Площта на страничната и пълната повърхност на призмата. Теорема за площта на страничната повърхност на права призма
Видео курсът "Get an A" включва всички теми, необходими за успешен преминаване на изпитапо математика за 60-65 точки. Напълно всички задачи 1-13 от Профила USE по математика. Подходящ и за преминаване на Basic USE по математика. Ако искате да издържите изпита с 90-100 точки, трябва да решите част 1 за 30 минути и без грешки!
Подготвителен курс за изпита за 10-11 клас, както и за учители. Всичко необходимо за решаване на част 1 от изпита по математика (първите 12 задачи) и задача 13 (тригонометрия). И това е повече от 70 точки на Единния държавен изпит и нито студент със сто точки, нито хуманист не могат без тях.
Цялата необходима теория. Бързи начинирешения, капани и тайни на изпита. Всички съответни задачи от част 1 от задачите на Банката на FIPI са анализирани. Курсът напълно отговаря на изискванията на USE-2018.
Курсът съдържа 5 големи теми по 2,5 часа всяка. Всяка тема е дадена от нулата, просто и ясно.
Стотици изпитни задачи. Текстови задачи и теория на вероятностите. Прости и лесни за запомняне алгоритми за решаване на проблеми. Геометрия. теория, материал за справка, анализ на всички видове USE задачи. Стереометрия. Хитри трикове за решаване, полезни измамни листове, развитие на пространственото въображение. Тригонометрия от нулата - към задача 13. Разбиране вместо тъпчене. Визуално обяснение на сложни понятия. Алгебра. Корени, степени и логаритми, функция и производна. База за решаване на комплексни задачи от 2-ра част на изпита.
В училищната програма за курса на твърда геометрия изучаването на триизмерни фигури обикновено започва с просто геометрично тяло - призмен полиедър. Ролята на неговите основи се изпълняват от 2 равни многоъгълника, лежащи в успоредни равнини. Специален случай е правилната четириъгълна призма. Основите му са 2 еднакви правилни четириъгълника, на които страните са перпендикулярни, имащи формата на успоредници (или правоъгълници, ако призмата не е наклонена).
Как изглежда призмата
Правилната четириъгълна призма е хексаедър, чиито основи са 2 квадрата и странични лицапредставени от правоъгълници. Друго име за това геометрична фигура- прав паралелепипед.
Фигурата, която изобразява четириъгълна призма, е показана по-долу.
Виждате и на снимката основни елементи, които изграждат геометричното тяло. Те обикновено се наричат:
Понякога в задачи по геометрия можете да намерите понятието сечение. Дефиницията ще звучи така: разрезът е всички точки на обемно тяло, които принадлежат на режещата равнина. Разрезът е перпендикулярен (пресича краищата на фигурата под ъгъл от 90 градуса). За правоъгълна призмаразглежда се и диагонално сечение (максималния брой сечения, които могат да се построят е 2), минаващо през 2 ръба и диагоналите на основата.
Ако сечението е начертано по такъв начин, че режещата равнина не е успоредна нито на основите, нито на страничните повърхности, резултатът е пресечена призма.
Използват се различни съотношения и формули за намиране на редуцирани призматични елементи. Някои от тях са известни от курса на планиметрията (например, за да намерите площта на основата на призмата, достатъчно е да си припомните формулата за площта на квадрат).
Площ и обем
За да определите обема на призма с помощта на формулата, трябва да знаете площта на нейната основа и височина:
V = Sprim h
Тъй като основата на правилната тетраедрична призма е квадрат със страна а,Можете да напишете формулата в по-подробна форма:
V = a² h
Ако говорим за куб - правилна призма с равни дължина, ширина и височина, обемът се изчислява по следния начин:
За да разберете как да намерите страничната повърхност на призмата, трябва да си представите нейния размах.
От чертежа се вижда, че страничната повърхност е изградена от 4 еднакви правоъгълника. Площта му се изчислява като произведение от периметъра на основата и височината на фигурата:
Sстрана = Поз h
Тъй като периметърът на квадрат е P = 4a,формулата приема формата:
Sстрана = 4a h
За куб:
Sстрана = 4a²
За да изчислите общата повърхност на призма, добавете 2 основни площи към страничната площ:
Пълна = Sстрана + 2Sоснова
Приложена към четириъгълна правилна призма, формулата има формата:
Пълен = 4a h + 2a²
За повърхността на куб:
Пълен = 6a²
Познавайки обема или повърхността, можете да изчислите отделните елементи на геометрично тяло.
Намиране на призмени елементи
Често има задачи, при които е даден обемът или е известна стойността на страничната повърхност, където е необходимо да се определи дължината на страната на основата или височината. В такива случаи могат да се изведат формули:
- дължина на основната страна: a = Sside / 4h = √(V / h);
- височина или дължина на странично ребро: h = Sстрана / 4a = V / a²;
- основна площ: Sprim = V / h;
- странична лицева зона: отстрани gr = Sстрана / 4.
За да определите колко площ има диагоналното сечение, трябва да знаете дължината на диагонала и височината на фигурата. За квадрат d = a√2.Следователно:
Sdiag = ah√2
За изчисляване на диагонала на призмата се използва формулата:
dprize = √(2a² + h²)
За да разберете как да приложите горните съотношения, можете да практикувате и да решите няколко прости задачи.
Примери за задачи с решения
Ето част от задачите, които се явяват на държавните зрелостни изпити по математика.
Упражнение 1.
Пясъкът се изсипва в кутия с форма на правилна четириъгълна призма. Височината на нивото му е 10 см. Какво ще бъде нивото на пясъка, ако го преместите в съд със същата форма, но с дължина на основата 2 пъти по-голяма?
Трябва да се аргументира по следния начин. Количеството пясък в първия и втория контейнер не се е променило, т.е. обемът му в тях е същият. Можете да определите дължината на основата като а. В този случай за първата кутия обемът на веществото ще бъде:
V₁ = ha² = 10a²
За втората кутия дължината на основата е 2а, но височината на нивото на пясъка е неизвестна:
V₂ = h(2a)² = 4ha²
Тъй като V₁ = V₂, изразите могат да бъдат приравнени:
10a² = 4ha²
След като намалим двете страни на уравнението с a², получаваме:
В резултат на това новото ниво на пясък ще бъде h = 10 / 4 = 2,5см.
Задача 2.
ABCDA₁B₁C₁D₁ е правилна призма. Известно е, че BD = AB₁ = 6√2. Намерете общата повърхност на тялото.
За да улесните разбирането кои елементи са известни, можете да нарисувате фигура.
Тъй като говорим за правилна призма, можем да заключим, че основата е квадрат с диагонал 6√2. Диагоналът на страничната повърхност има същата стойност, следователно страничната страна също има формата на квадрат, равен на основата. Оказва се, че и трите измерения - дължина, ширина и височина са равни. Можем да заключим, че ABCDA₁B₁C₁D₁ е куб.
Дължината на всеки ръб се определя чрез известния диагонал:
a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6
Общата повърхност се намира по формулата за куба:
Пълно = 6a² = 6 6² = 216
Задача 3.
Стаята е в ремонт. Известно е, че подът му има формата на квадрат с площ от 9 m². Височината на стаята е 2,5 м. Каква е най-ниската цена за тапетиране на стая, ако 1 м² струва 50 рубли?
Тъй като подът и таванът са квадрати, тоест правилни четириъгълници, а стените му са перпендикулярни на хоризонтални повърхности, можем да заключим, че това е правилна призма. Необходимо е да се определи площта на страничната му повърхност.
Дължината на стаята е a = √9 = 3м.
Площадът ще бъде облепен с тапети Sстрана = 4 3 2,5 = 30 m².
Най-ниската цена на тапетите за тази стая ще бъде 50 30 = 1500рубли.
По този начин за решаване на задачи за правоъгълна призма е достатъчно да можете да изчислите площта и периметъра на квадрат и правоъгълник, както и да знаете формулите за намиране на обема и повърхността.
Как да намерите площта на куб
как изглежда тя
Оградени правоъгълни призми модерен човекдоста малко от. Това, например, е обичайният картон от под обувки, компютърни компоненти и др. Огледай се. Дори в една стая със сигурност ще видите много правоъгълни призми. Това е компютърна кутия, и библиотека, и хладилник, и шкаф, и много други предмети. Формата е изключително популярна най-вече защото ви позволява да използвате пространството възможно най-ефективно, независимо дали декорирате интериора или опаковате нещата в картон преди преместване.Свойства на правоъгълна призма
Правоъгълната призма има редица специфични свойства. Всяка двойка лица може да служи като негова, тъй като всички съседни лица са разположени под същия ъгъл едно спрямо друго и този ъгъл е 90 °. Обемът и повърхността на правоъгълна призма се изчисляват по-лесно от всяка друга. Вземете всеки предмет, който има формата на правоъгълна призма. Измерете неговата дължина, ширина и височина. За да намерите обема, достатъчно е да умножите тези измервания. Тоест формулата изглежда така: V \u003d a * b * h, където V е обемът, a и b са страните на основата, h е височината, която съвпада със страничния ръб на това геометрично тяло. Базовата площ се изчислява по формулата S1=a*b. За да получите страничната повърхност, първо трябва да изчислите периметъра на основата по формулата P=2(a+b) и след това да го умножите по височината. Получава се формулата S2=P*h=2(a+b)*h. За да изчислите общата повърхност на правоъгълна призма, добавете два пъти площта на основата и площта на страничната повърхност. Формулата е S=2S1+S2=2*a*b+2*(a+b)*h=2Различните призми са различни една от друга. В същото време те имат много общи неща. За да намерите площта на основата на призмата, трябва да разберете какъв вид изглежда.
Обща теория
Призма е всеки многостен, чиито страни имат формата на успоредник. Освен това всеки многостен може да бъде в основата му - от триъгълник до n-ъгълник. Освен това основите на призмата винаги са равни една на друга. Какво не важи за страничните лица - те могат да варират значително по размер.
При решаването на проблеми се среща не само площта на основата на призмата. Може да е необходимо да се знае страничната повърхност, тоест всички лица, които не са основи. Пълната повърхност вече ще бъде обединението на всички лица, които съставят призмата.
Понякога в задачите се появяват височини. Тя е перпендикулярна на основите. Диагоналът на полиедър е сегмент, който свързва по двойки всеки два върха, които не принадлежат на едно и също лице.
Трябва да се отбележи, че площта на основата на права или наклонена призма не зависи от ъгъла между тях и страничните повърхности. Ако те имат еднакви фигури в горната и долната страна, тогава техните площи ще бъдат равни.
триъгълна призма
В основата му има фигура с три върха, тоест триъгълник. Известно е, че е различно. Ако тогава е достатъчно да си припомним, че неговата площ се определя от половината от произведението на краката.
Математическата нотация изглежда така: S = ½ av.
За да намерите площта на основата в общ изглед, полезни са формулите: Чапла и тази, при която половината от страната е изведена до начертаната към нея височина.
Първата формула трябва да бъде написана така: S \u003d √ (p (p-a) (p-in) (p-s)). Този запис съдържа полупериметър (p), тоест сумата от три страни, разделена на две.
Второ: S = ½ n a * a.
Ако искате да знаете площта на основата на триъгълна призма, която е правилна, тогава триъгълникът се оказва равностранен. Има своя собствена формула: S = ¼ a 2 * √3.
четириъгълна призма
Неговата основа е някой от известните четириъгълници. Може да бъде правоъгълник или квадрат, паралелепипед или ромб. Във всеки случай, за да изчислите площта на основата на призмата, ще ви трябва ваша собствена формула.
Ако основата е правоъгълник, тогава неговата площ се определя, както следва: S = av, където a, b са страните на правоъгълника.
Когато става въпрос за четириъгълна призма, основната площ на обикновена призма се изчислява по формулата за квадрат. Защото именно той лежи в основата. S \u003d a 2.
В случай, че основата е паралелепипед, ще е необходимо следното равенство: S \u003d a * n a. Случва се да са дадени страна на паралелепипед и един от ъглите. След това, за да изчислите височината, ще трябва да използвате допълнителна формула: na \u003d b * sin A. Освен това ъгълът A е в съседство със страната "b", а височината е na противоположна на този ъгъл.
Ако в основата на призмата лежи ромб, тогава за определяне на площта му ще е необходима същата формула, както за успоредник (тъй като това е частен негов случай). Но можете да използвате и този: S = ½ d 1 d 2. Тук d 1 и d 2 са два диагонала на ромба.
Правилна петоъгълна призма
Този случай включва разделянето на многоъгълника на триъгълници, чиито площи са по-лесни за намиране. Въпреки че се случва фигурите да бъдат с различен брой върхове.
Тъй като основата на призмата е правилен петоъгълник, тя може да бъде разделена на пет равностранни триъгълника. Тогава площта на основата на призмата е равна на площта на един такъв триъгълник (формулата може да се види по-горе), умножена по пет.
Правилна шестоъгълна призма
Съгласно принципа, описан за петоъгълна призма, е възможно да се раздели основният шестоъгълник на 6 равностранни триъгълника. Формулата за площта на основата на такава призма е подобна на предишната. Само в него трябва да се умножи по шест.
Формулата ще изглежда така: S = 3/2 и 2 * √3.
Задачи
№ 1. Дадена е правилна права линия.Нейният диагонал е 22 см, височината на полиедъра е 14 см. Изчислете площта на основата на призмата и цялата повърхност.
Решение.Основата на призмата е квадрат, но нейната страна не е известна. Можете да намерите стойността му от диагонала на квадрата (x), който е свързан с диагонала на призмата (d) и нейната височина (n). x 2 \u003d d 2 - n 2. От друга страна, този сегмент "x" е хипотенузата в триъгълник, чиито катети са равни на страната на квадрата. Тоест x 2 \u003d a 2 + a 2. Така се оказва, че a 2 \u003d (d 2 - n 2) / 2.
Заменете числото 22 вместо d и заменете „n“ с неговата стойност - 14, оказва се, че страната на квадрата е 12 см. Сега е лесно да разберете основната площ: 12 * 12 \u003d 144 cm 2 .
За да разберете площта на цялата повърхност, трябва да добавите два пъти стойността на основната площ и да учетворите страната. Последното е лесно да се намери по формулата за правоъгълник: умножете височината на полиедъра и страната на основата. Тоест 14 и 12, това число ще бъде равно на 168 cm 2. Установено е, че общата повърхност на призмата е 960 cm 2.
Отговор.Основната площ на призмата е 144 cm2. Цялата повърхност - 960 см 2 .
№ 2. Дана В основата лежи триъгълник със страна 6 см. В този случай диагоналът на страничната повърхност е 10 см. Изчислете площите: основата и страничната повърхност.
Решение.Тъй като призмата е правилна, нейната основа е правилна равностранен триъгълник. Следователно неговата площ се оказва равна на 6 на квадрат по ¼ и корен квадратен от 3. Едно просто изчисление води до резултата: 9√3 cm 2. Това е площта на една основа на призмата.
Всички странични лица са еднакви и са правоъгълници със страни 6 и 10 см. За да изчислите техните площи, достатъчно е да умножите тези числа. След това ги умножете по три, защото призмата има точно толкова страни. След това площта на страничната повърхност се навива 180 cm 2.
Отговор.Области: основа - 9√3 cm 2, странична повърхност на призмата - 180 cm 2.
Лекция: Призма, нейните основи, странични ръбове, височина, странична повърхност; права призма; дясна призма
Призма
Ако сте научили плоски фигури от предишните въпроси с нас, значи сте напълно готови да изучавате триизмерни фигури. Първото тяло, което ще научим, ще бъде призма.
Призмае обемно тяло, което има голям бройлица.
Тази фигура има два многоъгълника в основите, които са разположени в успоредни равнини, а всички странични лица са под формата на паралелограм.
Фиг. 1. Фиг. 2
И така, нека да разберем от какво се състои призмата. За да направите това, обърнете внимание на фиг.1
Както споменахме по-рано, призмата има две основи, които са успоредни една на друга - това са петоъгълниците ABCEF и GMNJK. Освен това тези полигони са равни един на друг.
Всички останали лица на призмата се наричат странични лица - те се състоят от успоредници. Например BMNC, AGKF, FKJE и др.
Общата повърхност на всички странични лица се нарича странична повърхност.
Всяка двойка съседни лица има обща страна. Такава обща страна се нарича ръб. Например MB, CE, AB и др.
Ако горната и долната основа на призмата са свързани с перпендикуляр, тогава това ще се нарича височина на призмата. На фигурата височината е отбелязана като права линия OO 1.
Има два основни типа призма: наклонена и права.
Ако странични ребрапризмите не са перпендикулярни на основите, тогава такава призма се нарича косо.
Ако всички ръбове на призмата са перпендикулярни на основите, тогава такава призма се нарича прав.
Ако основите на призмата са правилни многоъгълници(тези, чиито страни са равни), тогава се нарича такава призма правилно.
Ако основите на призмата не са успоредни една на друга, тогава ще се нарече такава призма пресечен.
Можете да го видите на фиг.2
Формули за намиране на обем, площ на призма
Има три основни формули за намиране на обем. Те се различават един от друг по своето приложение:
Подобни формули за намиране на повърхността на призма:
