Konuyla ilgili ders ve sunum: "Olumsuz göstergeli derece. Problem çözmenin tanımı ve örnekleri"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız, görüş, geri bildirim, önerilerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

8. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Ders kitabı için el kitabı Muravina G.K. Alimova Sh.A. ders kitabı için el kitabı.

Negatif bir üs ile dereceyi belirleme

Çocuklar, sayıları bir kuvvete yükseltmekte iyiyiz.
Örneğin: $2^4=2*2*2*2=16$  $((-3))^3=(-3)*(-3)*(-3)=27$.

Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvvetinin bire eşit olduğunu çok iyi biliyoruz. $a^0=1$, $a≠0$.
Soru ortaya çıkıyor, bir sayıyı negatif bir kuvvete yükseltirseniz ne olur? Örneğin, $2^(-2)$ sayısı neye eşit olur?
Bu soruyu soran ilk matematikçiler, tekerleği yeniden icat etmeye değmeyeceğine ve derecelerin tüm özelliklerinin aynı kalmasının iyi olduğuna karar verdiler. Yani aynı tabana sahip üsler çarpılırken üsler toplanır.
Şu durumu ele alalım: $2^3*2^(-3)=2^(3-3)=2^0=1$.
Bu tür sayıların çarpımının birlik vermesi gerektiğini anladık. Çarpımdaki birim, tersleri çarpılarak elde edilir, yani $2^(-3)=\frac(1)(2^3)$.

Böyle bir akıl yürütme aşağıdaki tanıma yol açtı.
Tanım. Eğer $n$ doğal sayı ve $а≠0$, o zaman aşağıdaki eşitlik geçerlidir: $a^(-n)=\frac(1)(a^n)$.

Sıklıkla kullanılan önemli bir kimlik: $(\frac(a)(b))^(-n)=(\frac(b)(a))^n$.
Özellikle $(\frac(1)(a))^(-n)=a^n$.

Çözüm örnekleri

örnek 1
Hesapla: $2^(-3)+(\frac(2)(5))^(-2)-8^(-1)$.

Çözüm.
Her terimi ayrı ayrı ele alalım.
1. $2^(-3)=\frac(1)(2^3)=\frac(1)(2*2*2)=\frac(1)(8)$.
2. $(\frac(2)(5))^(-2)=(\frac(5)(2))^2=\frac(5^2)(2^2)=\frac(25) (4) $.
3. $8^(-1)=\frac(1)(8)$.
Geriye toplama ve çıkarma işlemlerini yapmak kalıyor: $\frac(1)(8)+\frac(25)(4)-\frac(1)(8)=\frac(25)(4)=6\frac( 1) (4)$.
Yanıt: $6\frac(1)(4)$.

Örnek 2
Verilen sayıyı bir asal sayının üssü olarak ifade edin $\frac(1)(729)$.

Çözüm.
Açıkçası $\frac(1)(729)=729^(-1)$.
Ancak 729, 9 ile biten bir asal sayı değildir. Bu sayının üçün katı olduğunu varsayabiliriz. 729'u sırayla 3'e bölelim.
1) $\frac(729)(3)=243$;
2) $\frac(243)(3)=81$;
3) $\frac(81)(3)=27$;
4) $\frac(27)(3)=9$;
5) $\frac(9)(3)=3$;
6) $\frac(3)(3)=1$.
Altı işlem tamamlandı, bunun anlamı: $729=3^6$.
Görevimiz için:
$729^{-1}=(3^6)^{-1}=3^{-6}$.
Cevap: $3^(-6)$.

Örnek 3. İfadeyi bir kuvvet olarak ifade edin: $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1))$.
Çözüm. İlk işlem her zaman parantez içinde yapılır, ardından çarpma $\frac(a^6*(a^(-5))^2)((a^(-3)*a^8)^(-1)) )=\frac (a^6*a^(-10))((a^5)^(-1))=\frac(a^((-4)))(a^((-5)) )=a^ (-4-(-5))=a^(-4+5)=a$.
Cevap: $a$.

Örnek 4. Kimliği kanıtlayın:
$(\frac(y^2 (xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)*\frac(y^2(x^(-2) )+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))):\frac(1-x^(-1) y)(xy^(-1) )+1)=\frac(x-y)(x+y)$.

Çözüm.
Sol tarafta, parantez içindeki her faktörü ayrı ayrı ele alın.
1. $\frac(y^2(xy^(-1)-1)^2)(x(1+x^(-1)y)^2)=\frac(y^2(\frac(x) )(y)-1)^2)(x(1+\frac(y)(x))^2) =\frac(y^2(\frac(x^2)(y^2)-2\ frac(x)(y)+1)(x(1+2\frac(y)(x)+\frac(y^2)(x^2)))=\frac(x^2-2xy+ y ^2)(x+2y+\frac(y^2)(x))=\frac(x^2-2xy+y^2)(\frac(x^2+2xy+y^2)(x) ) =\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))$.
2. $\frac(y^2(x^(-2)+y^(-2)))(x(xy^(-1)+x^(-1)y))=\frac(y^ 2(\frac(1)(x^2)+\frac(1)(y^2)))(x(\frac(x)(y)+\frac(y)(x))) =\frac (\frac(y^2)(x^2)+1)(\frac(x^2)(y)+y)=\frac(\frac(y^2+x^2)(x^2) )((\frac(x^2+y^2)(y)))=\frac(y^2+x^2)(x^2) *\frac(y)(x^2+y^2) )=\frac(y)(x^2)$.
3. $\frac(x(x^2-2xy+y^2))((x^2+2xy+y^2))*\frac(y)(x^2)=\frac(y(x) ^2-2xy+y^2)(x(x^2+2xy+y^2))=\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2)$.
4. Böldüğümüz kesre geçelim.
$\frac(1-x^(-1)y)(xy^(-1)+1)=\frac(1-\frac(y)(x))(\frac(x)(y)+1 )=\frac(\frac(x-y)(x))(\frac(x+y)(y))=\frac(x-y)(x)*\frac(y)(x+y)=\frac( y(x-y)(x(x+y))$.
5. Bölme işlemini yapalım.
$\frac(y(x-y)^2)(x(x+y)^2):\frac(y(x-y))(x(x+y))=\frac(y(x-y)^2)( x(x+y)^2)*\frac(x(x+y))(y(x-y))=\frac(x-y)(x+y)$.
Kanıtlanması gereken doğru kimliği elde ettik.

Dersin sonunda yine dereceli hareketlerin kurallarını yazacağız, burada üs bir tamsayıdır.
$a^s*a^t=a^(s+t)$.
$\frac(a^s)(a^t)=a^(s-t)$.
$(a^s)^t=a^(st)$.
$(ab)^s=a^s*b^s$.
$(\frac(a)(b))^s=\frac(a^s)(b^s)$.

Bağımsız çözüm için görevler

1. Hesaplayın: $3^(-2)+(\frac(3)(4))^(-3)+9^(-1)$.
2. Verilen sayıyı $\frac(1)(16384)$ asal sayının kuvveti olarak temsil edin.
3. İfadeyi derece olarak ifade edin:
$\frac(b^(-8)*(b^3)^(-4))((b^2*b^(-7))^3)$.
4. Kimliği kanıtlayın:
$(\frac(b^(-m)-c^(-m))(b^(-m)+c^(-m))+\frac(b^(-m)+c^(-m) )(c^(-m)-b^(-m)))=\frac(4)(b^m c^(-m)-b^(-m)c^m) $.

Cebirdeki ve aslında tüm matematiğin temel özelliklerinden biri derecedir. Elbette 21. yüzyılda tüm hesaplamalar çevrimiçi bir hesap makinesinde yapılabilir, ancak beyin gelişimi için bunu kendi başınıza yapmayı öğrenmek daha iyidir.

Bu yazıda en çok bakacağız önemli sorular bu tanımla ilgili. Yani genel olarak ne olduğunu ve ana işlevlerinin neler olduğunu, matematikte hangi özelliklerin var olduğunu anlayacağız.

Hesaplamanın neye benzediğine, temel formüllerin neler olduğuna dair örneklere bakalım. Ana nicelik türlerini ve bunların diğer işlevlerden nasıl farklı olduklarını inceleyeceğiz.

Bu değeri kullanarak çeşitli problemlerin nasıl çözüleceğini anlayacağız. Sıfır dereceye nasıl yükseltilir, irrasyonel, negatif vb. örneklerle göstereceğiz.

Çevrimiçi üs hesaplayıcı

bir sayının derecesi nedir

"Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek" ifadesiyle ne anlatılmak istenmektedir?

Bir a sayısının derecesi n, art arda n kez büyüklük faktörlerinin çarpımıdır.

Matematiksel olarak şöyle görünür:

bir n = bir * bir * bir * …bir n .

Örneğin:

• Üçüncü adımda 2 3 = 2. = 2 * 2 * 2 = 8;
• 4 2 = 4 adımda. iki = 4 * 4 = 16;
• 5 4 = 5 adımda. dört = 5 * 5 * 5 * 5 = 625;
• 10 5 \u003d 5 adımda 10. = 10 * 10 * 10 * 10 * 10 = 100000;
• 10 4 \u003d 4 adımda 10. = 10 * 10 * 10 * 10 = 10000.

Aşağıda 1'den 10'a kadar bir kareler ve küpler tablosu bulunmaktadır.

1'den 10'a kadar derece tablosu

Aşağıda, doğal sayıları pozitif güçlere - "1'den 100'e" yükseltmenin sonuçları verilmiştir.

Ch-lo	2. sınıf	3. sınıf
1	1	1
2	4	8
3	9	27
4	16	64
5	25	125
6	36	216
7	49	343
8	64	512
9	81	279
10	100	1000

Derece özellikleri

Böyle bir matematiksel fonksiyonun özelliği nedir? Temel özelliklere bakalım.

Bilim adamları aşağıdakileri belirlediler: tüm derecelerin karakteristik özellikleri:

• bir n * bir m = (bir) (n+m) ;
• bir n: bir m = (a) (n-m) ;
• (a b) m =(a) (b*m) .

Örneklerle kontrol edelim:

2 3 * 2 2 = 8 * 4 = 32. Öte yandan 2 5 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32.

Benzer şekilde: 2 3: 2 2 = 8 / 4 = 2. Aksi takdirde 2 3-2 = 2 1 =2.

(2 3) 2 = 8 2 = 64. Ya farklıysa? 2 6 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 32 * 2 = 64.

Gördüğünüz gibi kurallar işe yarıyor.

Ama nasıl olunur toplama ve çıkarma ile? Her şey basit. Önce üs alma, sonra toplama ve çıkarma yapılır.

Örneklere bakalım:

• 3 3 + 2 4 = 27 + 16 = 43;
• 5 2 - 3 2 = 25 - 9 = 16

Ancak bu durumda, parantez içinde işlemler olduğundan, önce toplamayı hesaplamanız gerekir: (5 + 3) 3 = 8 3 = 512.

nasıl üretilir daha fazla bilgi işlem zor vakalar ? Sıra aynı:

• parantez varsa, onlarla başlamanız gerekir;
• sonra üs alma;
• daha sonra çarpma, bölme işlemlerini gerçekleştirin;
• toplamadan sonra, çıkarma.

Tüm derecelerin özelliği olmayan belirli özellikler vardır:

1. a sayısından m derecesine kadar olan n'inci derecenin kökü şu şekilde yazılacaktır: a m / n .
2. Bir kesri bir güce yükseltirken: hem pay hem de payda bu prosedüre tabidir.
3. Farklı sayıların çarpımını bir güce yükseltirken, ifade bu sayıların çarpımına belirli bir güce karşılık gelecektir. Yani: (a * b) n = bir n * b n .
4. Bir sayıyı negatif güce yükseltirken, aynı adımda 1'i bir sayıya "+" işaretiyle bölmeniz gerekir.
5. Bir kesrin paydası negatif bir kuvvetteyse, bu ifade payın ve paydanın pozitif bir kuvvetle çarpımına eşit olacaktır.
6. Herhangi bir sayının üssü 0 = 1 ve üzeri adım. 1 = kendisine.

Bu kurallar bireysel durumlarda önemlidir, bunları aşağıda daha ayrıntılı olarak ele alacağız.

Negatif üslü derece

Negatif bir derece ile, yani gösterge negatif olduğunda ne yapılmalı?

4 ve 5 özelliklerine göre(yukarıdaki noktaya bakın) ortaya çıktı:

A (- n) \u003d 1 / A n, 5 (-2) \u003d 1/5 2 \u003d 1/25.

Ve tersi:

1 / A (- n) \u003d Bir n, 1 / 2 (-3) \u003d 2 3 \u003d 8.

Ya bir kesir ise?

(A / B) (- n) = (B / A) n , (3 / 5) (-2) = (5 / 3) 2 = 25 / 9.

Doğal göstergeli derece

Üsleri tam sayılara eşit olan bir derece olarak anlaşılır.

Hatırlanacak şeyler:

0 = 1, 1 0 = 1; 2 0 = 1; 3,15 0 = 1; (-4) 0 = 1…vb.

bir 1 = bir, 1 1 = 1; 2 1 = 2; 3 1 = 3…vb.

Ayrıca (-a) 2 n +2 , n=0, 1, 2… ise sonuç “+” işaretli olacaktır. Negatif bir sayı tek kuvvete yükseltilirse, bunun tersi de geçerlidir.

Genel özellikler ve yukarıda açıklanan tüm spesifik özellikler de bunların karakteristik özelliğidir.

kesirli derece

Bu görünüm bir şema olarak yazılabilir: A m / n. A sayısının n'inci derecesinin kökü üzeri m olarak okunur.

Kesirli bir gösterge ile her şeyi yapabilirsiniz: azaltın, parçalara ayırın, başka bir dereceye yükseltin, vb.

İrrasyonel üslü derece

α irrasyonel bir sayı ve А ˃ 0 olsun.

Derecenin özünü böyle bir gösterge ile anlamak için, Farklı olası durumlara bakalım:

• A \u003d 1. Sonuç 1'e eşit olacaktır. Bir aksiyom olduğu için - 1 tüm güçlerde bire eşittir;

Ar 1 ˂ Bir α ˂ Bir r 2 , r 1 ˂ r 2 – rasyonel sayılar;

• 0˂А˂1.

Bu durumda tam tersi: А r 2 ˂ А α ˂ А r 1, ikinci paragraftaki aynı koşullar altında.

Örneğin, üs π sayısıdır. Rasyoneldir.

r 1 - bu durumda 3'e eşittir;

r 2 - 4'e eşit olacaktır.

O zaman, A = 1 için 1 π = 1.

A = 2, sonra 2 3 ˂ 2 π ˂ 2 4 , 8 ˂ 2 π ˂ 16.

A = 1/2, sonra (½) 4 ˂ (½) π ˂ (½) 3 , 1/16 ˂ (½) π ˂ 1/8.

Bu tür dereceler, yukarıda açıklanan tüm matematiksel işlemler ve belirli özellikler ile karakterize edilir.

Çözüm

Özetleyelim - bu değerler ne için, bu tür işlevlerin avantajları nelerdir? Elbette her şeyden önce, hesaplamaları en aza indirmeye, algoritmaları azaltmaya, verileri sistematikleştirmeye ve çok daha fazlasına izin verdiği için örnekleri çözerken matematikçilerin ve programcıların hayatlarını kolaylaştırırlar.

Bu bilgi başka nerede yararlı olabilir? Herhangi bir uzmanlık alanında: tıp, farmakoloji, diş hekimliği, inşaat, teknoloji, mühendislik, tasarım vb.

İlk seviye

Derece ve özellikleri. Kapsamlı rehber (2019)

Derecelere neden ihtiyaç duyulur? Onlara nerede ihtiyacınız var? Onları incelemek için neden zaman ayırmanız gerekiyor?

Dereceler hakkında her şeyi, ne işe yaradıklarını, bilginizi nasıl kullanacağınızı öğrenmek için Gündelik Yaşam bu makaleyi okuyun.

Ve tabii ki, dereceleri bilmek sizi OGE'yi veya Birleşik Devlet Sınavını başarıyla geçmeye ve hayallerinizdeki üniversiteye girmeye yaklaştıracaktır.

Hadi gidelim, hadi gidelim!)

Önemli Not! Formüller yerine anlamsız sözler görürseniz, önbelleğinizi temizleyin. Bunu yapmak için CTRL+F5 (Windows'ta) veya Cmd+R (Mac'te) tuşlarına basın.

İLK SEVİYE

Üs alma, toplama, çıkarma, çarpma veya bölme ile aynı matematiksel işlemdir.

Şimdi her şeyi açıklayacağım insan diliçok basit örnekler. Dikkat olmak. Örnekler temeldir, ancak önemli şeyleri açıklar.

Ekleyerek başlayalım.

Burada açıklanacak bir şey yok. Zaten her şeyi biliyorsunuz: sekiz kişiyiz. Her birinde iki şişe kola var. Kola ne kadar? Bu doğru - 16 şişe.

Şimdi çarpma.

Kola ile aynı örnek farklı bir şekilde yazılabilir: . Matematikçiler kurnaz ve tembel insanlardır. Önce bazı kalıpları fark ederler ve sonra onları daha hızlı "saymanın" bir yolunu bulurlar. Bizim durumumuzda, sekiz kişiden her birinin aynı sayıda kola şişesine sahip olduğunu fark ettiler ve çarpma adı verilen bir teknik buldular. Katılıyorum, daha kolay ve daha hızlı kabul edilir.

Bu nedenle, daha hızlı, daha kolay ve hatasız saymak için, sadece hatırlamanız gerekir çarpım tablosu. Elbette her şeyi daha yavaş, daha zor ve hatalarla yapabilirsiniz! Ancak…

İşte çarpım tablosu. Tekrarlamak.

Ve bir diğeri, daha güzeli:

Ve tembel matematikçiler başka hangi hileli sayma numaralarını buldular? Sağ - bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek.

Bir sayıyı bir kuvvete yükseltmek

Bir sayıyı kendisiyle beş kez çarpmanız gerekiyorsa, matematikçiler bu sayıyı beşinci güce yükseltmeniz gerektiğini söylüyor. Örneğin, . Matematikçiler 2 üzeri 5 olduğunu hatırlarlar. Ve bu tür sorunları akıllarında çözerler - daha hızlı, daha kolay ve hatasız.

Bunu yapmak için, sadece ihtiyacınız var sayıların kuvvetleri tablosunda neyin renkle vurgulandığını hatırlayın. İnanın hayatınızı çok kolaylaştıracak.

Bu arada, neden ikinci derece denir kare sayılar ve üçüncü küp? Bu ne anlama geliyor? Çok iyi bir soru. Artık hem karelere hem de küplere sahip olacaksınız.

Gerçek hayat örneği #1

Bir sayının karesi veya ikinci kuvveti ile başlayalım.

Metrelerce ölçülen kare bir havuz hayal edin. Havuz arka bahçenizde. Hava sıcak ve ben gerçekten yüzmek istiyorum. Ama ... dipsiz bir havuz! Havuzun dibinin fayans ile kaplanması gerekmektedir. Kaç fayansa ihtiyacınız var? Bunu belirlemek için havuzun taban alanını bilmeniz gerekir.

Havuzun dibinin metre metre küplerden oluştuğunu parmağınızı dürterek kolayca sayabilirsiniz. Fayanslarınız metre metre ise parçalara ihtiyacınız olacaktır. Kolay... Ama böyle bir karoyu nerede gördün? Döşeme daha çok cm cm olacak ve sonra "parmağınızla sayarak" eziyet edeceksiniz. O zaman çoğaltmalısın. Böylece havuzun tabanının bir tarafına fayans (parçalar), diğer tarafına da fayans yerleştireceğiz. İle çarparak, fayans () elde edersiniz.

Havuzun taban alanını belirlemek için aynı sayıyı kendisiyle çarptığımızı fark ettiniz mi? Bu ne anlama geliyor? Aynı sayı çarpıldığı için üs alma tekniğini kullanabiliriz. (Elbette, yalnızca iki sayınız olduğunda, yine de bunları çarpmanız veya bir kuvvete yükseltmeniz gerekir. Ancak, çok sayıda sayıya sahipseniz, o zaman bir kuvvete yükseltmek çok daha kolaydır ve ayrıca hesaplamalarda daha az hata olur. . Sınav için bu çok önemlidir).
Yani, otuz üzeri ikinci derece () olacaktır. Ya da otuz kare olacak diyebilirsiniz. Başka bir deyişle, bir sayının ikinci kuvveti her zaman kare olarak gösterilebilir. Ve tam tersi, eğer bir kare görürseniz, bu HER ZAMAN bir sayının ikinci kuvvetidir. Kare, bir sayının ikinci kuvvetinin görüntüsüdür.

Gerçek hayattan örnek #2

İşte size bir görev, sayının karesini kullanarak satranç tahtasında kaç kare olduğunu sayın ... Hücrelerin bir tarafında ve diğer tarafında da. Sayılarını saymak için sekizi sekizle çarpmanız gerekir veya ... bir satranç tahtasının bir kenarı olan bir kare olduğunu fark ederseniz, o zaman sekizin karesini alabilirsiniz. Hücreleri al. () Bu yüzden?

Gerçek hayattan örnek #3

Şimdi bir sayının küpü veya üçüncü kuvveti. Aynı havuz. Ama şimdi bu havuza ne kadar su dökülmesi gerektiğini öğrenmeniz gerekiyor. Hacmi hesaplamanız gerekir. (Bu arada hacimler ve sıvılar metreküple ölçülür. Beklenmedik, değil mi?) Bir metre büyüklüğünde ve bir metre derinliğinde bir havuz çizin ve bir metreye bir metre ölçüsündeki kaç küpün havuzunuza gireceğini hesaplamaya çalışın. havuz.

Sadece parmağınızı doğrultun ve sayın! Bir, iki, üç, dört... yirmi iki, yirmi üç... Ne kadar oldu? Kaybolmadın mı? Parmağınızla saymak zor mu? Böylece! Matematikçilerden bir örnek alın. Tembeller, bu yüzden havuzun hacmini hesaplamak için uzunluğunu, genişliğini ve yüksekliğini birbiriyle çarpmanız gerektiğini fark ettiler. Bizim durumumuzda havuzun hacmi küplere eşit olacak ... Daha kolay, değil mi?

Şimdi matematikçilerin bunu çok kolaylaştırdıklarında ne kadar tembel ve kurnaz olduklarını hayal edin. Her şeyi tek bir eyleme indirgedi. Uzunluk, genişlik ve yüksekliğin eşit olduğunu ve aynı sayının kendisiyle çarpıldığını fark ettiler ... Peki bu ne anlama geliyor? Bu, dereceyi kullanabileceğiniz anlamına gelir. Yani, bir zamanlar parmağınızla saydığınız şeyi tek bir hareketle yapıyorlar: bir küpte üç eşittir. Şöyle yazılır:

sadece kalır derece tablosunu ezberle. Tabii matematikçiler kadar tembel ve kurnaz değilseniz. Çok çalışmayı ve hata yapmayı seviyorsanız parmağınızla saymaya devam edebilirsiniz.

Sonunda sizi derecelerin aylaklar ve kurnaz insanlar tarafından icat edildiğine ikna etmek için hayat problemleri ve sizin için sorun yaratmamak için, işte hayattan birkaç örnek daha.

Gerçek hayattan örnek #4

Bir milyon rublen var. Her yılın başında, her milyon için bir milyon daha kazanırsınız. Yani, her yılın başında milyonunuz ikiye katlanıyor. Yıllar içinde ne kadar paran olacak? Şimdi oturuyorsanız ve "parmağınızla sayıyorsanız", o zaman çok çalışkan bir insansınız ve .. aptalsınız. Ama büyük olasılıkla birkaç saniye içinde cevap vereceksin, çünkü sen akıllısın! Yani, ilk yılda - iki kere iki ... ikinci yılda - üçüncü yılda iki kez daha ne oldu ... Dur! Sayının kendisiyle bir kez çarpıldığını fark ettiniz. Yani ikinin beşinci kuvveti bir milyondur! Şimdi bir yarışmanız olduğunu ve daha hızlı hesap yapanın bu milyonları alacağını hayal edin ... Sayıların derecelerini hatırlamaya değer mi, ne düşünüyorsunuz?

Gerçek hayat örneği #5

Bir milyonun var. Her yılın başında, her milyon için iki tane daha kazanırsınız. Harika değil mi? Her milyon üç katına çıkar. Bir yılda ne kadar paran olacak? Hadi sayalım. İlk yıl - ile çarpın, ardından sonucu bir başkasıyla çarpın ... Zaten sıkıcı, çünkü zaten her şeyi anladınız: üç, kendisiyle çarpılır. Yani dördüncü kuvvet bir milyondur. Üçün dördüncü kuvvetinin veya olduğunu hatırlamanız yeterli.

Artık bir sayıyı bir kuvvete yükselterek hayatınızı çok daha kolaylaştıracağınızı biliyorsunuz. Derecelerle neler yapabileceğinize ve bunlar hakkında bilmeniz gerekenlere daha ayrıntılı bir göz atalım.

Terimler ve kavramlar ... kafa karıştırmamak için

O halde önce kavramları tanımlayalım. Ne düşünüyorsun, üs nedir? Çok basit - bu, sayının gücünün "en üstünde" olan sayıdır. Bilimsel değil ama net ve akılda kalıcı...

Peki, aynı zamanda, ne böyle bir derece tabanı? Altta, tabanda olan sayı daha da basit.

İşte emin olmanız için bir resim.

Peki ve içinde Genel görünüm genellemek ve daha iyi hatırlamak için... Tabanı "" ve üssü "" olan bir derece, "dereceye" şeklinde okunur ve şöyle yazılır:

Doğal üslü bir sayının kuvveti

Muhtemelen zaten tahmin etmişsinizdir: çünkü üs bir doğal sayıdır. evet ama ne doğal sayı? İlköğretim! Doğal sayılar, öğeleri listelerken saymada kullanılanlardır: bir, iki, üç ... Öğeleri sayarken “eksi beş”, “eksi altı”, “eksi yedi” demeyiz. "Üçte bir" veya "onda sıfır virgül beş" de demiyoruz. Bunlar doğal sayılar değil. Sizce bu rakamlar nedir?

"Eksi beş", "eksi altı", "eksi yedi" gibi sayılar, bütün sayılar. Genel olarak, tamsayılar tüm doğal sayıları, doğal sayıların karşısındaki sayıları (yani eksi işaretiyle alınır) ve bir sayıyı içerir. Sıfırın anlaşılması kolaydır - bu, hiçbir şeyin olmadığı zamandır. Negatif ("eksi") sayılar ne anlama geliyor? Ancak öncelikle borçları belirtmek için icat edildiler: telefonunuzda ruble cinsinden bir bakiyeniz varsa, bu, operatöre ruble borçlu olduğunuz anlamına gelir.

Tüm kesirler rasyonel sayılardır. Nasıl ortaya çıktılar, sence? Çok basit. Birkaç bin yıl önce atalarımız uzunluk, ağırlık, alan vb. ölçmek için yeterli doğal sayıya sahip olmadıklarını keşfettiler. Ve ortaya çıktılar rasyonel sayılar… İlginç, değil mi?

İrrasyonel sayılar da vardır. Bu sayılar nelerdir? Kısacası, sonsuz bir ondalık kesir. Örneğin bir çemberin çevresini çapına bölerseniz irrasyonel bir sayı elde edersiniz.

Özet:

Üssü doğal sayı (yani tamsayı ve pozitif) olan derece kavramını tanımlayalım.

1. Herhangi bir sayının birinci kuvveti kendisine eşittir:
2. Bir sayının karesini almak, onu kendisiyle çarpmaktır:
3. Bir sayının küpünü almak, onu kendisiyle üç kez çarpmaktır:

Tanım. Bir sayıyı doğal bir kuvvete yükseltmek, sayıyı kendisiyle çarpmaktır:
.

Derece özellikleri

Bu özellikler nereden geldi? Şimdi sana göstereceğim.

bakalım neymiş Ve ?

A-rahip:

Toplamda kaç tane çarpan var?

Çok basit: faktörlere faktörler ekledik ve sonuç faktörlerdir.

Ancak tanım gereği bu, ispatlanması gereken üslü bir sayının derecesidir, yani: .

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm:

Örnek: Ifadeyi basitleştir.

Çözüm: Kurallarımızda dikkat etmek önemlidir. zorunlu olarak aynı sebep olmalı!
Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyoruz:

sadece güç ürünleri için!

Hiçbir koşulda bunu yazmamalısın.

2. yani bir sayının -inci kuvveti

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

İfadenin kendisiyle bir kez çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Aslında buna "göstergeyi parantez içine almak" da denilebilir. Ancak bunu asla toplamda yapamazsınız:

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: kaç kez yazmak istedik?

Ama bu doğru değil, gerçekten.

Negatif tabanlı derece

Bu noktaya kadar sadece üssün ne olması gerektiğini tartıştık.

Ama temel ne olmalı?

derece cinsinden doğal gösterge temeli olabilir herhangi bir numara. Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbirimizle çarpabiliriz.

Hangi işaretlerin (" " veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi negatif mi olacak? A? ? Birincisi ile her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım, sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. Sonuçta, 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi çarpı eksi artı verir." Yani, veya. Ama ile çarparsak, çıkıyor.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1)	2)	3)
4)	5)	6)

Becerebildin mi?

İşte cevaplar: İlk dört örnekte, umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

Örnek 5'te), her şey göründüğü kadar korkutucu değil: tabanın neye eşit olduğu önemli değil - derece eşittir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir.

Pekala, tabanın sıfır olduğu durumlar dışında. Taban aynı değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil!

6 uygulama örneği

Çözümün analizi 6 örnek

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görürüz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkı! Biz:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama yanlış olan ne? Yanlış terim sırası. Değiştirilirlerse, kural geçerli olabilir.

Ama bu nasıl yapılır? Görünüşe göre çok kolay: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz.

Ancak şunları hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

tüm doğal sayıları, karşıtlarını (yani "" işaretiyle alınmış) ve sayıyı adlandırırız.

pozitif tamsayı, ve doğaldan farklı değil, o zaman her şey tam olarak önceki bölümdeki gibi görünüyor.

Şimdi yeni vakalara bakalım. Eşit bir gösterge ile başlayalım.

Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir:

Her zaman olduğu gibi kendimize soruyoruz: bu neden böyle?

Tabanı olan bir miktar güç düşünün. Örneğin, alın ve şununla çarpın:

Böylece, sayıyı ile çarptık ve - ile aynı şeyi elde ettik. Hiçbir şeyin değişmemesi için hangi sayı ile çarpılmalıdır? Bu doğru, açık. Araç.

Aynısını keyfi bir sayı ile yapabiliriz:

Kuralı tekrar edelim:

Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir.

Ancak birçok kuralın istisnaları vardır. Ve burada da var - bu bir sayıdır (temel olarak).

Bir yandan, herhangi bir dereceye eşit olmalıdır - sıfırı kendisiyle ne kadar çarparsanız çarpın, yine de sıfır elde edersiniz, bu açıktır. Ancak öte yandan, herhangi bir sayı gibi sıfıra eşit olması gerekir. Peki bunun gerçeği nedir? Matematikçiler karışmamaya karar verdiler ve sıfırın sıfırıncı kuvvetini yükseltmeyi reddettiler. Yani, şimdi sadece sıfıra bölmekle kalmıyor, aynı zamanda onu sıfırıncı kuvvete de yükseltebiliyoruz.

Daha ileri gidelim. Doğal sayılara ve sayılara ek olarak, tamsayılar negatif sayıları da içerir. Negatif derecenin ne olduğunu anlamak için, geçen seferki gibi yapalım: bazı normal sayıları aynı negatif derece ile çarpıyoruz:

Buradan isteneni ifade etmek zaten kolaydır:

Şimdi ortaya çıkan kuralı keyfi bir dereceye kadar genişletiyoruz:

Öyleyse, kuralı formüle edelim:

Bir sayının negatif kuvveti, aynı sayının pozitif kuvvetinin tersidir. Ama aynı zamanda taban boş olamaz:(çünkü bölmek imkansızdır).

Özetleyelim:

I. İfade, durumda tanımlanmamıştır. Eğer öyleyse.

II. Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti bire eşittir: .

III. Sıfırın negatif kuvvetine eşit olmayan bir sayı, aynı sayının pozitif kuvvetin tersidir: .

Bağımsız çözüm için görevler:

Her zamanki gibi, bağımsız bir çözüm için örnekler:

Bağımsız çözüm için görevlerin analizi:

Biliyorum, biliyorum, rakamlar ürkütücü ama sınavda her şeye hazır olmalısınız! Bu örnekleri çözün veya çözemediyseniz çözümlerini analiz edin ve sınavda bunlarla nasıl kolayca başa çıkacağınızı öğreneceksiniz!

Bir üs olarak "uygun" sayı dairesini genişletmeye devam edelim.

Şimdi düşünün rasyonel sayılar. Hangi sayılara rasyonel denir?

Cevap: Kesir olarak temsil edilebilecek her şey, burada ve tam sayılardır.

ne olduğunu anlamak için "kesirli derece" Bir kesri ele alalım:

Denklemin her iki tarafını da bir güce yükseltelim:

Şimdi kuralı hatırla "dereceden dereceye":

Almak için hangi sayının bir kuvvete yükseltilmesi gerekir?

Bu formülasyon, inci derecenin kökünün tanımıdır.

Size hatırlatmama izin verin: bir sayının () inci gücünün kökü, bir güce yükseltildiğinde eşit olan bir sayıdır.

Yani, inci derecenin kökü üs almanın ters işlemidir: .

Şekline dönüştü. Açıkçası, bu özel durum genişletilebilir: .

Şimdi payı ekleyin: bu nedir? Güç-güç kuralıyla yanıt almak kolaydır:

Ancak taban herhangi bir sayı olabilir mi? Sonuçta, kök tüm sayılardan çıkarılamaz.

Hiçbiri!

Kuralı hatırla: çift güce yükseltilen herhangi bir sayı pozitif bir sayıdır. Yani, negatif sayılardan çift dereceli kökler çıkarmak imkansızdır!

Ve bu, bu tür sayıların çift payda ile kesirli bir güce yükseltilemeyeceği anlamına gelir, yani ifade mantıklı değildir.

Peki ya ifade?

Ancak burada bir sorun ortaya çıkıyor.

Sayı, diğer indirgenmiş kesirler olarak temsil edilebilir, örneğin veya.

Ve var olduğu, ancak olmadığı ortaya çıktı ve bunlar aynı sayının sadece iki farklı kaydı.

Veya başka bir örnek: bir kez, sonra yazabilirsiniz. Ancak göstergeyi farklı bir şekilde yazar yazmaz, yine başımız belaya girer: (yani, tamamen farklı bir sonuç elde ettik!).

Bu tür paradokslardan kaçınmak için, kesirli üs ile sadece pozitif baz üs.

Yani eğer:

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Rasyonel üslü üsler, köklü ifadeleri dönüştürmek için çok kullanışlıdır, örneğin:

5 alıştırma örneği

Eğitim için 5 örneğin analizi

Peki, şimdi - en zoru. Şimdi analiz edeceğiz irrasyonel üslü derece.

Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel üslü derecelerle tamamen aynıdır.

Gerçekten de, tanım gereği, irrasyonel sayılar, ve tamsayılar olan bir kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır (yani, irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar dışında tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel göstergeli dereceleri incelerken, her seferinde belirli bir "imaj", "analoji" veya daha tanıdık terimlerle bir açıklama oluşturduk.

Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır;

...sıfır güç- bu, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, yani sayının kendisi henüz görünmemiştir - bu nedenle sonuç yalnızca belirli bir "boş sayı" dır. , yani sayı;

...negatif tamsayı üs- sanki belirli bir "ters işlem" gerçekleşmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üste sahip bir derece kullanır, yani bir üs, gerçek bir sayı bile değildir.

Ama okulda böyle zorluklar düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları anlama fırsatı bulacaksınız.

NEREYE GİDECEĞİNİZDEN EMİN OLDUĞUMUZ YERLER! (bu tür örnekleri nasıl çözeceğinizi öğrenirseniz :))

Örneğin:

Kendin için karar ver:

Çözümlerin analizi:

1. Bir dereceyi bir dereceye yükseltmek için zaten bilinen kuralla başlayalım:

Şimdi skora bakın. Sana bir şey hatırlatıyor mu? Kareler farkının kısaltılmış çarpımı için formülü hatırlıyoruz:

Bu durumda,

Şekline dönüştü:

Cevap: .

2. Üslü kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya her ikisi de ondalık ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz:

Cevap: 16

3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

İLERİ DÜZEY

degree'un tanımı

Derece, formun bir ifadesidir: burada:

• — derece tabanı;
• - üs.

Doğal üslü derece (n = 1, 2, 3,...)

Bir sayıyı n doğal kuvvetine yükseltmek, sayıyı kendisi ile çarpmak anlamına gelir:

Tam sayı üslü güç (0, ±1, ±2,...)

üs ise pozitif tamsayı sayı:

ereksiyon sıfır güce:

İfade belirsizdir, çünkü bir yanda herhangi bir dereceye kadar bu, diğer yanda herhangi bir sayının onuncu dereceye kadar bu olur.

üs ise tamsayı negatif sayı:

(çünkü bölmek imkansızdır).

Boş değerler hakkında bir kez daha: ifade, durumda tanımlı değil. Eğer öyleyse.

Örnekler:

Rasyonel üslü derece

• - doğal sayı;
• bir tamsayıdır;

Örnekler:

Derece özellikleri

Sorunları çözmeyi kolaylaştırmak için anlamaya çalışalım: bu özellikler nereden geldi? Onları kanıtlayalım.

Bakalım: nedir ve?

A-rahip:

Böylece, bu ifadenin sağ tarafında aşağıdaki ürün elde edilir:

Ancak tanım gereği, bu, üssü olan bir sayının kuvvetidir, yani:

Q.E.D.

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : .

Örnek : Ifadeyi basitleştir.

Çözüm : Kuralımıza dikkat etmek önemlidir zorunlu olarak aynı temele sahip olmalıdır. Bu nedenle, dereceleri tabanla birleştiriyoruz, ancak ayrı bir faktör olarak kalıyoruz:

Bir diğer önemli Not: bu kural - sadece güç ürünleri için!

Hiçbir koşulda bunu yazmamalıyım.

Önceki özellikte olduğu gibi, derecenin tanımına dönelim:

Bunu şu şekilde yeniden düzenleyelim:

İfadenin kendisiyle bir kez çarpıldığı, yani tanıma göre bu sayının -inci kuvveti olduğu ortaya çıktı:

Aslında buna "göstergeyi parantez içine almak" da denilebilir. Ama bunu asla toplamda yapamazsınız:!

Kısaltılmış çarpma formüllerini hatırlayalım: kaç kez yazmak istedik? Ama bu doğru değil, gerçekten.

Negatif tabanlı güç.

Buraya kadar sadece ne olması gerektiğini tartıştık. dizin derece. Ama temel ne olmalı? derece cinsinden doğal gösterge temeli olabilir herhangi bir numara .

Aslında, pozitif, negatif veya çift olsun, herhangi bir sayıyı birbirimizle çarpabiliriz. Hangi işaretlerin (" " veya "") pozitif ve negatif sayıların derecelerine sahip olacağını düşünelim?

Örneğin, sayı pozitif mi negatif mi olacak? A? ?

Birincisi ile her şey açık: Ne kadar pozitif sayıyı birbirimizle çarparsak çarpalım, sonuç pozitif olacaktır.

Ancak olumsuz olanlar biraz daha ilginç. Sonuçta, 6. sınıftan basit bir kuralı hatırlıyoruz: "eksi çarpı eksi artı verir." Yani, veya. Ancak () ile çarparsak, - elde ederiz.

Ve böylece sonsuza kadar: sonraki her çarpmada işaret değişecektir. Bu basit kuralları formüle edebilirsiniz:

1. eşit derece, - sayı pozitif.
2. Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
3. Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif bir sayıdır.
4. Sıfırın herhangi bir kuvveti sıfıra eşittir.

Aşağıdaki ifadelerin hangi işarete sahip olacağını kendiniz belirleyin:

1.	2.	3.
4.	5.	6.

Becerebildin mi? İşte cevaplar:

1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

İlk dört örnekte umarım her şey açıktır? Sadece tabana ve üsse bakarız ve uygun kuralı uygularız.

Örnek 5'te), her şey göründüğü kadar korkutucu değil: tabanın neye eşit olduğu önemli değil - derece eşittir, bu da sonucun her zaman pozitif olacağı anlamına gelir. Pekala, tabanın sıfır olduğu durumlar dışında. Taban aynı değil, değil mi? Açıkçası hayır, çünkü (çünkü).

Örnek 6) artık o kadar basit değil. Burada hangisinin daha az olduğunu bulmanız gerekiyor: veya? Bunu hatırlarsak, temelin şu anlama geldiği anlaşılır. Sıfırdan daha az. Yani 2. kuralı uyguluyoruz: sonuç negatif olacak.

Ve yine derece tanımını kullanıyoruz:

Her şey her zamanki gibi - derecelerin tanımını yazıp bunları birbirine böleriz, çiftlere böleriz ve şunu elde ederiz:

Son kuralı analiz etmeden önce, birkaç örnek çözelim.

İfadelerin değerlerini hesaplayın:

Çözümler :

Sekizinci dereceye dikkat etmezsek burada ne görürüz? 7. sınıf programına bir göz atalım. Hatırla? Bu kısaltılmış çarpma formülü, yani kareler farkı!

Biz:

Paydaya dikkatlice bakıyoruz. Pay faktörlerinden birine çok benziyor, ama yanlış olan ne? Yanlış terim sırası. Ters olsaydı 3. kural uygulanabilirdi ama bu nasıl yapılır? Görünüşe göre çok kolay: paydanın eşit derecesi burada bize yardımcı oluyor.

ile çarparsan bir şey değişmez değil mi? Ama şimdi şöyle görünüyor:

Terimler sihirli bir şekilde yer değiştirdi. Bu "fenomen" herhangi bir ifade için eşit derecede geçerlidir: parantez içindeki işaretleri serbestçe değiştirebiliriz. Ancak şunları hatırlamak önemlidir: tüm işaretler aynı anda değişir! Bize göre sakıncalı olan tek bir eksi değiştirilerek değiştirilemez!

Örneğe geri dönelim:

Ve yine formül:

Şimdi son kural:

Bunu nasıl kanıtlayacağız? Elbette, her zamanki gibi: derece kavramını genişletelim ve basitleştirelim:

Şimdi parantezleri açalım. Kaç harf olacak? çarpanlara göre çarpı - neye benziyor? Bu, bir operasyonun tanımından başka bir şey değildir. çarpma işlemi: toplam çarpan olduğu ortaya çıktı. Yani, tanım gereği, üslü bir sayının kuvvetidir:

Örnek:

İrrasyonel üslü derece

Ortalama seviye için dereceler hakkındaki bilgilere ek olarak, dereceyi irrasyonel bir gösterge ile analiz edeceğiz. Buradaki derecelerin tüm kuralları ve özellikleri, rasyonel bir üste sahip bir derece ile tamamen aynıdır, istisna dışında - sonuçta, tanım gereği, irrasyonel sayılar kesir olarak temsil edilemeyen sayılardır, burada ve tam sayılardır (yani , irrasyonel sayılar, rasyonel olanlar dışındaki tüm gerçek sayılardır).

Doğal, tamsayılı ve rasyonel göstergeli dereceleri incelerken, her seferinde belirli bir "imaj", "analoji" veya daha tanıdık terimlerle bir açıklama oluşturduk. Örneğin, doğal bir üs, kendisiyle birkaç kez çarpılan bir sayıdır; sıfır dereceye kadar bir sayı, olduğu gibi, kendisiyle bir kez çarpılmış bir sayıdır, yani henüz çarpılmaya başlamamıştır, bu, sayının kendisinin henüz görünmediği anlamına gelir - bu nedenle, sonuç yalnızca bir belirli bir "sayı hazırlama", yani bir sayı; tamsayı negatif göstergeli bir derece - sanki belirli bir "ters işlem" gerçekleşmiş, yani sayı kendisiyle çarpılmamış, bölünmüş gibi.

Üssü irrasyonel olan bir dereceyi hayal etmek son derece zordur (tıpkı 4 boyutlu bir uzayı hayal etmenin zor olması gibi). Aksine, matematikçilerin derece kavramını tüm sayılar uzayına genişletmek için yarattıkları tamamen matematiksel bir nesnedir.

Bu arada, bilim genellikle karmaşık bir üste sahip bir derece kullanır, yani bir üs, gerçek bir sayı bile değildir. Ama okulda böyle zorluklar düşünmüyoruz, enstitüde bu yeni kavramları anlama fırsatı bulacaksınız.

Peki irrasyonel bir üs görürsek ne yaparız? Ondan kurtulmak için elimizden geleni yapıyoruz! :)

Örneğin:

Kendin için karar ver:

1)

2)

3)

Yanıtlar:

1. Kareler formülünün farkını hatırlayın. Cevap: .
2. Kesirleri aynı forma getiriyoruz: ya her iki ondalık sayı ya da her ikisi de sıradan. Örneğin şunu elde ederiz: .
3. Özel bir şey yok, derecelerin olağan özelliklerini uyguluyoruz:

BÖLÜM ÖZETİ VE TEMEL FORMÜL

Derece formunun bir ifadesi olarak adlandırılır, burada:

tam sayı üslü derece

üssü doğal bir sayı olan derece (yani tam sayı ve pozitif).

Rasyonel üslü derece

göstergesi negatif ve kesirli sayılar olan derece.

İrrasyonel üslü derece

üssü sonsuz bir ondalık kesir veya kök olan üs.

Derece özellikleri

Derecelerin özellikleri.

• Negatif sayı yükseltildi eşit derece, - sayı pozitif.
• Negatif sayı yükseltildi garip derece, - sayı olumsuz.
• Pozitif bir sayının herhangi bir kuvveti pozitif bir sayıdır.
• Sıfır herhangi bir güce eşittir.
• Herhangi bir sayının sıfırıncı kuvveti eşittir.

ŞİMDİ BİR SÖZÜNÜZ VAR...

Makaleyi nasıl buldun? Aşağıdaki yorumlarda beğenip beğenmediğinizi bana bildirin.

Bize güç özellikleriyle ilgili deneyiminizden bahsedin.

Belki de sorularınız var. Veya öneriler.

Yorumlara yazın.

Ve sınavlarınızda bol şans!

Bu materyal çerçevesinde, bir sayının kuvvetinin ne olduğunu analiz edeceğiz. Temel tanımlara ek olarak, doğal, tamsayılı, rasyonel ve irrasyonel üslü derecelerin ne olduğunu formüle edeceğiz. Her zaman olduğu gibi, tüm kavramlar görev örnekleriyle açıklanacaktır.

Yandex.RTB R-A-339285-1

İlk önce formüle ediyoruz temel tanım doğal bir gösterge ile derecesi. Bunu yapmak için çarpma işleminin temel kurallarını hatırlamamız gerekir. Şimdilik gerçek bir sayıyı temel olarak (bunu a harfiyle gösterelim) ve bir gösterge olarak - doğal bir sayıyı (n harfiyle gösterilir) alacağımızı önceden açıklığa kavuşturalım.

tanım 1

Doğal üssü n olan a'nın gücü, her biri a sayısına eşit olan n'inci çarpan sayısının çarpımıdır. Derece şu şekilde yazılır: BİR ve bir formül biçiminde, bileşimi aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Örneğin, üs 1 ve taban a ise, a'nın birinci kuvveti şu şekilde yazılır: bir 1. a faktörün değeri ve 1 faktör sayısı olduğuna göre, şu sonuca varabiliriz: bir 1 = bir.

Genel olarak derecenin uygun bir notasyon olduğunu söyleyebiliriz. Büyük bir sayı eşit çarpanlar Yani, formun bir kaydı 8 8 8 8 azaltılabilir 8 4 . Aynı şekilde, çarpım çok sayıda terim yazmaktan kaçınmamıza yardımcı olur (8 + 8 + 8 + 8 = 8 4) ; Bunu, doğal sayıların çarpımına ayrılmış makalede zaten analiz etmiştik.

Derece kaydı nasıl doğru okunur? Genel olarak kabul edilen seçenek "a üzeri n" şeklindedir. Veya "a'nın n'inci kuvveti" veya "n'inci kuvveti" diyebilirsiniz. Diyelim ki örnekte bir giriş varsa 8 12 , "8 üzeri 12", "8 üzeri 12" veya "8'in 12. kuvveti" şeklinde okuyabiliriz.

Sayının ikinci ve üçüncü derecelerinin kendi köklü isimleri vardır: kare ve küp. Örneğin 7 sayısının (7 2) ikinci kuvvetini görürsek, "7'nin karesi" veya "7 sayısının karesi" diyebiliriz. Benzer şekilde üçüncü derece de şöyle okunur: 5 3 "5 sayısının küpü" veya "5'in küpü" dür. Ancak “ikinci/üçüncü derecede” standart tabirini kullanmak da mümkündür, bu bir hata olmayacaktır.

örnek 1

Doğal göstergeli bir derece örneğine bakalım: 5 7 beş temel olacak ve yedi gösterge olacak.

Taban bir tamsayı olmak zorunda değildir: derece için (4 , 32) 9 taban 4, 32 kesri olacak ve üs dokuz olacak. Parantezlere dikkat edin: tabanları doğal sayılardan farklı olan tüm dereceler için böyle bir gösterim yapılır.

Örneğin: 1 2 3 , (- 3) 12 , - 2 3 5 2 , 2 , 4 35 5 , 7 3 .

Parantezler ne için? Hesaplamalarda hatalardan kaçınmaya yardımcı olurlar. Diyelim ki iki girdimiz var: (− 2) 3 Ve − 2 3 . Bunlardan ilki, negatif bir sayı eksi iki anlamına gelir, doğal üssü üç olan bir kuvvete yükseltilir; ikincisi, derecenin zıt değerine karşılık gelen sayıdır 2 3 .

Bazen kitaplarda bir sayının derecesinin biraz farklı yazılışını bulabilirsiniz - a^n(burada a tabandır ve n üstür). Yani 4^9 ile aynı 4 9 . n çok basamaklı bir sayı ise parantez içine alınır. Örneğin, 15 ^ (21) , (− 3 , 1) ^ (156) . Ama gösterimi kullanacağız BİR daha yaygın olarak.

Bir derecenin değerinin doğal bir üs ile nasıl hesaplanacağını tanımından tahmin etmek kolaydır: sadece n'inci bir sayıyı çarpmanız gerekir. Bunun hakkında başka bir makalede daha fazla yazdık.

Derece kavramı, başka bir matematiksel kavramın tersidir - bir sayının kökü. Üs ve üssün değerini bilirsek, tabanını hesaplayabiliriz. Derece, ayrı bir materyalde analiz ettiğimiz problemleri çözmek için faydalı olan bazı spesifik özelliklere sahiptir.

Üsler yalnızca doğal sayıları değil, aynı zamanda tamsayılar kümesine ait oldukları için negatifler ve sıfırlar da dahil olmak üzere genel olarak herhangi bir tamsayı değerini içerebilir.

Tanım 2

Pozitif tamsayı üssü olan bir sayının derecesi bir formül olarak görüntülenebilir: .

Ayrıca, n herhangi bir pozitif tam sayıdır.

Sıfır derece kavramını ele alalım. Bunu yapmak için, eşit tabanlı kuvvetler için bölümün özelliğini hesaba katan bir yaklaşım kullanıyoruz. Bu şekilde formüle edilmiştir:

Tanım 3

eşitlik bir m: bir n = bir m - n aşağıdaki koşullar altında doğru olacaktır: m ve n doğal sayılardır, m< n , a ≠ 0 .

Son koşul önemlidir çünkü sıfıra bölmekten kaçınır. m ve n değerleri eşitse, aşağıdaki sonucu alırız: bir n: bir n = bir n - n = bir 0

Ama aynı zamanda bir n: bir n = 1 - eşit sayıların bölümü BİR ve bir. Sıfır olmayan herhangi bir sayının sıfır derecesinin bire eşit olduğu ortaya çıktı.

Ancak sıfır üzeri sıfır için böyle bir ispat uygun değildir. Bunu yapmak için, başka bir kuvvetler özelliğine ihtiyacımız var - eşit temellere sahip kuvvetler ürünlerinin mülkiyeti. Şuna benziyor: bir m bir n = bir m + n .

n 0 ise, o zaman bir m bir 0 = bir m(bu eşitlik bize şunu da kanıtlıyor: 0 = 1). Ama eğer ve de sıfıra eşitse, eşitliğimiz şu şekli alır: 0 m 0 0 = 0 m, n'nin herhangi bir doğal değeri için doğru olacaktır ve derecenin değerinin tam olarak ne olduğu önemli değildir. 0 0 , yani herhangi bir sayıya eşit olabilir ve bu eşitliğin geçerliliğini etkilemez. Bu nedenle, formun bir kaydı 0 0 özel bir anlamı yoktur ve biz onu ona atfetmeyeceğiz.

İstenirse, bunu kontrol etmek kolaydır 0 = 1 derece özelliği ile birleşir (bir m) n = bir m n derecenin tabanı sıfıra eşit olmamak şartıyla. Bu nedenle, üssü sıfır olan sıfır olmayan herhangi bir sayının derecesi bire eşittir.

Örnek 2

Belirli sayılarla bir örneğe bakalım: Yani, 5 0 - birim, (33 , 3) 0 = 1 , - 4 5 9 0 = 1 ve değer 0 0 Tanımsız.

Sıfır dereceden sonra, negatif derecenin ne olduğunu bulmak bize kalır. Bunu yapmak için, yukarıda zaten kullandığımız, eşit tabanlı kuvvetler çarpımının aynı özelliğine ihtiyacımız var: a m · an n = a m + n.

Şu koşulu getiriyoruz: m = − n , o zaman a sıfıra eşit olmamalıdır. Bunu takip eder bir − n bir n = bir − n + n = bir 0 = 1. Görünüşe göre bir n ve BİR karşılıklı karşılıklı sayılarımız var.

Sonuç olarak, a üzeri negatif bir tamsayı, 1 an n kesirinden başka bir şey değildir.

Bu formülasyon, negatif tamsayı üssü olan bir derece için, doğal üssü olan bir derecenin sahip olduğu tüm aynı özelliklerin geçerli olduğunu doğrular (tabanın sıfıra eşit olmaması şartıyla).

Örnek 3

Negatif bir n tamsayısına sahip a kuvveti, 1 an n kesri olarak temsil edilebilir. Böylece, a - n = 1 ve n koşulu altında bir ≠ 0 ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Fikrimizi belirli örneklerle açıklayalım:

Örnek 4

3 - 2 = 1 3 2 , (- 4 . 2) - 5 = 1 (- 4 . 2) 5 , 11 37 - 1 = 1 11 37 1

Paragrafın son bölümünde, söylenen her şeyi tek bir formülde net bir şekilde göstermeye çalışacağız:

Tanım 4

a'nın doğal üssü z olan gücü: a z = a z , e c ve z pozitif bir tam sayıdır 1 , z = 0 ve a ≠ 0 , (eğer z = 0 ve a = 0 ise 0 0 , değerleri ifadesi 0 0 belirlenmez)   1 a z , eğer z negatif bir tam sayı ise ve a ≠ 0 ise (z negatif bir tam sayıysa ve a = 0 ise 0 z elde ederiz, bu bir n d e n t i o n )

Rasyonel üslü dereceler nelerdir?

Üslü sayının tam sayı olduğu durumları analiz ettik. Bununla birlikte, üssü kesirli bir sayı olduğunda, bir sayıyı bir güce de yükseltebilirsiniz. Buna rasyonel üslü derece denir. Bu alt bölümde, diğer güçlerle aynı özelliklere sahip olduğunu kanıtlayacağız.

Rasyonel sayılar nedir? Kümeleri hem tamsayı hem de kesirli sayıları içerirken, kesirli sayılar sıradan kesirler (hem pozitif hem de negatif) olarak temsil edilebilir. Bir a sayısının derecesinin tanımını, n'nin doğal bir sayı ve m'nin bir tam sayı olduğu kesirli bir üs m / n ile formüle ediyoruz.

Kesirli bir üs olan a m n ile bir dereceye sahibiz. Güç özelliğinin bir derecede tutabilmesi için a m n n = a m n · n = a m eşitliğinin doğru olması gerekir.

Bir n'inci kökün tanımı ve a m n n = a m olduğu göz önüne alındığında, verilen m , n ve a değerleri için a m n mantıklıysa a m n = a m n koşulunu kabul edebiliriz.

Üslü bir tamsayı ile derecenin yukarıdaki özellikleri, a m n = a m n koşulu altında doğru olacaktır.

Muhakememizden çıkan ana sonuç şu şekildedir: m / n kesirli üssü olan bir a sayısının derecesi, a sayısından m gücüne kadar n'inci derecenin köküdür. Bu, verilen m, n ve a değerleri için a m n ifadesinin anlamlı olması durumunda geçerlidir.

1. Derece tabanının değerini sınırlayabiliriz: m'nin pozitif değerleri için 0'dan büyük veya 0'a eşit olacak ve negatif değerler için kesinlikle daha az olacaktır (çünkü m ≤ için) 0 alırız 0 m, ancak bu derece tanımlanmamıştır). Bu durumda, kesirli bir üs ile derecenin tanımı şöyle görünecektir:

Pozitif bir a sayısı için kesirli üs m/n, a'nın m kuvvetine yükseltilmiş n'inci köküdür. Bir formül biçiminde, bu aşağıdaki gibi temsil edilebilir:

Sıfır tabanlı bir derece için bu hüküm de uygundur, ancak yalnızca üssü pozitif bir sayıysa.

Sıfır tabanlı bir kuvvet ve pozitif kesirli üs m/n şu şekilde ifade edilebilir:

0 m n = 0 m n = 0 pozitif tamsayı m ve doğal n koşulu altında.

Negatif oranlı m n< 0 степень не определяется, т.е. такая запись смысла не имеет.

Bir noktayı not edelim. a'nın sıfırdan büyük veya sıfıra eşit olduğu koşulunu getirdiğimiz için bazı durumları attık.

a m n ifadesi bazen a'nın bazı negatif değerleri ve m'nin bazı negatif değerleri için anlamlıdır. Dolayısıyla, tabanı negatif olan (- 5) 2 3 , (- 1 , 2) 5 7 , - 1 2 - 8 4 girişleri doğrudur.

2. İkinci yaklaşım, a m n kökünü çift ve tek üslerle ayrı ayrı ele almaktır. O zaman bir koşul daha ortaya koymamız gerekir: üssünde indirgenebilir bir sıradan kesrin bulunduğu a derecesi, üssünde karşılık gelen indirgenemez kesrin bulunduğu a derecesi olarak kabul edilir. Daha sonra bu duruma neden ihtiyacımız olduğunu ve neden bu kadar önemli olduğunu açıklayacağız. Böylece, a m · k n · k kaydımız varsa, onu a m n'ye indirgeyebilir ve hesaplamaları basitleştirebiliriz.

n tek bir sayıysa ve m pozitifse ve a negatif olmayan herhangi bir sayıysa, m n mantıklıdır. Negatif olmayan bir a için koşul gereklidir, çünkü çift derecenin kökü negatif bir sayıdan çıkarılmaz. m'nin değeri pozitifse, o zaman a hem negatif hem de sıfır olabilir, çünkü Herhangi bir gerçek sayıdan tek bir kök alınabilir.

Tanımın üzerindeki tüm verileri tek bir girişte birleştirelim:

Burada m/n indirgenemez bir kesir anlamına gelir, m herhangi bir tam sayıdır ve n herhangi bir doğal sayıdır.

Tanım 5

Herhangi bir olağan indirgenmiş kesir m · k n · k için, derece a m n ile değiştirilebilir.

İndirgenemez bir kesirli üs m / n ile a'nın gücü - içinde bir m n olarak ifade edilebilir aşağıdaki durumlar: - herhangi bir gerçek a için, m ve tekin pozitif tamsayı değerleri doğal değerler N. Örnek: 2 5 3 = 2 5 3 , (- 5 , 1) 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7 , 0 5 19 = 0 5 19 .

Sıfır olmayan gerçek a , m'nin negatif tamsayı değerleri ve n'nin tek değerleri için, örneğin, 2 - 5 3 = 2 - 5 3 , (- 5 , 1) - 2 7 = (- 5 , 1) - 2 7

Herhangi bir negatif olmayan a için, m ve hatta n'nin pozitif tamsayı değerleri, örneğin, 2 1 4 = 2 1 4 , (5 , 1) 3 2 = (5 , 1) 3 , 0 7 18 = 0 7 18.

Herhangi bir pozitif a , negatif tam sayı m ve hatta n için, örneğin, 2 - 1 4 = 2 - 1 4 , (5 , 1) - 3 2 = (5 , 1) - 3 , .

Diğer değerler söz konusu olduğunda, kesirli üslü derece belirlenmez. Bu tür güçlere örnekler: - 2 11 6 , - 2 1 2 3 2 , 0 - 2 5 .

Şimdi yukarıda belirtilen koşulun önemini açıklayalım: neden bir kesri indirgenemez bir kesir için indirgenebilir bir üs ile değiştirelim? Bunu yapmasaydık, bu tür durumlar ortaya çıkacaktı, diyelim ki 6/10 = 3/5. O halde (- 1) 6 10 = - 1 3 5 doğru olmalıdır, ancak - 1 6 10 = (- 1) 6 10 = 1 10 = 1 10 10 = 1 ve (- 1) 3 5 = (- 1) 3 5 = - 1 5 = - 1 5 5 = - 1 .

İlk önce verdiğimiz kesirli üslü derece tanımı pratikte ikinciden daha uygundur, bu yüzden onu kullanmaya devam edeceğiz.

Tanım 6

Böylece, kesirli üssü m / n olan pozitif bir a sayısının kuvveti 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır. olumsuz olması durumunda A a m n notasyonu anlamsızdır. Pozitif Kesirli Üsler için Sıfır Derecesi m/n 0 m n = 0 m n = 0 olarak tanımlanır, negatif kesirli üsler için sıfırın derecesini tanımlamıyoruz.

Sonuçlarda, herhangi bir kesirli göstergenin hem karışık sayı hem de ondalık kesir olarak yazılabileceğine dikkat çekiyoruz: 5 1, 7, 3 2 5 - 2 3 7.

Hesaplarken, üssü sıradan bir kesirle değiştirmek ve ardından derece tanımını kesirli bir üs ile kullanmak daha iyidir. Yukarıdaki örnekler için şunu elde ederiz:

5 1 , 7 = 5 17 10 = 5 7 10 3 2 5 - 2 3 7 = 3 2 5 - 17 7 = 3 2 5 - 17 7

İrrasyonel ve gerçek üslü dereceler nelerdir

Gerçek sayılar nedir? Setleri hem rasyonel hem de irrasyonel sayıları içerir. Bu nedenle, gerçek üslü bir derecenin ne olduğunu anlamak için, rasyonel ve irrasyonel üslü dereceleri tanımlamamız gerekir. Rasyonel hakkında yukarıda bahsetmiştik. İrrasyonel göstergeleri adım adım ele alalım.

Örnek 5

Elimizde bir irrasyonel a sayısı ve onun ondalık yaklaşımlarından oluşan bir dizi a 0 , a 1 , a 2 olduğunu varsayalım. . . . Örneğin a = 1 , 67175331 değerini alalım. . . , Daha sonra

0 = 1 , 6 , 1 = 1 , 67 , 2 = 1 , 671 , . . . , 0 = 1 , 67 , 1 = 1 , 6717 , 2 = 1 , 671753 , . . .

Yaklaşım dizilerini a a 0 , a a 1 , a a 2 , güçler dizisiyle ilişkilendirebiliriz. . . . Sayıları rasyonel bir kuvvete yükseltmek hakkında daha önce bahsettiğimizi hatırlarsak, bu kuvvetlerin değerlerini kendimiz hesaplayabiliriz.

örneğin al bir = 3, sonra a a 0 = 3 1 , 67 , a a 1 = 3 1 , 6717 , a a 2 = 3 1 , 671753 , . . . vesaire.

Derece dizisi, a tabanı ve irrasyonel üssü a ile derecenin değeri olacak bir sayıya indirgenebilir. Sonuç olarak: 3 1 , 67175331 şeklinde irrasyonel bir üssü olan bir derece. . 6, 27 sayısına indirgenebilir.

tanım 7

Üssü a olan pozitif bir a sayısının kuvveti a olarak yazılır. Değeri a a 0 , a a 1 , a a 2 , dizisinin limitidir. . . , burada bir 0 , bir 1 , bir 2 , . . . ardışık ondalık yaklaşımlardır irrasyonel sayı A. Pozitif irrasyonel üsler için sıfır tabanlı bir derece de tanımlanabilirken, 0 a \u003d 0 So, 0 6 \u003d 0, 0 21 3 3 \u003d 0. Ve negatif olanlar için bu yapılamaz, çünkü örneğin 0 - 5, 0 - 2 π değeri tanımlanmamıştır. Örneğin, herhangi bir irrasyonel kuvvete yükseltilmiş bir birim, bir birim olarak kalır ve 1 2 , 1 5 in 2 ve 1 - 5, 1'e eşit olacaktır.

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen onu vurgulayın ve Ctrl+Enter tuşlarına basın.