تناظر الأشكال حول المحور. التناظر المركزي والمحوري. النظر في التناظرات المحورية والمركزية كخصائص لبعض الأشكال الهندسية ؛ النظر في المحورية والمركزية

إذن ، فيما يتعلق بالهندسة: هناك ثلاثة أنواع رئيسية من التناظر.

في البداية، التناظر المركزي (أو التناظر حول نقطة) - هذا هو تحويل المستوى (أو الفضاء) ، حيث تظل النقطة الوحيدة (النقطة O - مركز التناظر) في مكانها ، بينما تغير بقية النقاط موضعها: بدلاً من النقطة A ، نحصل على النقطة A1 مثل هذه النقطة O هي منتصف الجزء AA1. لإنشاء شكل Ф1 ، متماثل مع الشكل Ф فيما يتعلق بالنقطة O ، من الضروري رسم شعاع عبر كل نقطة من الشكل Ф مرورًا بالنقطة O (مركز التناظر) ، وعلى هذا الشعاع لضبط ضع جانباً نقطة متناظرة مع النقطة المختارة فيما يتعلق بالنقطة O. ستعطي مجموعة النقاط التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة الشكل F1.

تعتبر الأشكال التي لها مركز تناظر ذات أهمية كبيرة: مع التناظر حول النقطة O ، تتحول أي نقطة من الشكل F مرة أخرى إلى نقطة معينة من الشكل F. هناك العديد من هذه الأشكال في الهندسة. على سبيل المثال: مقطع (منتصف المقطع هو مركز التناظر) ، خط مستقيم (أي نقطة من نقاطه هي مركز تناظره) ، دائرة (مركز الدائرة هو مركز التناظر) ، أ مستطيل (نقطة تقاطع أقطارها هي مركز التناظر). هناك العديد من العناصر المتماثلة مركزيًا في الطبيعة الحية وغير الحية (اتصال الطالب). غالبًا ما يصنع الأشخاص بأنفسهم كائنات لها مركز تناظرrii (أمثلة من الإبرة ، أمثلة من الهندسة الميكانيكية ، أمثلة من الهندسة المعمارية والعديد من الأمثلة الأخرى).

ثانيًا، التناظر المحوري (أو التناظر حول خط) - هذا هو تحويل المستوى (أو الفضاء) ، حيث تبقى نقاط الخط p فقط في مكانها (هذا الخط هو محور التناظر) ، بينما تغير بقية النقاط موضعها: بدلاً من النقطة B ، نحصل على النقطة B1 بحيث يكون الخط p هو المنصف العمودي للقطعة BB1. لإنشاء شكل Φ1 متماثل مع الشكل Φ بالنسبة للخط p ، من الضروري لكل نقطة من الشكل Φ إنشاء نقطة متناظرة لها فيما يتعلق بالخط p. تعطي مجموعة كل هذه النقاط المبنية الشكل المطلوب Ф1. يوجد الكثير الأشكال الهندسيةوجود محور التناظر.

المستطيل به اثنان ، والمربع به أربعة ، والدائرة بها أي خط مستقيم يمر عبر مركزها. إذا نظرت عن كثب إلى أحرف الأبجدية ، فستجد من بينها تلك التي لها محاور تناظر أفقي أو رأسي ، وأحيانًا كلا محوري التماثل. الكائنات ذات محاور التناظر شائعة جدًا في الطبيعة الحية وغير الحية (تقارير الطلاب). في نشاطه ، يخلق الشخص العديد من الأشياء (على سبيل المثال ، الحلي) التي لها عدة محاور للتماثل.

______________________________________________________________________________________________________

ثالثا، التناظر المستوي (المرآة) (أو التناظر حول المستوى) - هذا تحويل للفضاء ، حيث تحتفظ نقاط مستوى واحد فقط بموقعها (مستوى التناظر α) ، وتغير النقاط المتبقية من الفضاء موضعها: بدلاً من النقطة C ، يتم الحصول على هذه النقطة C1 بحيث تكون الطائرة α يمر عبر منتصف المقطع CC1 عموديًا عليه.

لبناء شكل Ф1 ، متماثل مع الشكل Ф فيما يتعلق بالمستوى α ، من الضروري لكل نقطة من الشكل Ф بناء نقاط متناظرة فيما يتعلق بـ α ، فهي تشكل الشكل Ф1 في مجموعتها.

في أغلب الأحيان ، في عالم الأشياء والأشياء من حولنا ، نواجه أجسامًا ثلاثية الأبعاد. وبعض هذه الأجسام لها مستويات تماثل ، وأحيانًا عدة مستويات. والرجل نفسه في أنشطته (البناء ، الإبرة ، النمذجة ، ...) يصنع أشياء ذات مستويات تناسق.

من الجدير بالذكر أنه إلى جانب الأنواع الثلاثة المذكورة من التناظر ، هناك (في العمارة)محمول ودور، وهي في الهندسة تكوينات من عدة حركات.

النظر في المحوري و التناظر المركزيكخصائص لبعض الأشكال الهندسية ؛ النظر في التناظرات المحورية والمركزية كخصائص لبعض الأشكال الهندسية ؛ تكون قادرًا على بناء نقاط متماثلة والقدرة على التعرف على الأشكال المتماثلة حول نقطة أو خط ؛ تكون قادرًا على بناء نقاط متماثلة والقدرة على التعرف على الأشكال المتماثلة حول نقطة أو خط ؛ تحسين مهارات حل المشكلات ؛ تحسين مهارات حل المشكلات ؛ مواصلة العمل على دقة التسجيل وأداء الرسم الهندسي. مواصلة العمل على دقة التسجيل وأداء الرسم الهندسي.

العمل الشفوي "Gentle poll" Oral work "Gentle poll" ما هي النقطة التي تسمى نقطة منتصف المقطع؟ أي مثلث يسمى مثلث متساوي الساقين؟ ما هي خاصية أقطار المعين؟ قم بصياغة خاصية منصف المثلث متساوي الساقين. ما هي الخطوط التي تسمى عمودي؟ ما هو المثلث متساوي الأضلاع؟ ما خاصية أقطار المربع؟ ما هي الأرقام التي تسمى متساوية؟

ما هي المفاهيم الجديدة التي تعلمتها في الفصل؟ ما هي المفاهيم الجديدة التي تعلمتها في الفصل؟ ماذا تعلمت عن الأشكال الهندسية؟ ماذا تعلمت عن الأشكال الهندسية؟ أعط أمثلة لأشكال هندسية ذات تناظر محوري. أعط أمثلة لأشكال هندسية ذات تناظر محوري. أعط مثالاً على الأشكال ذات التناظر المركزي. أعط مثالاً على الأشكال ذات التناظر المركزي. أعط أمثلة لأشياء من الحياة المحيطة بها نوع أو نوعين من التناظر. أعط أمثلة لأشياء من الحياة المحيطة بها نوع أو نوعين من التناظر.

« تناظر"هي كلمة من أصل يوناني. إنه يعني التناسب ترتيب معين، أنماط في ترتيب الأجزاء.

منذ العصور القديمة ، استخدم الناس التناسق في الرسومات والزخارف والأدوات المنزلية.
التماثل منتشر في الطبيعة. يمكن ملاحظتها في شكل أوراق الشجر والزهور ، في ترتيب أعضاء الحيوانات المختلفة ، في الشكل أجسام بلورية، في فراشة ترفرف ، ندفة ثلجية غامضة ، فسيفساء في معبد ، نجم بحر.
يستخدم التناظر على نطاق واسع في الممارسة ، في البناء والهندسة. هذا تناسق صارم في شكل المباني القديمة والمزهريات اليونانية القديمة المتناغمة ومبنى الكرملين والسيارات والطائرات وغير ذلك الكثير. (الشريحة 4) أمثلة على استخدام التناظر هي الباركيه والحدود. (راجع الارتباط التشعبي حول استخدام التناظر في الحدود والباركيه) دعنا نلقي نظرة على بعض الأمثلة حيث يمكنك رؤية التناظر في كائنات مختلفة باستخدام عرض الشرائح (قم بتشغيل الرمز).

التعريف: هو تناظر حول نقطة.
التعريف: النقطتان A و B متماثلتان فيما يتعلق بنقطة ما O إذا كانت النقطة O هي نقطة منتصف المقطع AB.
التعريف: تسمى النقطة O مركز تناظر الشكل ، ويسمى الشكل متماثلًا مركزيًا.
الخاصية: الأرقام المتماثلة فيما يتعلق بنقطة ما متساوية.
أمثلة:

خوارزمية لبناء شخصية متناظرة مركزيا
1. لنقم ببناء مثلث A 1B 1 C 1 ، متماثل مع المثلث ABC ، ​​بالنسبة للمركز (النقطة) O. للقيام بذلك ، قم بالاتصال النقاط أ ، ب ، جمع المركز O ومواصلة هذه الأجزاء ؛
2. نقيس المقاطع AO و VO و CO ونضعها جانبًا على الجانب الآخر من النقطة O ، الأجزاء المتساوية (AO \ u003d A 1 O 1 ، VO \ u003d B 1 O 1 ، CO \ u003d C 1 O 1) ؛

3. قم بتوصيل النقاط الناتجة بالمقاطع A 1 B 1 ؛ أ 1 ج 1 ؛ B1 ج 1.
لقد حصلنا على ∆A 1 B 1 C 1 متماثل ∆ ABC.

- هذا تناظر حول المحور المرسوم (خط مستقيم).
التعريف: النقطتان A و B متماثلتان بالنسبة لبعض الخطوط أ إذا كانت هذه النقطتين تقعان على خط عمودي على الخط المعطى وعلى نفس المسافة.
التعريف: يسمى محور التناظر بالخط المستقيم عند الانحناء الذي يتطابق على طوله "النصفان" ، ويسمى الشكل المتماثل حول بعض المحاور.
الملكية: شخصان متماثلان متساويان.
أمثلة:

خوارزمية لبناء شكل متماثل فيما يتعلق ببعض الخطوط المستقيمة
لنقم ببناء مثلث A1B1C1 متماثل مع المثلث ABC بالنسبة للخط أ.
من أجل هذا:
1. نرسم خطوطًا مستقيمة من رؤوس المثلث ABC عموديًا على الخط المستقيم a ونواصلها أكثر.
2. نقيس المسافات من رؤوس المثلث إلى النقاط الناتجة على الخط المستقيم ونرسم نفس المسافات على الجانب الآخر من الخط المستقيم.
3. قم بتوصيل النقاط الناتجة بالمقاطع A1B1 ، B1C1 ، B1C1.

تلقى А1В1С1 متماثل АВС.

أنا . التناظر في الرياضيات :

المفاهيم والتعاريف الأساسية.

التناظر المحوري (التعريفات ، خطة البناء، أمثلة)

التناظر المركزي (التعاريف ، خطة البناء ، معالإجراءات)

جدول ملخص (جميع الخصائص والميزات)

ثانيًا . تطبيقات التماثل:

1) في الرياضيات

2) في الكيمياء

3) في علم الأحياء وعلم النبات وعلم الحيوان

4) في الفن والأدب والعمارة

/dict/bse/article/00071/07200.htm

/html/simmetr/index.html

/sim/sim.ht

/index.html

1. المفاهيم الأساسية للتناظر وأنواعه.

مفهوم التناظر ن صيمتد عبر تاريخ البشرية. تم العثور عليه بالفعل في أصول المعرفة البشرية. نشأت فيما يتعلق بدراسة الكائن الحي ، أي الإنسان. وقد استخدمه النحاتون في القرن الخامس قبل الميلاد. ه. كلمة "تناظر" يونانية ، وتعني "التناسب ، والتناسب ، والتماثل في ترتيب الأجزاء". يستخدم على نطاق واسع في جميع مجالات العلم الحديث دون استثناء. فكر الكثير من العظماء في هذا النمط. على سبيل المثال ، قال ل. ن. تولستوي: "عندما أقف أمام لوح أسود وأرسم عليه أشكالًا مختلفة بالطباشير ، أذهلتني فجأة الفكرة: لماذا يكون التناظر واضحًا للعين؟ ما هو التناظر؟ أجبت هذا شعور فطري ، بنفسي. على ماذا تقوم؟ " التماثل يسعد العين حقًا. من لم يعجب بتناسق إبداعات الطبيعة: أوراق الشجر ، الزهور ، الطيور ، الحيوانات ؛ أو إبداعات بشرية: المباني ، والتكنولوجيا ، - كل ما يحيط بنا منذ الطفولة ، والذي يسعى إلى الجمال والوئام. قال هيرمان ويل: "التماثل هو الفكرة التي حاول الإنسان من خلالها على مدى قرون أن يفهم ويخلق النظام والجمال والكمال". هيرمان ويل عالم رياضيات ألماني. يقع نشاطها في النصف الأول من القرن العشرين. كان هو الذي صاغ تعريف التناظر ، الذي أنشأته العلامات لرؤية الوجود ، أو على العكس من ذلك ، غياب التناظر في حالة معينة. وهكذا ، تم تشكيل تمثيل دقيق رياضيًا مؤخرًا نسبيًا - في بداية القرن العشرين. إنه معقد للغاية. سوف ننتقل ونتذكر مرة أخرى التعريفات المقدمة لنا في الكتاب المدرسي.

2. التناظر المحوري.

2.1 التعاريف الأساسية

تعريف. يُطلق على النقطتين A و A 1 اسم متناظرتين بالنسبة للخط a إذا كان هذا الخط يمر عبر نقطة المنتصف للقطعة AA 1 وعمودي عليه. تعتبر كل نقطة من الخط a متناظرة مع نفسها.

تعريف. يقال إن الشكل متماثل بالنسبة إلى الخط المستقيم. أ، إذا كانت النقطة متناظرة بالنسبة لكل نقطة من الشكل بالنسبة للخط المستقيم أينتمي أيضًا إلى هذا الرقم. على التوالي. مستقيم أيسمى محور تناظر الشكل. ويقال أيضًا أن الشكل له تناظر محوري.

2.2 خطة البناء

ومن ثم ، لبناء شكل متماثل بالنسبة إلى خط مستقيم من كل نقطة ، نرسم عموديًا على هذا الخط المستقيم ونمده بنفس المسافة ، ونضع علامة على النقطة الناتجة. نقوم بهذا مع كل نقطة ، نحصل على الرؤوس المتماثلة للشكل الجديد. ثم نقوم بتوصيلهم في سلسلة ونحصل على شكل متماثل لهذا المحور النسبي.

2.3 أمثلة على الأشكال ذات التناظر المحوري.

3. التناظر المركزي

3.1 التعريفات الأساسية

تعريف. تسمى النقطتان A و A 1 متناظرتين بالنسبة للنقطة O إذا كانت O هي نقطة المنتصف للجزء AA 1. تعتبر النقطة O متناظرة مع نفسها.

تعريف.يُطلق على الشكل المتماثل فيما يتعلق بالنقطة O إذا كانت النقطة المتناظرة بالنسبة لكل نقطة من الشكل تنتمي أيضًا إلى هذا الشكل.

3.2 خطة البناء

بناء مثلث متماثل مع المثلث المعطى بالنسبة للمركز O.

لبناء نقطة متناظرة إلى نقطة ونسبة إلى هذه النقطة ايكفي رسم خط مستقيم OA(الشكل 46 ) وعلى الجانب الآخر من النقطة اضع جانبا قطعة مساوية لقطعة OA. بعبارات أخرى , النقاط أ و ؛ في و ؛ ج و متناظرة فيما يتعلق بنقطة ما O. في التين. 46 بنى مثلثًا متماثلًا إلى مثلث ABC نسبة إلى هذه النقطة س.هذه المثلثات متساوية.

بناء نقاط متناظرة حول المركز.

في الشكل ، النقاط M و M 1 و N و N 1 متناظرة حول النقطة O ، والنقطتان P و Q غير متماثلتين حول هذه النقطة.

بشكل عام ، الأرقام المتماثلة حول نقطة ما تساوي .

3.3 أمثلة

دعونا نعطي أمثلة لأشكال ذات تناظر مركزي. أبسط الأشكال ذات التناظر المركزي هي الدائرة ومتوازي الأضلاع.

النقطة O تسمى مركز تناظر الشكل. في مثل هذه الحالات ، يكون للشكل تناظر مركزي. مركز التماثل في الدائرة هو مركز الدائرة ، ومركز التماثل في متوازي الأضلاع هو نقطة تقاطع أقطارها.

يحتوي الخط أيضًا على تناظر مركزي ، ومع ذلك ، على عكس الدائرة ومتوازي الأضلاع ، اللذان يحتويان على مركز واحد فقط من التماثل (النقطة O في الشكل) ، فإن الخط له عدد لا نهائي منها - أي نقطة على الخط هي مركز التناظر. .

تُظهر الأشكال زاوية متناظرة حول الرأس ، جزء متماثل مع جزء آخر حول المركز وورباعي متماثل حول رأسه م.

المثلث هو مثال على الشكل الذي لا يحتوي على مركز تناظر.

4. ملخص الدرس

دعونا نلخص المعرفة المكتسبة. اليوم في الدرس تعرفنا على نوعين رئيسيين من التناظر: مركزي ومحوري. دعونا نلقي نظرة على الشاشة وننظم المعرفة المكتسبة.

جدول التلخيص

	التناظر المحوري	التناظر المركزي
خصوصية	يجب أن تكون جميع نقاط الشكل متماثلة فيما يتعلق ببعض الخطوط المستقيمة.	يجب أن تكون جميع نقاط الشكل متماثلة حول النقطة المختارة كمركز التناظر.
ملكيات	1. تقع النقاط المتماثلة على الخطوط العمودية للخط. 3. تتحول الخطوط المستقيمة إلى خطوط مستقيمة ، وتتحول الزوايا إلى زوايا متساوية. 4. يتم حفظ أحجام الأشكال وأشكالها.	1. تقع النقاط المتماثلة على خط مستقيم يمر عبر المركز والنقطة المحددة للشكل. 2. المسافة من نقطة إلى خط مستقيم تساوي المسافة من خط مستقيم إلى نقطة متماثلة. 3. يتم حفظ أحجام الأشكال وأشكالها.

ثانيًا. تطبيق التناظر

© Sukhacheva Elena Vladimirovna، 2008-2009

في هذا الدرس ، سوف ننظر إلى خاصية أخرى لبعض الأشكال - التناظر المحوري والمركزي. نواجه تناسقًا محوريًا كل يوم عندما ننظر في المرآة. التماثل المركزي شائع جدًا في الحياة البرية. في الوقت نفسه ، تحتوي الأشكال التي لها تناظر على عدد من الخصائص. بالإضافة إلى ذلك ، سنتعلم لاحقًا أن التناظرات المحورية والمركزية هي أنواع من الحركات التي يتم من خلالها حل فئة كاملة من المشكلات.

يدور هذا الدرس حول التناظر المحوري والمركزي.

تعريف

النقطتان وتسمى متماثلبالنسبة إلى الخط المستقيم إذا:

على التين. يوضح الشكل 1 أمثلة لنقاط متناظرة فيما يتعلق بخط مستقيم و ، و.

أرز. واحد

نلاحظ أيضًا حقيقة أن أي نقطة على خط ما تكون متناظرة مع نفسها بالنسبة لهذا الخط المستقيم.

يمكن أن تكون الأشكال أيضًا متناظرة بالنسبة إلى الخط المستقيم.

دعونا نصوغ تعريف دقيق.

تعريف

الرقم يسمى متماثل حول خط مستقيم، إذا كانت النقطة المتناظرة بالنسبة إلى كل نقطة من الشكل تنتمي أيضًا إلى الشكل. في هذه الحالة ، يتم استدعاء الخط محاور التماثل. هذا الرقم التناظر المحوري.

ضع في اعتبارك عدة أمثلة لأشكال ذات تناظر محوري ومحاور تناظرها.

مثال 1

الزاوية متناظرة محوريًا. محور تناظر الزاوية هو المنصف. بالفعل: دعنا نسقط العمود العمودي على المنصف من أي نقطة في الزاوية ونمدها حتى يتقاطع مع الجانب الآخر للزاوية (انظر الشكل 2).

أرز. 2

(لأن - الجانب المشترك ، (خاصية المنصف) والمثلثات قائمة الزاوية). وسائل، . لذلك ، تكون النقاط متماثلة فيما يتعلق بمنصف الزاوية.

ويترتب على ذلك أن المثلث متساوي الساقين له أيضًا تناظر محوري فيما يتعلق بالمنصف (الارتفاع ، الوسيط) المرسوم على القاعدة.

مثال 2

يحتوي المثلث المتساوي الأضلاع على ثلاثة محاور تناظر (منصفات / متوسطات / ارتفاعات لكل زاوية من الزوايا الثلاث (انظر الشكل 3).

أرز. 3

مثال 3

يحتوي المستطيل على محوري تناظر ، يمر كل منهما عبر نقطتي المنتصف بين ضلعيه المتقابلين (انظر الشكل 4).

أرز. 4

مثال 4

يحتوي المعين أيضًا على محوري تناظر: خطوط مستقيمة تحتوي على أقطارها (انظر الشكل 5).

أرز. خمسة

مثال 5

يحتوي المربع ، المعين والمستطيل ، على 4 محاور تناظر (انظر الشكل 6).

أرز. 6

مثال 6

بالنسبة للدائرة ، فإن محور التناظر هو أي خط مستقيم يمر عبر مركزها (أي يحتوي على قطر الدائرة). لذلك ، تحتوي الدائرة على عدد لا نهائي من محاور التماثل (انظر الشكل 7).

أرز. 7

فكر الآن في المفهوم التناظر المركزي.

تعريف

النقاط وتسمى متماثلبالنسبة للنقطة ، إذا: - منتصف المقطع.

لنلقِ نظرة على بعض الأمثلة: في الشكل. يوضح الشكل 8 النقاط و ، وكذلك ، والتي تكون متماثلة فيما يتعلق بالنقطة ، في حين أن النقاط وليست متماثلة فيما يتعلق بهذه النقطة.

أرز. ثمانية

بعض الأرقام متناظرة حول نقطة ما. دعونا نصوغ تعريف دقيق.

تعريف

الرقم يسمى متماثل حول نقطة، إذا كانت النقطة المتماثلة في أي نقطة من الشكل تنتمي أيضًا إلى هذا الشكل. النقطة تسمى مركز التناظر، وهذا الرقم التناظر المركزي.

ضع في اعتبارك أمثلة لأشكال ذات تناظر مركزي.

مثال 7

بالنسبة للدائرة ، فإن مركز التناظر هو مركز الدائرة (من السهل إثبات ذلك بتذكر خصائص قطر الدائرة ونصف قطرها) (انظر الشكل 9).

أرز. تسع

المثال 8

بالنسبة إلى متوازي الأضلاع ، فإن مركز التناظر هو نقطة تقاطع الأقطار (انظر الشكل 10).

أرز. 10

دعونا نحل عدة مسائل على التناظر المحوري والمركزي.

مهمة 1.

كم عدد محاور التناظر التي يمتلكها المقطع المستقيم؟

القطعة لها محوري تناظر. أولهما عبارة عن خط يحتوي على مقطع (بما أن أي نقطة في الخط متناظرة مع نفسها فيما يتعلق بهذا الخط). والثاني هو الخط العمودي الأوسط على القطعة ، أي الخط المستقيم العمودي على القطعة ويمر عبر منتصفها.

الجواب: محوري التناظر.

المهمة 2.

كم عدد محاور التماثل التي يمتلكها الخط؟

للخط المستقيم عدد لا نهائي من محاور التماثل. واحد منهم هو الخط نفسه (بما أن أي نقطة من الخط تكون متناظرة مع نفسها بالنسبة لهذا الخط). وكذلك محاور التماثل هي أي خطوط متعامدة على خط معين.

الجواب: يوجد عدد لانهائي من محاور التناظر.

المهمة 3.

كم عدد محاور التماثل التي يمتلكها الشعاع؟

يحتوي الشعاع على محور تناظر واحد يتزامن مع الخط الذي يحتوي على الشعاع (نظرًا لأن أي نقطة من الخط متناظرة مع نفسها فيما يتعلق بهذا الخط).

الجواب: محور تناظر واحد.

المهمة 4.

إثبات أن الخطوط التي تحتوي على أقطار المعين هي محاور التناظر.

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك المعين. دعونا نثبت ، على سبيل المثال ، أن الخط المستقيم هو محور التناظر. من الواضح أن النقاط ومتناسقة مع نفسها ، لأنها تقع على هذا الخط. بالإضافة إلى ذلك ، فإن النقاط متناظرة فيما يتعلق بهذا الخط منذ ذلك الحين . دعونا الآن نختار نقطة عشوائية ونثبت أن النقطة المتماثلة فيما يتعلق بها تنتمي أيضًا إلى المعين (انظر الشكل 11).

أرز. أحد عشر

ارسم عموديًا على الخط المار بالنقطة وامتد إلى التقاطع مع. ضع في اعتبارك المثلثات و. هذه المثلثات مستطيلة (حسب البناء) ، بالإضافة إلى ذلك ، فيها: - ساق مشتركة ، و (لأن أقطار المعين هي منصفاتها). إذن هذه المثلثات متساوية: . هذا يعني أن جميع العناصر المقابلة لها متساوية أيضًا ، لذلك:. من مساواة هذه المقاطع ، يترتب على ذلك أن النقاط متناظرة فيما يتعلق بالخط المستقيم. هذا يعني أن هذا هو محور تناظر المعين. يمكن إثبات هذه الحقيقة بالمثل بالنسبة للقطر الثاني.

مثبت.

المهمة 5.

إثبات أن نقطة تقاطع قطري متوازي الأضلاع هي مركز التناظر.

دليل - إثبات:

ضع في اعتبارك متوازي الأضلاع. دعونا نثبت أن النقطة هي مركز التناظر. من الواضح أن النقطتين و ، وهما متناظرتان فيما يتعلق بالنقطة ، نظرًا لأن أقطار متوازي الأضلاع مقسومة على نقطة التقاطع إلى النصف. دعونا الآن نختار نقطة عشوائية ونثبت أن النقطة المتماثلة فيما يتعلق بها تنتمي أيضًا إلى متوازي الأضلاع (انظر الشكل 12).