Uzamsal şekillerin hacmini hesaplama yeteneği, geometrideki bir takım pratik problemlerin çözümünde önemlidir. En yaygın şekillerden biri piramittir. Bu yazıda hem dolu hem de kesik piramitleri ele alacağız.

Üç boyutlu bir figür olarak piramit

Herkes bilir Mısır piramitleri, bu nedenle, hangi rakamın tartışılacağı iyi bir şekilde temsil edilir. Bununla birlikte, Mısır taş yapıları, büyük bir piramit sınıfının yalnızca özel bir durumudur.

Genel durumda ele alınan geometrik nesne, her bir tepe noktası uzayda taban düzlemine ait olmayan bir noktaya bağlı olan çokgen bir tabandır. Bu tanım bir n-gon ve n üçgenden oluşan bir şekle götürür.

Herhangi bir piramit n+1 yüzey, 2*n kenar ve n+1 köşeden oluşur. Ele alınan şekil mükemmel bir çokyüzlü olduğundan, işaretli elemanların sayısı Euler denklemine uyar:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Tabanda bulunan çokgen, piramidin adını verir, örneğin üçgen, beşgen vb. Aşağıdaki fotoğrafta farklı tabanlara sahip bir dizi piramit gösterilmektedir.

Şeklin n üçgeninin birleştiği noktaya piramidin tepesi denir. Ondan tabana bir dikey indirilirse ve onu geometrik merkezde keserse, böyle bir şekle düz bir çizgi denir. Bu koşul karşılanmazsa, eğimli bir piramit vardır.

Tabanı eşkenar (eşkenar) bir n-gon tarafından oluşturulan düz bir şekle düzenli denir.

Piramit hacim formülü

Piramidin hacmini hesaplamak için integral hesabını kullanırız. Bunu yapmak için, şekli tabana paralel sekant düzlemlerle sonsuz sayıda ince katmana böleriz. Aşağıdaki şekil, yüksekliği h ve kenar uzunluğu L olan, ince bir kesit katmanının bir dörtgen ile işaretlendiği dörtgen bir piramidi göstermektedir.

Bu tür her katmanın alanı aşağıdaki formülle hesaplanabilir:

A(z) = A 0 *(h-z) 2 /h 2 .

Burada A 0, tabanın alanıdır, z, dikey koordinatın değeridir. Görüldüğü gibi z = 0 ise formül A 0 değerini verir.

Piramidin hacminin formülünü elde etmek için, integrali şeklin tüm yüksekliği üzerinden hesaplamalısınız, yani:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

A(z) bağımlılığını yerine koyarak ve ters türevi hesaplayarak şu ifadeye ulaşırız:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Bir piramidin hacminin formülünü elde ettik. V'nin değerini bulmak için şeklin yüksekliğini taban alanı ile çarpmak ve ardından sonucu üçe bölmek yeterlidir.

Ortaya çıkan ifadenin, keyfi tipte bir piramidin hacmini hesaplamak için geçerli olduğuna dikkat edin. Yani eğimli olabilir ve tabanı keyfi bir n-gon olabilir.

ve hacmi

Yukarıdaki paragrafta alınan Genel formül hacim için bir piramit durumunda belirtilebilir doğru temel. Böyle bir tabanın alanı aşağıdaki formülle hesaplanır:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Burada L, n köşeli düzgün bir çokgenin kenar uzunluğudur. Pi sembolü pi sayısıdır.

A 0 ifadesini genel formülde değiştirerek, hacmi elde ederiz. doğru piramit:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Örneğin, üçgen bir piramit için bu formül aşağıdaki ifadeye yol açar:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Düzenli bir dörtgen piramit için hacim formülü şu şekli alır:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Düzenli piramitlerin hacimlerini belirlemek, tabanlarının kenarlarını ve şeklin yüksekliğini bilmeyi gerektirir.

Piramit kesik

Rastgele bir piramit aldığımızı ve tepe noktasını içeren yan yüzeyinin bir kısmını kestiğimizi varsayalım. Kalan şekle kesik piramit denir. Zaten iki n-gonal tabandan ve bunları birbirine bağlayan n yamuktan oluşuyor. Kesme düzlemi şeklin tabanına paralel ise, paralel benzer tabanlarla kesik bir piramit oluşturulur. Yani, birinin kenar uzunlukları, diğerinin uzunluklarının bir k katsayısı ile çarpılmasıyla elde edilebilir.

Yukarıdaki şekil kesik düzgün bir şekli göstermektedir, üst tabanının da alttaki gibi düzgün bir altıgenden oluştuğu görülmektedir.

Yukarıdakine benzer bir integral hesabı kullanılarak türetilebilen formül şöyledir:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Burada A 0 ve A 1 sırasıyla alt (büyük) ve üst (küçük) tabanların alanlarıdır. h değişkeni kesik piramidin yüksekliğini gösterir.

Cheops piramidinin hacmi

En büyük Mısır piramidinin içerdiği hacmi belirleme problemini çözmek ilginçtir.

1984'te İngiliz Mısırbilimciler Mark Lehner ve Jon Goodman, Cheops piramidinin kesin boyutlarını belirlediler. Orijinal yüksekliği 146.50 metreydi (şu anda yaklaşık 137 metre). Yapının dört kenarının ortalama uzunluğu 230.363 metredir. Piramidin tabanı, yüksek doğrulukla kare şeklindedir.

Bu taş devin hacmini belirlemek için verilen rakamları kullanalım. Piramit normal bir dörtgen olduğundan, formül onun için geçerlidir:

Numaraları yerleştirerek şunu elde ederiz:

V 4 \u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 m3.

Cheops piramidinin hacmi neredeyse 2,6 milyon m3'tür. Karşılaştırma için, olimpik havuzun 2,5 bin m3 hacme sahip olduğunu not ediyoruz. Yani, Cheops piramidinin tamamını doldurmak için bu tür 1000'den fazla havuza ihtiyaç duyulacak!

Piramit. kesik piramit

Piramit yüzlerinden biri çokgen olan bir çokyüzlü olarak adlandırılır ( temel ) ve diğer tüm yüzler, ortak bir tepe noktası olan üçgenlerdir ( yan yüzler ) (Şek. 15). Piramit denir doğru tabanı ise düzgün çokgen ve piramidin tepesi tabanın merkezine doğru çıkıntı yapar (Şek. 16). Tüm kenarları eşit olan üçgen piramitlere ne ad verilir? dörtyüzlü .

yan nervür yan yüzün tabana ait olmayan kenarına piramit denir Yükseklik piramit, tepesinden taban düzlemine olan mesafedir. Düzgün bir piramidin tüm yan kenarları birbirine eşittir, tüm yan yüzleri eşit ikizkenar üçgenlerdir. Düzgün bir piramidin yan yüzünün tepe noktasından çizilen yüksekliğine denir. apothema . diyagonal bölüm Bir piramidin kesiti, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen düzlem olarak adlandırılır.

Yan yüzey alanı tüm yan yüzlerin alanlarının toplamına piramit denir. alan tam yüzey tüm yan yüzlerin ve tabanın alanlarının toplamıdır.

teoremler

1. Bir piramitte tüm yan kenarlar taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, o zaman piramidin tepesi tabanın yakınındaki çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

2. Bir piramitte tüm yan kenarların uzunlukları eşitse, piramidin tepesi, tabanın yakınındaki çevrelenmiş dairenin merkezine yansıtılır.

3. Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit şekilde eğimliyse, piramidin tepesi tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır.

Rastgele bir piramidin hacmini hesaplamak için formül doğrudur:

Nerede V- hacim;

S ana- taban alanı;

H piramidin yüksekliğidir.

Düzenli bir piramit için aşağıdaki formüller doğrudur:

Nerede P- tabanın çevresi;

ha- ilahi;

H- yükseklik;

S dolu

S tarafı

S ana- taban alanı;

V düzenli bir piramidin hacmidir.

kesik piramit piramidin taban ile piramidin tabanına paralel kesme düzlemi arasında kalan kısmı olarak adlandırılır (Şekil 17). Doğru kesik piramit düzgün bir piramidin tabanı ile piramidin tabanına paralel bir kesme düzlemi arasında kalan kısmı olarak adlandırılır.

vakıflar kesik piramit - benzer çokgenler. Yan yüzler - yamuk. Yükseklik kesik piramit, tabanları arasındaki mesafeye denir. Diyagonal Kesik bir piramit, aynı yüz üzerinde yer almayan köşelerini birleştiren bir segmenttir. diyagonal bölüm Kesik bir piramidin kesiti, aynı yüze ait olmayan iki yan kenardan geçen bir düzlem olarak adlandırılır.

Kesik bir piramit için formüller geçerlidir:

(4)

Nerede S 1 , S 2 - üst ve alt taban alanları;

S dolu toplam yüzey alanıdır;

S tarafı yanal yüzey alanıdır;

H- yükseklik;

V kesik piramidin hacmidir.

Düzenli bir kesik piramit için aşağıdaki formül doğrudur:

Nerede P 1 , P 2 - taban çevreleri;

ha- düzenli bir kesik piramidin özü.

örnek 1 Düzgün bir üçgen piramitte, tabandaki dihedral açı 60º'dir. Eğimin teğetini bulun yan nervür taban düzlemine.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 18).

Piramit doğrudur, tabanda demektir eşkenar üçgen ve tüm yan yüzler eşit ikizkenar üçgenlerdir. Tabandaki dihedral açı, piramidin yan yüzünün taban düzlemine eğim açısıdır. doğrusal açı bir açı olacak A iki dikey arasında: yani Piramidin tepesi, üçgenin merkezinde yansıtılır (çevrelenmiş dairenin merkezi ve üçgendeki yazılı daire ABC). Yan nervürün eğim açısı (örneğin SB) kenarın kendisi ile taban düzlemi üzerindeki izdüşümü arasındaki açıdır. Kaburga için SB bu açı açı olacak SBD. Teğeti bulmak için bacakları bilmeniz gerekir. BU YÜZDEN Ve OB. Segmentin uzunluğuna izin ver BD 3 A. nokta HAKKINDAçizgi segmenti BD kısımlara ayrılmıştır: ve bulduğumuzdan BU YÜZDEN: Bulduğumuz yerden:

Cevap:

Örnek 2 Taban köşegenleri cm ve cm ve yüksekliği 4 cm ise, kesik düzgün dörtgen piramidin hacmini bulunuz.

Çözüm. Tepesi kesik bir piramidin hacmini bulmak için formül (4)'ü kullanırız. Tabanların alanlarını bulmak için, köşegenlerini bilerek taban karelerinin kenarlarını bulmanız gerekir. Tabanların kenarları sırasıyla 2 cm ve 8 cm'dir Bu, tabanların alanları anlamına gelir ve Tüm verileri formüle koyarak, kesik piramidin hacmini hesaplıyoruz:

Cevap: 112 cm3.

Örnek 3 Taban kenarları 10 cm ve 4 cm olan ve piramidin yüksekliği 2 cm olan düzgün bir üçgen kesik piramidin yan yüzünün alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 19).

Bu piramidin yan yüzü bir ikizkenar yamuktur. Bir yamuğun alanını hesaplamak için tabanları ve yüksekliği bilmeniz gerekir. Bazlar duruma göre verilir, sadece yükseklik bilinmemektedir. Nereden bul A 1 E bir noktadan dik A 1 alt tabanın düzleminde, A 1 D- dik A 1 açık AC. A 1 E\u003d 2 cm, çünkü bu piramidin yüksekliğidir. Bulmak için Almanyaüstten bir görünümü tasvir edeceğimiz ek bir çizim yapacağız (Şek. 20). Nokta HAKKINDA- üst ve alt tabanların merkezlerinin izdüşümü. beri (bkz. Şekil 20) ve Öte yandan TAMAM yazılı dairenin yarıçapıdır ve om yazılı dairenin yarıçapıdır:

MK=DE.

Pisagor teoremine göre

Yan yüz alanı:

Cevap:

Örnek 4 Piramidin tabanında, tabanları ikizkenar bir yamuk bulunur. A Ve B (A> B). Her biri yan yüz piramidin tabanının düzlemi ile bir açı oluşturur J. Piramidin toplam yüzey alanını bulun.

Çözüm. Bir çizim yapalım (Şek. 21). Piramidin toplam yüzey alanı SABCD alanların toplamına ve yamuğun alanına eşittir ABCD.

Piramidin tüm yüzleri taban düzlemine eşit derecede eğimliyse, tepe noktası tabanda yazılı dairenin merkezine yansıtılır ifadesini kullanıyoruz. Nokta HAKKINDA- köşe projeksiyonu S piramidin tabanında. Üçgen SODüçgenin ortogonal izdüşümüdür CSD taban düzlemine. Düz bir şeklin ortogonal izdüşümünün alanı hakkındaki teoreme göre şunu elde ederiz:

Benzer şekilde, şu anlama gelir: Böylece problem yamuğun alanını bulmaya indirgenmiştir. ABCD. yamuk çiz ABCD ayrı ayrı (Şek. 22). Nokta HAKKINDA yamuk içine yazılmış bir dairenin merkezidir.

Bir daire bir yamuğun içine yazılabileceğinden, o zaman veya Pisagor teoremine göre elimizdeki

• 09.10.2014

  Şekilde gösterilen preamplifikatör, mikrofon, CD çalar, radyo teyp vb. 4 tip ses kaynağı ile kullanılmak üzere tasarlanmıştır. 500mV. amplifikatörün çıkış voltajı 1000mV'dir. SA1 anahtarını değiştirirken farklı sinyal kaynakları bağlayarak, her zaman ...

• 20.09.2014

  PSU, 15 ... 20 watt gücünde bir yük için tasarlanmıştır. Kaynak, tek döngülü darbeli bir yüksek frekans dönüştürücünün şemasına göre yapılır. Transistör üzerine 20 ... 40 kHz frekansında çalışan bir osilatör monte edilmiştir. Frekans, kapasitans C5 ile ayarlanır. VD5, VD6 ve C6 elemanları, bir osilatörün çalıştırılması için bir devre oluşturur. İkincil devrede, köprü doğrultucudan sonra, bir mikro devre üzerinde sahip olmanızı sağlayan geleneksel bir doğrusal dengeleyici vardır ...

• 28.09.2014

  Şekil, frekansı voltajla kontrol edilen bir K174XA11 çipindeki bir jeneratörü göstermektedir. C1 kapasitansını 560'tan 4700pF'ye değiştirerek geniş bir frekans aralığı elde edilebilirken, R4 direnci değiştirilerek frekans ayarlanır. Örneğin, yazar, C1 \u003d 560pF'de, jeneratör frekansının R4 kullanılarak 600Hz'den 200kHz'e değiştirilebileceğini öğrendi, ...

• 03.10.2014

  Ünite, güçlü bir ULF'ye güç sağlamak için tasarlanmıştır, ± 27V'luk bir çıkış voltajı için tasarlanmıştır ve böylece her bir kolda 3A'e kadar yükler. PSU iki kutupludur ve KT825-KT827 komple kompozit transistörler üzerinde yapılmıştır. Stabilizatörün her iki kolu da aynı şemaya göre yapılmıştır ancak diğer kolda (gösterilmemiştir) kapasitörlerin polaritesi değiştirilir ve diğerinin transistörleri kullanılır ...