Prizmanın yanal ve tam yüzeyinin alanı. Düz bir prizmanın yan yüzeyinin alanı üzerine teorem
"A Alın" video kursu, başarılı bir sınav için gerekli tüm konuları içerir. sınavı geçmek matematikte 60-65 puan. Matematikte Profil KULLANIMININ 1-13 arasındaki tüm görevleri tamamen tamamlayın. Matematikte Temel KULLANIMI geçmek için de uygundur. Sınavı 90-100 arası puanla geçmek istiyorsanız 1. bölümü 30 dakikada ve hatasız çözmeniz gerekiyor!
10-11. sınıflar ve öğretmenler için sınava hazırlık kursu. Matematik sınavının 1. bölümünü (ilk 12 problem) ve 13. problemi (trigonometri) çözmek için ihtiyacınız olan her şey. Ve bu, Birleşik Devlet Sınavında 70'ten fazla puandır ve ne yüz puanlık bir öğrenci ne de bir hümanist onlarsız yapamaz.
Tüm gerekli teori. Hızlı Yollar sınavın çözümleri, tuzakları ve sırları. Bölüm 1'in ilgili tüm görevleri FIPI Bankası görevlerinin analizine tabi tutulmuştur. Kurs, USE-2018 gerekliliklerine tamamen uygundur.
Kurs, her biri 2,5 saat olan 5 büyük konu içerir. Her konu sıfırdan, basit ve net bir şekilde verilir.
Yüzlerce sınav görevi. Metin problemleri ve olasılık teorisi. Basit ve hatırlaması kolay problem çözme algoritmaları. Geometri. teori, referans malzemesi, her tür KULLANIM görevinin analizi. Stereometri. Çözmek için kurnaz hileler, faydalı hile sayfaları, uzamsal hayal gücünün gelişimi. Sıfırdan trigonometri - görev 13'e. Tıkanmak yerine anlamak. Karmaşık kavramların görsel açıklaması. Cebir. Kökler, kuvvetler ve logaritmalar, fonksiyon ve türev. Sınavın 2. bölümünün karmaşık problemlerini çözmek için temel.
Katı geometri dersi için okul müfredatında, üç boyutlu figürlerin incelenmesi genellikle basit bir geometrik cisimle başlar - bir prizma çokyüzlü. Tabanlarının rolü, paralel düzlemlerde uzanan 2 eşit çokgen tarafından gerçekleştirilir. Özel bir durum, düzenli bir dörtgen prizmadır. Tabanları, paralelkenar (veya prizma eğimli değilse dikdörtgenler) şeklinde kenarları dik olan 2 özdeş düzenli dörtgendir.
Bir prizma neye benziyor
Düzgün bir dörtgen prizma, tabanı 2 kare olan bir altı yüzlüdür ve yan yüzler dikdörtgenlerle temsil edilir. Bunun için başka bir isim geometrik şekil- düz bir paralel yüzlü.
Dörtgen prizmayı gösteren şekil aşağıda gösterilmiştir.
Resimde de görebilirsiniz temel unsurlar, geometrik gövdeyi oluşturan. Genellikle şu şekilde adlandırılırlar:
Bazen geometri problemlerinde kesit kavramını bulabilirsiniz. Tanım şöyle görünecektir: bir bölüm, hacimsel bir gövdenin kesme düzlemine ait tüm noktalarıdır. Kesit dikeydir (şeklin kenarlarını 90 derecelik bir açıyla keser). İçin dikdörtgen prizma 2 kenardan ve kaidenin köşegenlerinden geçen bir köşegen kesit de (inşa edilebilecek maksimum bölüm sayısı 2'dir) düşünülmüştür.
Kesit, kesme düzlemi tabanlara veya yan yüzlere paralel olmayacak şekilde çizilirse, sonuç kesik bir prizmadır.
İndirgenmiş prizmatik elemanları bulmak için çeşitli oranlar ve formüller kullanılır. Bazıları planimetri sürecinden bilinmektedir (örneğin, bir prizmanın tabanının alanını bulmak için, bir karenin alan formülünü hatırlamak yeterlidir).
Yüzey alanı ve hacim
Formülü kullanarak bir prizmanın hacmini belirlemek için, taban alanını ve yüksekliğini bilmeniz gerekir:
V = Yay h
Düzgün bir dört yüzlü prizmanın tabanı bir kenarı olan bir kare olduğundan A, Formülü daha ayrıntılı bir biçimde yazabilirsiniz:
V = a² h
Bir küpten bahsediyorsak - eşit uzunluk, genişlik ve yüksekliğe sahip normal bir prizma, hacim şu şekilde hesaplanır:
Bir prizmanın yanal yüzey alanını nasıl bulacağınızı anlamak için, onun taramasını hayal etmeniz gerekir.
Yan yüzeyin 4 eşit dikdörtgenden oluştuğu çizimden görülebilmektedir. Alanı, tabanın çevresi ile şeklin yüksekliğinin çarpımı olarak hesaplanır:
Yan taraf = Konum h
Karenin çevresi olduğu için P = 4a, formül şu şekli alır:
Kenar = 4a saat
küp için:
Yan taraf = 4a²
Bir prizmanın toplam yüzey alanını hesaplamak için yan alana 2 taban alanı ekleyin:
Sfull = Yan + 2Staban
Dörtgen bir düzgün prizmaya uygulandığında, formül şu şekildedir:
Tam = 4a h + 2a²
Bir küpün yüzey alanı için:
Tam = 6a²
Hacmi veya yüzey alanını bilerek, geometrik bir cismin ayrı ayrı öğelerini hesaplayabilirsiniz.
Prizma elemanlarını bulma
Genellikle hacmin verildiği veya yanal yüzey alanının değerinin bilindiği, tabanın kenar uzunluğunun veya yüksekliğinin belirlenmesinin gerekli olduğu problemler vardır. Bu gibi durumlarda, formüller türetilebilir:
- taban yan uzunluğu: a = S tarafı / 4h = √(V / h);
- yükseklik veya yan nervür uzunluğu: h = Syan / 4a = V / a²;
- taban alanı: Yay = V / h;
- yan yüz alanı: Taraf gr = Kenar / 4.
Bir köşegenin ne kadar alana sahip olduğunu belirlemek için, köşegenin uzunluğunu ve şeklin yüksekliğini bilmeniz gerekir. bir kare için d = a√2.Öyleyse:
Sdiag = ah√2
Prizmanın köşegenini hesaplamak için aşağıdaki formül kullanılır:
dprize = √(2a² + h²)
Yukarıdaki oranların nasıl uygulanacağını anlamak için birkaç basit görevi uygulayabilir ve çözebilirsiniz.
Çözümlü problem örnekleri
İşte matematikte devlet final sınavlarında görünen görevlerden bazıları.
1. Egzersiz.
Kum, düzgün dörtgen prizma şeklinde bir kutuya dökülür. Seviyesinin yüksekliği 10 cm'dir, aynı şekle sahip, ancak taban uzunluğu 2 kat daha uzun olan bir kaba taşırsanız kum seviyesi ne olur?
Aşağıdaki gibi savunulmalıdır. Birinci ve ikinci kaplardaki kum miktarı değişmedi, yani içlerindeki hacmi aynı. Tabanın uzunluğunu şu şekilde tanımlayabilirsiniz: A. Bu durumda birinci kutu için maddenin hacmi şu şekilde olacaktır:
V₁ = ha² = 10a²
İkinci kutu için tabanın uzunluğu 2a, ancak kum seviyesinin yüksekliği bilinmiyor:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Çünkü V₁ = V₂, ifadeler şu şekilde eşitlenebilir:
10a² = 4ha²
Denklemin her iki tarafını da a² kadar indirdikten sonra şunu elde ederiz:
Sonuç olarak, yeni kum seviyesi h = 10 / 4 = 2,5 santimetre.
Görev 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ bir düzgün prizmadır. BD = AB₁ = 6√2 olduğu bilinmektedir. Vücudun toplam yüzey alanını bulun.
Hangi öğelerin bilindiğini anlamayı kolaylaştırmak için bir şekil çizebilirsiniz.
Düzgün bir prizmadan bahsettiğimiz için, tabanın köşegeni 6√2 olan bir kare olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzün köşegeni aynı değere sahiptir, bu nedenle yan yüz de tabana eşit bir kare şekline sahiptir. Üç boyutun da - uzunluk, genişlik ve yükseklik - eşit olduğu ortaya çıktı. ABCDA₁B₁C₁D₁'nin bir küp olduğu sonucuna varabiliriz.
Herhangi bir kenarın uzunluğu bilinen köşegen ile belirlenir:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Toplam yüzey alanı, küpün formülü ile bulunur:
Tam = 6a² = 6 6² = 216
Görev 3.
Oda yenileniyor. Zemininin 9 m² alana sahip kare şeklinde olduğu bilinmektedir. Odanın yüksekliği 2,5 m'dir 1 m² 50 rubleye mal oluyorsa, bir odayı duvar kağıdının en düşük maliyeti nedir?
Tabanı ve tavanı kare yani düzgün dörtgen olduğundan ve duvarları yatay yüzeylere dik olduğundan düzgün prizma olduğu sonucuna varabiliriz. Yan yüzeyinin alanını belirlemek gereklidir.
odanın uzunluğu bir = √9 = 3 M.
Meydan duvar kağıdı ile kaplanacak Yan taraf = 4 3 2,5 = 30 m².
Bu oda için en düşük duvar kağıdı maliyeti 50 30 = 1500 ruble.
Bu nedenle, bir dikdörtgen prizma problemlerini çözmek için, bir karenin ve bir dikdörtgenin alanını ve çevresini hesaplayabilmek, ayrıca hacim ve yüzey alanını bulmak için formülleri bilmek yeterlidir.
Küpün alanı nasıl bulunur
O nasıl görünüyor
Etrafı çevrili dikdörtgen prizmalar modern adam Birazcık. Bu, örneğin, ayakkabıların, bilgisayar bileşenlerinin vb. Altından gelen olağan kartondur. Etrafa bak. Bir odada bile, mutlaka birçok dikdörtgen prizma göreceksiniz. Bu bir bilgisayar kasası, bir kitaplık, bir buzdolabı, bir dolap ve diğer birçok öğedir. Form son derece popülerdir, çünkü ister iç mekanı dekore ediyor olun ister taşınmadan önce bir şeyleri kartonla paketliyor olun, alanı olabildiğince verimli kullanmanıza izin verir.Dikdörtgen prizmanın özellikleri
Dikdörtgenler prizmasının bir dizi özel özelliği vardır. Tüm bitişik yüzler birbirine aynı açıda bulunduğundan ve bu açı 90 ° olduğundan, herhangi bir yüz çifti onun görevi görebilir. Dikdörtgen prizmanın hacmini ve yüzey alanını hesaplamak diğerlerinden daha kolaydır. Dikdörtgen prizma şeklinde olan herhangi bir nesneyi alın. Uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini ölçün. Hacmi bulmak için bu ölçüleri çarpmak yeterlidir. Yani formül şöyle görünür: V \u003d a * b * h, burada V hacimdir, a ve b tabanın kenarlarıdır, h bu geometrik gövdenin yan kenarına denk gelen yüksekliktir. Taban alanı S1=a*b formülü ile hesaplanır. Yan yüzeyi elde etmek için önce P=2(a+b) formülü ile tabanın çevresini hesaplamalı ve sonra bunu yükseklikle çarpmalısınız. S2=P*h=2(a+b)*h formülü ortaya çıkıyor. Dikdörtgenler prizmasının toplam yüzey alanını hesaplamak için, taban alanının ve yan yüzey alanının iki katını ekleyin. Formül S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2'dir.Farklı prizmalar birbirinden farklıdır. Aynı zamanda pek çok ortak noktaları var. Bir prizmanın tabanının alanını bulmak için neye benzediğini bulmanız gerekir.
Genel teori
Bir prizma, kenarları paralelkenar şeklinde olan herhangi bir çokyüzlüdür. Ayrıca, herhangi bir polihedron, bir üçgenden bir n-gon'a kadar tabanında olabilir. Ayrıca prizmanın tabanları her zaman birbirine eşittir. Yan yüzler için geçerli olmayan - boyutları önemli ölçüde değişebilir.
Problemleri çözerken karşılaşılan sadece prizmanın tabanının alanı değildir. Yan yüzeyi, yani taban olmayan tüm yüzleri bilmek gerekebilir. Tam yüzey zaten prizmayı oluşturan tüm yüzlerin birleşimi olacaktır.
Bazen görevlerde yükseklikler belirir. Tabanlara diktir. Bir çokyüzlünün köşegeni, aynı yüze ait olmayan herhangi iki köşeyi çiftler halinde birleştiren bir parçadır.
Düz veya eğimli bir prizmanın taban alanının, yan yüzler ile aralarındaki açıya bağlı olmadığına dikkat edilmelidir. Üst ve alt yüzlerinde aynı rakamlar varsa, alanları eşit olacaktır.
üçgen prizma
Tabanda üç köşeli bir şekil, yani bir üçgen vardır. Farklı olduğu biliniyor. Eğer öyleyse, alanının bacakların çarpımının yarısı tarafından belirlendiğini hatırlamak yeterlidir.
Matematiksel gösterim şuna benzer: S = ½ av.
Tabanın alanını bulmak için Genel görünüm, formüller kullanışlıdır: Heron ve kenarın yarısının kendisine çizilen yüksekliğe götürüldüğü.
İlk formül şu şekilde yazılmalıdır: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-c))). Bu giriş, bir yarı çevre (p), yani üç kenarın toplamının ikiye bölünmesini içerir.
İkinci: S = ½ n a * a.
Düzenli olan bir üçgen prizmanın taban alanını bilmek istiyorsanız, o zaman üçgen eşkenar olur. Kendi formülü vardır: S = ¼ a 2 * √3.
dörtgen prizma
Tabanı bilinen dörtgenlerden herhangi biridir. Dikdörtgen veya kare, paralelyüz veya eşkenar dörtgen olabilir. Her durumda, prizmanın tabanının alanını hesaplamak için kendi formülünüze ihtiyacınız olacak.
Taban bir dikdörtgen ise, alanı şu şekilde belirlenir: S = av, burada a, b dikdörtgenin kenarlarıdır.
Dörtgen prizma söz konusu olduğunda, normal prizmanın taban alanı kare formülü kullanılarak hesaplanır. Çünkü temelde yatan odur. S \u003d bir 2.
Tabanın paralel yüzlü olması durumunda, aşağıdaki eşitlik gerekli olacaktır: S \u003d a * n a. Paralel borunun bir tarafı ve açılardan biri verilir. Ardından, yüksekliği hesaplamak için ek bir formül kullanmanız gerekecektir: na \u003d b * sin A. Ayrıca A açısı "b" kenarına bitişiktir ve yükseklik na bu açının karşısındadır.
Prizmanın tabanında bir eşkenar dörtgen yatıyorsa, alanını belirlemek için paralelkenarla aynı formüle ihtiyaç duyulacaktır (çünkü bu onun özel bir durumudur). Ancak bunu da kullanabilirsiniz: S = ½ d 1 d 2. Burada d 1 ve d 2 eşkenar dörtgenin iki köşegenidir.
Düzenli beşgen prizma
Bu durum, çokgenin alanları bulunması daha kolay olan üçgenlere bölünmesini içerir. Her ne kadar rakamlar farklı sayıda köşe ile olabilir.
Prizmanın tabanı düzgün beşgen olduğundan beş eşkenar üçgene bölünebilir. Daha sonra prizmanın tabanının alanı, böyle bir üçgenin alanına eşittir (formül yukarıda görülebilir), beş ile çarpılır.
Düzenli altıgen prizma
Beşgen prizma için anlatılan prensibe göre taban altıgeni 6 eşkenar üçgene bölmek mümkündür. Böyle bir prizmanın taban alanı formülü bir öncekine benzer. Sadece içinde altı ile çarpılmalıdır.
Formül şöyle görünecektir: S = 3/2 ve 2 * √3.
Görevler
1 numara. Düzenli bir düz çizgi verilmiştir, köşegeni 22 cm, çokyüzlünün yüksekliği 14 cm'dir Prizmanın tabanının ve tüm yüzeyin alanını hesaplayın.
Çözüm. Prizmanın tabanı karedir, ancak kenarı bilinmemektedir. Değerini prizmanın köşegenine (d) ve yüksekliğine (h) bağlı olan karenin köşegeninden (x) bulabilirsiniz. x 2 \u003d d 2 - n 2. Öte yandan, bu doğru parçası "x", kenarları karenin kenarına eşit olan bir üçgenin hipotenüsüdür. Yani, x 2 \u003d 2 + a 2. Böylece, a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2 olduğu ortaya çıktı.
D yerine 22 sayısını ve "n" değerini - 14 ile değiştirin, karenin kenarının 12 cm olduğu ortaya çıktı, şimdi taban alanını bulmak çok kolay: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
Tüm yüzeyin alanını bulmak için taban alanının değerinin iki katını eklemeniz ve kenarı dört katına çıkarmanız gerekir. İkincisi, bir dikdörtgen formülü ile bulmak kolaydır: çokyüzlünün yüksekliğini ve tabanın kenarını çarpın. Yani 14 ve 12 bu sayı 168 cm2 ye eşit olacaktır. Prizmanın toplam yüzey alanı 960 cm2 olarak bulunmuştur.
Cevap. Prizmanın taban alanı 144 cm2'dir. Tüm yüzey - 960 cm2 .
2 numara. Dana Tabanda bir kenarı 6 cm olan bir üçgen bulunur Bu durumda yan yüzün köşegeni 10 cm'dir Alanları hesaplayın: taban ve yan yüzey.
Çözüm. Prizma düzgün olduğundan tabanı eşkenar üçgen. Bu nedenle, alanı 6'nın karesi çarpı ¼'e ve kök 3'e eşittir. Basit bir hesaplama şu sonuca götürür: 9√3 cm2. Bu, prizmanın bir tabanının alanıdır.
Tüm yan yüzler aynıdır ve kenarları 6 ve 10 cm olan dikdörtgenlerdir Alanlarını hesaplamak için bu sayıları çarpmanız yeterlidir. Sonra bunları üçle çarpın, çünkü prizmanın tam olarak şu kadar çok yan yüzü var. Daha sonra yan yüzeyin alanı 180 cm2 sarılır.
Cevap. Alanlar: taban - 9√3 cm2, prizmanın yan yüzeyi - 180 cm2.
Ders: Prizma, tabanı, yan kenarları, yüksekliği, yan yüzeyi; düz prizma; doğru prizma
Prizma
Düz şekilleri bizimle önceki sorulardan öğrendiyseniz, üç boyutlu şekilleri öğrenmeye tamamen hazırsınız demektir. Öğreneceğimiz ilk katı bir prizma olacak.
Prizma olan hacimli bir gövdedir. çok sayıda yüzler.
Bu şeklin tabanlarında paralel düzlemlerde yer alan iki çokgen vardır ve tüm yan yüzler paralelkenar şeklindedir.
Şekil 1. Şekil. 2
Öyleyse, bir prizmanın nelerden oluştuğunu bulalım. Bunu yapmak için Şekil 1'e dikkat edin.
Daha önce belirtildiği gibi, prizmanın birbirine paralel iki tabanı vardır - bunlar ABCEF ve GMNJK beşgenleridir. Üstelik bu çokgenler birbirine eşittir.
Prizmanın diğer tüm yüzlerine yan yüzler denir - paralelkenarlardan oluşurlar. Örneğin, BMNC, AGKF, FKJE vb.
Tüm yan yüzlerin ortak yüzeyine denir yan yüzey.
Bitişik yüzlerin her bir çiftinin ortak bir tarafı vardır. Böyle bir ortak tarafa kenar denir. Örneğin, MB, CE, AB, vb.
Prizmanın alt ve üst tabanları birbirine dik olarak bağlanırsa buna prizmanın yüksekliği denir. Şekilde, yükseklik OO 1 düz çizgisi olarak işaretlenmiştir.
İki ana prizma türü vardır: eğik ve düz.
Eğer yan kaburga prizmalar tabanlara dik değilse böyle prizmalara prizma denir eğik.
Bir prizmanın tüm kenarları tabanlarına dik ise böyle prizma prizma denir. dümdüz.
Prizmanın tabanları ise düzgün çokgenler(kenarları eşit olanlar), o zaman böyle bir prizma denir doğru.
Prizmanın tabanları birbirine paralel değilse, böyle bir prizma prizma olarak adlandırılır. kesik
Şekil 2'de görebilirsiniz.
Bir prizmanın hacmini, alanını bulmak için formüller
Hacmi bulmak için üç temel formül vardır. Uygulamalarında birbirlerinden farklıdırlar:
Bir prizmanın yüzey alanını bulmak için benzer formüller:
