تعريف نظام المعادلات الخطية وحلها. أمثلة على أنظمة المعادلات الخطية: طريقة الحل

النظام يسمى مشترك،أو قابل للحلإذا كان لديه حل واحد على الأقل. النظام يسمى غير متوافق،أو لا يتحلل في الماءإذا لم يكن لديها حلول.

محدد ، لأجل غير مسمى SLAE.

إذا كان SLAE لديه حل وكان فريدًا ، فسيتم استدعاؤه تأكيدوإذا لم يكن الحل فريدًا ، إذن غير مؤكد.

معادلات المصفوفة

المصفوفات تجعل من الممكن تدوين النظام بإيجاز المعادلات الخطية. دعونا نعطي نظام من 3 معادلات مع ثلاثة مجاهيل:

ضع في اعتبارك مصفوفة النظام وأعمدة المصفوفة لأعضاء غير معروفين وأحرار

لنجد المنتج

أولئك. كنتيجة للمنتج ، نحصل على الجانبين الأيسر من معادلات هذا النظام. بعد ذلك ، باستخدام تعريف مساواة المصفوفة ، يمكن كتابة هذا النظام كـ

أو أقصر أ∙س = ب.

هنا المصفوفات أو بمعروفة والمصفوفة Xمجهول. يجب أن يتم العثور عليها ، لأن. عناصره هي الحل لهذا النظام. هذه المعادلة تسمى معادلة المصفوفة.

اجعل محدد المصفوفة مختلفًا عن الصفر | أ| ≠ 0. ثم تحل معادلة المصفوفة على النحو التالي. اضرب طرفي المعادلة على اليسار بالمصفوفة أ -1، معكوس المصفوفة أ:. بسبب ال أ -1 أ = هـو ه∙س = س، ثم نحصل على حل معادلة المصفوفة بالصيغة س = أ -1 ب .

لاحظ أنه نظرًا لأنه لا يمكن العثور على المصفوفة العكسية إلا للمصفوفات المربعة ، فإن طريقة المصفوفة يمكنها فقط حل تلك الأنظمة التي فيها عدد المعادلات هو نفسه عدد المجهول.

صيغ كرامر

طريقة كرامر هي التي نجدها على التوالي معرّف النظام الرئيسي، بمعنى آخر. محدد المصفوفة A: D = det (a i j) و المحددات المساعدة D i (i =) ، والتي يتم الحصول عليها من المحدد D عن طريق استبدال العمود i بعمود من الأعضاء الأحرار.

تبدو صيغ كرامر كما يلي: D × x i = D i (i =).

من هذا يتبع قاعدة كرامر ، التي تعطي إجابة شاملة لمسألة توافق النظام: إذا كان المحدد الرئيسي للنظام غير صفري ، فإن النظام لديه حل فريد ، تحدده الصيغ: x i = D i / D.

إذا كان المحدد الرئيسي للنظام D وجميع المحددات المساعدة D i = 0 (i =) ، فإن النظام يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول. إذا كان المحدد الرئيسي للنظام D = 0 ، وكان المحدد الإضافي واحدًا على الأقل مختلفًا عن الصفر ، فهذا يعني أن النظام غير متسق.

نظرية (قاعدة كرامر): إذا كان محدد النظام هو Δ ≠ 0 ، فإن النظام قيد الدراسة له حل واحد فقط ، و

الدليل: إذن ، ضع في اعتبارك نظامًا من 3 معادلات بثلاثة مجهولات. اضرب المعادلة الأولى للنظام بالمكمل الجبري أ 11جزء أ 11، المعادلة الثانية - تشغيل أ 21والثالث - يوم أ 31:

دعنا نضيف هذه المعادلات:

ضع في اعتبارك كل من القوسين والجانب الأيمن من هذه المعادلة. وفقًا لنظرية توسيع المحدد من حيث عناصر العمود الأول.

وبالمثل ، يمكن إثبات أن و.

أخيرًا ، من السهل رؤية ذلك

وهكذا نحصل على المساواة:. بالتالي، .

يتم اشتقاق المساواة وبالمثل ، ومن هنا يتبع تأكيد النظرية.

نظرية كرونيكر كابيلي.

يكون نظام المعادلات الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة المعززة.

دليل - إثبات:ينقسم إلى مرحلتين.

1. دع النظام لديه حل. دعنا نظهر ذلك.

دع مجموعة الأرقام هو الحل للنظام. دلالة بواسطة العمود -th من المصفوفة ، . إذن ، عمود المصطلحات الحرة عبارة عن تركيبة خطية من أعمدة المصفوفة. يترك . دعونا نتظاهر بذلك . ثم بواسطة . نختار في الأساسي الثانوي. لديه أمر. يجب أن يمر عمود الأعضاء الأحرار عبر هذا القاصر ، وإلا فسيكون هو الأساس الثانوي للمصفوفة. عمود المصطلحات الحرة في الثانوية هو مزيج خطي من أعمدة المصفوفة. بحكم خصائص المحدد ، أين هو المحدد الذي يتم الحصول عليه من القاصر عن طريق استبدال عمود المصطلحات الحرة بالعمود. إذا مر العمود عبر M الصغرى ، فسيكون هناك عمودان متطابقان ، وبالتالي. إذا لم يمر العمود عبر القاصر ، فسيختلف عن الترتيب الأصغر r + 1 من المصفوفة فقط بترتيب الأعمدة. منذ ذلك الحين . وبالتالي ، مما يتعارض مع تعريف أساس القاصر. ومن ثم ، فإن الافتراض خاطئ.

2. اسمحوا. دعونا نظهر أن النظام لديه حل. منذ ذلك الحين ، فإن الأساس الصغير للمصفوفة هو الأساس الثانوي للمصفوفة. دع الأعمدة تمر عبر القاصر . بعد ذلك ، وفقًا لنظرية الأساس الثانوية في المصفوفة ، فإن عمود المصطلحات الحرة هو مزيج خطي من الأعمدة المشار إليها:

(1)

نضع ، ، ، ونأخذ المجهول الباقي يساوي صفرًا. ثم نحصل على هذه القيم

بحكم المساواة (1). المساواة الأخيرة تعني أن مجموعة الأرقام هو الحل للنظام. تم إثبات وجود حل.

في النظام الذي تمت مناقشته أعلاه ، والنظام متسق. في النظام ، والنظام غير متناسق.

ملاحظة: على الرغم من أن نظرية Kronecker-Capelli تجعل من الممكن تحديد ما إذا كان النظام متسقًا ، إلا أنه نادرًا ما يتم استخدامه ، بشكل رئيسي في دراسات نظرية. والسبب هو أن العمليات الحسابية التي يتم إجراؤها عند إيجاد مرتبة المصفوفة هي في الأساس نفس العمليات الحسابية عند إيجاد حل للنظام. لذلك ، عادة بدلاً من إيجاد و يبحث المرء عن حل للنظام. إذا أمكن العثور عليه ، فإننا نتعلم أن النظام متسق ويحصل في نفس الوقت على حله. إذا تعذر العثور على حل ، فإننا نستنتج أن النظام غير متسق.

خوارزمية لإيجاد حلول لنظام تعسفي من المعادلات الخطية (طريقة غاوس)

دعونا نعطي نظام المعادلات الخطية مع المجهول. مطلوب إيجاد حلها العام إذا كان متسقًا ، أو إثبات عدم اتساقها. الطريقة التي سيتم تقديمها في هذا القسم قريبة من طريقة حساب المحدد وطريقة إيجاد مرتبة المصفوفة. تسمى الخوارزمية المقترحة طريقة جاوسأو طريقة التصفية المتتالية للمجهول.

دعونا نكتب المصفوفة المعززة للنظام

نسمي العمليات التالية بالمصفوفات العمليات الأولية:

1. التقليب من الخطوط.

2. ضرب سلسلة في عدد غير صفري ؛

3. إضافة سلسلة مع سلسلة أخرى مضروبة في رقم.

لاحظ أنه عند حل نظام المعادلات ، على عكس حساب المحدد وإيجاد الرتبة ، لا يمكن للمرء العمل مع الأعمدة. إذا تمت استعادة نظام المعادلات من المصفوفة التي تم الحصول عليها عن طريق إجراء عملية أولية ، فسيكون النظام الجديد مكافئًا للنظام الأصلي.

الغرض من الخوارزمية ، من خلال تطبيق سلسلة من العمليات الأولية على المصفوفة ، للتأكد من أن كل صف ، ربما باستثناء الصف الأول ، يبدأ بالأصفار ، وعدد الأصفار حتى العنصر الأول غير الصفري في كل صف تالي. الصف أكبر مما كان عليه في السابق.

خطوة الخوارزمية على النحو التالي. أوجد العمود الأول غير الصفري في المصفوفة. فليكن عمود مع الرقم. نجد فيه عنصرًا غير صفري ونبادل الخط بهذا العنصر بالسطر الأول. من أجل عدم تجميع تدوين إضافي ، سنفترض أن هذا التغيير في الصفوف في المصفوفة قد تم بالفعل ، أي. ثم إلى السطر الثاني نضيف السطر الأول مضروبًا في الرقم ، إلى السطر الثالث نضيف السطر الأول مضروبًا في الرقم ، إلخ. نتيجة لذلك ، نحصل على المصفوفة

(عادة ما تكون الأعمدة الفارغة الأولى مفقودة.)

إذا كانت المصفوفة تحتوي على صف برقم k ، حيث تكون جميع العناصر مساوية للصفر ، ثم نوقف تنفيذ الخوارزمية ونستنتج أن النظام غير متسق. في الواقع ، باستعادة نظام المعادلات من المصفوفة الممتدة ، نحصل على أن المعادلة رقم -th سيكون لها الشكل

هذه المعادلة لا ترضي أي مجموعة من الأرقام .

يمكن كتابة المصفوفة كـ

فيما يتعلق بالمصفوفة ، نقوم بالخطوة الموضحة للخوارزمية. احصل على المصفوفة

أين ، . يمكن كتابة هذه المصفوفة مرة أخرى كـ

ويتم تطبيق الخطوة أعلاه من الخوارزمية مرة أخرى على المصفوفة.

تتوقف العملية إذا كانت المصفوفة الجديدة المصغرة تتكون من أصفار فقط بعد تنفيذ الخطوة التالية أو إذا تم استنفاد جميع الصفوف. لاحظ أن الاستنتاج حول عدم توافق النظام قد يوقف العملية حتى قبل ذلك.

إذا لم نختزل المصفوفة ، فسنصل في النهاية إلى مصفوفة بالصيغة

بعد ذلك ، يتم تنفيذ ما يسمى بالمرور العكسي للطريقة الغاوسية. بناءً على المصفوفة ، نؤلف نظام معادلات. في الجانب الأيسر ، نترك المجهول مع أرقام تقابل العناصر الأولى غير الصفرية في كل سطر ، أي. لاحظ أن . يتم نقل المجهول المتبقية إلى الجانب الأيمن. بالنظر إلى أن المجهول على الجانب الأيمن هو بعض الكميات الثابتة ، فمن السهل التعبير عن المجهول على الجانب الأيسر من حيث هذه الكميات.

الآن ، بإعطاء قيم عشوائية للمجهول على الجانب الأيمن وحساب قيم المتغيرات على الجانب الأيسر ، سنجد حلولًا مختلفة للنظام الأصلي Ax = b. لكتابة الحل العام ، من الضروري الإشارة إلى المجهول على الجانب الأيمن بأي ترتيب بالحروف ، بما في ذلك تلك المجهولات التي لم يتم كتابتها صراحةً على الجانب الأيمن بسبب معاملات صفرية ، ومن ثم يمكن كتابة عمود المجهول كعمود ، حيث يكون كل عنصر عبارة عن مجموعة خطية من القيم التعسفية (على وجه الخصوص ، مجرد قيمة عشوائية). سيكون هذا الإدخال هو الحل العام للنظام.

إذا كان النظام متجانسًا ، فإننا نحصل على الحل العام للنظام المتجانس. ستشكل معاملات ، المأخوذة في كل عنصر من عناصر عمود الحل العام ، الحل الأول من النظام الأساسي للحلول ، ومعاملات الحل الثاني ، وما إلى ذلك.

الطريقة 2: يمكن الحصول على النظام الأساسي لحلول النظام المتجانس بطريقة أخرى. للقيام بذلك ، يجب تعيين القيمة 1 لمتغير واحد ، يتم نقله إلى الجانب الأيمن ، والباقي - الأصفار. بحساب قيم المتغيرات على الجانب الأيسر ، نحصل على حل واحد من النظام الأساسي. من خلال تخصيص القيمة 1 للمتغير الآخر على الجانب الأيمن والأصفار للمتغير الآخر ، نحصل على الحل الثاني من النظام الأساسي ، وهكذا.

تعريف: يسمى النظام بالاشتراكث ، إذا كان لديه حل واحد على الأقل ، وغير متسق - وإلا ، في حالة عدم وجود حلول للنظام. لا ترتبط مسألة ما إذا كان النظام لديه حل أم لا فقط بنسبة عدد المعادلات وعدد المجهول. على سبيل المثال ، نظام من ثلاث معادلات ذات مجهولين

له حل ، ولديه عدد لا نهائي من الحلول ، ولكنه نظام من معادلتين مع ثلاثة مجاهيل.

……. … ……

أ م 1 × 1 + ... + أ م ن س ن = 0

هذا النظام ثابت دائمًا لأنه يحتوي على حل تافه x 1 =… = x n = 0

من أجل وجود حلول غير بديهية ، من الضروري والكافي

الشروط ص = ص (أ)< n , что равносильно условию det(A)=0, когда матрица А – квадратная.

ذتشكل مجموعة حلول SLAE مساحة خطية من البعد (n-r). هذا يعني أن ناتج حلها برقم ، بالإضافة إلى الجمع والجمع الخطي لعدد محدود من حلوله ، هي حلول لهذا النظام. مساحة الحل الخطي لأي SLAE هي مساحة فرعية من الفضاء R n.

أي مجموعة من الحلول المستقلة خطيًا (n-r) لـ SLAE (وهي أساس في مساحة الحل) تسمى مجموعة الحلول الأساسية (FSR).

لنكن х 1،…، х r مجهولة أساسية، х r +1،…، х n كن مجاهيل مجاني. نعطي القيم التالية للمتغيرات الحرة بدورنا:

……. … ……

أ م 1 × 1 + ... + أ م ن س ن = 0

يشكل مساحة خطية S (مساحة الحلول) ، وهي فضاء فرعي في R n (n هو عدد المجهول) ، و dims = k = n-r ، حيث r هي رتبة النظام. الأساس في مساحة الحل (x (1) ، ... ، x (k)) يسمى النظام الأساسي للحلول ، و الحل العام له الشكل:

X = c 1 x (1) +… + c k x (k)، c (1)،…، c (k)؟ ص

مثال 1. ابحث عن حل عام وبعض الحلول الخاصة للنظام

قرارافعل ذلك باستخدام الآلة الحاسبة. نكتب المصفوفات الموسعة والرئيسية:

المصفوفة الرئيسية A مفصولة بخط منقط ، ومن الأعلى نكتب الأنظمة غير المعروفة ، مع الأخذ في الاعتبار إمكانية التقليب للمصطلحات في معادلات النظام. عند تحديد رتبة المصفوفة الممتدة ، نجد في نفس الوقت رتبة المصفوفة الرئيسية. في المصفوفة B ، يتناسب العمودان الأول والثاني. من بين العمودين المتناسبين ، يمكن لعمود واحد فقط أن يقع في الصغرى الأساسية ، لذلك دعونا ننتقل ، على سبيل المثال ، العمود الأول بعد الخط المتقطع مع الإشارة المعاكسة. بالنسبة للنظام ، هذا يعني نقل المصطلحات من x 1 إلى الجانب الأيمن من المعادلات.

نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام . العمل مع الصف الأول: اضرب الصف الأول من المصفوفة في (-3) وأضف الصف الثاني والثالث على التوالي. ثم نضرب الصف الأول في (-2) ونضيفه إلى الصف الرابع.

الخطان الثاني والثالث متناسبان ، لذلك يمكن شطب أحدهما ، على سبيل المثال الثاني. هذا يعادل حذف المعادلة الثانية للنظام ، لأنها نتيجة للمعادلة الثالثة.

الآن نعمل مع السطر الثاني: اضربه في (-1) وأضفه إلى السطر الثالث.

القاصر ، المحاط بدائرة بخط منقط ، لديه أعلى ترتيب(من القاصرين المحتملين) ويختلف عن الصفر (يساوي حاصل ضرب العناصر على القطر الرئيسي) ، وينتمي هذا القاصر إلى كل من المصفوفة الرئيسية والمصفوفة الممتدة ، ومن ثم النطاق A = rangB = 3.
تحت السن القانوني أساسي. يتضمن معاملات للمجهول x 2 و x 3 و x 4 ، مما يعني أن المجهول x 2 و x 3 و x 4 تابعين و x 1 و x 5 مجانيان.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك العنصر الثانوي الأساسي فقط على اليسار (والذي يتوافق مع النقطة 4 من خوارزمية الحل أعلاه).

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل

بطريقة القضاء على المجهول نجد:
, ,

لدينا علاقات تعبر عن المتغيرات التابعة x 2 ، x 3 ، x 4 خلال x 1 و x 5 ، أي أننا وجدنا حلًا عامًا:

بإعطاء قيم عشوائية للمجهول المجاني ، نحصل على أي عدد من الحلول الخاصة. لنجد حلين معينين:
1) دع x 1 = x 5 = 0 ، ثم x 2 = 1 ، x 3 = -3 ، x 4 = 3 ؛
2) ضع x 1 = 1 ، x 5 = -1 ، ثم x 2 = 4 ، x 3 = -7 ، x 4 = 7.
وهكذا وجدنا حلين: (0.1 ، -3 ، 3 ، 0) - حل واحد ، (1.4 ، -7.7 ، -1) - حل آخر.

مثال 2. تحقق من التوافق ، وابحث عن حل عام وآخر خاص للنظام

قرار. دعونا نعيد ترتيب المعادلتين الأولى والثانية للحصول على وحدة في المعادلة الأولى وكتابة المصفوفة ب.

نحصل على الأصفار في العمود الرابع ، تعمل في الصف الأول:

احصل الآن على الأصفار في العمود الثالث باستخدام الصف الثاني:

الصفان الثالث والرابع متناسبان ، لذا يمكن شطب أحدهما دون تغيير الترتيب:
اضرب الصف الثالث في (-2) وأضف إلى الرابع:

نرى أن رتب المصفوفات الرئيسية والممتدة هي 4 ، وتتزامن الرتبة مع عدد المجهولين ، لذلك فإن النظام له حل فريد:
;
× 4 \ u003d 10-3x 1-3x 2- 2x 3 \ u003d 11.

مثال 3. افحص النظام للتأكد من توافقه وابحث عن حل إذا كان موجودًا.

قرار. نقوم بتكوين المصفوفة الممتدة للنظام.

أعد ترتيب المعادلتين الأوليين بحيث يكون هناك 1 في الزاوية اليسرى العليا:
بضرب الصف الأول في (-1) ، نضيفه إلى الصف الثالث:

اضرب السطر الثاني في (-2) وأضف إلى السطر الثالث:

النظام غير متسق ، لأن المصفوفة الرئيسية تلقت صفًا يتكون من أصفار ، يتم شطبها عند العثور على الرتبة ، ويظل الصف الأخير في المصفوفة الممتدة ، أي r B> r A.

يمارس. تحقق من نظام المعادلات هذا من أجل التوافق وحلها عن طريق حساب المصفوفة.
قرار

مثال. إثبات توافق نظام المعادلات الخطية وحلها بطريقتين: 1) بطريقة غاوس. 2) طريقة كرامر. (أدخل الإجابة بالصيغة: x1 ، x2 ، x3)
الحل: doc: doc: xls
إجابه: 2,-1,3.

مثال. نظام المعادلات الخطية معطى. إثبات توافقها. ابحث عن حل عام للنظام وحل معين واحد.
قرار
إجابه:× 3 \ u003d - 1 + × 4 + × 5 ؛ × 2 \ u003d 1 - × 4 ؛ س 1 = 2 + س 4 - 3 س 5

يمارس. ابحث عن حلول عامة وخاصة لكل نظام.
قرار.ندرس هذا النظام باستخدام نظرية Kronecker-Capelli.
نكتب المصفوفات الموسعة والرئيسية:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
× 1	x2	× 3	x4	x5

هنا المصفوفة A بخط عريض.
نحضر المصفوفة إلى شكل مثلث. سنعمل فقط مع الصفوف ، لأن ضرب صف مصفوفة في رقم غير الصفر وإضافته إلى صف آخر للنظام يعني ضرب المعادلة بنفس الرقم وإضافتها إلى معادلة أخرى ، وهذا لا يغير حل النظام .
اضرب الصف الأول ب (3). اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

اضرب الصف الثاني ب (2). اضرب الصف الثالث في (-3). دعنا نضيف السطر الثالث إلى السطر الثاني:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

اضرب الصف الثاني في (-1). دعنا نضيف السطر الثاني إلى السطر الأول:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

القاصر المختار لديه الترتيب الأعلى (بين القاصرين المحتملين) ويختلف عن الصفر (إنه يساوي حاصل ضرب العناصر على المائل المقلوب) ، وينتمي هذا القاصر إلى كل من المصفوفة الرئيسية والمصفوفة الممتدة ، وبالتالي النطاق ( أ) = رانج (ب) = 3 نظرًا لأن رتبة المصفوفة الرئيسية تساوي مرتبة المصفوفة الممتدة ، إذن النظام تعاوني.
هذا القاصر أساسي. يتضمن معاملات غير معروف x 1 و x 2 و x 3 ، مما يعني أن المجهول x 1 و x 2 و x 3 تابع (أساسي) و x 4 و x 5 مجاني.
نقوم بتحويل المصفوفة ، مع ترك الصغرى الأساسية فقط على اليسار.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
× 1	x2	× 3		x4	x5

النظام الذي يحتوي على معاملات هذه المصفوفة يكافئ النظام الأصلي وله الشكل:
27 × 3 =
- x 2 + 13x 3 = - 1 + 3x 4-6x 5
2 س 1 + 3 س 2 - 3 س 3 = 1 - 3 س 4 + 2 س 5
بطريقة القضاء على المجهول نجد:
حصلنا على العلاقات التي تعبر عن المتغيرات التابعة x 1 ، x 2 ، x 3 حتى x 4 ، x 5 ، أي أننا وجدنا قرار مشترك:
س 3 = 0
س 2 = 1 - 3 × 4 + 6 × 5
س 1 = - 1 + 3 س 4-8 س 5
غير مؤكد، لان لديه أكثر من حل.

يمارس. حل نظام المعادلات.
إجابه: × 2 = 2 - 1.67 × 3 + 0.67 × 4
× 1 = 5 - 3.67 × 3 + 0.67 × 4
بإعطاء قيم عشوائية للمجهول المجاني ، نحصل على أي عدد من الحلول الخاصة. النظام غير مؤكد

للتحقيق في نظام المعادلات العمرية الخطية (SLAE) من أجل التوافق يعني معرفة ما إذا كان هذا النظام لديه حلول أم لا. حسنًا ، إذا كانت هناك حلول ، فاذكر كم منها.

سنحتاج إلى معلومات من موضوع "نظام المعادلات الجبرية الخطية. المصطلحات الأساسية. تدوين المصفوفة". على وجه الخصوص ، هناك حاجة لمفاهيم مثل مصفوفة النظام والمصفوفة الممتدة للنظام ، نظرًا لأن صياغة نظرية Kronecker-Capelli تعتمد عليها. كالعادة ، سيتم الإشارة إلى مصفوفة النظام بالحرف $ A $ ، والمصفوفة الممتدة للنظام بالحرف $ \ widetilde (A) $.

نظرية كرونيكر كابيلي

يكون نظام المعادلات الجبرية الخطية متسقًا إذا وفقط إذا كانت رتبة مصفوفة النظام تساوي رتبة المصفوفة الممتدة للنظام ، أي $ \ الرتبة A = \ rang \ widetilde (A) $.

دعني أذكرك أن النظام يسمى مشترك إذا كان لديه حل واحد على الأقل. تقول نظرية Kronecker-Capelli هذا: إذا كان $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ ، فهناك حل ؛ إذا كان $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ ، فلا توجد حلول لـ SLAE (غير متسقة). يتم إعطاء إجابة السؤال حول عدد هذه الحلول من خلال نتيجة طبيعية لنظرية Kronecker-Capelli. يستخدم بيان النتيجة الطبيعية الحرف $ n $ ، والذي يساوي عدد المتغيرات في SLAE المحدد.

نتيجة طبيعية من نظرية كرونيكر كابيلي

1. إذا كان $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ ، فإن SLAE غير متسق (ليس له حلول).
2. إذا كان $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A)< n$, то СЛАУ является неопределённой (имеет бесконечное количество решений).
3. إذا كان $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $ ، فإن SLAE يكون محددًا (يحتوي على حل واحد بالضبط).

لاحظ أن النظرية المصاغة ونتيجتها لا تشير إلى كيفية إيجاد حل SLAE. بمساعدتهم ، يمكنك فقط معرفة ما إذا كانت هذه الحلول موجودة أم لا ، وإذا كانت موجودة ، فكم عددها.

مثال 1

استكشف SLAE $ \ left \ (\ start (align) & -3x_1 + 9x_2-7x_3 = 17؛ \\ & -x_1 + 2x_2-4x_3 = 9؛ \\ & 4x_1-2x_2 + 19x_3 = -42. \ end (بمحاذاة ) \ right. $ للتناسق إذا كان SLAE متسقًا ، حدد عدد الحلول.

لاكتشاف وجود حلول لـ SLAE معين ، نستخدم نظرية Kronecker-Capelli. نحتاج إلى مصفوفة النظام $ A $ والمصفوفة الموسعة للنظام $ \ widetilde (A) $ ، نكتبها:

$$ A = \ left (\ start (array) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end (array) \ right) ؛ \ ؛ \ widetilde (A) = \ left (\ start (array) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & -2 & 19 & -42 نهاية (مجموعة) حق). $$

نحتاج إلى العثور على $ \ rang A $ و $ \ rang \ widetilde (A) $. هناك العديد من الطرق للقيام بذلك ، بعضها مدرج في قسم رتبة المصفوفة. عادة ، يتم استخدام طريقتين لدراسة مثل هذه الأنظمة: "حساب رتبة المصفوفة بالتعريف" أو "حساب رتبة المصفوفة بطريقة التحولات الأولية".

الطريقة رقم 1. حساب الرتب حسب التعريف.

وفقًا للتعريف ، فإن الرتبة هي أعلى ترتيب للقاصرين في المصفوفة ، من بينهم على الأقل مرتبة أخرى غير الصفر. تبدأ الدراسة عادةً بالقُصّر من الدرجة الأولى ، ولكن من الأنسب هنا المضي قدمًا فورًا في حساب الرتبة الثالثة للمصفوفة $ A $. تقع عناصر الرتبة الثالثة الثانوية عند تقاطع ثلاثة صفوف وثلاثة أعمدة من المصفوفة قيد الدراسة. نظرًا لأن المصفوفة $ A $ تحتوي على 3 صفوف و 3 أعمدة فقط ، فإن الرتبة الثالثة الثانوية للمصفوفة $ A $ هي محدد المصفوفة $ A $ ، أي $ \ DeltaA $. لحساب المحدد ، نطبق الصيغة رقم 2 من موضوع "المعادلات لحساب المحددات من الدرجة الثانية والثالثة":

$$ \ Delta A = \ left | \ start (مجموعة) (ccc) -3 & 9 & -7 \\ -1 & 2 & -4 \\ 4 & -2 & 19 \ end (array) \ right | = -21. $$

إذن ، هناك قاصر من الرتبة الثالثة للمصفوفة $ A $ ، وهو لا يساوي صفرًا. لا يمكن تكوين قاصر من الدرجة الرابعة ، لأنه يتطلب 4 صفوف و 4 أعمدة ، والمصفوفة $ A $ بها 3 صفوف و 3 أعمدة فقط. لذا ، فإن أعلى ترتيب للقاصرين من المصفوفة $ A $ ، بما في ذلك واحد على الأقل غير صفري ، يساوي 3. لذلك ، $ \ Rang A = 3 $.

نحتاج أيضًا إلى العثور على $ \ rang \ widetilde (A) $. لنلقِ نظرة على بنية مصفوفة $ \ widetilde (A) $. حتى السطر في المصفوفة $ \ widetilde (A) $ هناك عناصر من المصفوفة $ A $ ، ووجدنا ذلك $ \ Delta A \ neq 0 $. لذلك ، تحتوي المصفوفة $ \ widetilde (A) $ على قاصر من الدرجة الثالثة لا يساوي الصفر. لا يمكننا تكوين مصفوفة من الرتبة الرابعة $ \ widetilde (A) $ ، لذلك نستنتج: $ \ rang \ widetilde (A) = 3 $.

نظرًا لأن $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، فإن النظام ثابت ، أي لديه حل (واحد على الأقل). للإشارة إلى عدد الحلول ، نأخذ في الاعتبار أن SLAE الخاص بنا يحتوي على 3 مجاهيل: $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. نظرًا لأن عدد المجهول هو $ n = 3 $ ، فإننا نستنتج: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $ ، لذلك ، وفقًا للنتيجة الطبيعية لنظرية Kronecker-Capelli ، فإن النظام محدد ، أي لديه حل فريد.

تم حل المشكلة. ما هي عيوب ومزايا هذه الطريقة؟ أولاً ، دعنا نتحدث عن الإيجابيات. أولًا ، علينا إيجاد محدد واحد فقط. بعد ذلك ، توصلنا على الفور إلى استنتاج بشأن عدد الحلول. عادةً ، في الحسابات النموذجية القياسية ، تُعطى أنظمة المعادلات التي تحتوي على ثلاثة مجاهيل ولها حل واحد. لمثل هذه الأنظمة هذه الطريقةمناسب جدًا ، لأننا نعلم مسبقًا أن هناك حلًا (وإلا فلن يكون هناك مثال في حساب نموذجي). أولئك. يبقى لنا فقط أن نظهر أن هناك حلًا لأغلب الحالات الطريق السريع. ثانيًا ، ستكون القيمة المحسوبة لمحدد مصفوفة النظام (أي $ \ Delta A $) مفيدة لاحقًا: عندما نبدأ في حل النظام المحدد باستخدام طريقة Cramer أو باستخدام المصفوفة العكسية.

ومع ذلك ، بحكم التعريف ، فإن طريقة حساب الرتبة غير مرغوب فيها إذا كانت مصفوفة النظام $ A $ مستطيلة. في هذه الحالة ، من الأفضل تطبيق الطريقة الثانية ، والتي سيتم مناقشتها أدناه. بالإضافة إلى ذلك ، إذا كان $ \ Delta A = 0 $ ، فلن نتمكن من قول أي شيء عن عدد الحلول الخاصة بـ SLAE غير المتجانسة. ربما يحتوي SLAE على عدد لا حصر له من الحلول ، أو ربما لا شيء. إذا كان $ \ Delta A = 0 دولار ، فهذا مطلوب بحث إضافي، والتي غالبًا ما تكون مرهقة.

بتلخيص ما قيل ، لاحظت أن الطريقة الأولى جيدة لأولئك SLAEs الذين تكون مصفوفة نظامهم مربعة. في الوقت نفسه ، يحتوي SLAE نفسه على ثلاثة أو أربعة مجاهيل ومأخوذ من الحسابات القياسية أو أعمال التحكم.

الطريقة رقم 2. حساب الرتبة بطريقة التحولات الأولية.

هذه الطريقة موصوفة بالتفصيل في الموضوع المقابل. سنحسب رتبة المصفوفة $ \ widetilde (A) $. لماذا المصفوفات $ \ widetilde (A) $ وليس $ A $؟ النقطة المهمة هي أن المصفوفة $ A $ جزء من المصفوفة $ \ widetilde (A) $ ، لذلك من خلال حساب رتبة المصفوفة $ \ widetilde (A) $ سنجد في نفس الوقت رتبة المصفوفة $ A $ .

\ start (محاذاة) & \ widetilde (A) = \ left (\ start (array) (ccc | c) -3 & 9 & -7 & 17 \\ -1 & 2 & -4 & 9 \\ 4 & - 2 & 19 & -42 \ end (array) \ right) \ rightarrow \ left | \ text (تبديل السطر الأول والثاني) \ يمين | \ rightarrow \\ & \ rightarrow \ left (\ start (array) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ -3 & 9 & -7 & 17 \\ 4 & -2 & 19 & - 42 \ end (array) \ right) \ start (array) (l) \ phantom (0) \\ II-3 \ cdot I \\ III + 4 \ cdot I \ end (array) \ rightarrow \ left (\ begin (صفيف) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 6 & 3 & -6 \ end (array) \ right) \ begin (array) ( ل) \ فانتوم (0) \ فانتوم (0) \ III-2 \ cdot II \ end (مجموعة) \ rightarrow \ & \ rightarrow \ left (\ start (array) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end (مجموعة) \ يمين) \ نهاية (محاذاة)

لقد اختزلنا المصفوفة $ \ widetilde (A) $ إلى شكل شبه منحرف. على القطر الرئيسي للمصفوفة الناتجة $ \ left (\ begin (array) (ccc | c) -1 & 2 & -4 & 9 \\ 0 & 3 & 5 & -10 \\ 0 & 0 & -7 & 14 \ end (array) \ right) $ يحتوي على ثلاثة عناصر غير صفرية: -1 ، 3 و -7. الخلاصة: إن رتبة المصفوفة $ \ widetilde (A) $ هي 3 ، أي $ \ رتبة \ widetilde (A) = 3 دولارات. عند إجراء تحويلات باستخدام عناصر المصفوفة $ \ widetilde (A) $ ، قمنا في نفس الوقت بتحويل عناصر المصفوفة $ A $ الموجودة قبل السطر. المصفوفة $ A $ هي أيضًا شبه منحرف: $ \ left (\ begin (array) (ccc) -1 & 2 & -4 \\ 0 & 3 & 5 \\ 0 & 0 & -7 \ end (array) \ right) $. الخلاصة: رتبة المصفوفة $ A $ تساوي أيضًا 3 ، أي $ \ المرتبة A = 3 دولارات.

نظرًا لأن $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) $ ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، فإن النظام ثابت ، أي لديه حل. للإشارة إلى عدد الحلول ، نأخذ في الاعتبار أن SLAE الخاص بنا يحتوي على 3 مجاهيل: $ x_1 $ و $ x_2 $ و $ x_3 $. نظرًا لأن عدد المجهول هو $ n = 3 $ ، فإننا نستنتج: $ \ rang A = \ rang \ widetilde (A) = n $ ، لذلك ، وفقًا للنتيجة الطبيعية لنظرية Kronecker-Capelli ، يتم تعريف النظام ، أي لديه حل فريد.

ما هي مميزات الطريقة الثانية؟ الميزة الرئيسية هي تنوعها. لا يهمنا ما إذا كانت مصفوفة النظام مربعة أم لا. بالإضافة إلى ذلك ، قمنا بالفعل بإجراء تحويلات لطريقة غاوس إلى الأمام. لم يتبق سوى خطوتين ، ويمكننا الحصول على حل SLAE هذا. لأكون صادقًا ، أحب الطريقة الثانية أكثر من الأولى ، لكن الاختيار مسألة ذوق.

إجابه: SLAE المعطى متسق ومحدّد.

المثال رقم 2

استكشف SLAE $ \ left \ (\ start (align) & x_1-x_2 + 2x_3 = -1 ؛ \\ & -x_1 + 2x_2-3x_3 = 3 ؛ \\ & 2x_1-x_2 + 3x_3 = 2 ؛ \\ & 3x_1- 2x_2 + 5x_3 = 1؛ \\ & 2x_1-3x_2 + 5x_3 = -4. \ end (محاذاة) \ right. $ للتوافق.

سنجد رتب مصفوفة النظام والمصفوفة الممتدة للنظام بطريقة التحولات الأولية. مصفوفة النظام الممتدة: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (array) (ccc | c) 1 & -1 & 2 & -1 \\ -1 & 2 & -3 & 3 \\ 2 & -1 & 3 & 2 \\ 3 & -2 & 5 & 1 \\ 2 & -3 & 5 & -4 \ end (مجموعة) \ يمين) $. لنجد الرتب المطلوبة عن طريق تحويل المصفوفة المعززة للنظام:

يتم تقليل المصفوفة الممتدة للنظام إلى شكل متدرج. إذا تم تقليل المصفوفة إلى نموذج متدرج ، فإن رتبتها تساوي عدد الصفوف غير الصفرية. لذلك ، $ \ الرتبة A = 3 دولارات. يتم تقليل المصفوفة $ A $ (حتى السطر) إلى شكل شبه منحرف وترتيبها يساوي 2 ، $ \ Rang A = 2 $.

منذ $ \ rang A \ neq \ rang \ widetilde (A) $ ، إذن ، وفقًا لنظرية Kronecker-Capelli ، فإن النظام غير متناسق (أي ليس له حلول).

إجابه: النظام غير متسق.

المثال رقم 3

استكشف SLAE $ \ left \ (\ start (align) & 2x_1 + 7x_3-5x_4 + 11x_5 = 42؛ \\ & x_1-2x_2 + 3x_3 + 2x_5 = 17؛ \\ & -3x_1 + 9x_2-11x_3-7x_5 = -64 ؛ \\ & -5x_1 + 17x_2-16x_3-5x_4-4x_5 = -90؛ \\ & 7x_1-17x_2 + 23x_3 + 15x_5 = 132. \ end (محاذاة) \ right. $ للتوافق.

مصفوفة النظام الموسعة هي: $ \ widetilde (A) = \ left (\ begin (array) (ccccc | c) 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ نهاية (مجموعة) \ يمين) $. قم بتبديل الصفين الأول والثاني من هذه المصفوفة بحيث يكون العنصر الأول من الصف الأول واحدًا: $ \ left (\ start (array) (ccccc | c) 1 & -2 & 3 & 0 & 2 & 17 \\ 2 & 0 & 7 & -5 & 11 & 42 \\ -3 & 9 & -11 & 0 & -7 & -64 \\ -5 & 17 & -16 & -5 & -4 & -90 \\ 7 & -17 & 23 & 0 & 15 & 132 \ end (مجموعة) \ يمين) $.

لقد قللنا المصفوفة الممتدة للنظام ومصفوفة النظام نفسه إلى شكل شبه منحرف. رتبة المصفوفة الممتدة للنظام تساوي ثلاثة ، رتبة مصفوفة النظام تساوي أيضًا ثلاثة. بما أن النظام يحتوي على $ n = 5 $ unknowns ، أي $ \ رن \ widetilde (A) = \ رتبة A< n$, то согласно следствия из теоремы Кронекера-Капелли هذا النظامغير محدد ، أي عدد لا حصر له من الحلول.

إجابه: النظام غير محدد.

في الجزء الثاني ، سنحلل الأمثلة التي غالبًا ما يتم تضمينها في الحسابات القياسية أو الاختبارات في الرياضيات العليا: دراسة التوافق وحل SLAE اعتمادًا على قيم المعلمات المضمنة فيه.

• الأنظمة مالمعادلات الخطية مع نمجهول.
  حل نظام المعادلات الخطيةهذه مجموعة من الأرقام ( × 1 ، × 2 ، ... ، × ن) ، مع استبدال أي من معادلات النظام ، يتم الحصول على المساواة الصحيحة.
  أين أ ij ، أنا = 1 ، ... ، م ؛ ي = 1 ، ... ، نهي معاملات النظام ؛
  ب أنا ، أنا = 1 ، ... ، م- أعضاء أحرار ؛
  س ي ، ي = 1 ، ... ، ن- مجهول.
  يمكن كتابة النظام أعلاه في شكل مصفوفة: أ س = ب,
  
  
  
  
  أين ( أ|ب) هي المصفوفة الرئيسية للنظام ؛
  أ- مصفوفة النظام الممتدة ؛
  X- عمود المجهول.
  بهو عمود من الأعضاء الأحرار.
  إذا كانت المصفوفة بليس مصفوفة فارغة ∅ ، ثم يسمى نظام المعادلات الخطية هذا غير متجانس.
  إذا كانت المصفوفة ب= ∅ ، فإن نظام المعادلات الخطية هذا يسمى متجانسة. يحتوي النظام المتجانس دائمًا على حل صفري (تافه): x 1 \ u003d x 2 \ u003d ... ، x n \ u003d 0.
  نظام مشترك للمعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية له حل.
  نظام غير متناسق من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية ليس له حل.
  نظام معين من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية له حل فريد.
  نظام غير محدد من المعادلات الخطيةهو نظام معادلات خطية يحتوي على عدد لا حصر له من الحلول.
• أنظمة المعادلات الخطية n مع n مجهولة
  إذا كان عدد المجهول يساوي عدد المعادلات ، فإن المصفوفة تكون مربعة. يسمى محدد المصفوفة المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الخطية ويتم الإشارة إليه بالرمز Δ.
  طريقة كرامرلحل الأنظمة نالمعادلات الخطية مع نمجهول.
  حكم كرامر.
  إذا كان المحدد الرئيسي لنظام المعادلات الخطية لا يساوي الصفر ، فإن النظام يكون ثابتًا ومُعرّفًا ، ويتم حساب الحل الوحيد باستخدام معادلات كرامر:
  حيث Δ i هي المحددات التي تم الحصول عليها من المحدد الرئيسي للنظام Δ عن طريق الاستبدال أناالعمود العاشر إلى عمود الأعضاء الأحرار. .
• أنظمة المعادلات الخطية ذات العدد المجهول n
  نظرية كرونيكر كابيلي.
  
  
  من أجل أن يكون نظام المعادلات الخطية هذا متسقًا ، من الضروري والكافي أن تكون رتبة مصفوفة النظام مساوية لرتبة المصفوفة الممتدة للنظام ، رتبة (Α) = رتبة (Α | ب).
  لو رن (Α) ≠ رن (Α | ب)، فمن الواضح أن النظام ليس لديه حلول.
  لو رتبة (Α) = رتبة (Α | ب)، إذن حالتان ممكنتان:
  1) رن (Α) = ن(لعدد المجهول) - الحل فريد ويمكن الحصول عليه بواسطة صيغ كرامر ؛
  2) رتبة (Α)< n - هناك عدد لا حصر له من الحلول.
• طريقة جاوسلحل أنظمة المعادلات الخطية
  
  
  دعونا نؤلف المصفوفة المعززة ( أ|ب) لنظام معين من المعاملات على الجانبين المجهول واليمين.
  تتكون طريقة Gaussian أو طريقة التخلص من المجهول في تقليل المصفوفة المعززة ( أ|ب) بمساعدة التحولات الأولية على صفوفها إلى شكل قطري (إلى شكل مثلث علوي). بالعودة إلى نظام المعادلات ، يتم تحديد جميع المجهول.
  تشمل التحولات الأولية على السلاسل ما يلي:
  1) تبديل سطرين ؛
  2) ضرب سلسلة في رقم غير 0 ؛
  3) إضافة سلسلة أخرى إلى السلسلة مضروبة في رقم عشوائي ؛
  4) تجاهل سلسلة فارغة.
  مصفوفة ممتدة مخفضة إلى شكل قطري تتوافق مع نظام خطي، أي ما يعادل المعطى ، الذي لا يسبب حله صعوبات. .
• نظام المعادلات الخطية المتجانسة.
  النظام المتجانس له الشكل:
  
  يتوافق مع معادلة المصفوفة أ س = 0.
  1) النظام المتجانس ثابت دائمًا ، منذ ذلك الحين ص (أ) = ص (أ | ب)، هناك دائمًا حل صفري (0 ، 0 ، ... ، 0).
  2) لكي يكون للنظام المتجانس حل غير صفري ، من الضروري والكافي ص = ص (أ)< n ، وهو ما يعادل Δ = 0.
  3) إذا ص< n ، ثم Δ = 0 ، ثم هناك مجاهيل مجانية ج 1 ، ج 2 ، ... ، ج ن ص، فإن النظام لديه حلول غير بديهية ، وهناك الكثير منها بشكل لا نهائي.
  4) حل عام Xفي ص< n يمكن كتابتها في شكل مصفوفة على النحو التالي:
  X \ u003d c 1 X 1 + c 2 X 2 + ... + c n-r X n-r,
  اين الحلول X 1، X 2،…، X n-rتشكل نظام أساسي للحلول.
  5) يمكن الحصول على النظام الأساسي للحلول من الحل العام للنظام المتجانس:
  
  ,
  إذا افترضنا بالتسلسل أن قيم المعلمات هي (1 ، 0 ، ... ، 0) ، (0 ، 1 ، ... ، 0) ، ... ، (0 ، 0 ، ... ، 1).
  تحليل الحل العام من حيث نظام الحلول الأساسيهو سجل للحل العام كمجموعة خطية من الحلول التي تنتمي إلى النظام الأساسي.
  نظرية. لكي يكون لنظام المعادلات الخطية المتجانسة حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن Δ ≠ 0.
  لذلك ، إذا كان المحدد هو Δ ≠ 0 ، فإن النظام لديه حل فريد.
  إذا كانت Δ ≠ 0 ، فإن نظام المعادلات الخطية المتجانسة يحتوي على عدد لا نهائي من الحلول.
  نظرية. لكي يكون للنظام المتجانس حل غير صفري ، من الضروري والكافي ص (أ)< n .
  دليل - إثبات:
  1) صلا يمكن أن يكون أكثر ن(رتبة المصفوفة لا تتجاوز عدد الأعمدة أو الصفوف) ؛
  2) ص< n ، لان لو ص = ن، ثم المحدد الرئيسي للنظام Δ ≠ 0 ، ووفقًا لصيغ كرامر ، هناك حل تافه فريد x 1 \ u003d x 2 \ u003d ... \ u003d x n \ u003d 0الذي يتعارض مع الشرط. وسائل، ص (أ)< n .
  عاقبة. من أجل نظام متجانس نالمعادلات الخطية مع نالمجهول لها حل غير صفري ، من الضروري والكافي أن Δ = 0.

أين x* - أحد حلول النظام غير المتجانس (2) (على سبيل المثال (4)) ، (E − A + A)تشكل النواة (مساحة صفرية) للمصفوفة أ.

لنقم بتحليل الهيكل العظمي للمصفوفة (E − A + A):

ه − أ + أ = س س

أين س ن × ن − ص- مصفوفة المرتبة (س) = ن − ص, س ن − ص × نمصفوفة الترتيب (S) = ن − ص.

ثم يمكن كتابة (13) بالصيغة التالية:

س = س * + Qk ، ∀ ك ∈ ص ن ص.

أين ك = س.

لذا، إجراء الحل العامنظام المعادلات الخطية باستخدام الزائفة مصفوفة معكوسةيمكن تقديمها بالشكل التالي:

1. احسب المصفوفة العكسية الزائفة أ + .
2. نحسب حلاً معينًا للنظام غير المتجانس للمعادلات الخطية (2): x*=أ + ب.
3. نتحقق من توافق النظام. لهذا نحسب AA + ب. لو AA + ب≠ب، فإن النظام غير متسق. خلاف ذلك ، نواصل الإجراء.
4. vyssylyaem ه − أ + أ.
5. عمل تحلل الهيكل العظمي E − A + A = Q · S.
6. بناء حل

س = س * + Qk ، ∀ ك ∈ ص ن ص.

حل نظام المعادلات الخطية عبر الإنترنت

تتيح لك الآلة الحاسبة عبر الإنترنت العثور على الحل العام لنظام المعادلات الخطية مع شرح مفصل.