Olasılık teorisinde basit problemler. Temel formül. "olasılık" kelimesinin anlamı

Başlangıçta, zar oyunuyla ilgili yalnızca bir bilgi ve ampirik gözlem koleksiyonu olan olasılık teorisi, sağlam bir bilim haline geldi. Fermat ve Pascal, ona matematiksel bir çerçeve veren ilk kişilerdi.

Sonsuza dair düşüncelerden olasılık teorisine

Olasılık teorisinin birçok temel formülü borçlu olduğu iki kişi, Blaise Pascal ve Thomas Bayes derinden dindar insanlar olarak bilinirler, ikincisi bir Presbiteryen papazıydı. Görünüşe göre, bu iki bilim adamının, favorilerine iyi şanslar bahşeden belirli bir Fortune hakkındaki görüşün yanlışlığını kanıtlama arzusu, bu alandaki araştırmalara ivme kazandırdı. Gerçekten de herhangi kumar galibiyetleri ve mağlubiyetleriyle, matematiksel ilkelerin bir senfonisinden başka bir şey değil.

Aynı derecede kumarbaz ve bilime kayıtsız olmayan Chevalier de Mere'nin heyecanı sayesinde Pascal, olasılığı hesaplamanın bir yolunu bulmak zorunda kaldı. De Mere şu soruyla ilgilendi: "12 puan alma olasılığının %50'yi geçmesi için iki zarı kaç kez çiftler halinde atmanız gerekiyor?" Beyefendiyi son derece ilgilendiren ikinci soru: "Bitmemiş oyunda bahis katılımcılar arasında nasıl paylaştırılır?" Elbette Pascal, olasılık teorisinin gelişiminin farkında olmadan başlatıcısı olan de Mere'nin her iki sorusunu da başarıyla yanıtladı. De Mere'nin şahsının edebiyatta değil de bu alanda tanınmaya devam etmesi ilginçtir.

Daha önce hiçbir matematikçi, bunun yalnızca tahmine dayanan bir çözüm olduğuna inanıldığından, olayların olasılıklarını hesaplama girişiminde bulunmadı. Blaise Pascal, bir olayın olasılığının ilk tanımını verdi ve bunun matematiksel olarak doğrulanabilecek belirli bir rakam olduğunu gösterdi. Olasılık teorisi, istatistiğin temeli haline geldi ve yaygın olarak kullanılmaktadır. modern bilim.

rastgelelik nedir

Sonsuz sayıda tekrarlanabilen bir testi ele alırsak, rastgele bir olay tanımlayabiliriz. Bu, deneyimin olası sonuçlarından biridir.

Deneyim, sabit koşullarda belirli eylemlerin uygulanmasıdır.

Yaşananların sonuçlarıyla çalışabilmek için olaylar genellikle A, B, C, D, E...

Rastgele bir olayın olasılığı

Olasılığın matematiksel kısmına geçebilmek için tüm bileşenlerini tanımlamak gerekir.

Bir olayın olasılığı, bir deneyimin sonucu olarak bazı olayların (A veya B) meydana gelme olasılığının sayısal bir ölçüsüdür. Olasılık, P(A) veya P(B) olarak gösterilir.

Olasılık teorisi:

  • güvenilir olayın deney sonucunda gerçekleşmesi garanti edilir Р(Ω) = 1;
  • imkansız olay asla olamaz Р(Ø) = 0;
  • rastgele olay kesin ile imkansız arasında yer alır, yani gerçekleşme olasılığı mümkündür, ancak garanti edilmez (olasılık rastgele olay her zaman 0≤P(A)≤1 içinde).

Olaylar arasındaki ilişkiler

A ve B bileşenlerinden en az birinin veya her ikisinin - A ve B'nin uygulanmasında olay sayıldığında, A + B olaylarının hem biri hem de toplamı dikkate alınır.

Birbiriyle ilişkili olarak, olaylar şunlar olabilir:

  • Aynı derecede mümkün.
  • uyumlu.
  • Uyumsuz.
  • Zıt (birbirini dışlayan).
  • Bağımlı.

İki olay eşit olasılıkla gerçekleşebiliyorsa, o zaman eşit derecede mümkün.

A olayının meydana gelmesi, B olayının olma olasılığını ortadan kaldırmıyorsa, o zaman uyumlu.

A ve B olayları aynı deneyde asla aynı anda olmuyorsa, o zaman bunlara denir. uyumsuz. yazı tura - iyi örnek: yazıların görünmesi otomatik olarak yazıların görünmemesidir.

Bu tür uyumsuz olayların toplamının olasılığı, olayların her birinin olasılıklarının toplamından oluşur:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Bir olayın meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini imkansız kılıyorsa, bunlara zıt denir. Sonra bunlardan biri A, diğeri - Ā ("A değil" olarak okunur) olarak belirtilir. A olayının meydana gelmesi, Ā olayının meydana gelmediği anlamına gelir. Bu iki olay, toplam olasılıkları 1'e eşit olan tam bir grup oluşturur.

Bağımlı olaylar, birbirinin olasılığını azaltan veya artıran karşılıklı etkiye sahiptir.

Olaylar arasındaki ilişkiler. örnekler

Örnekler kullanarak olasılık teorisinin ilkelerini ve olayların kombinasyonunu anlamak çok daha kolaydır.

Gerçekleştirilecek deney, topları kutudan çıkarmaktır ve her deneyin sonucu temel bir sonuçtur.

Bir olay, bir deneyimin olası sonuçlarından biridir - kırmızı top, mavi top, altı numaralı top vb.

Test numarası 1. Üçü tek sayılı mavi, diğer üçü çift sayılı kırmızı olmak üzere 6 top vardır.

Test numarası 2. 6 top katılıyor mavi renk birden altıya kadar sayılarla.

Bu örneğe dayanarak, kombinasyonları adlandırabiliriz:

  • Güvenilir olay.İspanyolca'da 2 numara, "mavi topu al" olayı güvenilirdir, çünkü gerçekleşme olasılığı 1'dir, çünkü tüm toplar mavidir ve ıskalama olamaz. Oysa "1 numaralı topu al" olayı rastgeledir.
  • imkansız olayİspanyolca'da Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara, "mor topu al" olayı, gerçekleşme olasılığı 0 olduğu için imkansızdır.
  • Eşdeğer olaylar.İspanyolca'da 1 numara, “2 numara ile topu al” ve “3 numara ile topu al” olayları eşit olasılıkla ve “çift sayı ile topu al” ve “2 numara ile topu al” olayları eşit olasılıklıdır. ” farklı olasılıklara sahiptir.
  • Uyumlu olaylar. Arka arkaya iki kez zar atma sürecinde altı almak uyumlu olaylardır.
  • Uyumsuz olaylar. aynı ispanyolca 1 numaralı olaylar "kırmızı topu al" ve "tek sayılı topu al" aynı deneyimde birleştirilemez.
  • zıt olaylar En en iyi örnek Bu yazı tura atmaktır, tura çekmek yazı çekmemekle aynı şeydir ve olasılıklarının toplamı her zaman 1'dir (tam grup).
  • Bağımlı olaylar. Yani, İspanyolca 1 numara, kendinize arka arkaya iki kez kırmızı bir top çıkarma hedefi koyabilirsiniz. İlk seferinde çıkartmak ya da çıkarmamak, ikinci seferde çıkarma olasılığını etkiler.

İlk olayın ikinci olayın olasılığını önemli ölçüde etkilediği görülmektedir (%40 ve %60).

Olay Olasılık Formülü

Falcılıktan kesin verilere geçiş, konunun matematiksel düzleme taşınmasıyla gerçekleşir. Yani, "yüksek olasılık" veya "minimum olasılık" gibi rastgele bir olay hakkındaki yargılar, belirli sayısal verilere çevrilebilir. Bu tür materyalleri değerlendirmek, karşılaştırmak ve daha karmaşık hesaplamalara dahil etmek zaten mümkündür.

Hesaplama açısından, bir olayın olasılığının tanımı, temel olumlu sonuçların sayısının, belirli bir olayla ilgili deneyimin tüm olası sonuçlarının sayısına oranıdır. Olasılık, P (A) ile gösterilir; burada P, Fransızcadan "olasılık" olarak çevrilen "olasılık" kelimesi anlamına gelir.

Yani, bir olayın olasılığının formülü şu şekildedir:

m, A olayı için olumlu sonuçların sayısı olduğunda, n, bu deneyim için tüm olası sonuçların toplamıdır. Bir olayın olasılığı her zaman 0 ile 1 arasındadır:

0 ≤ P(A) ≤ 1.

Bir olayın olasılığının hesaplanması. Örnek

İspanyolcayı ele alalım. Daha önce açıklanan toplarla 1 numara: 1/3/5 numaralı 3 mavi top ve 2/4/6 numaralı 3 kırmızı top.

Bu teste dayanarak, birkaç farklı görev düşünülebilir:

  • A - kırmızı top düşüşü. 3 kırmızı top vardır ve toplamda 6 seçenek vardır. en basit örnek, burada bir olayın olasılığı P(A)=3/6=0,5'tir.
  • B - bir çift sayı düşürmek. Toplamda 3 (2,4,6) çift sayı vardır ve olası sayısal seçeneklerin toplam sayısı 6'dır. Bu olayın olma olasılığı P(B)=3/6=0,5'tir.
  • C - 2'den büyük bir sayının kaybı. Olası sonuçların toplam sayısından bu tür 4 seçenek vardır (3,4,5,6) 6. C olayının olasılığı P(C)=4/6= 0.67.

Hesaplamalardan da görülebileceği gibi, olası olumlu sonuçların sayısı A ve B'den daha fazla olduğu için C olayı daha yüksek bir olasılığa sahiptir.

Uyumsuz olaylar

Bu tür olaylar aynı deneyimde aynı anda ortaya çıkamaz. İspanyolca olarak 1 numara, aynı anda hem mavi hem de kırmızı top elde etmek imkansızdır. Yani, mavi veya kırmızı bir top alabilirsiniz. Aynı şekilde bir çift ve bir tek sayı bir zarda aynı anda bulunamaz.

İki olayın olasılığı, toplamlarının veya çarpımlarının olasılığı olarak kabul edilir. Bu tür A + B olaylarının toplamı, A veya B olayının ortaya çıkmasından oluşan bir olay ve her ikisinin de görünümünde AB'lerinin ürünü olarak kabul edilir. Örneğin, bir atışta iki zarın yüzlerinde aynı anda iki altının görünmesi.

Birkaç olayın toplamı, bunlardan en az birinin meydana geldiğini ima eden bir olaydır. Birkaç olayın ürünü, hepsinin ortak oluşumudur.

Olasılık teorisinde, kural olarak, "ve" birliğinin kullanımı toplamı, "veya" birliğini - çarpmayı ifade eder. Örneklerle formüller, olasılık teorisindeki toplama ve çarpma mantığını anlamanıza yardımcı olacaktır.

Uyumsuz olayların toplamının olasılığı

Uyumsuz olayların olasılığı dikkate alınırsa, olayların toplamının olasılığı, olasılıklarının toplamına eşittir:

P(A+B)=P(A)+P(B)

Örneğin: İspanyolca'da olma olasılığını hesaplıyoruz. Mavi ve kırmızı toplarla 1 numara 1 ile 4 arasında bir sayı düşürecek. Tek bir hareketle değil, temel bileşenlerin olasılıklarının toplamıyla hesaplayacağız. Dolayısıyla, böyle bir deneyde yalnızca 6 top veya tüm olası sonuçların 6'sı vardır. Koşulu sağlayan sayılar 2 ve 3'tür. 2 sayısının gelme olasılığı 1/6, 3 sayısının gelme olasılığı da 1/6'dır. 1 ile 4 arasında bir sayı gelme olasılığı:

Tam bir grubun uyumsuz olaylarının toplamının olasılığı 1'dir.

Yani, bir küple yapılan deneyde tüm sayıları alma olasılıklarını toplarsak, sonuç olarak bir tane elde ederiz.

Bu, zıt olaylar için de geçerlidir, örneğin, bilindiği gibi, bir tarafı A olayı, diğer tarafı zıt olay Ā olan madeni para ile yapılan deneyde,

Р(А) + Р(Ā) = 1

Uyumsuz olaylar üretme olasılığı

Olasılıkların çarpımı, bir gözlemde iki veya daha fazla uyumsuz olayın meydana gelmesi düşünüldüğünde kullanılır. A ve B olaylarının aynı anda ortaya çıkma olasılığı, olasılıklarının çarpımına eşittir veya:

P(A*B)=P(A)*P(B)

Örneğin, içinde olma olasılığı İki deneme sonucunda 1 numara, mavi bir top iki kez görünecek, eşit

Yani topların çıkarılması ile yapılan iki deneme sonucunda sadece mavi topların çıkarılacağı bir olayın meydana gelme olasılığı %25'tir. Bu problem üzerinde pratik deneyler yapmak ve durumun gerçekten böyle olup olmadığını görmek çok kolaydır.

Ortak Etkinlikler

Olaylardan birinin görünümü diğerinin görünümüyle örtüştüğünde ortak kabul edilir. Ortak olmalarına rağmen, bağımsız olayların olasılığı göz önünde bulundurulur. Örneğin, iki zar atmak, her ikisinin de üzerine 6 sayısı düştüğünde bir sonuç verebilir.Olaylar aynı anda çakışıp ortaya çıksa da, bunlar birbirinden bağımsızdır - yalnızca bir altı düşebilir, ikinci zarın hiç şansı yoktur. üzerindeki etkisi.

Ortak olayların olasılığı, toplamlarının olasılığı olarak kabul edilir.

Ortak olayların toplamının olasılığı. Örnek

Birbirine göre ortak olan A ve B olaylarının toplamının olasılığı, olayın olasılıklarının toplamı eksi bunların çarpımının olasılığına eşittir (yani, ortak uygulamaları):

R eklemi (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (AB)

Tek atışta hedefi vurma olasılığının 0,4 olduğunu varsayalım. Ardından A olayı - ilk denemede hedefi vurmak, B - ikinci denemede. Hedefi hem birinci atıştan hem de ikinci atıştan vurmak mümkün olduğu için bu olaylar ortaktır. Ancak olaylar bağımlı değildir. İki atışla (en az bir) hedefi vurma olayının olasılığı nedir? Formüle göre:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Sorunun cevabı: "İki atışla hedefi vurma olasılığı %64'tür."

Bir olayın olasılığına ilişkin bu formül, bir olayın birlikte meydana gelme olasılığının P(AB) = 0 olduğu uyumsuz olaylara da uygulanabilir. Bu, uyumsuz olayların toplamının olasılığının özel bir durum olarak kabul edilebileceği anlamına gelir. önerilen formülün

Netlik için olasılık geometrisi

İlginç bir şekilde, ortak olayların toplamının olasılığı birbiriyle kesişen iki A ve B alanı olarak temsil edilebilir. Resimden de görebileceğiniz gibi, birliklerinin alanı, toplam alan eksi kesişme alanlarının alanına eşittir. Bu geometrik açıklama, mantıksız gibi görünen formülü daha anlaşılır kılıyor. Olasılık teorisinde geometrik çözümlerin nadir olmadığını unutmayın.

Bir dizi (ikiden fazla) ortak olay toplamının olasılığının tanımı oldukça külfetlidir. Bunu hesaplamak için, bu durumlar için sağlanan formülleri kullanmanız gerekir.

Bağımlı olaylar

Bunlardan birinin (A) meydana gelmesi diğerinin (B) meydana gelme olasılığını etkiliyorsa bağımlı olaylar çağrılır. Ayrıca, hem A olayının meydana gelmesinin hem de gerçekleşmemesinin etkisi dikkate alınır. Olaylar tanım gereği bağımlı olarak adlandırılsa da bunlardan yalnızca biri bağımlıdır (B). Olağan olasılık, P(B) veya bağımsız olayların olasılığı olarak gösterildi. Bağımlılar durumunda, yeni bir kavram tanıtılır - bağlı olduğu A olayının (hipotez) gerçekleşmiş olması koşuluyla bağımlı olay B'nin olasılığı olan koşullu olasılık P A (B).

Ancak A olayı da rastgeledir, dolayısıyla hesaplamalarda hesaba katılması gereken ve dikkate alınabilecek bir olasılığı da vardır. Aşağıdaki örnek, bağımlı olaylarla ve bir hipotezle nasıl çalışılacağını gösterecektir.

Bağımlı olayların olasılığını hesaplama örneği

Bağımlı olayları hesaplamak için iyi bir örnek, standart bir iskambil destesidir.

36 kartlık bir deste örneğinde, bağımlı olayları göz önünde bulundurun. İlk çekilen kart şu ise, desteden çekilen ikinci kartın elmas renk olma olasılığını belirlemek gerekir:

  1. Tef.
  2. Başka bir takım elbise.

Açıkçası, ikinci olay B'nin olasılığı birinci A'ya bağlıdır. Dolayısıyla, destede 1 kart (35) ve 1 karo (8) eksik olan birinci seçenek doğruysa, B olayının olasılığı:

P A (B) \u003d 8 / 35 \u003d 0,23

İkinci seçenek doğruysa, destede 35 kart vardır ve toplam sayısı tef (9), ardından aşağıdaki olayın olasılığı B:

P A (B) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Görüldüğü gibi, A olayı ilk kartın elmas olmasına bağlıysa, B olayının olasılığı azalır ve bunun tersi de geçerlidir.

Bağımlı olayların çarpımı

Önceki bölüme dayanarak, ilk olayı (A) bir gerçek olarak kabul ediyoruz, ancak özünde rastgele bir karaktere sahip. Bu olayın, yani bir iskambil destesinden bir tefin çıkarılmasının olasılığı şuna eşittir:

P(A) = 9/36=1/4

Teori kendi başına var olmadığından ve pratik amaçlara hizmet etmesi istendiğinden, çoğu zaman bağımlı olaylar üretme olasılığına ihtiyaç duyulduğunu not etmek doğrudur.

Bağımlı olayların olasılıklarının çarpımına ilişkin teoreme göre, ortaklaşa bağımlı A ve B olaylarının meydana gelme olasılığı, bir A olayının olasılığı ile B olayının koşullu olasılığının (A'ya bağlı olarak) çarpımına eşittir:

P (AB) \u003d P (A) * P A (B)

Daha sonra desteli örnekte, karo takımlı iki kart çekme olasılığı:

9/36*8/35=0,0571 veya %5,7

Ve önce elmas değil, sonra elmas çıkarma olasılığı şuna eşittir:

27/36*9/35=0,19 veya %19

Görüldüğü gibi, önce karodan başka bir türden bir kart çekilirse, B olayının olma olasılığı daha yüksektir. Bu sonuç oldukça mantıklı ve anlaşılır.

Bir olayın toplam olasılığı

Koşullu olasılıklara sahip bir problem çok yönlü hale geldiğinde, geleneksel yöntemlerle hesaplanamaz. İkiden fazla hipotez olduğunda, yani A1, A2, ..., An , .. şu koşul altında tam bir olaylar grubu oluşturur:

  • P(A i)>0, i=1,2,…
  • A ben ∩ A j =Ø,i≠j.
  • Σ k Bir k =Ω.

Bu nedenle, A1, A2, ..., A n'den oluşan tam bir rasgele olay grubuyla B olayı için toplam olasılığın formülü şöyledir:

geleceğe bir bakış

Rastgele bir olayın olasılığı, bilimin birçok alanında esastır: ekonometri, istatistik, fizik, vb. Bir olay teorisinin olasılığı, bir hata veya arıza olasılığını belirlemenin bir yolu olarak herhangi bir teknolojik alanda kullanılabilir.

Olasılığı fark ederek, geleceğe formüller prizmasından bakarak bir şekilde teorik bir adım attığımız söylenebilir.

olasılık rastgele bir olayın meydana gelme olasılığını temsil eden 0 ile 1 arasında bir sayıdır; burada 0, tam yokluk olayın olma olasılığını, 1 ise söz konusu olayın kesinlikle gerçekleşeceğini ifade eder.

E olayının olasılığı ile 1 arasında bir sayıdır.
Birbirini dışlayan olayların olasılıklarının toplamı 1'dir.

ampirik olasılık- geçmişteki verilerin analizinden çıkarılan, olayın geçmişteki göreli sıklığı olarak hesaplanan olasılık.

Çok nadir olayların olasılığı ampirik olarak hesaplanamaz.

öznel olasılık- geçmiş verilere bakılmaksızın, olayın kişisel öznel değerlendirmesine dayalı olasılık. Hisse senedi alıp satmaya karar veren yatırımcılar, genellikle sübjektif olasılık temelinde hareket ederler.

önceki olasılık -

Olasılık kavramı aracılığıyla bir olayın meydana gelme şansı… (olasılık). Bir olayın meydana gelme olasılığı, olasılık cinsinden şu şekilde ifade edilir: P/(1-P).

Örneğin, bir olayın olasılığı 0,5 ise, o zaman bir olayın şansı 2'de 1'dir, çünkü 0,5/(1-0,5).

Olayın gerçekleşmeme olasılığı (1-P)/P formülü ile hesaplanır.

Tutarsız Olasılık- örneğin A şirketinin hisselerinin fiyatında olası E olayının %85'i, B şirketinin hisselerinin fiyatında ise sadece %50'si dikkate alınır. Buna uyumsuz olasılık denir. Hollanda Bahis Teoremine göre, eşleşmeyen olasılık, kar için fırsatlar yaratır.

Koşulsuz Olasılık"Olayın olma olasılığı nedir?" sorusunun cevabıdır.

Şartlı olasılık"B olayı olmuşsa, A olayının olma olasılığı nedir?" sorusunun cevabıdır. Koşullu olasılık, P(A|B) olarak gösterilir.

Bileşik olasılık A ve B olaylarının aynı anda olma olasılığıdır. P(AB) olarak belirtilir.

P(A|B) = P(AB)/P(B) (1)

P(AB) = P(A|B)*P(B)

Olasılık toplamı kuralı:

A olayının veya B olayının olma olasılığı

P(A veya B) = P(A) + P(B) - P(AB) (2)

A ve B olayları birbirini dışlıyorsa, o zaman

P(A veya B) = P(A) + P(B)

Bağımsız olaylar - aşağıdaki durumlarda A ve B olayları bağımsızdır

P(A|B) = P(A), P(B|A) = P(B)

Yani, olasılık değerinin bir olaydan diğerine sabit olduğu bir sonuçlar dizisidir.
Yazı tura atma böyle bir olaya örnektir - sonraki her atışın sonucu bir öncekinin sonucuna bağlı değildir.

Bağımlı olaylar Birinin olma olasılığının diğerinin olma olasılığına bağlı olduğu olaylardır.

Bağımsız olayların olasılıklarını çarpma kuralı:
A ve B olayları bağımsız ise, o zaman

P(AB) = P(A) * P(B) (3)

Toplam Olasılık Kuralı:

P(A) = P(AS) + P(AS") = P(A|S")P(S) + P(A|S")P(S") (4)

S ve S" birbirini dışlayan olaylardır

beklenen değer rastgele değişken, olası sonuçların ortalamasıdır rastgele değişken. X olayı için beklenti E(X) olarak gösterilir.

Belirli bir olasılıkla birbirini dışlayan olayların 5 değerine sahip olduğumuzu varsayalım (örneğin, şirketin geliri böyle bir olasılıkla şu veya bu miktardaydı). Beklenti, olasılıkları ile çarpılan tüm sonuçların toplamıdır:

Bir rastgele değişkenin varyansı, bir rastgele değişkenin beklenen değerinden kare sapmalarının beklenen değeridir:

s 2 = E( 2 ) (6)

Koşullu beklenen değer - S olayının zaten gerçekleşmiş olması koşuluyla, rastgele bir X değişkeninin beklentisi.

Kısa teori

Olayların meydana gelme olasılık derecesine göre nicel bir karşılaştırması için, bir olayın olasılığı adı verilen sayısal bir ölçü getirilir. Rastgele bir olayın olasılığı bir olayın meydana gelme nesnel olasılığının bir ölçüsünün ifadesi olan bir sayı denir.

Bir olayın meydana gelmesine güvenmek için nesnel gerekçelerin ne kadar önemli olduğunu belirleyen değerler, olayın olasılığı ile karakterize edilir. Olasılığın, biliciden bağımsız olarak var olan ve bir olayın meydana gelmesine katkıda bulunan koşulların toplamı tarafından şartlandırılmış nesnel bir nicelik olduğu vurgulanmalıdır.

Olasılık kavramına verdiğimiz açıklamalar, bu kavramı nicel olarak tanımlamadıkları için matematiksel bir tanım değildir. Belirli problemlerin çözümünde yaygın olarak kullanılan rastgele bir olayın olasılığının birkaç tanımı vardır (olasılığın klasik, geometrik tanımı, istatistiksel, vb.).

Bir olayın olasılığının klasik tanımı bu kavramı, artık tanıma tabi olmayan ve sezgisel olarak açık olduğu varsayılan, eşit derecede olası olayların daha temel bir kavramına indirger. Örneğin, bir zar homojen bir küpse, bu küpün yüzlerinden herhangi birinin serpintisi eşit derecede olası olaylar olacaktır.

Belirli bir olayın, toplamı olayı veren eşit derecede olası durumlara bölünmesine izin verin. Yani, içine ayrıldığı durumlar olay için elverişli olarak adlandırılır, çünkü bunlardan birinin ortaya çıkması saldırıyı sağlar.

Bir olayın olasılığı sembolü ile gösterilir.

Bir olayın olasılığı, benzersiz, eşit derecede olası ve uyumsuz durumların toplam sayısından, kendisi için uygun olan durum sayısının sayıya oranına eşittir, yani.

Bu, olasılığın klasik tanımıdır. Bu nedenle, bir olayın olasılığını bulmak için, testin çeşitli sonuçlarını göz önünde bulundurduktan sonra, olası, eşit derecede mümkün ve uyumsuz durumlardan oluşan bir küme bulmak, bunların toplam sayısını n, durum sayısını m hesaplamak gerekir. bu olayı tercih edin ve ardından yukarıdaki formüle göre hesaplamayı yapın.

Bir olayın olasılığı orana eşit Deneyimin olaya elverişli sonuçlarının sayısına, deneyimin toplam çıktılarının sayısına denir. klasik olasılık rastgele olay.

Tanımdan şu çıkar aşağıdaki özellikler olasılıklar:

Özellik 1. Belirli bir olayın olasılığı bire eşittir.

Özellik 2. İmkansız bir olayın olasılığı sıfırdır.

Özellik 3. Rastgele bir olayın olasılığı, sıfır ile bir arasında pozitif bir sayıdır.

Özellik 4. Tam bir grup oluşturan olayların meydana gelme olasılığı bire eşittir.

Özellik 5. Zıt olayın meydana gelme olasılığı, A olayının meydana gelme olasılığı ile aynı şekilde tanımlanır.

Zıt olayın oluşmasını destekleyen olayların sayısı. Dolayısıyla, zıt olayın olma olasılığı, A olayının olma olasılığı ile birlik arasındaki farka eşittir:

Bir olayın olasılığının klasik tanımının önemli bir avantajı, onun yardımıyla bir olayın olasılığının, deneyime başvurmadan, ancak mantıksal akıl yürütme temelinde belirlenebilmesidir.

Bir dizi koşul yerine getirildiğinde, belirli bir olay kesinlikle gerçekleşecek ve imkansız kesinlikle olmayacak. Bir koşullar kompleksi oluşturulduğunda, meydana gelebilecek veya gelmeyebilecek olaylar arasında, bazılarının ortaya çıkması daha fazla sebeple, diğerlerinin daha az sebeple ortaya çıkmasına güvenilebilir. Örneğin, kavanozda siyah olanlardan daha fazla beyaz top varsa, o zaman kavanozdan rastgele alındığında beyaz bir topun görünmesini ummak için siyah bir topun ortaya çıkmasından daha fazla neden vardır.

Bir sonraki sayfada görülüyor.

Problem çözümü örneği

örnek 1

Bir kutuda 8 beyaz, 4 siyah ve 7 kırmızı top vardır. Rastgele 3 top çekiliyor. Aşağıdaki olayların olasılıklarını bulunuz: - en az 1 kırmızı top çekiliyor, - aynı renkten en az 2 top var, - en az 1 kırmızı ve 1 beyaz top var.

sorunun çözümü

Toplam test sonucu sayısını, her biri 3'lü 19 (8 + 4 + 7) öğe kombinasyonu sayısı olarak buluyoruz:

Bir olayın olasılığını bulun– en az 1 kırmızı top çekilmiş (1,2 veya 3 kırmızı top)

Gerekli olasılık:

Olaya izin ver- aynı renkten en az 2 top vardır (2 veya 3 beyaz top, 2 veya 3 siyah top ve 2 veya 3 kırmızı top)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Olaya izin ver– en az bir kırmızı ve bir beyaz top var

(1 kırmızı, 1 beyaz, 1 siyah veya 1 kırmızı, 2 beyaz veya 2 kırmızı, 1 beyaz)

Etkinliği destekleyen sonuçların sayısı:

Gerekli olasılık:

Cevap: P(A)=0,773;P(C)=0,7688; P(D)=0.6068

Örnek 2

İki zar atılıyor. Puanların toplamının en az 5 olma olasılığını bulun.

Çözüm

Olay 5'ten az olmayan puanların toplamı olsun

Olasılığın klasik tanımını kullanalım:

Olası deneme sonuçlarının toplam sayısı

Bizi ilgilendiren olayı destekleyen deneme sayısı

İlk zarın atılan yüzünde bir puan, iki puan ..., altı puan görünebilir. benzer şekilde, ikinci zar atışında altı sonuç mümkündür. Birinci zarın sonuçlarının her biri, ikinci zarın sonuçlarının her biri ile birleştirilebilir. Bu nedenle, testin olası temel sonuçlarının toplam sayısı, tekrarlı yerleştirmelerin sayısına eşittir (6. ciltten 2 öğenin yerleştirildiği seçim):

Zıt olayın olasılığını bulun - puanların toplamı 5'ten azdır

Aşağıdaki düşürülen puan kombinasyonları olayı destekleyecektir:

№ 1. kemik 2. kemik 1 1 1 2 1 2 3 2 1 4 3 1 5 1 3

Orta kontrol çalışmasını çözmenin maliyeti 700 - 1200 ruble (ancak tüm sipariş için en az 300 ruble). Fiyat, kararın aciliyetinden büyük ölçüde etkilenir (günlerden birkaç saate kadar). Sınavda / testte çevrimiçi yardımın maliyeti - 1000 ruble. Bilet çözümü için.

Uygulama, daha önce görevlerin durumunu atmış ve onu çözmek için son tarihler hakkında sizi bilgilendirerek doğrudan sohbette bırakılabilir. Tepki süresi birkaç dakikadır.

İlgili görev örnekleri

Toplam Olasılık Formülü. Bayes formülü
Problem çözme örneği üzerinde, toplam olasılık formülü ve Bayes formülü ele alınmış, ayrıca hipotezlerin ve koşullu olasılıkların ne olduğu açıklanmıştır.

  • Olasılık - derece (göreceli ölçü, niceleme) bazı olayların meydana gelme olasılığı. Bazı olası olayların gerçekte meydana gelme nedenleri karşıt nedenlerden ağır bastığında, bu olay olası olarak adlandırılır, aksi takdirde olası değildir veya olası değildir. Olumlu temellerin olumsuz olanlara üstünlüğü ve bunun tersi, olasılığın (ve olasılık dışılığın) daha büyük veya daha az olmasının bir sonucu olarak değişen derecelerde olabilir. Bu nedenle, özellikle az ya da çok doğru bir nicel değerlendirmenin imkansız olduğu ya da son derece zor olduğu durumlarda, olasılık genellikle niteliksel düzeyde tahmin edilir. Olasılık "düzeylerinin" çeşitli dereceleri mümkündür.

    Olasılığın matematiksel bir bakış açısıyla incelenmesi özel bir disiplindir - olasılık teorisi. Olasılık teorisinde ve matematiksel istatistikte, olasılık kavramı, bir olayın sayısal bir özelliği - bir olasılık ölçüsü (veya değeri) - bir dizi olay (temel olaylar kümesinin alt kümeleri) üzerindeki bir ölçü, değerler alarak resmileştirilir. ​dan

    (\görüntü stili 0)

    (\görüntü stili 1)

    Anlam

    (\görüntü stili 1)

    Geçerli bir olaya karşılık gelir. İmkansız bir olayın olasılığı 0'dır (tersi genellikle her zaman doğru değildir). Bir olayın olma olasılığı ise

    (\görüntü stili s)

    O zaman gerçekleşmeme olasılığı şuna eşittir:

    (\displaystyle 1-p)

    Özellikle, olasılık

    (\görüntü stili 1/2)

    Olayın olma ve olmama olasılıklarının eşit olması anlamına gelir.

    Olasılığın klasik tanımı, sonuçların eşlenebilirliği kavramına dayanmaktadır. Olasılık, belirli bir olayı destekleyen sonuçların sayısının, eşit derecede olası sonuçların toplam sayısına oranıdır. Örneğin, rastgele bir madeni para atışında tura veya yazı gelme olasılığı, yalnızca bu iki olasılığın olduğu varsayılırsa ve eşit derecede olasıysa, 1/2'dir. Olasılığın bu klasik "tanımı", sonsuz sayıda olası değer durumuna genelleştirilebilir - örneğin, sınırlı bir alanın herhangi bir noktasında (nokta sayısı sonsuzdur) eşit olasılıkla bir olay meydana gelebilirse uzay (düzlem), o zaman bu kabul edilebilir alanın bir kısmında meydana gelme olasılığı, bu parçanın hacminin (alanının) tüm olası noktaların alanının hacmine (alanına) oranına eşittir. .

    Olasılığın ampirik "tanımı", yeterince fazla sayıda denemeyle, sıklığın bu olayın nesnel olasılık derecesine yönelmesi gerektiği gerçeğine dayanarak, bir olayın meydana gelme sıklığı ile ilgilidir. Olasılık teorisinin modern sunumunda olasılık, bir kümenin ölçüsünün soyut teorisinin özel bir durumu olarak aksiyomatik olarak tanımlanır. Bununla birlikte, soyut ölçü ile bir olayın olasılık derecesini ifade eden olasılık arasındaki bağlantı tam olarak o olayın gözlemlenme sıklığıdır.

    Belirli fenomenlerin olasılıksal tanımı, modern bilimde, özellikle ekonometride, makroskobik (termodinamik) sistemlerin istatistiksel fiziğinde yaygınlaştı; burada, parçacıkların hareketinin klasik deterministik bir tanımı durumunda bile, tüm sistemin deterministik bir tanımı pratik olarak mümkün ve uygun değildir. İÇİNDE kuantum fiziği açıklanan süreçlerin kendileri olasılıksal bir yapıya sahiptir.

Paylaşmak: