Dom » Plastična operacija » Kako oduzeti korijene s različitim stupnjevima. Koje poteškoće čekaju one koji su se obvezali izvršiti dodavanje korijena

Kako oduzeti korijene s različitim stupnjevima. Koje poteškoće čekaju one koji su se obvezali izvršiti dodavanje korijena

Kvadratni korijen broja x nazvao broj A, koji se u procesu množenja samim sobom ( A*A) može dati broj x.
Oni. A * A = A 2 = X, i √X = A.

Preko kvadratnih korijena ( √x), kao i s drugim brojevima, možete izvoditi aritmetičke operacije poput oduzimanja i zbrajanja. Za oduzimanje i dodavanje korijena, oni moraju biti povezani znakovima koji odgovaraju tim radnjama (na primjer √x- √y ).
A zatim dovedite korijene u njihov najjednostavniji oblik - ako među njima postoje slični, morate napraviti odljev. Sastoji se od činjenice da se koeficijenti sličnih članova uzimaju s predznacima odgovarajućih članova, zatim se zatvaraju u zagrade, a zajednički korijen se prikazuje izvan zagrada množitelja. Koeficijent koji smo dobili je pojednostavljen prema uobičajenim pravilima.

Korak 1. Vađenje kvadratnih korijena

Prvo, da biste dodali kvadratne korijene, prvo morate izdvojiti ove korijene. To se može učiniti ako su brojevi ispod znaka korijena savršeni kvadrati. Na primjer, uzmite dati izraz √4 + √9 . Prvi broj 4 je kvadrat broja 2 . Drugi broj 9 je kvadrat broja 3 . Tako se može dobiti sljedeća jednakost: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Sve, primjer je riješen. Ali ne događa se uvijek tako.

Korak 2. Vađenje množitelja broja ispod korijena

Ako ispod znaka korijena nema punih kvadrata, možete pokušati izvaditi množitelj broja ispod znaka korijena. Na primjer, uzmite izraz √24 + √54 .

Rastavimo brojeve na faktore:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Među 24 imamo množitelj 4 , može se izvaditi ispod znaka kvadratnog korijena. Među 54 imamo množitelj 9 .

Dobijamo jednakost:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Razmatrajući ovaj primjer, dobivamo uklanjanje faktora ispod znaka korijena, čime se pojednostavljuje zadani izraz.

Korak 3. Smanjenje nazivnika

Razmotrimo sljedeću situaciju: zbroj dvaju kvadratnih korijena je nazivnik razlomka, na primjer, A / (√a + √b).
Sada smo suočeni sa zadatkom "riješiti se iracionalnosti u nazivniku".
Poslužimo se sljedećom metodom: pomnožimo brojnik i nazivnik razlomka s izrazom √a - √b.

Sada dobivamo skraćenu formulu množenja u nazivniku:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Slično, ako nazivnik sadrži razliku korijena: √a - √b, brojnik i nazivnik razlomka množe se izrazom √a + √b.

Uzmimo razlomak kao primjer:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Primjer redukcije složenog nazivnika

Razmotrimo sada dovoljno složen primjer oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku.

Uzmimo razlomak kao primjer: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Trebate uzeti njegov brojnik i nazivnik i pomnožiti s izrazom √2 + √3 - √5 .

Dobivamo:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Korak 4. Izračunajte približnu vrijednost na kalkulatoru

Ako vam je potrebna samo približna vrijednost, to možete učiniti na kalkulatoru izračunavanjem vrijednosti kvadratnog korijena. Posebno se za svaki broj izračunava i bilježi vrijednost sa potrebnom točnošću koja se određuje brojem decimalnih mjesta. Nadalje, izvode se sve potrebne operacije, kao i s običnim brojevima.

Primjer procijenjenog izračuna

Potrebno je izračunati približnu vrijednost ovog izraza √7 + √5 .

Kao rezultat toga dobivamo:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Imajte na umu: ni pod kojim okolnostima se kvadratni korijeni ne smiju zbrajati kao prosti brojevi, to je potpuno neprihvatljivo. To jest, ako zbrojite kvadratni korijen od pet i tri, ne možemo dobiti kvadratni korijen od osam.

Koristan savjet: ako odlučite faktorizirati broj, da biste izvukli kvadrat ispod predznaka korijena, morate napraviti obrnutu provjeru, odnosno pomnožiti sve faktore koji su proizašli iz izračuna, i u krajnji rezultat Ovaj matematički izračun trebao bi rezultirati brojem koji smo izvorno dobili.

Zbrajanje i oduzimanje korijena- jedan od najčešćih "kamena spoticanja" onih koji u srednjoj školi slušaju matematiku (algebru). Međutim, vrlo je važno naučiti kako ih ispravno zbrajati i oduzimati, jer su primjeri za zbroj ili razliku korijena uključeni u program osnovnog jedinstvenog državnog ispita iz discipline "matematika".

Da biste svladali rješavanje ovakvih primjera, potrebno je dvoje - razumjeti pravila, ali i steći praksu. Nakon što je riješio jedan ili dva tuceta tipičnih primjera, student će ovu vještinu dovesti do automatizma i tada se neće imati čega bojati na ispitu. Preporuča se svladavanje računskih operacija započeti s zbrajanjem jer je njihovo zbrajanje nešto lakše nego oduzimanje.

Najlakše je to objasniti na primjeru kvadratnog korijena. U matematici postoji uvriježeni pojam "kvadrat". "Kvadrat" znači jednom pomnožiti određeni broj samim sobom.. Na primjer, ako kvadrirate 2, dobit ćete 4. Ako kvadrirate 7, dobit ćete 49. Kvadrat od 9 je 81. Dakle, kvadratni korijen od 4 je 2, od 49 je 7, a od 81 je 9.

U pravilu, podučavanje ove teme iz matematike počinje s kvadratnim korijenima. Da bi to odmah odredio, učenik Srednja škola mora znati tablicu množenja napamet. Za one koji ne poznaju ovu tablicu dobro, morate koristiti savjete. Obično je postupak izvlačenja korijena kvadrata iz broja dan u obliku tablice na koricama mnogih školskih bilježnica za matematiku.

Korijeni su sljedećih vrsta:

kvadrat;
kubični (ili tzv. treći stupanj);
četvrti stupanj;
peti stupanj.

Pravila dodavanja

Da bismo uspješno riješili tipičan primjer, moramo imati na umu da nisu svi korijeni brojeva mogu se slagati jedan s drugim. Da bi ih se moglo sastaviti, moraju se dovesti u jedinstveni obrazac. Ako to nije moguće, onda problem nema rješenja. Takvi se problemi često nalaze iu udžbenicima matematike kao svojevrsna zamka za učenike.

Zbrajanje nije dopušteno u zadacima kada se radikalni izrazi međusobno razlikuju. Ovo se može ilustrirati u dobar primjer:

učenik se suočava sa zadatkom: zbrojiti kvadratni korijen iz 4 i iz 9;
student bez iskustva, poznavanje pravila, obično piše: "kvadratni korijen iz 4 + korijen iz 9 \u003d korijen iz 13."
vrlo je lako dokazati da je ovakav način rješavanja pogrešan. Da biste to učinili, potrebno je pronaći kvadratni korijen iz 13 i provjeriti je li primjer točno riješen;
pomoću mikrokalkulatora možete odrediti da je to približno 3,6. Sada ostaje provjeriti rješenje;
korijen od 4=2 i od 9=3;
Zbroj dva i tri je pet. Stoga se ovaj algoritam rješenja može smatrati netočnim.

Ako korijeni imaju isti stupanj, ali različite brojčane izraze, izvlači se iz zagrada, i zbroj dvaju radikalnih izraza. Dakle, već je izvučen iz ove količine.

Algoritam zbrajanja

Da bismo ispravno odlučili najjednostavniji zadatak, potrebno:

Odredite što točno zahtijeva dodavanje.
Saznajte je li moguće dodavati vrijednosti jedna drugoj, vodeći se pravilima koja postoje u matematici.
Ako se ne mogu dodati, morate ih transformirati na takav način da se mogu dodati.
Nakon što smo izvršili sve potrebne transformacije, potrebno je izvršiti zbrajanje i zapisati gotov odgovor. Zbrajanje se može izvesti mentalno ili pomoću kalkulatora, ovisno o složenosti primjera.

Što su slični korijeni

Da bismo ispravno riješili primjer sabiranja, potrebno je prije svega razmisliti kako ga možemo pojednostaviti. Da biste to učinili, morate imati osnovno znanje o tome što je sličnost.

Sposobnost prepoznavanja sličnih pomaže u brzom rješavanju iste vrste primjera dodavanja, dovodeći ih u pojednostavljeni oblik. Da biste pojednostavili tipičan primjer zbrajanja, trebate:

Pronađite slične i rasporedite ih u jednu grupu (ili više grupa).
Prepišite postojeći primjer na način da korijeni koji imaju isti indikator jasno slijede jedan iza drugog (to se zove "grupiranje").
Dalje, trebate ponovno napisati izraz, ovaj put na način da slični (koji imaju isti indikator i isti korijen) također slijede jedan za drugim.

Nakon toga, pojednostavljeni primjer obično je lako riješiti.

Da biste ispravno riješili bilo koji primjer zbrajanja, morate jasno razumjeti osnovna pravila zbrajanja, a također znati što je korijen i kako se događa.

Ponekad takvi zadaci na prvi pogled izgledaju vrlo komplicirani, ali obično se lako rješavaju grupiranjem sličnih. Najvažnija je vježba, a onda će učenik početi "kliknuti zadatke kao orahe". Zbrajanje korijena jedna je od najvažnijih grana matematike, pa bi učitelji trebali izdvojiti dovoljno vremena za njeno proučavanje.

Video

Ovaj video će vam pomoći razumjeti jednadžbe s kvadratnim korijenom.

Korijen broja najlakše je oduzeti pomoću kalkulatora. Ali, ako nemate kalkulator, onda morate znati algoritam za izračun kvadratnog korijena. Činjenica je da se broj u kvadratu nalazi ispod korijena. Na primjer, 4 na kvadrat je 16. To jest, kvadratni korijen iz 16 bit će jednak četiri. Također, 5 na kvadrat je 25. Stoga će korijen iz 25 biti 5. I tako dalje.

Ako je broj mali, onda se lako može verbalno oduzeti, na primjer, korijen od 25 bit će 5, a korijen od 144-12. Također možete izračunati na kalkulatoru, postoji posebna ikona korijena, morate unijeti broj i kliknuti na ikonu.

Tablica kvadratnog korijena također će pomoći:

Postoje i drugi načini koji su složeniji, ali vrlo učinkoviti:

Korijen bilo kojeg broja može se oduzeti pomoću kalkulatora, pogotovo jer ih danas ima u svakom telefonu.

Možete pokušati otprilike shvatiti kako određeni broj može ispasti množenjem jednog broja samim sobom.

Izračunavanje kvadratnog korijena broja nije teško, pogotovo ako postoji posebna tablica. Poznata tablica iz satova algebre. Takva se operacija naziva vađenjem kvadratnog korijena iz broja a, drugim riječima, rješavanjem jednadžbe. Gotovo svi kalkulatori u pametnim telefonima imaju funkciju vađenja kvadratnog korijena.

Rezultat vađenja kvadratnog korijena poznatog broja bit će drugi broj, koji će, kada se podigne na drugu potenciju (kvadrat), dati isti broj koji znamo. Razmotrimo jedan od opisa naselja, koji se čini kratkim i razumljivim:

Evo videa na tu temu:

Postoji nekoliko načina za izračunavanje kvadratnog korijena broja.

Najpopularniji način je korištenje posebne korijenske tablice (vidi dolje).

Također na svakom kalkulatoru postoji funkcija s kojom možete pronaći korijen.

Ili pomoću posebne formule.

Postoji nekoliko načina za izvlačenje kvadratnog korijena broja. Jedan od njih je najbrži, pomoću kalkulatora.

Ali ako nema kalkulatora, onda to možete učiniti ručno.

Rezultat će biti točan.

Princip je gotovo isti kao kod dijeljenja po stupcu:

Pokušajmo bez kalkulatora pronaći vrijednost kvadratnog korijena broja, na primjer, 190969.

Dakle, sve je krajnje jednostavno. U izračunima, glavna stvar je slijediti određena jednostavna pravila i razmišljati logično.

Za ovo vam je potrebna tablica kvadrata

Na primjer, korijen od 100 = 10, od 20 = 400 od 43 = 1849

Sada gotovo svi kalkulatori, uključujući one na pametnim telefonima, mogu izračunati kvadratni korijen broja. ALI ako nemate kalkulator, možete pronaći korijen broja na nekoliko jednostavnih načina:

Rastavljanje na proste faktore

Rastavite korijenski broj na faktore koji su kvadratni brojevi. Ovisno o broju korijena, dobit ćete približan ili točan odgovor. Kvadratni brojevi su brojevi iz kojih se može izvaditi cijeli kvadratni korijen. Čimbenici broja koji, kada se pomnože, daju izvorni broj. Na primjer, faktori broja 8 su 2 i 4, budući da je 2 x 4 = 8, brojevi 25, 36, 49 su kvadratni brojevi, jer je 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7. Kvadratni faktori su faktori koji su kvadratni brojevi. Prvo pokušajte rastaviti korijen broja na kvadratne faktore.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 400 (ručno). Prvo pokušajte rastaviti 400 na kvadratne faktore. 400 je višekratnik broja 100, što je kvadratni broj djeljiv s 25. Dijeljenjem 400 s 25 dobivate 16, što je također kvadratni broj. Dakle, 400 se može rastaviti na kvadratne faktore 25 i 16, to jest, 25 x 16 = 400.

Zapišite to kao: 400 = (25 x 16).

Kvadratni korijen umnoška nekih članova jednak je umnošku kvadratnih korijena svakog člana, to jest (a x b) = a x b. Koristeći ovo pravilo, izvadite kvadratni korijen svakog kvadratnog faktora i pomnožite rezultate kako biste pronašli odgovor.

U našem primjeru, uzmite kvadratni korijen iz 25 i 16.

Ako se korijenski broj ne rastavlja na dva kvadratna faktora (a čini se u većini slučajeva), nećete moći pronaći točan odgovor kao cijeli broj. Ali možete pojednostaviti problem rastavljanjem korijena broja na kvadratni faktor i obični faktor (broj iz kojeg se ne može izvući cijeli kvadratni korijen). Zatim ćete izvaditi kvadratni korijen kvadratnog faktora i izvadit ćete korijen običnog faktora.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen broja 147. Broj 147 ne može se rastaviti na dva faktora, ali se može rastaviti na sljedeće faktore: 49 i 3. Riješite zadatak na sljedeći način:

Sada možete procijeniti vrijednost korijena (pronaći približnu vrijednost) uspoređujući ga s vrijednostima kvadratnih korijena koji su najbliži (s obje strane brojevne linije) korijenskom broju. Dobit ćete vrijednost korijena kao decimalni razlomak, koji se mora pomnožiti s brojem iza znaka korijena.

Vratimo se našem primjeru. Korijen broja je 3. Najbliži kvadratni brojevi njemu bit će brojevi 1 (1 \u003d 1) i 4 (4 \u003d 2). Dakle, vrijednost 3 je između 1 i 2. Budući da je vrijednost 3 vjerojatno bliža 2 nego 1, naša je procjena: 3 = 1,7. Ovu vrijednost množimo s brojem u znaku korijena: 7 x 1,7 \u003d 11,9. Ako izračunate na kalkulatoru, dobit ćete 12,13, što je prilično blizu našem odgovoru.

Ova metoda funkcionira i s velikim brojevima. Na primjer, uzmite u obzir 35. Korijen broja je 35. Brojevi najbliži njemu su 25 (25 = 5) i 36 (36 = 6). Dakle, vrijednost 35 je između 5 i 6. Budući da je vrijednost 35 puno bliža 6 nego 5 (jer je 35 samo 1 manje od 36), možemo reći da je 35 nešto manje od 6. Provjera na kalkulatoru daje odgovor nam je 5,92 - bili smo u pravu.

Drugi način je rastavljanje korijenskog broja na proste faktore. Prosti faktori broja koji su djeljivi samo s 1 i sami sa sobom. Napiši redom proste faktore i pronađi parove istih faktora. Takvi faktori mogu se izvući iz znaka korijena.

Na primjer, izračunajte kvadratni korijen od 45. Korijen broja rastavljamo na proste faktore: 45 \u003d 9 x 5 i 9 \u003d 3 x 3. Dakle, 45 = (3 x 3 x 5). 3 se može izvaditi iz znaka korijena: 45 = 35. Sada možemo procijeniti 5.

Razmotrite još jedan primjer: 88.

= (2 x 4 x 11)

= (2 x 2 x 2 x 11). Imate tri množitelja 2; uzmi par njih i izvadi ih iz znaka korijena.

2(2 x 11) = 22 x 11. Sada možete izračunati 2 i 11 i pronaći približan odgovor.

Ovaj video vodič također može biti od pomoći:

Da biste izvukli korijen iz broja, trebali biste koristiti kalkulator ili ako nema odgovarajućeg, savjetujem vam da odete na ovu stranicu i riješite problem koristeći online kalkulator, što će dati točnu vrijednost u sekundi.

Što je korijen

U pravilu, podučavanje ove teme iz matematike počinje s kvadratnim korijenima. Da bi je odmah odredio, srednjoškolac mora znati tablicu množenja napamet. Za one koji ne poznaju ovu tablicu dobro, morate koristiti savjete. Obično je postupak izvlačenja korijena kvadrata iz broja dan u obliku tablice na koricama mnogih školskih bilježnica za matematiku.

Korijeni su sljedećih vrsta:

kvadrat;
kubični (ili tzv. treći stupanj);
četvrti stupanj;
peti stupanj.

Pravila dodavanja

Zbrajanje nije dopušteno u zadacima kada se radikalni izrazi međusobno razlikuju. To se može ilustrirati ilustrativnim primjerom:

učenik se suočava sa zadatkom: zbrojiti kvadratni korijen iz 4 i iz 9;
neiskusan student koji ne poznaje pravilo obično piše: "korijen od 4 + korijen od 9 \u003d korijen od 13."
vrlo je lako dokazati da je ovakav način rješavanja pogrešan. Da biste to učinili, potrebno je pronaći kvadratni korijen iz 13 i provjeriti je li primjer točno riješen;
pomoću mikrokalkulatora možete odrediti da je to približno 3,6. Sada ostaje provjeriti rješenje;
korijen od 4=2 i od 9=3;
Zbroj dva i tri je pet. Stoga se ovaj algoritam rješenja može smatrati netočnim.

Ako korijeni imaju isti stupanj, ali različite brojčane izraze, izvlači se iz zagrada, i zbroj dvaju radikalnih izraza. Dakle, već je izvučen iz ove količine.

Algoritam zbrajanja

Da bi se ispravno riješio najjednostavniji problem, potrebno je:

Odredite što točno zahtijeva dodavanje.
Saznajte je li moguće dodavati vrijednosti jedna drugoj, vodeći se pravilima koja postoje u matematici.
Ako se ne mogu dodati, morate ih transformirati na takav način da se mogu dodati.
Nakon što smo izvršili sve potrebne transformacije, potrebno je izvršiti zbrajanje i zapisati gotov odgovor. Zbrajanje se može izvesti mentalno ili pomoću kalkulatora, ovisno o složenosti primjera.

Što su slični korijeni

Da bismo ispravno riješili primjer sabiranja, potrebno je prije svega razmisliti kako ga možemo pojednostaviti. Da biste to učinili, morate imati osnovno znanje o tome što je sličnost.

Sposobnost prepoznavanja sličnih pomaže u brzom rješavanju iste vrste primjera dodavanja, dovodeći ih u pojednostavljeni oblik. Da biste pojednostavili tipičan primjer zbrajanja, trebate:

Pronađite slične i rasporedite ih u jednu grupu (ili više grupa).
Prepišite postojeći primjer na način da korijeni koji imaju isti indikator jasno slijede jedan iza drugog (to se zove "grupiranje").
Dalje, trebate ponovno napisati izraz, ovaj put na način da slični (koji imaju isti indikator i isti korijen) također slijede jedan za drugim.

Nakon toga, pojednostavljeni primjer obično je lako riješiti.

Da biste ispravno riješili bilo koji primjer zbrajanja, morate jasno razumjeti osnovna pravila zbrajanja, a također znati što je korijen i kako se događa.

Sada u školskom kurikulumu nešto nije sasvim jasno. Drago mi je da u matematici sve ostaje nepromijenjeno. Rad s korijenima, odnosno zbrajanje i oduzimanje, nije jako teška operacija. No neki se učenici suočavaju s određenim poteškoćama.

U ovom ćemo članku analizirati pravila zbrajanja i oduzimanja kvadratni korijeni.

Možete oduzimati i dodavati kvadratne korijene ako je aktiviran uvjet da ti korijeni imaju iste radikalne izraze. Drugim riječima, možemo djelovati na 2√3 i 4√3, ali ne i na 2√3 i 2√7. Ali možete poduzeti radnje da pojednostavite radikalni izraz, kako biste ih potom doveli do korijena koji će imati iste radikalne izraze. I tek nakon toga već počnite dodavati ili oduzimati.

Teorija zbrajanja i oduzimanja kvadratnih korijena

Sam princip je vrlo jednostavan. A sastojat će se od tri koraka. Moramo pojednostaviti radikalni izraz. Pronađite dobivene identične radikalne izraze i dodajte ili oduzmite korijene.

Kako pojednostaviti radikalan izraz

Da biste to učinili, morate rastaviti korijenski broj, koji bi se sastojao od dva faktora. Glavni uvjet. Jedan od ovih brojeva mora biti kvadratni broj (primjer: 25 ili 9). Nakon ove akcije izvlačimo korijen zadanog kvadratnog broja. I ovaj broj pišemo ispred našeg korijena, a ispod korijena imamo drugi faktor.

Na primjer, 6√50 - 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25 x 2) = (6 x 5)√2 = 30√2. Ovdje rastavljamo 50 na dva faktora 25 i 2. Zatim iz 25 izvlačimo kvadratni korijen (dobivamo broj 5) i vadimo ga ispod korijena. Zatim pomnožimo 5 sa 6 i dobijemo 30√2

2√8 = 2√(4 x 2) = (2 x 2)√2 = 4√2. NA dati primjeri 8 rastavljamo na dva broja 4 i 2. Iz 4 izvučemo korijen i dobiveni broj izvadimo iz korijena te ga pomnožimo s brojem koji je već bio iza korijena.

5√12 = 5√(4 x 3) = (5 x 2)√3 = 10√3. Ovdje kao i prije rastavljamo broj pod korijenom na dva broja 4 i 3. Iz 4 izvlačimo korijen. Dobiveni broj uzimamo kao korijen i množimo ga s brojem koji je bio iza korijena.

Kao rezultat toga, transformirali smo jednadžbu 6√50 - 2√8 + 5√12 u ovaj oblik 30√2 - 4√2 + 10√3

Podcrtavamo korijene koji imaju iste korijenske izraze

U našem primjeru 30√2 - 4√2 + 10√3, odabiremo 30√2 i 4√2, budući da ti brojevi imaju isti korijen broja 2.
Ako u vašem primjeru postoji nekoliko identičnih radikalnih izraza. Iste podcrtaj različitim crtama.

Dodajte ili oduzmite naše korijene

Sada zbrajamo ili oduzimamo brojeve koji imaju iste korijenske izraze. A ono što je pod korijenom ostavljamo nepromijenjeno. Poanta je pokazati koliko korijena s određenim radikalnim izrazima ima u danoj jednadžbi.

U našem primjeru, 30√2 - 4√2 + 10√3, oduzimamo 4 od 30 i dobivamo 26√2

Odgovor u našem primjeru bi bio: 26√2 + 10√3

Sabibon - najzanimljivija stvar na internetu

Što je matematički korijen?

Ova radnja je nastala kao suprotnost potenciranju. Matematika pretpostavlja prisutnost dviju suprotnih operacija. Postoji oduzimanje za zbrajanje. Množenje je suprotno dijeljenju. Obrnuto djelovanje stupnja je vađenje odgovarajućeg korijena.

Ako je eksponent 2, onda će korijen biti kvadrat. Najčešći je u školska matematika. Čak nema ni oznaku da je kvadrat, odnosno nije mu pridružen broj 2. Matematički zapis ovog operatora (radikala) prikazan je na slici.

Iz opisanog djelovanja glatko slijedi njegova definicija. Da biste izvukli kvadratni korijen određenog broja, morate saznati što će radikalni izraz dati kada se pomnoži sam sa sobom. Ovaj broj će biti kvadratni korijen. Ako ovo napišemo matematički, dobit ćemo sljedeće: x * x \u003d x 2 \u003d y, što znači √y \u003d x.

Koje radnje se mogu poduzeti s njima?

U svojoj jezgri, korijen je frakcijski stepen koji ima jedinicu u brojniku. A nazivnik može biti bilo što. Na primjer, kvadratni korijen ima vrijednost dva. Stoga će sve radnje koje se mogu izvesti sa stupnjevima vrijediti i za korijene.

I oni imaju iste zahtjeve za te akcije. Ako učenicima množenje, dijeljenje i potenciranje ne nailaze na poteškoće, zbrajanje korijena, kao i njihovo oduzimanje, ponekad dovodi do zabune. I sve zato što želite izvršiti ove operacije bez gledanja u znak korijena. I tu počinju greške.

Koja su pravila za zbrajanje i oduzimanje?

Prvo morate zapamtiti dva kategorična "ne":

nemoguće je izvoditi zbrajanje i oduzimanje korijena, kao kod prostih brojeva, odnosno nemoguće je korijenske izraze zbroja pisati pod jednim znakom i s njima izvoditi matematičke operacije;
Ne možete dodati ili oduzeti korijene različite pokazatelje, kao što su kvadratni i kubični.

Ilustrativan primjer prve zabrane: √6 + √10 ≠ √16 ali √(6 + 10) = √16.

U drugom slučaju, bolje je ograničiti se na pojednostavljenje samih korijena. I u odgovoru ostavite njihov zbroj.

Sada na pravila

Pronađite i grupirajte slične korijene. Odnosno oni koji ne samo da imaju isti brojevi pod radikalom, ali oni sami imaju jedan pokazatelj.
Izvršite dodavanje korijena spojenih u jednu grupu prvom radnjom. Lako ga je implementirati, jer samo trebate dodati vrijednosti koje dolaze prije radikala.
Izvucite korijene iz onih članova u kojima radikalni izraz čini cijeli kvadrat. Drugim riječima, ne ostavljajte ništa pod znakom radikalnog.
Pojednostavite korijenske izraze. Da biste to učinili, trebate ih rastaviti na proste faktore i vidjeti daju li oni kvadrat bilo kojeg broja. Jasno je da je to točno kada je riječ o kvadratnom korijenu. Kada je eksponent tri ili četiri, tada prosti faktori moraju dati kub ili četvrtu potenciju broja.
Izvadite ispod znaka radikala faktor koji daje cjelobrojnu potenciju.
Pogledajte pojavljuju li se slični izrazi ponovno. Ako da, ponovite drugi korak.

U situaciji kada problem ne zahtijeva točnu vrijednost korijena, može se izračunati na kalkulatoru. Zaokružite beskonačni decimalni razlomak koji će biti prikazan u njegovom prozoru. Najčešće se to radi do stotinke. Zatim izvršite sve operacije za decimalne razlomke.

Ovo su sve informacije o tome kako se izvodi dodavanje korijena. Primjeri u nastavku će ilustrirati gore navedeno.

Prvi zadatak

Izračunajte vrijednost izraza:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Ako slijedite gornji algoritam, možete vidjeti da ne postoji ništa za prve dvije akcije u ovom primjeru. Ali možete pojednostaviti neke radikalne izraze.

Na primjer, faktor 32 u dva faktora 2 i 16; 18 će biti jednako umnošku 9 i 2; 128 je 2 puta 64. S obzirom na to, izraz će biti napisan ovako:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Sada morate ispod znaka radikala izvaditi one faktore koji daju kvadrat broja. Ovo je 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . Izraz će imati oblik:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Moramo malo pojednostaviti pisanje. Za to se koeficijenti množe ispred znakova korijena:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

U ovom izrazu svi pojmovi su se pokazali sličnim. Stoga ih samo treba presavijati. Odgovor će biti: 5√2.

b) Kao i u prethodnom primjeru, zbrajanje korijena počinje njihovim pojednostavljenjem. Korijenski izrazi 75, 147, 48 i 300 bit će predstavljeni sljedećim parovima: 5 i 25, 3 i 49, 3 i 16, 3 i 100. Svaki od njih ima broj koji se može izvući ispod znaka korijena :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Nakon pojednostavljenja, odgovor je: 5√5 - 5√3. Može se ostaviti u ovom obliku, ali je bolje izbaciti zajednički faktor 5 iz zagrade: 5 (√5 - √3).

c) I opet rastavljanje na faktore: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Nakon rastavljanja znaka korijena na faktore, imamo:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Nakon redukcije sličnih članova dobivamo rezultat: 7√11.

Frakcijski primjer

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Sljedeće brojeve trebat će rastaviti na faktore: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Slično onima koje smo već razmotrili, faktore trebate izvaditi iz korijena potpišite i pojednostavite izraz:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7 ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Ovaj izraz zahtijeva oslobađanje od iracionalnosti u nazivniku. Da biste to učinili, pomnožite drugi član s √2/√2:

- 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

Za dovršetak radnje potrebno je odabrati cjelobrojni dio faktora ispred korijena. Prvi je 1, drugi je 2.

Formule korijena. svojstva kvadratnih korijena.

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u posebnom odjeljku 555.
Za one koji jako "ne baš..."
I za one koji "jako...")

U prethodnoj lekciji smo shvatili što je kvadratni korijen. Vrijeme je da shvatimo što su formule za korijenje, Što su svojstva korijena i što se oko svega toga može učiniti.

Formule korijena, svojstva korijena i pravila za radnje s korijenima- to je u biti ista stvar. Postoji iznenađujuće malo formula za kvadratne korijene. Što, naravno, veseli! Umjesto toga, možete napisati puno svih vrsta formula, ali samo tri su dovoljne za praktičan i siguran rad s korijenima. Sve ostalo proizlazi iz ovo troje. Iako mnogi zalutaju u tri formule korijena, da ...

Počnimo s najjednostavnijim. evo je:

Ako vam se sviđa ova stranica...

Usput, imam još nekoliko zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoju razinu. Testiranje uz trenutnu provjeru. Učenje - sa zanimanjem!)

možete se upoznati s funkcijama i derivacijama.

Udio: