sütun bölümü(adını da görebilirsiniz bölüm köşe) - standart prosedür Vbasit veya karmaşık çok basamaklı sayıları kırarak bölmek için tasarlanmış aritmetikbirkaç basit adıma bölünür. Tüm bölme problemlerinde olduğu gibi tek bir sayıbölünebilir, denilen diğerine bölünürbölücüadlı bir sonuç üretereközel.

Sütun, hem doğal sayıların kalansız bölünmesi hem de bölme işlemi için kullanılabilir. doğal sayılar geri kalanıyla beraber.

Bir sütuna bölerken kaydetme kuralları.

Bölünen, bölen, tüm ara hesaplamalar ve sonuçları yazmak için kuralları inceleyerek başlayalım.doğal sayıların bir sütuna bölünmesi. Hemen söyleyelim ki yazılı olarak bir sütuna göre bölme yapmaken çok damalı çizgili kağıt üzerinde uygundur - bu nedenle istenen satır ve sütundan sapma olasılığı daha düşüktür.

Önce bölen ve bölen soldan sağa tek satır olarak yazılır, sonra yazılanlar arasındasayılar formun sembolünü temsil eder.

Örneğin, bölünen sayı 6105 ise ve bölen 55 ise, bölünürken doğru gösterimlerisütun şöyle görünecektir:

Bölünen, bölen, bölümün yazılacağı yerleri gösteren aşağıdaki şemaya bakın,Bir sütuna bölünürken kalan ve ara hesaplamalar:

İstenen bölümün (veya eksik bölüm bir kalanla bölündüğünde) olacaktırbölenin altında yatay çubuğun altına yazılır. Ve ara hesaplamalar aşağıda yapılacaktır.bölünebilir ve sayfada yer olup olmadığına önceden dikkat etmeniz gerekir. Bunu yaparken rehberlik edilmelidir.kural: bölen ve bölen kayıtlarındaki karakter sayısındaki fark ne kadar büyükse, o kadar fazlaalan gerekecektir.

Bir doğal sayının bir sütuna tek basamaklı bir doğal sayıya bölünmesi, sütun bölme algoritması.

Bir sütuna nasıl bölüneceği en iyi şekilde bir örnekle açıklanır.Hesaplamak:

512:8=?

İlk olarak, böleni ve böleni bir sütuna yazın. Bunun gibi görünecek:

Bölümleri (sonuçları) bölenin altına yazılacaktır. sayımız 8.

1. Eksik bir bölüm tanımlıyoruz. İlk olarak temettü girişinde soldan ilk haneye bakıyoruz.Bu rakamla tanımlanan sayı bölenden büyükse, sonraki paragrafta çalışmamız gerekir.bu numara ile Bu sayı bölenden küçükse, dikkate aşağıdakileri eklememiz gerekir.solda, temettü kaydındaki rakam ve dikkate alınan iki kişi tarafından belirlenen sayı ile daha fazla çalışınsayılar. Kolaylık sağlamak için, kaydımızda çalışacağımız numarayı seçiyoruz.

2. 5'i alın. 5 sayısı 8'den küçüktür, bu nedenle bölenden bir basamak daha almanız gerekir. 51, 8'den büyüktür.bu tamamlanmamış bir orandır. Bölüme bir nokta koyarız (bölücünün köşesinin altına).

51'den sonra sadece bir tane 2 var. Bu yüzden sonuca bir nokta daha ekliyoruz.

3. Şimdi, hatırlamakçarpım tablosu 8 ile 51'e en yakın çarpımı buluruz → 6 x 8 = 48→ bölüme 6 sayısını yazın:

51'in altına 48 yazıyoruz (bölenden 6'yı bölenden 8 ile çarparsak 48 elde ederiz).

Dikkat! Eksik bölümün altına yazıldığında, eksik bölümün en sağdaki basamağı yukarıda olmalıdır.en sağdaki rakamİşler.

4. Soldaki 51 ile 48 arasına "-" (eksi) koyun.Çıkarma kurallarına göre çıkarma 48. sütunda ve satırın altındasonucu yazın.

Ancak, çıkarma işleminin sonucu sıfır ise, yazılmasına gerek yoktur (çıkarmabu paragraf, bölme işlemini tamamen tamamlayan son eylem değildir. kolon).

Kalan 3 çıktı. Kalanı bölen ile karşılaştıralım. 3, 8'den küçüktür.

Dikkat!Kalan bölenden büyükse, hesaplamada bir hata yaptık ve bir çarpım var.çektiğimizden daha yakın.

5. Şimdi yatay çizginin altında orada bulunan sayıların sağında (veya sağında bizim yapmadığımız yerde)sıfır yazmaya başladık) temettü kaydında aynı sütunda yer alan rakamı yazıyoruz. içinde isebu sütunda rakam yoksa bir sütuna göre bölme burada biter.

32 sayısı 8'den büyüktür. Ve yine 8 için çarpım tablosunu kullanarak en yakın çarpımı → 8 x 4 = 32 buluyoruz:

Kalan sıfırdır. Bu, sayıların tamamen (kalan olmadan) bölündüğü anlamına gelir. Sondan sonra isesıfırı çıkarırsak ve daha fazla rakam kalmazsa, bu kalandır. özele ekliyoruzköşeli parantezler (örn. 64(2)).

Çok değerli doğal sayılar sütununa bölme.

Doğal bir çok basamaklı sayıya bölme işlemi de benzer şekilde yapılır. Aynı zamanda ilk etapta"Ara" temettü, bölenden daha fazla olduğu ortaya çıkan çok sayıda yüksek basamaklı basamak içerir.

Örneğin, 1976 bölü 26.

• En anlamlı basamaktaki 1 sayısı 26'dan küçüktür, bu nedenle iki basamaktan oluşan bir sayı düşünün kıdemli rütbeler - 19.
• 19 sayısı da 26'dan küçüktür, bu nedenle en önemli üç basamağın basamaklarından oluşan sayıyı düşünün - 197.
• 197 sayısı 26'dan büyüktür, 197'yi onluk sayı 26'ya bölün: 197: 26 = 7 (15 onluk kaldı).
• 15 tane onluğu birime çeviririz, birlik kategorisinden 6 tane ekleriz, 156 elde ederiz.
• 6 elde etmek için 156'yı 26'ya bölün.

Yani 1976: 26 = 76.

Bazı bölme adımlarında "ara" temettü bölenden daha az çıktıysa, o zaman bölümde0 yazılır ve bu basamaktaki sayı bir sonraki alt basamağa aktarılır.

Bir bölümde ondalık kesir ile bölme.

Ondalık kesirler çevrimiçi. Ondalık sayıları ortak kesirlere ve ortak kesirleri ondalık sayılara dönüştürün.

Bir doğal sayı, tek basamaklı bir doğal sayıya tam olarak bölünemiyorsa, devam edebilirsiniz.bitsel bölme ve bölüm ondalık elde edin.

Örneğin, 64 bölü 5.

• 6 onluğu 5'e bölerek 1 onluk ve 1 onluk kalanını elde ederiz.
• Kalan on tanesini birime çeviririz, birim kategorisinden 4 ekleriz, 14 elde ederiz.
• 14 bölü 5, 2 birim ve kalanda 4 birim elde ederiz.
• 4 birimi onda birine çeviriyoruz, 40 onda birini alıyoruz.
• 40'ın onda birini 5'e bölerek 8 onda birini elde edin.

Yani 64:5 = 12.8

Böylece, bir doğal sayıyı tek basamaklı veya çok basamaklı bir doğal sayıya bölerkenkalan elde edilir, sonra özel bir virgül koyabilirsiniz, kalanı bir sonrakinin birimlerine dönüştürebilirsiniz,küçük rakam ve bölmeye devam edin.

bölünebilirlik oranı Bir doğal sayı a'nın kalanını bir doğal sayı b'ye böldüğümüzde kalan 0 ise, o zaman a'nın b'ye bölünebilir olduğunu söyleriz. Bu durumda a'ya b'nin katı, b'ye a'nın böleni denir.

atama a:b

Sembollerle kayıt (a, bN) (a: b) (cN) (a \u003d güneş).

Asal sayı. Yalnızca kendisine ve bire bölünebilen, yani yalnızca iki böleni olan bir doğal sayıya asal sayı denir.

Bileşik sayı. Bir doğal sayının ikiden fazla çarpanı varsa bileşik sayı denir.

• 1 ne asal ne de bileşik bir sayıdır, çünkü yalnızca bir böleni vardır - kendisi.
• 2 tek çift asal sayıdır.

Bölünebilirlik oranı özellikleri:

• 1. a, b'ye bölünebiliyorsa, o zaman a?b.
• 2. yansıma, yani her doğal sayı kendisine bölünebilir.
• 3. antisimetri, yani iki sayı eşit değilse ve birincisi ikinciye bölünebiliyorsa, ikincisi birinciye bölünmez.
• 4. geçişlilik, yani birinci sayı ikinci sayıya bölünebiliyorsa, ikinci sayı üçüncü sayıya bölünebilir, o zaman birinci sayı üçüncü sayıya bölünebilir.

N ile bölünebilme oranı, kısmi kesin olmayan düzenin oranıdır. Sipariş kısmi, çünkü öyle farklı doğal sayı çiftleri vardır ki hiçbiri diğerine bölünmez.

Toplamın bir sayı ile bölünebilirliğinin işareti. Her toplama bir sayı ile bölünebiliyorsa, toplamın tamamı bu sayı ile bölünebilir (toplamın bir sayı ile bölünebilmesi için, her toplamanın o sayı ile bölünebilir olması yeterlidir). Bu özellik gerekli değildir, örn. her terim bir sayıya bölünemiyorsa, toplamın tamamı o sayıya bölünebilir.

Farkın bir sayıya bölünebilirliğinin işareti. Eklenen ve çıkan bir sayıya bölünebiliyorsa ve eksilen çıkandan büyükse fark bu sayıya bölünebilir (farkın bir sayıya bölünebilmesi için eksilen ve çıkanın eşit olması yeterlidir) farkın pozitif olması şartıyla bu sayıya bölünebilir). Bu özellik gerekli değildir, örn. eksilen ve çıkarılan bir sayıya bölünmeyebilir ve farkları bu sayıya bölünebilir.

Toplamın bir sayı ile bölünmezliğinin bir işareti. Biri hariç tüm toplamalar bir sayı ile bölünebiliyorsa, o zaman toplam o sayı ile bölünmez.

Bir ürünün bir sayıya bölünebilirliğinin bir işareti. Bir çarpımdaki en az bir faktör bir sayı ile bölünebiliyorsa, o zaman çarpım bu sayı ile bölünebilir (bir çarpımın bir sayı ile bölünebilmesi için, çarpımdaki bir faktörün o sayı ile tam bölünebilir olması yeterlidir). Bu özellik gerekli değildir, örn. Çarpımın hiçbir çarpanı bir sayı ile bölünemiyorsa, o zaman çarpım o sayı ile bölünebilir.

Bir eserin esere bölünebilirliğinin bir işareti. a sayısı b sayısına tam bölünüyorsa c sayısı d sayısına tam bölünüyorsa a ve c sayılarının çarpımı b ve d sayılarının çarpımına bölünür. Bu özellik gerekli değildir.

Doğal sayıların 2'ye bölünebilirlik işareti. Bir doğal sayının 2'ye bölünebilmesi için bu sayının ondalık gösteriminin 0, 2, 4, 6 veya 8 rakamlarından birinde bitmesi gerekli ve yeterlidir.

Doğal sayıların 5'e bölünebilirlik işareti. Bir doğal sayının 5'e bölünebilmesi için bu sayının ondalık gösteriminin 0 veya 5 ile bitmesi gerekli ve yeterlidir.

Doğal sayıların 4'e bölünebileceğinin işareti. Bir doğal sayının 4'e bölünebilmesi için bu sayının ondalık gösteriminin 00 ile bitmesi veya bu sayının ondalık gösterimindeki son iki hanenin iki olması gerekli ve yeterlidir. -4'ün katları

Doğal sayıların 3'e bölünebilirlik işareti. Bir doğal sayının 3'e bölünebilmesi için, bu sayının ondalık gösteriminin tüm basamakları toplamının 3'e bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.

Doğal sayıların 9'a bölünebilirlik işareti. Bir doğal sayının 9'a bölünebilmesi için, bu sayının ondalık gösteriminin tüm basamakları toplamının 9'a bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.

a ve b doğal sayılarının ortak böleni, bu sayıların her birinin böleni olan doğal sayıdır.

a ve b doğal sayılarının en büyük ortak böleni, bu sayıların tüm ortak bölenlerinin en büyük doğal sayısıdır.

GCD tanımı (a, c)

GCD özellikleri (a, c):

• 1. her zaman var ve sadece bir tane.
• 2. a ve b'nin en küçüğünü geçmez.
• 3. a ve b'nin herhangi bir ortak böleniyle bölünebilir.

a ve b doğal sayılarının ortak katı, bu sayıların her birinin katı olan doğal sayıdır.

a ve b doğal sayılarının en küçük ortak katı, bu sayıların tüm ortak katlarının en küçük doğal sayısıdır.

NOC tanımı (a, c)

LCM özellikleri (a, c):

• 1. her zaman var ve sadece bir tane.
• 2. a ve b'den büyük olandan daha az değil.
• 3. a ve b'nin herhangi bir ortak katı ona bölünebilir.

asal sayılar. Doğal sayılar a ve b, 1'den başka ortak bölenleri yoksa görece asal olarak adlandırılır, yani. OBEB (a, c)=1.

Bileşik bir sayı ile bölünebilirlik işareti. Bir a doğal sayısının m ve n eş asal sayılarının çarpımına bölünebilmesi için, a sayısının her birine bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.

• 1. Bir sayının 12 ile tam bölünebilmesi için 3 ve 4 ile tam bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.
• 2. Bir sayının 18'e bölünebilmesi için 2'ye ve 9'a tam bölünebilmesi gerekli ve yeterlidir.

Bir sayıyı asal çarpanlara ayırmak, bu sayının asal çarpanların bir ürünü olarak temsil edilmesidir.

Aritmetiğin temel teoremi. Herhangi bir bileşik sayı, benzersiz bir şekilde asal çarpanların bir ürünü olarak temsil edilebilir.

GCD'yi bulmak için algoritma:

Verilen sayılarda ortak olan asal çarpanların çarpımını yazın ve her çarpanı, tüm açılımlara girdiği en küçük üsle yazın.

Ortaya çıkan ürünün değerini bulun. Bu, bu sayıların GCD'si olacaktır.

LCM'yi bulmak için algoritma:

Her sayıyı asal çarpanlara ayırın.

Genişletmelerdeki tüm asal çarpanların çarpımını yazın ve her birini, tüm genişletmelere girdiği en büyük üsle birlikte yazın.

Ortaya çıkan ürünün değerini bulun. Bu, bu sayıların LCM'si olacaktır.

Pozitif rasyonel sayılar kümesi

kesir. Bir bölüm verilsin A ve tek segment e oluşan N eşit segmentler e.

eğer segment A içerir M eşit segmentler e. o zaman uzunluğu şu şekilde temsil edilebilir:

Sembol denir atış; M, N- tamsayılar; M- bir kesrin payı, N kesrin paydasıdır. N bir ölçü biriminin kaç eşit parçaya bölündüğünü gösterir; M segmentte bu tür parçalardan kaç tane bulunduğunu gösterir A.

Eşit kesirler. Aynı doğru parçasının uzunluğunu bir ölçü biriminde ifade eden kesirlere eşit denir.

Kesirlerin eşitliğinin işareti.

Bir kesrin temel özelliği. Bir kesrin pay ve paydası aynı doğal sayı ile çarpılır veya bölünürse verilen kesre eşit bir kesir elde edilir.

Bir kesri azaltmak, belirli bir kesri kendisine eşit, ancak daha küçük bir pay ve payda ile değiştirmektir.

İndirgenemez bir kesir, payı ve paydası nispeten asal sayılar olan bir kesirdir, yani GCD'leri bire eşittir.

Kesirleri ortak bir paydaya indirgemek, verilen kesirlerin kendilerine eşit olan ve paydaları eşit olan diğer kesirlerle değiştirilmesidir.

pozitif rasyonel sayı- bu, hecelemede farklı, ancak birbirine eşit sonsuz sayıda kesirdir; bu kümenin her kesri, bu pozitif rasyonel sayının bir biçimidir.

Eşit pozitif rasyonel sayılar, eşit kesirler olarak yazılabilen sayılardır.

Pozitif rasyonel sayıların toplamı. Pozitif bir rasyonel sayı ise A B bir kesir olarak temsil edilir, sonra toplamları İle bir kesirle temsil edilir.

Toplamanın değişmeli özelliği. Terimlerin yerlerindeki bir değişiklikten toplamın değeri değişmez.

Eklemenin ilişkisel özelliği. İki sayının toplamına bir üçüncü eklemek için, birinci sayıya ikinci ve üçüncünün toplamını ekleyebilirsiniz.

Toplamın varlığı ve tekliği. Pozitif rasyonel sayılar ne olursa olsun A Ve B toplamları her zaman mevcuttur ve benzersizdir.

Uygun bir kesir bir kesirdir. payı paydadan küçük olan.

Uygun olmayan bir kesir, payı paydadan büyük veya ona eşit olan bir kesirdir.

Uygun olmayan bir kesir, doğal bir sayı veya karışık bir kesir olarak yazılabilir.

Karışık bir kesir, bir doğal sayının ve uygun bir kesrin (genellikle toplama işareti olmadan yazılır) toplamıdır.

Q üzerinde "küçüktür" ilişkisi. Pozitif rasyonel sayı B pozitif bir rasyonel sayıdan küçük A, pozitif bir rasyonel sayı varsa C, hangi ile birlikte B verir A.

"Daha az" ilişkisinin özellikleri.

• 1. Yansıma önleyici. Hiçbir sayı kendisinden küçük olamaz.
• 2. Antisimetri. İlk sayı ikinciden küçükse, ikincisi birinciden küçük olamaz.
• 3. Geçişlilik. Birinci sayı ikinciden, ikincisi üçüncüden küçükse, birinci sayı üçüncüden küçüktür.
• 4. Bağlantı. İki sayı eşit değilse, ya birincisi ikinciden küçüktür ya da ikincisi birinciden küçüktür.

Q'daki "daha az" ilişkisi, katı doğrusal sıralı bir ilişkidir.

Pozitif rasyonel sayıların farkı. Pozitif rasyonel sayıların farkı A Ve B pozitif rasyonel sayı denir C, hangi ile birlikte B verir A.

Farklılığın varlığı. Sayı farkı A Ve B ancak ve ancak varsa vardır B az A.

Bir fark varsa, o zaman benzersizdir.

Pozitif rasyonel sayıların ürünü. Pozitif bir rasyonel sayı ise A pozitif bir rasyonel sayı olan bir kesirle temsil edilir B bir kesirle temsil edilirse, çarpımları pozitif bir rasyonel sayıdır. İle bir kesirle temsil edilir.

Bir ürünün varlığı ve benzersizliği. Pozitif rasyonel sayılar ne olursa olsun A Ve Bürünleri her zaman vardır ve benzersizdir.

Çarpmanın değişmeli özelliği. Faktörlerin yerleri değiştirilerek ürünün değeri değişmez.

Çarpmanın ilişkisel özelliği. İki sayının çarpımını üçüncüyle çarpmak için, birinci sayıyı ikinci ve üçüncünün çarpımı ile çarpabilirsiniz.

Çarpmanın toplamaya göre dağılım özelliği. Sayıların toplamını bir sayı ile çarpmak için her terimi bu sayı ile çarpabilir ve elde edilen ürünleri toplayabilirsiniz.

Pozitif rasyonel sayıların kısmi kısmı. Pozitif rasyonel sayıların bölümü A Ve B pozitif rasyonel sayı denir C, ile çarpıldığında B verir A.

Özelin varlığı. Pozitif rasyonel sayılar ne olursa olsun A Ve B bölümleri her zaman mevcuttur ve benzersizdir.

Q kümesi ve özellikleri.

• 1. Q, "küçüktür" ilişkisi kullanılarak doğrusal olarak sıralanır.
• 2. Q'da en küçük sayı yoktur.
• 3. Q'da en büyük sayı yoktur.
• 4. Q sonsuz bir kümedir.
• 5. Q kendi içinde yoğundur, yani. Herhangi iki farklı pozitif rasyonel sayı, sonsuz sayıda pozitif rasyonel sayı içerir.

Pozitif rasyonel sayıları ondalık olarak yazın.

Ondalık, m/n formunun bir kesridir, burada M Ve N- tamsayılar.

Ondalık sayı türleri. Sonlu, sonsuz, periyodik (tamamen periyodik ve karışık periyodik), periyodik olmayan.

Sondaki ondalık bir kesirdir. ondalık noktadan sonra sınırlı sayıda basamağa sahip olan.

Sonsuz bir periyodik ondalık kesir, bir sayıdan başlayarak aynı basamak grubunun sonsuz tekrarıyla elde edilen bir kesirdir ve yinelenen basamak grubuna periyodu denir.

Tamamen periyodik ve karışık periyodik kesirler. Bir kesrin periyodu ondalık noktadan hemen sonra başlıyorsa, bu kesre tamamen periyodik denir. Ondalık nokta ile dönemin başlangıcı arasında birkaç basamak varsa, kesre karışık periyodik denir.

teorem. Herhangi bir pozitif rasyonel sayı, sonlu bir ondalık sayı veya sonsuz periyodik bir ondalık sayı olarak temsil edilebilir.

Sıradan bir kesri ondalık sayıya dönüştürme. Çevirmek için, payı bir sütundaki paydaya bölmeniz gerekir. Bölme yaparken, ya sonlu bir ondalık kesir ya da sonsuz periyodik bir kesir elde edersiniz.

Son bir ondalık basamağı ortak bir kesre dönüştürme. Virgülü atın, elde edilen sayıyı payın içine yazın ve birden sonra paydaya ondalık noktadan sonraki basamak sayısı kadar sıfır yazın.

Tamamen periyodik bir kesri sıradan bir kesre dönüştürme. Kesrin periyodunu paya, paydaya da periyotta kaç rakam varsa o kadar dokuz yazın.

Karışık bir periyodik kesri ortak bir kesre dönüştürme. Payda, virgül ile ikinci parantez arasındaki sayı ile virgül ile birinci parantez arasındaki sayı arasındaki farkı yazın; paydada, noktadaki basamak sayısı kadar dokuzlu ve bunlardan sonra virgül ile ilk parantez arasındaki basamak sayısı kadar sıfır yazınız.

teorem. İndirgenemez bir kesrin sonlu bir ondalık kesir olarak yazılabilmesi için, paydasının asal çarpanlara açılımına yalnızca 2 ve 5 sayılarının girmesi gerekli ve yeterlidir.

1. İki eşit doğal sayıyı bölme özelliği:

Bir doğal sayı, kendisine eşit olan sayıya bölünürse sonuç birdir.

Geriye birkaç örnek vermek kalıyor. Doğal sayı 405'in kendi eşit sayısı olan 405'e bölümünün bölümü 1'dir; 73 bölü 73 de 1'dir.

2. Bir doğal sayıyı bire bölme özelliği:

verilen bir doğal sayının bire bölünmesinin sonucu o doğal sayıdır.

Formüle edilmiş bölme özelliğini değişmez biçimde yazalım: a: ​​​​1 = a.

Örnekler verelim. 23 doğal sayısının 1'e bölümü 23'tür ve 10388 doğal sayısının 1'e bölünmesinin sonucu 10388'dir.

3. Doğal sayıların bölünmesi değişme özelliğine sahip değildir.

Bölen ve bölen eşit doğal sayılarsa, bu makalenin ilk paragrafında tartışılan eşit doğal sayıları bölme özelliğinden dolayı bunları değiştirebiliriz. Bu durumda, bölme işleminin sonucu aynı doğal sayı 1 olacaktır.

Diğer bir deyişle, bölünen ve bölen eşit doğal sayılarsa, bu durumda bölme işlemi değişme özelliğine sahiptir. 5:5=1 ve 5:5=1

Diğer durumlarda, bölünen ve bölen eşit doğal sayılar olmadığında, bölmenin değişme özelliği gerçekleşmez.

Bu yüzden, genel olarak, doğal sayıların bölünmesi değişme özelliğine sahip DEĞİLDİR.

Harfler kullanılarak, son ifade şu şekilde yazılır: a: b ≠ b: bir, burada a ve b bazı doğal sayılardır ve bir ≠ b.

4. İki doğal sayının toplamını bir doğal sayıya bölme özelliği:

iki doğal sayının toplamının belirli bir doğal sayıya bölünmesi, her terimin belirli bir doğal sayıya bölünmesinden elde edilen bölümlerin toplanmasıyla aynıdır.

Bölmenin bu özelliğini harfler kullanarak yazalım. a, b ve c doğal sayılar olsun, öyle ki a c'ye bölünebilir ve b c'ye bölünebilir, o zaman (a + b) : c = a: c + b: c. Yazılan eşitliğin sağ tarafında ise önce bölme işlemi yapılır sonra toplama işlemi yapılır.

İki doğal sayının toplamını verilen bir doğal sayıya bölme özelliğinin geçerliliğini doğrulayan bir örnek verelim. (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 eşitliğinin doğru olduğunu gösterelim. İlk önce eşitliğin sol tarafından ifadenin değerini hesaplıyoruz. 18 + 36 \u003d 54 olduğundan, o zaman (18 + 36) : 6 \u003d 54: 6. Doğal sayıların çarpım tablosundan 54: 6 \u003d 9'u buluyoruz. 18: 6 ifadesinin değerini hesaplamaya devam ediyoruz. +36: 6. Çarpım tablosundan 18: 6 = 3 ve 36: 6 = 6 yani 18: 6 + 36: 6 = 3 + 6 = 9 elde ederiz. Dolayısıyla eşitlik (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36 : 6 doğru.

5. İki doğal sayının farkını bir doğal sayıya bölme özelliği:

iki sayının farkının belirli bir sayıya bölünmesi, eksilen ile verilen sayının bölümünden çıkanın ve verilen sayının bölümünü çıkarmakla aynı şeydir.

Harfler yardımıyla bu bölme özelliği aşağıdaki gibi yazılabilir: (a - b) : c = a: c - b: c a, b ve c, a'nın b'den büyük veya b'ye eşit olduğu doğal sayılardır ve ayrıca a ve b, c'ye bölünebilir.

İncelenen bölme özelliğini doğrulayan bir örnek olarak, eşitliğin geçerliliğini göstereceğiz (45 - 25): 5 = 45: 5 - 25: 5. 45 - 25 = 20 olduğundan (gerekirse, materyali inceleyin. doğal sayıların artikel çıkarma), ardından (45 - 25): 5 = 20: 5. Çarpım tablosuna göre ortaya çıkan bölümün 4 olduğunu buluyoruz. Şimdi 45: 5 - 25: 5 ifadesinin değerini hesaplıyoruz , eşitliğin sağ tarafındadır. Çarpım tablosundan 45: 5 = 9 ve 25: 5 = 5, ardından 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4 elde ederiz. Dolayısıyla eşitlik (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25 : 5 doğrudur .

6. İki doğal sayının çarpımını bir doğal sayıya bölme özelliği:

iki doğal sayının çarpımının, çarpanlardan birine eşit olan belirli bir doğal sayıya bölünmesi sonucu diğer çarpana eşittir.

İşte bu bölme özelliğinin değişmez biçimi: (a b) : a = b veya (a b) : b = a, burada a ve b bazı doğal sayılardır.

Matematik, çoğu insan için zor bir bilim gibi görünse de aslında hiç de öyle değildir. Özellikle kuralları ve formülleri biliyorsanız, birçok matematiksel işlemi anlamak oldukça kolaydır. Yani, çarpım tablosunu bilerek, zihninizde hızlı bir şekilde çoğaltabilirsiniz Asıl mesele, sürekli çalışmak ve çarpma kurallarını unutmamaktır. Aynı şey bölünme için de söylenebilir.

Kesirli ve negatif tam sayıların bölünmesine bir göz atalım. Temel kuralları, teknikleri ve yöntemleri hatırlayın.

bölme işlemi

Belki de bu operasyonda yer alan sayıların tam tanımı ve adıyla başlayalım. Bu, bilginin daha fazla sunumunu ve algılanmasını büyük ölçüde kolaylaştıracaktır.

Bölme, dört temel matematiksel işlemden biridir. Çalışması başlar ilkokul. Daha sonra çocuklara bir sayıyı bir sayıya bölmenin ilk örneği gösterildi ve kuralları anlatıldı.

İşlem iki sayı içerir: bölünen ve bölen. Birincisi bölünecek sayı, ikincisi ise bölünecek sayıdır. Bölmenin sonucu bir bölümdür.

Bu işlemi kaydetmek için birkaç gösterim vardır: ":", "/" ve yatay bir çizgi - bölünen üstte ve bölen altta, çizginin altında olduğunda kesir şeklinde bir kayıt.

Tüzük

Belirli bir matematiksel işlemi incelerken, öğretmen öğrencilere bilmeniz gereken temel kuralları öğretmekle yükümlüdür. Doğru, her zaman bizim istediğimiz kadar iyi hatırlanmazlar. Bu nedenle, dört temel kuralla hafızanızı biraz tazelemeye karar verdik.

Her zaman hatırlamanız gereken sayıları bölmek için temel kurallar:

1. Sıfıra bölemezsiniz. Bu kural her şeyden önce hatırlanmalıdır.

2. Sıfırı herhangi bir sayıya bölebilirsiniz, ancak sonuç her zaman sıfır olacaktır.

3. Sayı bire bölünürse aynı sayıyı elde ederiz.

4. Sayı kendisine bölünürse bir elde ederiz.

Gördüğünüz gibi, kurallar oldukça basit ve hatırlaması kolay. Bazıları imkansızlık gibi basit bir kuralı unutabilir veya sıfırın bir sayıya bölünmesini onunla karıştırabilir.

sayı başına

En iyilerinden biri faydalı kurallar- bir doğal sayıyı bir başkasına kalansız bölme olasılığının belirlendiği bir işaret. Yani 2, 3, 5, 6, 9, 10 ile bölünme işaretleri vardır. Bunları daha ayrıntılı olarak ele alalım. Sayılar üzerindeki işlemlerin performansını büyük ölçüde kolaylaştırırlar. Ayrıca her kural için bir sayıyı bir sayıya bölme örneği vereceğiz.

Bu kural işaretleri matematikçiler tarafından oldukça yaygın olarak kullanılmaktadır.

2 ile bölünebilme işareti

Hatırlanması en kolay işaret. Çift basamakla (2, 4, 6, 8) veya 0 ile biten bir sayı her zaman ikiye bölünebilir. Hatırlaması ve kullanması oldukça kolay. Yani 236 sayısı çift sayı ile bitiyor yani ikiye tam olarak bölünüyor demektir.

Kontrol edelim: 236:2 = 118. Aslında 236, 2'ye kalansız bölünebilir.

Bu kural en çok sadece yetişkinler tarafından değil çocuklar tarafından da bilinir.

3 ile bölünebilme işareti

Sayıları 3'e doğru şekilde nasıl bölersiniz? Aşağıdaki kuralı unutmayın.

Bir sayı, rakamlarının toplamı 3'ün katıysa, 3'e tam olarak bölünebilir. Örneğin 381 sayısını ele alalım. Tüm rakamların toplamı 12 olacaktır. Bu 3'tür yani 3'e kalansız bölünebilir.

Ayrıca kontrol et verilen örnek. 381: 3 = 127, yani her şey doğru.

Sayıların 5'e bölünebilme işareti

Burada da her şey basit. 5'e yalnızca sonu 5 veya 0 ile biten sayıları kalansız olarak bölebilirsiniz. Örneğin 705 veya 800 gibi sayıları alın. Birincisi 5 ile biter, ikincisi 0 ile biter, bu nedenle ikisi de 5'e bölünebilir. tek basamaklı bir sayı olan 5'e hızlıca bölmenizi sağlayan en basit kurallardan biridir.

Aşağıdaki örneklerde bu işareti kontrol edelim: 405:5 = 81; 600:5 = 120. Gördüğünüz gibi işaret çalışıyor.

6 ile bölünebilir

Bir sayının 6'ya bölünüp bölünmediğini öğrenmek istiyorsanız, önce 2'ye, sonra 3'e bölünüp bölünmediğini öğrenmeniz gerekir. Öyleyse, sayı 6'ya kalansız bölünebilir. 216 sayısı da çift rakamla bittiği için 2'ye ve rakamların toplamı 9 olduğu için 3'e bölünebilir.

Kontrol edelim: 216:6 = 36. Örnek bu özelliğin geçerli olduğunu gösteriyor.

9'a bölünebilir

Bir de sayıların 9'a nasıl bölüneceğinden bahsedelim.9'un katı olan rakamların toplamı bu sayıya bölünür.3'e bölme kuralına benzer şekilde.Örneğin 918 sayısı.Tüm sayıları toplayalım. ve 18 - 9'un katı olsun. Yani 9'a kalansız bölünebilir.

Doğrulama için şu örneği çözelim: 918:9 = 102.

10 ile bölünebilir

Dikkat edilmesi gereken son işaret. Sadece 0 ile biten sayılar 10'a bölünebilir. Bu kalıp oldukça basit ve hatırlaması kolay. Yani, 500:10 = 50.

Tüm ana işaretler bu. Onları hatırlayarak hayatınızı kolaylaştırabilirsiniz. Elbette bölünebilirlik işaretleri olan başka sayılar da var, ancak biz yalnızca ana sayıları belirledik.

bölme tablosu

Matematikte sadece çarpım tablosu değil, bölme tablosu da vardır. Bunu öğrendikten sonra işlemleri kolayca gerçekleştirebilirsiniz. Esasen, bölme tablosu tersten çarpım tablosudur. Kendiniz derlemek zor değil. Bunu yapmak için, çarpım tablosundaki her satırı şu şekilde yeniden yazın:

1. Sayının çarpımını ilk sıraya koyuyoruz.

2. Bölme işareti koyuyoruz ve tablodan ikinci çarpanı yazıyoruz.

3. Eşittir işaretinden sonra ilk çarpanı yazıyoruz.

Örneğin, çarpım tablosundan şu satırı alalım: 2*3= 6. Şimdi onu algoritmaya göre yeniden yazıyoruz ve şunu elde ediyoruz: 6 ÷ 3 = 2.

Çoğu zaman çocuklardan kendi başlarına bir masa yapmaları istenir, böylece hafızaları ve dikkatleri gelişir.

Yazmak için vaktiniz yoksa, makalede sunulanı kullanabilirsiniz.

Bölüm türleri

Biraz da bölme türlerinden bahsedelim.

Tam sayıların ve kesirli sayıların bölünmesinin ayırt edilebileceği gerçeğiyle başlayalım. Ayrıca, ilk durumda, tamsayılar ve ondalık kesirlerle işlemler hakkında ve ikinci durumda - yalnızca kesirli sayılar hakkında konuşabiliriz. Bu durumda, bölen veya bölen veya aynı anda her ikisi de kesirli olabilir. Bunun nedeni, kesirler üzerindeki işlemlerin tamsayılar üzerindeki işlemlerden farklı olmasıdır.

İşleme katılan sayılara göre, iki tür bölme ayırt edilebilir: tek basamaklı sayılar ve çok basamaklı sayılar. En basiti tek bir rakama bölmek. Burada hantal hesaplamalar yapmanıza gerek kalmayacak. Ayrıca, bir bölme tablosu çok yardımcı olabilir. Başkalarına bölmek - iki, üç basamaklı sayılar - daha zordur.

Bu tür bölmeler için örnekleri ele alalım:

14:7 = 2 (tek bir sayıya bölünür).

240:12 = 20 (iki haneye bölünür).

45387: 123 = 369 (üç basamaklı bir sayıya bölünür).

Pozitif ve negatif sayıların katıldığı son bölüm ayırt edilebilir. İkincisi ile çalışırken, sonuca pozitif veya negatif bir değer atanan kuralları bilmelisiniz.

sayıları bölerken farklı işaretler(bölünen pozitif bir sayıdır, bölen negatiftir veya tam tersi) elde ederiz negatif bir sayı. Sayıları bir işaretle bölerken (hem bölen hem de bölen pozitiftir veya tam tersi), pozitif bir sayı elde ederiz.

Açıklık için aşağıdaki örnekleri göz önünde bulundurun:

kesirlerin bölünmesi

Yani, temel kuralları analiz ettik, bir sayıyı bir sayıya bölme örneği verdik, şimdi aynı işlemleri kesirlerle nasıl doğru bir şekilde gerçekleştireceğimizden bahsedelim.

Kesirleri bölmek ilk başta oldukça zor bir iş gibi görünse de, gerçekte onlarla çalışmak o kadar da zor değil. Kesirlerde bölme, çarpmayla hemen hemen aynı şekilde yapılır, ancak bir farkla.

Bir kesri bölmek için önce bölenin payını bölenin paydasıyla çarpmanız ve sonucu bölüm payı olarak düzeltmeniz gerekir. Sonra bölenin paydasını bölenin payıyla çarpın ve sonucu bölümün paydası olarak yazın.

Daha da kolay yapılabilir. Payı payda ile değiştirerek bölenin kesirini yeniden yazın ve ardından elde edilen sayıları çarpın.

Örneğin, iki kesri bölelim: 4/5:3/9. Önce böleni çevirin, 9/3 elde ederiz. Şimdi kesirleri çarpalım: 4/5 * 9/3 = 36/15.

Gördüğünüz gibi, her şey oldukça kolay ve tek bir rakama bölmekten daha zor değil. Bu kuralı unutmazsanız örnekler kolay çözülmez.

sonuçlar

Bölme, her çocuğun ilkokulda öğrendiği matematiksel işlemlerden biridir. Bilmeniz gereken bazı kurallar, bu işlemi kolaylaştıran teknikler vardır. Bölme, kalanlı ve onsuz gerçekleşir, negatif ve kesirli sayıların bölünmesi vardır.

Bu matematiksel işlemin özelliklerini hatırlamak oldukça kolaydır. En çok analiz ettik önemli noktalar, bir sayıyı bir sayıya bölmenin birden fazla örneğine baktı, hatta kesirli sayılarla nasıl çalışılacağından bahsetti.

Matematik bilginizi geliştirmek istiyorsanız, bu basit kuralları hatırlamanızı tavsiye ederiz. Ek olarak, matematik dikteleri yaparak veya sadece iki rasgele sayının bölümünü sözlü olarak hesaplamaya çalışarak hafıza ve zihinsel aritmetik becerilerini geliştirmenizi tavsiye edebiliriz. İnan bana, bu beceriler asla gereksiz olmayacak.

Bu yazıda inceleyeceğiz genel fikirler Doğal sayıların bölünmesi ile ilgili. Bunlara fisyon işleminin özellikleri denir. Ana olanları analiz edeceğiz, anlamlarını açıklayacağız ve muhakememizi örneklerle destekleyeceğiz.

İki eşit doğal sayının bölünmesi

Bir doğal sayının kendisine eşit olan başka bir doğal sayıya nasıl bölüneceğini anlamak için, bölme işleminin anlamını anlamaya geri dönmeniz gerekir. Bölene ne anlam verdiğimize bağlıdır. son sonuç. İki olası seçeneğe bakalım.

Yani bir öğemiz var (a keyfi bir doğal sayıdır). Nesneleri gruplara eşit olarak dağıtalım, grup sayısı ise a'ya eşit olsun. Açıkçası, bu durumda her grupta sadece bir konu olacaktır.

Biraz farklı bir şekilde yeniden formüle edelim: bir öğe, her birinde bir öğeden oluşan gruplara nasıl dağıtılır? Sonunda kaç grup olacak? Tabii ki, sadece bir tane.

Aynı büyüklükteki doğal sayıları bölmenin ilk özelliğini özetleyelim ve türetelim:

tanım 1

Bir doğal sayıyı kendi eşitine bölmek sonucu bir verir. Başka bir deyişle, a: a = 1 (a herhangi bir doğal sayıdır).

Açıklamak için iki örneğe bakalım:

örnek 1

450, 450'ye bölünürse 1 olur. 67, 67'ye bölünürse 1 elde edilir.

Gördüğünüz gibi, burada hiçbir şey belirli sayılara bağlı değildir, bölünen ve bölenin eşit olması koşuluyla sonuç aynı olacaktır.

Bir doğal sayının bire bölümü

Önceki paragrafta olduğu gibi, görevlerle başlayalım. Diyelim ki a'ya eşit miktarda öğemiz var. Bunları, her biri bir konu olacak şekilde birkaç parçaya bölmek gerekir. Bir parçamız olacağı açık.

Ve eğer sorarsak: içine bir nesne yerleştirilirse grupta kaç nesne olur? Cevap açık - a.

Böylece, doğal sayıları 1'e bölme özelliğinin formülasyonuna yaklaşıyoruz:

Tanım 2

Herhangi bir doğal sayıyı bire böldüğünüzde aynı sayıyı elde edersiniz, yani a: 1 = a.

2 örneğe bakalım:

Örnek 2

25'i 1'e bölerseniz 25 elde edersiniz.

Örnek 3

11.345'i 1'e bölerseniz sonuç 11.345'tir.

Doğal sayıların bölünmesi için değişme özelliğinin olmaması

Çarpma durumunda, çarpanları serbestçe değiştirebilir ve aynı sonucu elde edebiliriz, ancak bu kural bölme için geçerli değildir. Temettü ve böleni değiştirmek, yalnızca eşit doğal sayılar olmaları durumunda mümkündür (bu özelliği zaten ilk paragrafta ele aldık). Yani, değişme özelliğinin yalnızca eşit doğal sayıların bölmeye katıldığı durum için geçerli olduğunu söyleyebiliriz.

Diğer durumlarda, sonucun bozulmasına yol açacağından, temettüyü bölen ile değiştirmek imkansızdır. Nedenini daha detaylı açıklayalım.

Herhangi bir doğal sayıyı keyfi olarak alınan diğerlerine her zaman bölemeyiz. Örneğin, bölünen bölenden küçükse, böyle bir örneği çözemeyiz (doğal sayıları kalanlı nasıl böleceğimizi ayrı bir materyalde analiz edeceğiz). Başka bir deyişle, eğer bir doğal sayı a'ya eşitse, b'ye bölebilir miyiz? Ve değerleri eşit değil, o zaman a daha büyük olacak b ve b: a girişi bir anlam ifade etmeyecektir. kuralı türetelim:

Tanım 3

2 doğal sayının toplamının başka bir doğal sayıya bölümü

Bu kuralı daha iyi açıklamak için bazı açıklayıcı örnekler verelim.

Mandalinaları eşit olarak bölmemiz gereken bir grup çocuğumuz var. Meyveler iki torbaya istiflenir. Mandalina sayısının iz bırakmadan tüm çocuklara bölebileceğiniz kadar olması koşulunu varsayalım. Birine mandalina dökebilirsin genel paket ve sonra böl ve dağıt. Ve önce meyveyi bir paketten, sonra diğerinden bölebilirsiniz. Açıkçası, her iki durumda da kimse gücenmeyecek ve her şey eşit olarak bölünecek. Bu nedenle şunu söyleyebiliriz:

Tanım 4

2 doğal sayının toplamının başka bir doğal sayıya bölünmesinin sonucu, her terimin aynı doğal sayıya bölünmesinden elde edilen bölümlerin toplanmasının sonucuna eşittir, yani (a + b) : c = a: c + b: c . Bu durumda tüm değişkenlerin değerleri doğal sayılardır, a'nın değeri c'ye bölünebilir ve b de c'ye kalansız bölünebilir.

İlk önce bölmenin sağ tarafında ve ikinci olarak toplamanın yapıldığı bir eşitliğimiz var (sırasıyla aritmetik işlemlerin nasıl doğru bir şekilde gerçekleştirileceğini hatırlayın).

Ortaya çıkan eşitliğin geçerliliğini bir örnekle kanıtlayalım.

Örnek 4

Buna uygun doğal sayıları alalım: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Şimdi hesaplayıp doğru olup olmadığını öğreneceğiz. Sol tarafın değerini hesaplayalım: 18 + 36 = 54 , ve (18 + 36) : 6 = 54: 6 .

Çarpım tablosunun sonucunu hatırlıyoruz (unuttuysanız, içinde istenen değeri bulun): 54: 6 = 9.

18: 6 \u003d 3 ve 36: 6 \u003d 6'nın ne kadar olacağını hatırlıyoruz. Yani 18:6 + 36:6 ​​= 3 + 6 = 9.

Doğru eşitlik çıkıyor: (18 + 36) : 6 = 18: 6 + 36: 6 .

Örnekte bölen olarak verilen doğal sayıların toplamı sadece 2 değil, 3 veya daha fazla da olabilir. Bu özellik, doğal sayıları toplamanın çağrışımsal özelliği ile birleştiğinde, bu tür hesaplamaları da yapmamızı mümkün kılar.

Örnek 5

Yani, (14 + 8 + 4 + 2) : 2, 14: 2 + 8: 2 + 4: 2 + 2: 2'ye eşit olacaktır.

2 doğal sayının farkının başka bir doğal sayıya bölümü

Benzer şekilde, doğal sayıların farkı için başka bir doğal sayıya böleceğimiz bir kural türetebiliriz:

Tanım 5

İki doğal sayının farkının üçüncüye bölünmesi sonucu, eksilen ve üçüncü sayının bölümünden çıkanın ve üçüncü sayının bölümünden çıkardığımız sonuca eşittir.

Onlar. (a - b) : c = a: c - b: c . Değişkenlerin değerleri doğal sayılardır, a büyük veya b'ye eşittir, a ve b c'ye bölünebilir.

Bu kuralın geçerliliğini bir örnekle kanıtlıyoruz.

Örnek 6

Uygun değerleri denklemde değiştirin ve hesaplayın: (45 - 25) : 5 = 45: 5 - 25: 5 . 45 - 25 = 20 (doğal sayılar arasındaki farkı nasıl bulacağımızı zaten yazmıştık). (45 - 25) : 5 = 20: 5 .

Çarpım tablosuna göre sonucun 4'e eşit olacağını hatırlıyoruz.

Sağ tarafı düşünüyoruz: 45: 5 - 25: 5. 45: 5 = 9 ve 25: 5 = 5, sonuçta 45: 5 - 25: 5 = 9 - 5 = 4. 4 \u003d 4, (45 - 25) : 5 \u003d 45: 5 - 25: 5'in doğru eşitlik olduğu ortaya çıktı.

İki doğal sayının çarpımının başka bir doğal sayıya bölünmesi

Bölme ve çarpma arasında nasıl bir bağlantı olduğunu hatırlayalım, o zaman bir çarpımı faktörlerden birine eşit bir doğal sayıya bölme özelliği bizim için aşikar olacaktır. kuralı türetelim:

Tanım 6

İki doğal sayının çarpımını çarpanlardan birine eşit olan üçte bire bölersek, diğer çarpana eşit bir sayı elde ederiz.

Değişmez biçimde, bu (a b) : a = b veya (a b) : b = a (a ve b değerleri doğal sayılardır) şeklinde yazılabilir.

Örnek 7

Yani, 2 ve 8'in çarpımını 2'ye bölmenin sonucu 8'e eşit olacaktır ve (3 7) : 7 = 3.

Peki ya bölen, temettüyü oluşturan faktörlerin hiçbirine eşit değilse? O zaman burada başka bir kural geçerlidir:

tanım 7

İki doğal sayının çarpımının üçüncü bir doğal sayıya bölünmesinin sonucu, çarpanlardan birinin bu sayıya bölünüp sonucun başka bir çarpanla çarpılmasıyla elde edilen sonuca eşittir.

İlk bakışta çok açık olmayan bir ifade aldık. Bununla birlikte, doğal sayıların çarpımının aslında değere eşit terimlerin toplamına indirgendiğini hesaba katarsak (doğal sayıların çarpımına ilişkin materyale bakın), o zaman bu özellik başka bir özellikten türetilebilir. biraz daha yukarıdan bahsetmiştim.

Bu kuralı değişmez biçimde yazalım (tüm değişkenlerin değerleri doğal sayılardır).

a'yı c'ye bölebilirsek, o zaman doğru (a b) : c = (a: c) b olacaktır.

b, c'ye bölünebiliyorsa, o zaman (a b) doğrudur: c = a (b: c) .

Hem a hem de b, c'ye bölünebilirse, bir eşitliği diğerine eşitleyebiliriz: (a b) : c = (a: c) b = a (b: c) .

Yukarıdaki bir çarpımı başka bir doğal sayıya bölme özelliği dikkate alındığında, (8 6) : 2 = (8: 2) 6 ve (8 6) : 2 = 8 (6: 2) eşitlikleri doğru olacaktır.

Bunları çift eşitlik olarak yazabiliriz: (8 6) : 2 = (8: 2) 6 = 8 (6: 2) .

Bir doğal sayının diğer 2 doğal sayının çarpımına bölümü

Yine bir örnekle başlayacağız. Bazı ödüllerimiz var, hadi buna . Ekip üyeleri arasında eşit olarak dağıtılmalıdır. Katılımcı sayısını c harfi ile, takım sayısını b harfi ile gösterelim. Bu durumda, bölme kaydının anlam ifade edeceği değişkenlerin bu tür değerlerini alıyoruz. Sorun iki ile çözülebilir Farklı yollar. İkisini de düşünelim.

1. Toplam katılımcı sayısını b ile c'yi çarparak ve ardından tüm ödülleri elde edilen sayıya bölerek hesaplayabilirsiniz. Değişmez biçimde, bu çözüm şu şekilde yazılabilir: a: (b c) .

2. Ödülleri önce takım sayısına bölebilir, ardından her takıma dağıtabilirsiniz. (a:b) : c şeklinde yazalım.

Açıkçası, her iki yöntem de bize aynı cevapları verecektir. Bu nedenle, her iki eşitliği birbirine eşitleyebiliriz: a: (b c) = (a: b) : c . Bu, bu paragrafta ele aldığımız bölünme özelliğinin gerçek kaydı olacaktır. Kuralı formüle edelim:

tanım 8

Bir doğal sayıyı bir çarpana bölmenin sonucu, bu sayıyı çarpanlardan birine bölüp çıkan bölümü başka bir çarpana bölmekle elde ettiğimiz sayıya eşittir.

Örnek 8

Bir görev örneği verelim. 18 eşitliğinin doğru olduğunu kanıtlayalım: (2 3) = (18: 2) : 3 .

Sol tarafı hesaplayalım: 2 3 = 6 ve 18: (2 3) 18: 6 = 3.

Sağ tarafı ele alıyoruz: (18:2) : 3 . 18: 2 = 9 ve 9: 3 = 3, ardından (18: 2): 3 = 3.

18: (2 3) = (18: 2) : 3 ile bitirdik. Bu eşitlik bize bu paragrafta verdiğimiz bölme özelliğini göstermektedir.

Sıfırın bir doğal sayıya bölümü

sıfır nedir? Daha önce bunun bir şeyin yokluğu anlamına geldiği konusunda anlaşmıştık. Sıfır bir doğal sayı değildir. Görünüşe göre sıfırı bir doğal sayıya bölersek, bu, boşluğu parçalara ayırmaya çalışmakla eşdeğer olacaktır. Kaç parçaya bölersek ayıralım, sonunda yine de "hiçbir şey" elde etmeyeceğimiz açıktır. Buradan kuralı çıkarıyoruz:

tanım 9

Sıfırı herhangi bir doğal sayıya böldüğümüzde sıfır elde ederiz. Değişmez formda, bu 0: a = 0 olarak yazılır, değişkenin değeri herhangi biri olabilir.

Örnek 9

Örneğin, 0:19 = 0 ve 0:46869 da sıfır olur.

Bir doğal sayının sıfıra bölümü

Bu eylem gerçekleştirilemez. Tam olarak nedenini öğrenelim.

Rastgele bir a sayısı alın ve sonuç olarak b sayısını elde etmek için 0'a bölünebileceğini varsayalım. a: 0 = b şeklinde yazalım. Şimdi çarpma ve bölmenin nasıl ilişkili olduğunu hatırlayalım ve yine geçerli olması gereken b · 0 = a eşitliğini türetelim.

Ancak daha önce doğal sayıları sıfırla çarpma özelliğini açıklamıştık. Ona göre b · 0 = 0 . Ortaya çıkan eşitlikleri karşılaştırırsak, a \u003d 0 elde ederiz ve bu orijinal koşulla çelişir (sonuçta sıfır doğal bir sayı değildir). Böyle bir eylemin imkansızlığını kanıtlayan bir çelişkimiz olduğu ortaya çıktı.

Tanım 10

Bir doğal sayıyı sıfıra bölemezsiniz.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.