanno lo stesso indicatore e la stessa cifra radice) si susseguono.

Successivamente, un esempio semplificato è solitamente facile da risolvere.

Per risolvere correttamente qualsiasi esempio di addizione, è necessario comprendere chiaramente le regole di base dell'addizione e sapere anche cos'è una radice e come avviene.

Ora nel curriculum scolastico qualcosa non è del tutto chiaro. Fa piacere che in matematica tutto rimanga invariato. Lavorare con le radici, cioè addizione e sottrazione, non è un'operazione molto difficile. Ma alcuni studenti affrontano alcune difficoltà.

E in questo articolo analizzeremo le regole su come aggiungere e sottrarre radici quadrate.

Puoi sottrarre e aggiungere radici quadrate se viene attivata la condizione che queste radici abbiano le stesse espressioni radicali. In altre parole, possiamo operare su 2√3 e 4√3, ma non su 2√3 e 2√7. Ma puoi intraprendere azioni per semplificare l'espressione radicale, per poi portarle a radici che avranno le stesse espressioni radicali. E solo dopo inizia già ad aggiungere o sottrarre.

La teoria dell'addizione e della sottrazione delle radici quadrate

Il principio stesso è molto semplice. E sarà composto da tre passaggi. Dobbiamo semplificare l'espressione radicale. Trova le espressioni radicali identiche risultanti e aggiungi o sottrai le radici.

Come semplificare un'espressione radicale

Per fare ciò, è necessario scomporre il numero radice, che consisterebbe in due fattori. Condizione principale. Uno di questi numeri deve essere un numero quadrato (esempio: 25 o 9). Dopo questa azione, estraiamo la radice del numero quadrato dato. E scriviamo questo numero davanti alla nostra radice, e sotto la radice abbiamo il secondo fattore.

Ad esempio, 6√50 - 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Qui scomponiamo 50 in due fattori 25 e 2. Quindi da 25 estraiamo la radice quadrata (otteniamo il numero 5) e la estraiamo da sotto la radice. Quindi moltiplichiamo 5 per 6 e otteniamo 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. IN esempi dati scomponiamo 8 in due numeri 4 e 2. Da 4 estraiamo la radice e prendiamo il numero risultante dalla radice e lo moltiplichiamo per il numero che era già dietro la radice.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Qui, come prima, scomponiamo il numero sotto la radice in due numeri 4 e 3. Da 4 estraiamo la radice. Prendiamo il numero risultante come radice e lo moltiplichiamo per il numero che era dietro la radice.

Di conseguenza, abbiamo trasformato l'equazione 6√50 - 2√8 + 5√12 in questa forma 30√2 - 4√2 + 10√3

Sottolineiamo le radici che hanno le stesse espressioni di radice

Nel nostro esempio 30√2 - 4√2 + 10√3, selezioniamo 30√2 e 4√2, poiché questi numeri hanno lo stesso numero radice 2.
Se nel tuo esempio ci sono diverse espressioni radicali identiche. Sottolinea gli stessi con linee diverse.

Aggiungi o sottrai le nostre radici

Ora aggiungiamo o sottraiamo numeri che hanno le stesse espressioni radice. E ciò che è sotto la radice lo lasciamo invariato. Il punto è mostrare quante radici con determinate espressioni radicali ci sono in una data equazione.

Nel nostro esempio, 30√2 - 4√2 + 10√3, sottraiamo 4 da 30 e otteniamo 26√2

La risposta nel nostro esempio sarebbe: 26√2 + 10√3

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Cos'è una radice matematica?

Questa azione è nata in contrasto con l'esponenziamento. La matematica presuppone la presenza di due operazioni opposte. C'è la sottrazione per l'addizione. La moltiplicazione si oppone alla divisione. L'azione inversa del grado è l'estrazione della radice corrispondente.

Se l'esponente è 2, la radice sarà quadrata. È il più comune in matematica scolastica. Non ha nemmeno l'indicazione che è quadrato, cioè non gli è assegnato il numero 2. La notazione matematica di questo operatore (radicale) è mostrata in figura.

Dall'azione descritta, la sua definizione segue senza intoppi. Per estrarre la radice quadrata di un certo numero, devi scoprire cosa darà l'espressione radicale moltiplicata per se stessa. Questo numero sarà la radice quadrata. Se lo scriviamo matematicamente, otteniamo quanto segue: x * x \u003d x 2 \u003d y, che significa √y \u003d x.

Quali azioni possono essere intraprese con loro?

Al suo centro, una radice è una potenza frazionaria che ha un'unità nel numeratore. E il denominatore può essere qualsiasi cosa. Ad esempio, la radice quadrata ha un valore di due. Pertanto, tutte le azioni che possono essere eseguite con i gradi saranno valide anche per le radici.

E hanno gli stessi requisiti per queste azioni. Se la moltiplicazione, la divisione e l'elevazione a potenza non incontrano difficoltà per gli studenti, allora l'aggiunta di radici, così come la loro sottrazione, a volte porta a confusione. E tutto perché vuoi eseguire queste operazioni senza guardare il segno della radice. Ed è qui che iniziano gli errori.

Quali sono le regole per l'addizione e la sottrazione?

Per prima cosa devi ricordare due "no" categorici:

è impossibile eseguire addizione e sottrazione di radici, come con i numeri primi, cioè è impossibile scrivere le espressioni radice della somma sotto un segno ed eseguire con esse operazioni matematiche;
Non puoi aggiungere o sottrarre radici da diversi indicatori, come quadrato e cubico.

Un esempio illustrativo del primo divieto: √6 + √10 ≠ √16 ma √(6 + 10) = √16.

Nel secondo caso è meglio limitarsi a semplificare le radici stesse. E nella risposta lascia la loro somma.

Ora alle regole

Trova e raggruppa radici simili. Cioè, quelli che non solo hanno stessi numeri sotto il radicale, ma loro stessi hanno un indicatore.
Esegui l'aggiunta delle radici combinate in un gruppo dalla prima azione. È facile da implementare, perché devi solo aggiungere i valori che vengono prima dei radicali.
Estrai le radici in quei termini in cui l'espressione radicale forma un intero quadrato. In altre parole, non lasciare nulla sotto il segno del radicale.
Semplifica le espressioni radice. Per fare ciò, devi scomporli in fattori primi e vedere se danno il quadrato di qualsiasi numero. È chiaro che questo è vero quando si tratta della radice quadrata. Quando l'esponente è tre o quattro, allora i fattori primi devono dare il cubo o la quarta potenza del numero.
Togli da sotto il segno del radicale un fattore che dia una potenza intera.
Vedi se termini simili appaiono di nuovo. In caso affermativo, eseguire nuovamente il secondo passaggio.

In una situazione in cui il problema non richiede il valore esatto della radice, può essere calcolato su una calcolatrice. Arrotonda la frazione decimale infinita che verrà visualizzata nella sua finestra. Molto spesso questo viene fatto fino ai centesimi. E poi esegui tutte le operazioni per le frazioni decimali.

Queste sono tutte le informazioni su come viene eseguita l'aggiunta delle radici. Gli esempi seguenti illustreranno quanto sopra.

Primo compito

Calcolare il valore delle espressioni:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Se segui l'algoritmo sopra, puoi vedere che non c'è nulla per le prime due azioni in questo esempio. Ma puoi semplificare alcune espressioni radicali.

Ad esempio, fattore 32 in due fattori 2 e 16; 18 sarà uguale al prodotto di 9 e 2; 128 è 2 per 64. Detto questo, l'espressione sarà scritta così:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Ora devi togliere da sotto il segno radicale quei fattori che danno il quadrato del numero. Questo è 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . L'espressione assumerà la forma:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Dobbiamo semplificare un po' la scrittura. Per questo, i coefficienti vengono moltiplicati prima dei segni della radice:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

In questa espressione, tutti i termini si sono rivelati simili. Pertanto, devono solo essere piegati. La risposta sarà: 5√2.

b) Come nell'esempio precedente, l'aggiunta di radici inizia con la loro semplificazione. Le espressioni radice 75, 147, 48 e 300 saranno rappresentate dalle seguenti coppie: 5 e 25, 3 e 49, 3 e 16, 3 e 100. Ciascuna di esse ha un numero che può essere estratto da sotto il segno radice :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Dopo la semplificazione, la risposta è: 5√5 - 5√3. Può essere lasciato in questa forma, ma è meglio togliere il fattore comune 5 dalla parentesi: 5 (√5 - √3).

c) E ancora fattorizzazione: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Fattorizzato il segno della radice, abbiamo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Dopo aver ridotto termini simili, otteniamo il risultato: 7√11.

Esempio frazionario

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

I seguenti numeri dovranno essere fattorizzati: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Analogamente a quelli già considerati, è necessario estrarre i fattori da sotto la radice firmare e semplificare l'espressione:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Questa espressione richiede di eliminare l'irrazionalità nel denominatore. Per fare ciò, moltiplica il secondo termine per √2/√2:

- 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Per completare l'azione, è necessario selezionare la parte intera dei fattori davanti alle radici. Il primo è 1, il secondo è 2.

Formule radice. proprietà delle radici quadrate.

Attenzione!
Ci sono ulteriori
materiale della Parte Speciale 555.
Per coloro che fortemente "non molto..."
E per coloro che "molto ...")

Nella lezione precedente, abbiamo capito cos'è una radice quadrata. È tempo di capire cosa sono formule per le radici, cosa sono proprietà della radice e cosa si può fare al riguardo.

Formule radice, proprietà radice e regole per azioni con radici- è essenzialmente la stessa cosa. Esistono sorprendentemente poche formule per le radici quadrate. Il che, ovviamente, fa piacere! Piuttosto, puoi scrivere molti tipi di formule, ma solo tre sono sufficienti per un lavoro pratico e sicuro con le radici. Tutto il resto scaturisce da questi tre. Sebbene molti si allontanino dalle tre formule delle radici, sì...

Iniziamo con il più semplice. Eccola qui:

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