sınırlar teorisi- birinin ustalaşabileceği matematiksel analiz bölümlerinden biri, diğerleri sınırları zorlukla hesaplar. Düzinelerce numara olduğu için limit bulma sorusu oldukça geneldir. sınır çözümleri Çeşitli türler. Aynı limitler hem L'Hopital kuralıyla hem de onsuz bulunabilir. Bir dizi sonsuz küçük işlevdeki programın, istenen sonucu hızlı bir şekilde almanızı sağlar. Herhangi bir karmaşıklıktaki bir fonksiyonun sınırını bulmanızı sağlayan bir dizi püf noktası vardır. Bu yazıda, pratikte en sık karşılaşılan ana limit türlerini anlamaya çalışacağız. Limitin teorisini ve tanımını burada vermeyeceğiz, internette bunun çiğnendiği birçok kaynak var. Bu nedenle pratik hesaplamalar yapalım, işte burada başlıyorsunuz "Bilmiyorum! Nasıl bilmiyorum! Bize öğretilmedi!"

İkame yöntemiyle limitlerin hesaplanması

örnek 1 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2-3*x)/(2*x+5),x=3).
Çözüm: Teorik olarak, bu türden örnekler olağan ikame ile hesaplanır.

Sınır 18/11'dir.
Bu tür sınırlar içinde karmaşık ve akıllıca hiçbir şey yoktur - değeri değiştirdiler, hesapladılar, yanıt olarak sınırı yazdılar. Bununla birlikte, bu tür sınırlar temelinde, herkese, her şeyden önce, işleve bir değer koymanız gerektiği öğretilir. Ayrıca sınırlar karmaşıklaşır, sonsuzluk kavramını, belirsizliği ve benzerlerini ortaya çıkarır.

Sonsuz türündeki belirsizliğin sonsuza bölünmesiyle sınırlayın. Belirsizlik ifşa yöntemleri

Örnek 2 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+2x)/(4x^2+3x-4),x=sonsuz).
Çözüm: Polinomun bir polinomla bölümü şeklinde bir limit verilir ve değişken sonsuza eğilimlidir.

Değişkenin sınırlarını bulması gereken değerin basit bir ikamesi yardımcı olmaz, sonsuz bölü sonsuza şeklinde bir belirsizlik elde ederiz.
Limitlerin pot teorisi Limiti hesaplama algoritması, pay veya paydadaki en büyük "x" derecesini bulmaktır. Daha sonra üzerinde pay ve payda sadeleştirilir ve fonksiyonun limiti bulunur.

Değişken sonsuza gittiğinde değer sıfıra yöneldiği için ihmal edilirler veya son ifadede sıfır olarak yazılırlar.

Uygulamadan hemen sonra, hesaplamalarda ipucu olan iki sonuç elde edebilirsiniz. Değişken sonsuza eğilimliyse ve payın derecesi paydanın derecesinden büyükse, limit sonsuza eşittir. Aksi takdirde, paydadaki polinom paydakinden daha büyükse, limit sıfırdır.
Limit formülü şu şekilde yazılabilir:

Kesirler olmadan sıradan bir günlük biçiminde bir fonksiyonumuz varsa, limiti sonsuza eşittir.

Bir sonraki limit türü, fonksiyonların sıfıra yakın davranışlarıyla ilgilidir.

Örnek 3 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+3x-5)/(x^2+x+2), x=0).
Çözüm: Burada polinomun baştaki çarpanını çıkarmak gerekli değildir. Tam tersi pay ve paydanın en küçük kuvvetini bulmak ve limiti hesaplamak gerekir.

x^2 değeri; x, değişken sıfıra eğilim gösterdiğinde sıfıra eğilimlidir Bu nedenle, ihmal edilirler, dolayısıyla şunu elde ederiz:

sınırın 2,5 olduğunu.

Şimdi biliyorsun bir fonksiyonun limiti nasıl bulunur değişken sonsuza veya 0'a eğilimliyse bir polinomla bölünen bir polinom türüdür. Ancak bu, örneklerin yalnızca küçük ve kolay bir kısmıdır. İtibaren sonraki malzemeÖğreneceksiniz Bir fonksiyonun limitlerinin belirsizliği nasıl ortaya çıkarılır?.

0/0 tipi belirsizlikle limit ve hesaplama yöntemleri

Sıfıra bölemeyeceğiniz kuralı hemen herkes hatırlar. Bununla birlikte, bu bağlamda limitler teorisi, sonsuz küçük fonksiyonlar anlamına gelir.
Açıklamak için birkaç örneğe bakalım.

Örnek 4 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((3x^2+10x+7)/(x+1), x=-1).
Çözüm: x = -1 değişkeninin değerini payda yerine koyarsak sıfır elde ederiz, payda aynı değeri elde ederiz. Böylece sahibiz 0/0 formunun belirsizliği.
Bu tür bir belirsizlikle başa çıkmak kolaydır: polinomu çarpanlara ayırmanız veya daha doğrusu işlevi sıfıra çeviren bir çarpan seçmeniz gerekir.

Ayrıştırmadan sonra, fonksiyonun limiti şu şekilde yazılabilir:

Bir fonksiyonun limitini hesaplamak için tüm teknik budur. Bir polinom ile bölünmüş bir polinom formunun bir sınırı varsa, aynısını yaparız.

Örnek 5 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((2x^2-7x+6)/(3x^2-x-10), x=2).
Çözüm: Doğrudan ikame gösterir
2*4-7*2+6=0;
3*4-2-10=0
Bizim neyimiz var tip belirsizliği 0/0.
Polinomları tekilliği getiren faktöre bölün


2. dereceden polinomların, yani "ikinci dereceden denklemler" türünün diskriminant yoluyla çözülmesi gerektiğini öğreten öğretmenler var. Fakat gerçek uygulama daha uzun ve daha karmaşık olduğunu gösterir, bu nedenle belirtilen algoritma içindeki özelliklerden kurtulun. Böylece fonksiyonu basit çarpanlar şeklinde yazıp limitte hesaplıyoruz.

Gördüğünüz gibi, bu tür limitlerin hesaplanmasında karmaşık bir şey yoktur. Limitleri incelerken polinomları nasıl böleceğinizi biliyorsunuz, en azından programa göre zaten geçmelisiniz.
için görevler arasında tip belirsizliği 0/0 kısaltılmış çarpma formüllerini uygulamanın gerekli olduğu olanlar var. Ancak bunları bilmiyorsanız, polinomu tek terimliye bölerek istediğiniz formülü elde edebilirsiniz.

Örnek 6 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2-9)/(x-3), x=3).
Çözüm: 0/0 türünde bir belirsizliğimiz var. Payda, kısaltılmış çarpma formülünü kullanırız.

ve istenen limiti hesaplayın

Eşlenik ile çarpılarak belirsizlik açıklama yöntemi

Yöntem, irrasyonel fonksiyonların belirsizlik oluşturduğu limitlere uygulanır. Hesaplama noktasında pay veya payda sıfıra döner ve sınırın nasıl bulunacağı bilinmez.

Örnek 7 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((kare(x+2)-kare(7x-10))/(3x-6), x=2).
Karar: Değişkeni limit formülünde temsil edelim

Yerine koyarken, 0/0 türünde bir belirsizlik elde ederiz.
Limitler teorisine göre, bu tekilliği atlama şeması, irrasyonel bir ifadeyi eşleniğiyle çarpmaktan ibarettir. İfadeyi değişmeden tutmak için paydanın aynı değere bölünmesi gerekir

Kareler farkı kuralına göre, payı sadeleştirir ve fonksiyonun limitini hesaplarız.

Limitte tekillik oluşturan terimleri sadeleştirip yerine koyma işlemini gerçekleştiriyoruz.

Örnek 8 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((kare(x-2)-kare(2x-5))/(3-x), x=3).
Çözüm: Doğrudan ikame, limitin 0/0 biçiminde bir tekilliğe sahip olduğunu gösterir.

Eşlenik ile paya genişletmek, çarpmak ve bölmek için

kareler farkını yazınız

Tekillik getiren terimleri sadeleştiriyoruz ve fonksiyonun limitini buluyoruz.

Örnek 9 Bir fonksiyonun limitini bulun
Lim((x^2+x-6)/(sqrt(3x-2)-2), x=2).
Çözüm: İkiliyi formülde yerine koy

Almak belirsizlik 0/0.
Payda eşlenik ifade ile çarpılmalı ve payda çözülmelidir ikinci dereceden denklem veya tekilliği dikkate alarak çarpanlara ayırın. 2'nin bir kök olduğu bilindiğinden, ikinci kök Vieta teoremi ile bulunur.

Böylece payı şeklinde yazıyoruz

ve limit koymak

Kareler farkını azaltarak pay ve paydadaki özelliklerden kurtuluruz.

Yukarıdaki şekilde bir çok örnekte tekillikten kurtulabilirsiniz ve yerine koyma yapılırken verilen köklerin farkının sıfıra döndüğü her yerde uygulamaya dikkat edilmelidir. Diğer limit türleri üstel fonksiyonlar, sonsuz küçük fonksiyonlar, logaritmalar, tekil limitler ve diğer tekniklerle ilgilidir. Ancak bununla ilgili aşağıdaki makalelerde limitler hakkında okuyabilirsiniz.

Dizilerin ve fonksiyonların limit kavramları. Bir dizinin limitini bulmak istendiğinde lim xn=a şeklinde yazılır. Böyle bir dizi dizisinde, xn a'ya eğilimlidir ve n sonsuza eğilimlidir. Bir dizi genellikle bir dizi olarak temsil edilir, örneğin:
x1, x2, x3...,xm,...,xn... .
Diziler artan ve azalan olarak ayrılmıştır. Örneğin:
xn=n^2 - artan sıra
yn=1/n - sıra
Örneğin, xn=1/n^ dizisinin limiti:
lim1/n^2=0

x→∞
Bu limit sıfırdır çünkü n→∞ ve 1/n^2 dizisi sıfır olma eğilimindedir.

Genellikle değişken x, sonlu bir a sınırına eğilimlidir, üstelik x sürekli olarak a'ya yaklaşır ve a'nın değeri sabittir. Bu şu şekilde yazılır: limx = a, n ise hem sıfıra hem de sonsuza eğilimli olabilir. Sonsuz fonksiyonlar vardır, onlar için limit sonsuza meyleder. Diğer durumlarda, örneğin, treni yavaşlatma işlevi, sıfıra eğilimli bir limit için mümkündür.
Limitlerin bir takım özellikleri vardır. Kural olarak, herhangi bir işlevin yalnızca bir sınırı vardır. Bu, limitin ana özelliğidir. Diğerleri aşağıda listelenmiştir:
* Toplam limit, limitlerin toplamına eşittir:
lim(x+y)=limx+kireç
* Çarpımın limiti, limitlerin çarpımına eşittir:
lim(xy)=limx*kireç
* Bölümün limiti, limitlerin bölümüne eşittir:
lim(x/y)=lim x/lim y
* Sabit çarpan limit işaretinden çıkarılır:
lim(Cx)=C limx
x →∞ olduğu bir 1 /x fonksiyonu verildiğinde, limiti sıfırdır. x→0 ise böyle bir fonksiyonun limiti ∞'a eşittir.
Trigonometrik fonksiyonlar için bu kurallardan vardır. Sin x işlevi sıfıra yaklaştıkça her zaman bire yöneldiğinden, özdeşlik onun için geçerlidir:
lim günah x/x=1

Bir dizi fonksiyonda, belirsizliğin ortaya çıktığı limitler hesaplanırken - limitin hesaplanamadığı bir durum. Bu durumdan kurtulmanın tek yolu L'Hopital. İki tür belirsizlik vardır:
* formun belirsizliği 0/0
* ∞/∞ formunun belirsizliği
Örneğin, aşağıdaki biçimde bir limit verildiğinde: lim f(x)/l(x), ayrıca f(x0)=l(x0)=0. Bu durumda, 0/0 biçiminde bir belirsizlik vardır. Böyle bir sorunu çözmek için, her iki fonksiyon da farklılaştırılır ve ardından sonucun limiti bulunur. 0/0 biçimindeki belirsizlikler için limit:
lim f(x)/l(x)=lim f"(x)/l"(x) (x→0 olarak)
Aynı kural, ∞/∞ tipi belirsizlikler için de geçerlidir. Ancak bu durumda aşağıdaki eşitlik doğrudur: f(x)=l(x)=∞
L'Hopital kuralının yardımıyla, belirsizliklerin ortaya çıktığı herhangi bir sınırın değerleri bulunabilir. için zorunlu koşul

hacim - türev bulmada hataların olmaması. Örneğin, (x^2)" fonksiyonunun türevi 2x'e eşittir. Buradan şu sonuca varabiliriz:
f"(x)=nx^(n-1)

Sıra üyesi.

a sayısına dizinin limiti (xn) denir, eğer herhangi bir ε>0 için |xn-a |

Örnek 2. Örnek 1'de a=1 sayısının bir önceki örneğin dizisinin limiti olmadığını kanıtlayın. Karar. Dizinin ortak terimini tekrar sadeleştirin. ε=1 alın (bu herhangi bir sayı >

Bir dizinin limitini doğrudan hesaplama problemleri oldukça monotondur. Hepsi, n'ye göre polinom oranlarını veya bu polinomlara göre ifadeleri içerir. Çözmeye başlarken, üst kısımda bulunan bileşeni parantezden (kök işareti) çıkarın. Orijinal ifadenin payı için bunun a^p faktörünün ve payda b^q için görünmesine yol açacağını varsayalım. Açıkçası, kalan tüm terimler C / (n-k) biçimindedir ve n> olduğunda sıfır olma eğilimindedir.

Bir dizinin limitini hesaplamanın ilk yolu, onun tanımına dayanır. Doğru, doğrudan limiti aramanın yollarını vermediği, ancak yalnızca bazı a sayısının bir limit olduğunu (veya olmadığını) kanıtlamanıza izin verdiği unutulmamalıdır.Örnek 1. Dizinin (xn) = ( olduğunu kanıtlayın. (3n ^ 2-2n -1)/(n^2-n-2)) a=3 limitine sahiptir Çözüm. Tanımı ters sırayla uygulayarak devam edin. Yani sağdan sola. Önce xn.хn =(3n^2+4n+2)/(n^2+3n22)=((3n+1)(n+1))/((n+) için formülü basitleştirmenin mümkün olup olmadığını kontrol edin. 2) (n+1))=)=(3n+1)/(n+2) |(3n+1)/(n+2)-3|0 eşitsizliğini düşünün, herhangi birini bulabilirsiniz doğal sayı nε -2+5/ε'den büyük.

Örnek 2. Örnek 1'de a=1 sayısının bir önceki örneğin dizisinin limiti olmadığını kanıtlayın. Karar. Dizinin ortak terimini tekrar sadeleştirin. ε=1'i alın (bu herhangi bir sayı >0'dır) |(3n+1)/(n+2)-1| genel tanımının son eşitsizliğini yazın.

Bir dizinin limitini doğrudan hesaplama problemleri oldukça monotondur. Hepsi, n'ye göre polinom oranlarını veya bu polinomlara göre ifadeleri içerir. Çözmeye başlarken, üst kısımda bulunan bileşeni parantezden (kök işareti) çıkarın. Orijinal ifadenin payı için bunun a^p faktörünün ve payda b^q için görünmesine yol açacağını varsayalım. Açıkçası, kalan tüm terimler С/(n-k) biçimine sahiptir ve n>k için sıfıra eğilimlidir (n sonsuza eğilimlidir). Sonra cevabı yazın: pq ise 0.

Bir dizinin limitini ve sonsuz toplamları bulmanın geleneksel olmayan bir yolunu gösterelim. İşlevsel dizileri kullanacağız (işlev üyeleri belirli bir aralıkta (a,b) tanımlanmıştır) Örnek 3. 1+1/2 formunun toplamını bulun! +1/3! +…+1/n! +…=s .Çözüm. Herhangi bir sayı a^0=1. 1=exp(0) koyun ve (1+x+x^2/2! +x^3/3! +…+x^/n) işlev sırasını göz önünde bulundurun, n=0,1,2,..,n… . Легко заметить, что записанный полином совпадает с многочленом Тейлора по степеням x, который в данном случае совпадает с exp(x). Возьмите х=1. Тогдаexp(1)=e=1+1+1/2! +1/3! +…+1/n! +…=1+s. Ответ s=e-1.!}

İpucu 2: Marvel Avengers filmlerini hangi sırayla izlemelisiniz?

Marvel evreni, Marvel çizgi romanlarına dayanmaktadır, ancak tüm çizgi roman uyarlamaları MCU'nun parçası değildir. Yalnızca Marvel Studios tarafından veya onunla ortaklaşa üretilen görüntüleri içerir. Marvel Sinematik Evreni aşamalara ayrılmıştır, her filmin içinde kendi yeri vardır. Ancak kronolojide evrenin bir parçası olan diziler ve kısa filmler fazlar arasında olabilir. Onlar. MCU'nun belirli bölümlerine ait olmayabilir.

Netflix ve abc serisi, Marvel evreninden farklıdır. MCU'nun iki özelliği vardır:

• her filmin kendi hikayesi vardır;
• küresel olay örgüsü bir filmden diğerine geçer ve sonuç olarak her biri bu olay örgüsünü ileriye taşır.

Abc kanalının dizileri, sinematik evrenin küresel olay örgüsüne bağlıdır, ancak ilerlemez, yalnızca onu tamamlar. Netflix dizileri, kendi olay örgüsüne ve kendi küresel dünyasına sahip, tamamen bağımsız hikayelerdir.

Yıllar içinde Marvel Evreni büyüdü ve genişlemeye devam ediyor. Bu nedenle, hazırlıksız bir kişinin filmlerinin kronolojisiyle uğraşması zordur, çünkü Iron Man 2'den hemen sonra Iron Man 3'ü izleyemeyeceğinizi herkes anlamaz. Ve anlamak için üç aşamayı içeren kronolojiyi incelemek gerekir.

İlk etap:

1. "Demir Adam" filmi, 2008. Bu resim, sonraki film uyarlamalarının temelini ve genel tonunu oluşturuyor, eylemi 2010'da gerçekleşiyor.
2. İnanılmaz Hulk filmi 2008. Bu film uyarlamasında izleyiciler, iki farklı kahramanın hikayelerinin aynı evrende geçtiğini anlıyor çünkü hem Demir Adam hem de The Incredible Hulk, S.H.I.E.L.D.'den, süper asker programından, StarkIndusries logosundan vb. Film 2011 yılında geçiyor. Resim, 2003'teki "Hulk" filminin hikayesine devam etmiyor.
3. "Demir Adam 2" filmi, 2010. Bu hikaye Yenilmezler için bir tür tohum, Kara Dul'u olay örgüsüne dahil ediyor, gelecekteki projeler için pek çok ön koşul veriyor ve Demir Adam'ın ilk bölümünden bir yıl sonra Tony Stark'ın karşılaştığı yeni sorunlardan bahsediyor.
4. Tor filmi 2011. Bu aynı zamanda Yenilmezler için bir hazırlıktır ve resmin asıl amacı izleyiciyi Thor ve Loki ile tanıştırmaktır. Hikaye, The Incredible Hulk ve Iron Man 2'nin hikayesine paralel olarak geçiyor.
5. "İlk Yenilmez" filmi, 2011. Hulk gibi "süper asker" serumu nedeniyle ortaya çıkan, Dünyanın ilk süper kahramanı Kaptan Amerika'yı anlatıyor. Filmin ilk ve son sahneleri 2011 yılında, asıl aksiyon ise 1943 ile 1945 yılları arasında geçiyor. Filmde altı Sonsuzluk Taşından biri olan Tesseract yer alıyor ve SHIELD'in "babasının" SNR (Stratejik Bilim Rezervi) olduğu ortaya çıkıyor.
6. Kısa film "Danışman", 2011. Bu, The Incredible Hulk'un son sahnesini açıklıyor.
7. Kısa film "Thor'un çekicine giderken komik bir olay", 2011.
8. Yenilmezler filmi, 2012. Hikaye 2012 yılında S.H.I.E.L.D. dünyayı kurtarmak uğruna bir "genel koleksiyon" duyurur.

İkinci aşama:

1. "Demir Adam 3" filmi, 2013. Aksiyon, 2012 kışında, Tony Stark New York Savaşı'ndan sonra eve döndüğünde gerçekleşir, ancak kabuslar tarafından eziyet edilir. Uyuyamaz ve zamanını yeni kostümler yaratmaya ayırır.
2. "SHIELD Ajanları" dizisi, 2013.
3. Thor 2: Karanlık Dünya, 2013. Film, Thor'un nasıl eve döndüğünü ve dokuz dünyanın da kaosa sürüklendiğini öğrendiğini anlatıyor. Ve Thor'un işleri nasıl düzene soktuğu hakkında.
4. Kısa film "Yaşasın Kral", 2014. Bu, Iron Man 3 olaylarından sonra geçen Trevor Slettery hakkında bir hikaye.
5. Kaptan Amerika: Başka Bir Savaş 2014 filmi. Bu, eve dönemeyen Kaptan Amerika hakkında bir hikaye, bu yüzden yeni bir iş arıyor ve Kara Dul ile bir ekipte çalışan bir S.H.I.E.L.D. ajanı oluyor. Film en iyi Agents of SHIELD'in 16 ila 17. bölümleri arasında izlenir.
6. Galaksinin Koruyucuları filmi 2014. "Agents of S.H.I.E.L.D." dizisinin 1. sezonundan sonra izlemelisiniz. Bu, daha tehlikeli suçlu Ronan'ın Sonsuzluk Taşı'nı almasını engellemek için bir ekip oluşturan dünya dışı suçluların hikayesidir.
7. "Agents of SHIELD" dizisi, ikinci sezon, 2014.
8. "Ajan Carter" dizisi, 2016. Bu, Peggy Carter ve uşak Edwin Jarvis'in Howard Stark'ın iyi adını geri kazanmasına nasıl yardım ettiklerinin hikayesidir.
9. Yenilmezler: Ultron Çağı filmi 2015. Bu filmde Yenilmezler dünyayı kurtarmak için yeniden bir araya geliyor ama bu sefer tam teşekküllü bir ekip haline geldiler. "Agents of SHIELD" ikinci sezonunun 19 ila 20 bölümünü izlemek daha iyidir.
10. "Karınca Adam" filmi, 2015. "Agents of S.H.I.E.L.D." dizisinin 2. sezonundan sonra izleyin.

Üçüncü aşama:

1. "İlk İntikamcı: Yüzleşme" filmi, 2016. Sokovia Antlaşması'ndan sonra Yenilmezler'in hükümete itaat etmesi gerekiyor, ancak bu onları iki kampa ayırıyor: kayıttan yana olanlar ve ona karşı olanlar.

Bunların hepsi zaten gösterime girmiş filmler. Ama hikayenin tamamı değil. Üçüncü aşamada 14 film daha planlanıyor ve ardından - dördüncü aşama.

İlgili makale

Karar çevrimiçi işlev sınırları. Bir fonksiyon veya fonksiyonel dizinin bir noktadaki limit değerini bulun, hesaplayın sınırlayıcı fonksiyon değeri sonsuzda. Bir sayı dizisinin yakınsamasını belirlemek ve çok daha fazlası bizim sayesinde yapılabilir. çevrimiçi servis- . İşlev sınırlarını çevrimiçi olarak hızlı ve doğru bir şekilde bulmanızı sağlıyoruz. İşlev değişkenini ve ulaşmak istediği sınırı siz kendiniz girersiniz, hizmetimiz tüm hesaplamaları sizin için yapar, doğru ve basit bir yanıt verir. Ve için çevrimiçi sınırı bulma değişmez bir ifadede hem sayısal serileri hem de sabitleri içeren analitik işlevleri girebilirsiniz. Bu durumda, bulunan fonksiyon limiti bu sabitleri ifadede sabit argümanlar olarak içerecektir. Hizmetimiz, karmaşık bulma sorunlarını çözer çevrimiçi limitler, işlevi ve hesaplamanın gerekli olduğu noktayı belirtmeniz yeterlidir. işlev sınırı. Bilgi işlem çevrimiçi limitler, kullanabilirsiniz çeşitli metodlar ve bunların çözümü için kurallar, sonucu karşılaştırırken limit çözümü çevrimiçi görevin başarıyla tamamlanmasına yol açacak www.site'de - kendi hatalarınızdan ve yazım hatalarından kaçınacaksınız. Veya fonksiyon limitinin bağımsız hesaplamaları için fazladan çaba ve zaman harcamadan bize tamamen güvenebilir ve sonucumuzu işinizde kullanabilirsiniz. Sonsuz gibi limit değerlerin girilmesine izin veriyoruz. Sayı dizisinin ortak bir terimini girmelisiniz ve www.site değeri hesaplayacak çevrimiçi sınırla artı veya eksi sonsuza.

Matematiksel analizin temel kavramlarından biri işlev sınırı ve dizi sınırı bir noktada ve sonsuzda, doğru bir şekilde çözebilmek önemlidir limitler. Hizmetimizle zor olmayacak. Bir karar veriliyor çevrimiçi limitler Saniyeler içinde cevap doğru ve eksiksizdir. Matematik çalışması ile başlar sınıra geçiş, limitler yüksek matematiğin hemen hemen tüm bölümlerinde kullanılmaktadır, bu nedenle limit çözümleri çevrimiçi sitesi hangisi.

Limitler, tüm matematik öğrencilerine çok fazla sorun çıkarır. Sınırı çözmek için bazen çok sayıda numara kullanmanız ve çeşitli çözümler arasından belirli bir örneğe uygun olanı seçmeniz gerekir.

Bu yazıda, yeteneklerinizin sınırlarını anlamanıza veya kontrolün sınırlarını kavramanıza yardımcı olmayacağız, ancak şu soruyu cevaplamaya çalışacağız: yüksek matematikte sınırlar nasıl anlaşılır? Anlamak deneyimle birlikte gelir, bu nedenle aynı zamanda açıklamalarla limit çözme konusunda bazı ayrıntılı örnekler vereceğiz.

Matematikte limit kavramı

İlk soru şudur: limit nedir ve neyin limiti? Sayısal dizilerin ve fonksiyonların limitlerinden bahsedebiliriz. Bir fonksiyonun limiti kavramıyla ilgileniyoruz, çünkü öğrencilerin en sık karşılaştığı şey onlarla. Ama önce en genel tanım sınır:

Diyelim ki bir değişken var. Değişim sürecinde bu değer sonsuza kadar yaklaşırsa belirli sayı a , o zamanlar a bu değerin sınırıdır.

Belli bir aralıkta tanımlanmış bir fonksiyon için f(x)=y sınır sayıdır A , işlevin ne zaman eğilimli olduğu X belirli bir noktaya eğilimli a . Nokta a fonksiyonun tanımlandığı aralığa aittir.

Kulağa hantal geliyor, ama çok basit bir şekilde yazılmış:

Lim- İngilizceden limit- sınır.

Limitin tanımı için geometrik bir açıklama da var, ancak konunun teorik yönünden çok pratik yönüyle ilgilendiğimiz için burada teoriye girmeyeceğiz. Bunu söylediğimizde X bir değere yönelir, bu, değişkenin bir sayının değerini almadığı, ancak ona sonsuz yaklaştığı anlamına gelir.

hadi getirelim özel örnek. Zor olan sınırı bulmaktır.

Bu örneği çözmek için değeri yerine koyarız x=3 bir fonksiyona dönüştürün. Biz:

Bu arada, ilgileniyorsanız, bu konuyla ilgili ayrı bir makale okuyun.

örneklerde X herhangi bir değere yönelebilir. Herhangi bir sayı veya sonsuz olabilir. İşte ne zaman bir örnek X sonsuza eğilimlidir:

Paydadaki sayı ne kadar büyükse, fonksiyon tarafından o kadar küçük değerin alınacağı sezgisel olarak açıktır. Yani, sınırsız büyüme ile X anlam 1/x azalacak ve sıfıra yaklaşacaktır.

Gördüğünüz gibi, limiti çözmek için, sadece elde etmeye çalışacağınız değeri fonksiyona yerleştirmeniz gerekiyor. X . Ancak bu en basit durumdur. Çoğu zaman sınırı bulmak o kadar da açık değildir. Sınırlar dahilinde, tür belirsizlikleri vardır. 0/0 veya sonsuzluk/sonsuzluk . Bu gibi durumlarda ne yapmalı? Hileleri kullan!

İçindeki belirsizlikler

Sonsuz/sonsuz formunun belirsizliği

Bir sınır olsun:

Fonksiyonda sonsuzluğu yerine koymaya çalışırsak, hem payda hem de paydada sonsuzluk elde ederiz. Genel olarak, bu tür belirsizlikleri çözmede belirli bir sanat unsuru olduğunu söylemeye değer: Bir işlevin, belirsizliğin ortadan kalkacağı bir şekilde nasıl dönüştürülebileceğine dikkat edilmelidir. Bizim durumumuzda, pay ve paydayı şuna böleriz: X son derece. Ne olacak?

Yukarıda ele alınan örnekten, paydasında x bulunan terimlerin sıfır olma eğiliminde olduğunu biliyoruz. O zaman limitin çözümü:

Yazım belirsizliklerini ortaya çıkarmak için sonsuzluk/sonsuzluk pay ve paydayı şuna bölün: X en yüksek dereceye kadar.

Bu arada! Okurlarımız için şimdi %10 indirim var.

Başka bir belirsizlik türü: 0/0

Her zaman olduğu gibi, değer fonksiyonuna ikame x=-1 verir 0 payda ve paydada. Biraz daha yakından bakın ve payda ikinci dereceden bir denklemimiz olduğunu fark edeceksiniz. Kökleri bulalım ve yazalım:

Hadi azaltalım ve elde edelim:

Yani, tür belirsizliği ile karşılaşırsanız 0/0 - pay ve paydayı çarpanlara ayırın.

Örnekleri çözmenizi kolaylaştırmak için işte bazı fonksiyonların limitlerini içeren bir tablo:

L'Hopital'in kuralı

Her iki belirsizliği de ortadan kaldırmanın bir başka güçlü yolu. Yöntemin özü nedir?

Limitte belirsizlik varsa, belirsizlik ortadan kalkana kadar pay ve paydanın türevini alırız.

Görsel olarak, L'Hopital'in kuralı şöyle görünür:

Önemli nokta : pay ve payda yerine pay ve paydanın türevlerinin olduğu limit bulunmalıdır.

Ve şimdi gerçek bir örnek:

Tipik bir belirsizlik var. 0/0 . Pay ve paydanın türevlerini alın:

Voila, belirsizlik hızlı ve zarif bir şekilde ortadan kaldırılıyor.

Umarız bu bilgiyi pratikte iyi bir şekilde kullanabilir ve "yüksek matematikte limitler nasıl çözülür" sorusuna cevap bulabilirsiniz. Bir dizinin limitini veya bir fonksiyonun bir noktadaki limitini hesaplamanız gerekiyorsa ve "kesinlikle" kelimesinden bu iş için zaman yoksa, hızlı ve ayrıntılı bir çözüm için bkz.