Güç fonksiyonunun temel özellikleri, formüller ve köklerin özellikleri dahil olmak üzere verilmiştir. Güç fonksiyonunun türevi, integrali, kuvvet serisi açılımı ve karmaşık sayılarla temsili sunulmaktadır.

Tanım

Tanım
üslü p ile güç fonksiyonu f fonksiyonu (x) = deneyim x noktasındaki değeri, p noktasındaki x tabanlı üstel fonksiyonun değerine eşittir.
ek olarak, f (0) = 0 p = 0 p > için 0 .

İçin doğal değerlerüs, güç işlevi x'e eşit n sayının çarpımıdır:
.
Tüm gerçekler için tanımlanmıştır.

pozitif için rasyonel değerlerüs, güç işlevi, x sayısından m derecesinin n kökünün çarpımıdır:
.
Tek m için, tüm gerçek x için tanımlanır. Çift m için, kuvvet fonksiyonu negatif olmayanlar için tanımlanır.

Negatif için, güç işlevi aşağıdaki formülle tanımlanır:
.
Bu nedenle, noktada tanımlanmamıştır.

P üssünün irrasyonel değerleri için, üstel fonksiyon aşağıdaki formülle belirlenir:
,
burada a, bire eşit olmayan keyfi bir pozitif sayıdır: .
için, için tanımlanır.
için, güç fonksiyonu için tanımlanır.

süreklilik. Bir güç fonksiyonu tanım alanında süreklidir.

x ≥ 0 için güç fonksiyonunun özellikleri ve formülleri

Burada x argümanının negatif olmayan değerleri için bir güç fonksiyonunun özelliklerini ele alıyoruz. Yukarıda bahsedildiği gibi, p üssünün bazı değerleri için, x'in negatif değerleri için üstel fonksiyon da tanımlanmıştır. Bu durumda, özellikleri, çift veya tek parite kullanılarak adresindeki özelliklerden elde edilebilir. Bu durumlar "" sayfasında ayrıntılı olarak tartışılmakta ve gösterilmektedir.

Üssü p olan bir kuvvet fonksiyonu, y = x p, aşağıdaki özelliklere sahiptir:
(1.1) sette tanımlanmış ve sürekli
,
;
(1.2) birçok anlamı var
,
;
(1.3) kesinlikle artar,
kesinlikle azalır;
(1.4) ;
;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

Özelliklerin ispatı Güç Fonksiyonu (Proof of Continuity and Properties) sayfasında verilmiştir.

Kökler - tanım, formüller, özellikler

Tanım
x'in kökü üzeri n n kuvvetine yükseltilmesi x'i veren sayıdır:
.
burada n = 2, 3, 4, ... - doğal sayı, birden büyük.

Ayrıca n derecesinin x sayısının kökünün denklemin kökü (yani çözümü) olduğunu da söyleyebilirsiniz.
.
Fonksiyonun, fonksiyonun tersi olduğuna dikkat edin.

x'in karekökü 2. derecenin bir köküdür: .

x'in küp kökü 3. dereceden bir köktür: .

Çift derece

Çift güçler için n = 2 m, kök x ≥ için tanımlanır 0 . Sık kullanılan bir formül hem pozitif hem de negatif x için geçerlidir:
.
İçin kare kök:
.

İşlemlerin gerçekleştirilme sırası burada önemlidir - yani, önce kare alma yapılır, bu da negatif olmayan bir sayıyla sonuçlanır ve ardından kök ondan çıkarılır (negatif olmayan bir sayıdan, karekökü çıkarabilirsiniz. ). Sıralamayı değiştirirsek: , o zaman negatif x için kök tanımsız olur ve bununla birlikte tüm ifade tanımsız olur.

tek derece

Tek güçler için, kök tüm x'ler için tanımlanır:
;
.

Köklerin özellikleri ve formülleri

x'in kökü bir kuvvet fonksiyonudur:
.
x ≥ için 0 aşağıdaki formüller geçerlidir:
;
;
, ;
.

Bu formüller, değişkenlerin negatif değerleri için de uygulanabilir. Yalnızca çift güçlerin radikal ifadesinin olumsuz olmamasını sağlamak gerekir.

özel değerler

0'ın kökü 0: .
1'in kökü 1'dir: .
0'ın karekökü 0: .
1'in karekökü 1'dir: .

Misal. Köklerden kök

Köklerin karekökü örneğini ele alalım:
.
Yukarıdaki formülleri kullanarak iç karekökü dönüştürün:
.
Şimdi orijinal kökü dönüştürelim:
.
Böyle,
.

p üssünün farklı değerleri için y = x p .

İşte x argümanının negatif olmayan değerleri için fonksiyonun grafikleri. x'in negatif değerleri için tanımlanan güç fonksiyonunun grafikleri "Güç fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri" sayfasında verilmiştir.

Ters fonksiyon

Üssü p olan bir kuvvet fonksiyonunun tersi, üssü 1/p olan bir kuvvet fonksiyonudur.

Eğer , o zaman .

Güç fonksiyonu türevi

n'inci mertebenin türevi:
;

Formüllerin türetilmesi > > >

Bir güç fonksiyonunun integrali

P≠- 1 ;
.

Güç serisi genişletme

-de 1 < x < 1 aşağıdaki ayrıştırma gerçekleşir:

Karmaşık sayılar cinsinden ifadeler

Karmaşık bir değişken z'nin bir işlevini düşünün:
f (z) = z t.
Karmaşık değişken z'yi r modülü ve φ (r = |z| ) argümanı cinsinden ifade ediyoruz:
z = r e ben φ .
Karmaşık sayı t'yi gerçek ve sanal kısımlar olarak temsil ediyoruz:
t = p + ben q .
Sahibiz:

Ayrıca, φ bağımsız değişkeninin benzersiz bir şekilde tanımlanmadığını dikkate alıyoruz:
,

q = olduğu durumu göz önünde bulundurun 0 , yani üs gerçek bir sayıdır, t = p. Sonra
.

Eğer p bir tam sayı ise kp de bir tam sayıdır. O zaman, trigonometrik fonksiyonların periyodikliği nedeniyle:
.
Yani, belirli bir z için tamsayı üslü üstel fonksiyon yalnızca bir değere sahiptir ve bu nedenle tek değerlidir.

p irrasyonel ise kp'nin çarpımı herhangi bir k için bir tamsayı vermez. k sonsuz bir dizi değerden geçtiği için k = 0, 1, 2, 3, ..., o zaman z p fonksiyonunun sonsuz sayıda değeri vardır. z bağımsız değişkeni her artırıldığında 2 pi(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz.

p rasyonel ise, o zaman şu şekilde temsil edilebilir:
, nerede m,n ortak böleni olmayan tam sayılardır. Sonra
.
k = k için ilk n değerleri 0 = 0, 1, 2, ... n-1, n ver Farklı anlamlar:
.
Bununla birlikte, sonraki değerler, öncekilerden bir tamsayı ile farklı olan değerler verir. Örneğin, k = k için 0+n sahibiz:
.
Argümanları katlara göre farklılık gösteren trigonometrik fonksiyonlar 2 π, eşit değerlere sahip. Bu nedenle, k'de daha fazla artışla, k = k ile aynı z p değerlerini elde ederiz. 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Böylece, rasyonel üslü bir üstel fonksiyon çok değerlidir ve n değere (dal) sahiptir. z bağımsız değişkeni her artırıldığında 2 π(bir tur), fonksiyonun yeni bir dalına geçiyoruz. Bu tür n dönüşten sonra geri sayımın başladığı ilk şubeye dönüyoruz.

Özellikle, n derecesinin bir kökü n değere sahiptir. Örnek olarak, z = x gerçek pozitif sayısının n'inci kökünü ele alalım. Bu durumda φ 0 = 0 , z = r = |z| = x, .
.
Yani karekök için n = 2 ,
.
çift ​​k için, (- 1 ) k = 1. tek k için, (- 1 ) k = - 1.
Yani karekökün iki anlamı vardır: + ve -.

Referanslar:
İÇİNDE. Bronstein, K.A. Semendyaev, Yüksek Eğitim Kurumlarının Mühendisleri ve Öğrencileri için Matematik El Kitabı, Lan, 2009.

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Karekök fonksiyonunun grafiği. Kapsam ve çizim"

Ek materyaller
Değerli kullanıcılarımız, görüş, geri bildirim, önerilerinizi bırakmayı unutmayın. Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

8. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Ders kitabı için elektronik ders kitabı Mordkovich A.G.
8. sınıf için cebir elektronik çalışma kitabı

Karekök fonksiyonunun grafiği

Beyler, fonksiyon grafiklerinin yapımıyla ve birden fazla kez tanıştık. birçok inşa ettik doğrusal fonksiyonlar ve paraboller. Genel olarak herhangi bir fonksiyonu $y=f(x)$ şeklinde yazmak uygundur. Bu iki değişkenli bir denklemdir - x'in her değeri için y elde ederiz. Belirli bir f işlemini gerçekleştirdikten sonra, olası tüm x'lerin kümesini y kümesine eşleriz. Bir f fonksiyonu olarak hemen hemen her matematiksel işlemi yazabiliriz.

Genellikle, fonksiyonları çizerken, x ve y değerlerini yazdığımız bir tablo kullanırız. Örneğin, $y=5x^2$ fonksiyonu için aşağıdaki tabloyu kullanmak uygundur: Elde edilen noktaları Kartezyen koordinat sisteminde işaretleyin ve bunları düzgün bir eğri ile dikkatlice birleştirin. İşlevimiz sınırlı değil. Yalnızca bu noktalarla, verilen tanım alanındaki x'in herhangi bir değerini, yani ifadenin anlamlı olduğu x değerlerini yerine koyabiliriz.

Önceki derslerden birinde, karekökü çıkarmak için yeni bir işlem öğrenmiştik. Soru ortaya çıkıyor, bu işlemi kullanarak bir fonksiyon ayarlayabilir ve grafiğini oluşturabilir miyiz? kullanalım Genel görünüm$y=f(x)$ fonksiyonları. Y ve x'i yerlerinde bırakıyoruz ve f yerine karekök işlemini getiriyoruz: $y=\sqrt(x)$.
Matematiksel işlemi bilerek, işlevi tanımlayabildik.

Karekök Fonksiyonunu Çizme

Bu fonksiyonu çizelim. Karekökün tanımına dayanarak, onu yalnızca negatif olmayan sayılardan, yani $x≥0$'dan hesaplayabiliriz.
Bir tablo yapalım:
Koordinat düzleminde noktalarımızı işaretleyelim.

Elde edilen noktaları dikkatlice birleştirmek bize kalır.

Beyler, dikkat edin: fonksiyonumuzun grafiği yan çevrilirse, parabolün sol kolunu elde ederiz. Aslında, değerler tablosundaki satırlar değiştirilirse (alttaki üst satır), o zaman sadece parabol için değerler alırız.

İşlev alanı $y=\sqrt(x)$

Fonksiyonun grafiğini kullanarak, özellikleri açıklamak oldukça kolaydır.
1. Tanım alanı: $$.
b) $$.

Karar.
Örneğimizi iki şekilde çözebiliriz. Her harf farklı bir yolu anlatıyor.

A) Yukarıda oluşturduğumuz fonksiyonun grafiğine dönelim ve doğru parçasının gerekli noktalarını işaretleyelim. $x=9$ için fonksiyonun diğer tüm değerlerden daha büyük olduğu açıkça görülmektedir. Yani ve en yüksek değer bu noktada ulaşır. $x=4$ için, fonksiyonun değeri diğer tüm noktalardan daha düşüktür, yani var demektir. en küçük değer.

$y_(en)=\sqrt(9)=3$, $y_(en)=\sqrt(4)=2$.

B) Fonksiyonumuzun arttığını biliyoruz. Bu, bağımsız değişkenin her büyük değerinin, işlevin daha büyük bir değerine karşılık geldiği anlamına gelir. Segmentin uçlarında en büyük ve en küçük değerlere ulaşılır:

$y_(naib)=\sqrt(11)$, $y_(naim)=\sqrt(2)$.

Örnek 2
Denklemi çözün:

$\sqrt(x)=12-x$.

Karar.
En kolay yol, iki fonksiyon grafiği çizmek ve kesişme noktalarını bulmaktır.
Grafik, $(9;3)$ koordinatlarıyla kesişme noktasını açıkça göstermektedir. Yani $x=9$ denklemimizin çözümüdür.
Cevap: $x=9$.

Beyler, bu örneğin başka çözümü olmadığından emin olabilir miyiz? Fonksiyonlardan biri artan, diğeri azalan fonksiyondur. Genel olarak, ya sahip değiller ortak noktalar, veya yalnızca birinde kesişir.

Örnek 3

Fonksiyon grafiğini çizin ve okuyun:

$\begin (durumlar) -x, x 9. \end (durumlar)$

Her biri kendi aralığında olan fonksiyonun üç kısmi grafiğini oluşturmamız gerekiyor.

Fonksiyonumuzun özelliklerini açıklayalım:
1. Tanım alanı: $(-∞;+∞)$.
2. $x=0$ ve $x=12$ için $y=0$; $y>0$ için $хϵ(-∞;12)$; $y 3. Fonksiyon $(-∞;0)U(9;+∞)$ segmentlerinde azalıyor. İşlev, $(0;9)$ segmentinde artar.
4. Fonksiyon, tanım alanının tamamında süreklidir.
5. Maksimum veya minimum değer yoktur.
6. Değer aralığı: $(-∞;+∞)$.

Bağımsız çözüm için görevler

1. Parçadaki karekök fonksiyonunun en büyük ve en küçük değerini bulun:
bir) $$;
b) $$.
2. Denklemi çözün: $\sqrt(x)=30-x$.
3. Fonksiyonun grafiğini çizin ve okuyun: $\begin (durumlar) 2-x, x 4. \end (durumlar)$
4. Fonksiyonun grafiğini oluşturun ve okuyun: $y=\sqrt(-x)$.

Grafik ve fonksiyon özellikleri de = │ey│ (modül)

işlevi göz önünde bulundurun de = │ey│, nerede a- belirli bir sayı.

tanım kapsamı fonksiyonlar de = │ey│, hepsinin kümesidir gerçek sayılar. Şekil sırasıyla gösterir fonksiyon grafikleri de = │X│, de = │ 2 kere │, de = │X/2│.

Fonksiyonun grafiğini görebilirsiniz. de = | ey| fonksiyonun grafiğinden elde edilen de = ey, fonksiyonun grafiğinin negatif kısmı ise de = ey(O ekseninin altındadır X), yansıtmak simetrik olarak bu eksen

Grafiği görmek kolaydır özellikler fonksiyonlar de = │ ey │.

-de X= 0, elde ederiz de= 0, yani koordinatların orijini fonksiyonun grafiğine aittir; de X= 0, elde ederiz de> 0, yani grafiğin diğer tüm noktaları O ekseninin üzerinde yer alır X.

Zıt değerler için X, değerler de aynı olacak; O ekseni de bu, grafiğin simetri eksenidir.

Örneğin, işlevi çizebilirsiniz de = │X 3│. Özellikleri karşılaştırmak için de = │X 3 │ve de = X 3 , argümanların aynı değerleri ile değerlerinin bir tablosunu yapacağız.

Tablodan, işlevi çizmek için bunu görüyoruz. de = │X 3 │, işlevi çizerek başlayabilirsiniz de = X 3. Bundan sonra O eksenine simetrik olarak durur. X bu eksenin altındaki kısmını görüntüleyin. Sonuç olarak, şekilde gösterilen grafiği elde ederiz.

Grafik ve fonksiyon özellikleri de = x 1/2 (kök)

işlevi göz önünde bulundurun de = x 1/2 .

tanım kapsamı ifadesinden bu yana, bu fonksiyonun negatif olmayan gerçek sayılar kümesidir. x 1/2 sadece ne zaman önemlidir X > 0.

Bir grafik oluşturalım. Değerlerinin bir tablosunu derlemek için, fonksiyon değerlerini onda bire yuvarlayan bir mikro hesaplayıcı kullanıyoruz.

başvurduktan sonra koordinat uçağı noktalar ve düzgün bağlantıları, elde ederiz fonksiyon grafiği de = x 1/2 .

Oluşturulan grafik, bazılarını formüle etmemize izin verir. özellikler fonksiyonlar de = x 1/2 .

-de X= 0, elde ederiz de= 0; de X> 0, elde ederiz de> 0; grafik orijinden geçer; grafiğin geri kalan noktaları ilk koordinat çeyreğinde bulunur.

teorem. Fonksiyon Grafiği de = x 1/2, fonksiyonun grafiğine simetriktir de = X 2 , nerede X> 0, nispeten düz de = X.

Kanıt. Fonksiyon Grafiği de = X 2 , nerede X> 0, birinci koordinat kadranında bulunan parabolün dalıdır. nokta olsun R (a; b) bu grafiğin rastgele bir noktasıdır. O zaman eşitlik doğrudur b = a 2. Çünkü, koşula göre, sayı a negatif değil, o zaman eşitlik de doğrudur a= b 1/2. Ve bu, noktanın koordinatlarının olduğu anlamına gelir. Q (b; a) formülü dönüştür de = x 1/2 - gerçek eşitlik veya başka türlü, nokta Q (b; a de= x 1/2 .

Şu da kanıtlanmıştır ki, eğer nokta M (İle; d) fonksiyonun grafiğine aittir de = x 1/2 sonra nokta N (d; İle) grafiğe aittir de = X 2 , nerede X > 0.

Görünüşe göre her nokta R(a; b) fonksiyon grafiği de = X 2 , nerede X> 0, yalnızca bir nokta eşleşir Q (b; a) fonksiyon grafiği de = x 1/2 ve tersi.

noktaları kanıtlamak için kalır R (a; b) ve Q (b; a) düz çizgiye göre simetriktir de = X. Noktalardan koordinat eksenlerine dikmeleri düşürme R ve Q, bu eksenlerde puan alıyoruz E(a; 0), D (0; b), F (b; 0), İTİBAREN (0; a). Nokta R dik kesişme noktaları TEKRAR ve KK koordinatları vardır ( a; a) ve bu nedenle hatta aittir de = X. Üçgen PRQ ikizkenardır, çünkü kenarları RP ve istek eşit │ b – a│ her biri. Düz de = X bir açı gibi ikiye bölmek DOF, açı da öyle PRQ ve çizgiyi aşıyor PQ belirli bir noktada S. Bu nedenle segment RSüçgenin açıortayıdır PRQ. Bir ikizkenar üçgenin açıortayı yüksekliği ve medyanı olduğundan, o zaman PQ ┴ RS ve PS = QS. Ve bu, noktaların R (a; b) ve Q (b; a) düz çizgiye göre simetrik de = X.

Fonksiyonun grafiği olduğundan de = x 1/2, fonksiyonun grafiğine simetriktir de = X 2 , nerede X> 0, nispeten düz de= X, ardından fonksiyonun grafiği de = x 1/2 parabolün bir dalıdır.

8. sınıf

Öğretmen: Melnikova T.V.

Dersin Hedefleri:

Teçhizat:

Bilgisayar, interaktif beyaz tahta, bildiri.

Ders için sunum.

DERSLERDE

Ders planı.

Öğretmen tarafından giriş.

Önceden öğrenilen materyalin tekrarı.

Yeni materyal öğrenmek (grup çalışması).

Fonksiyon araştırması. Grafik özellikleri.

Programın tartışılması (ön çalışma).

Matematiksel kart oyunu.

Ders sonuçları.

I. Temel bilginin gerçekleştirilmesi.

Öğretmen selamı.

Öğretmen :

Bir değişkenin diğerine bağımlılığına fonksiyon denir. Şimdiye kadar y = kx + b fonksiyonlarını incelediniz; y \u003d k / x, y \u003d x 2. Bugün fonksiyon incelememize devam edeceğiz. Bugünün dersinde, bir karekök fonksiyonun grafiğinin nasıl göründüğünü öğrenecek, karekök fonksiyonlarını kendi başınıza nasıl çizeceğinizi öğreneceksiniz.

Dersin konusunu yazın (slayt1).

2. Çalışılan materyalin tekrarı.

1. Formüllerle tanımlanan işlevlerin adları nelerdir:

a) y=2x+3; b) y=5/x; c) y \u003d -1 / 2x + 4; d) y=2x; e) y \u003d -6 / x e) y \u003d x 2?

2. Programları nedir? Nasıl bulunur? Bu işlevlerin her birinin kapsamını ve kapsamını belirtin ( incirde. bu formüllerle verilen fonksiyonların grafikleri gösterilmiştir, her fonksiyon için tipini belirtir) (slayt2).

3. Her bir fonksiyonun grafiği nedir, bu grafikler nasıl oluşturulur?

(slide3, fonksiyonların grafikleri şematik olarak oluşturulmuştur).

3. Yeni materyal öğrenmek.

Öğretmen:

Yani bugün fonksiyonu inceliyoruz
ve programı.

Y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğinin bir parabol olduğunu biliyoruz. Sadece x alırsak y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiği ne olur? ≥ 0? Bir parabolün parçasıdır - onun sağ dal. Şimdi fonksiyonu çizelim
.

Fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için algoritmayı tekrarlayalım ( 4. slayt, algoritma ile)

Soru : Ne düşünüyorsun, fonksiyonun analitik notasyonuna bakarak, hangi değerlerin olduğunu söyleyebilirsin X izin verilmiş? (Evet, x≥0). ifade beri
0'dan büyük veya 0'a eşit olan tüm x'ler için anlamlıdır.

Öğretmen: Doğal olaylarda, insan aktivitesinde, genellikle iki nicelik arasında ilişkiler vardır. Bu ilişkiyi hangi grafik gösterebilir? ( grup çalışması)

Sınıf gruplara ayrılır. Her grup görevi alır: bir fonksiyon grafiği çizmek
algoritmanın tüm noktalarını takip ederek grafik kağıdı üzerinde. Daha sonra her gruptan bir temsilci çıkar ve grubun çalışmalarını gösterir. (ambar 5 açılır, kontrol devam eder, ardından çizelge not defterlerinde oluşturulur)

4. Fonksiyon çalışması (Grup çalışması devam ediyor)

Öğretmen:

işlevin kapsamını bulun;

işlevin kapsamını bulun;

fonksiyonun azalma (artma) aralıklarını belirlemek;

y>0, y<0.

Sonuçları yazın (slayt 6).

Öğretmen: Grafiği analiz edelim. Fonksiyonun grafiği bir parabolün bir dalıdır.

Soru : Söylesene, bu tabloyu daha önce bir yerde gördün mü?

Grafiğe bak ve OX doğrusunu kesip kesmediğini söyle? (Olumsuzluk) OU? (Olumsuzluk). Grafiğe bakın ve bana grafiğin bir simetri merkezi olup olmadığını söyleyin? Simetri ekseni?

Özetleyelim:

Şimdi yeni bir konuyu nasıl öğrendiğimize ve işlenen materyali nasıl tekrarladığımıza inanalım. Matematiksel kart oyunu (Oyunun kuralları: 5 kişilik her gruba bir dizi kart (25 kart) sunulur. Her oyuncuya üzerinde soruların yazılı olduğu 5 kart verilir. Birinci öğrenci kartlardan birini ikinciye verir. karttan soruyu cevaplaması gereken öğrenci Öğrenci soruyu cevaplarsa, kart yenilir, değilse, öğrenci kartı kendisi için alır ve hamleyi ihanet eder, vb. sadece 5 hamle. kartlar kaldı, sonra puan -5, 1 kart var - puan 4, 2 kart - puan 3, 3 kart - puan - 2)

5. Dersin sonuçları.(öğrenciler kontrol listelerinde derecelendirilir)

Ev ödevi.

Çalışma öğesi 8.

#172, #179, #183'ü çözün.

“Farklı bilim dallarında ve edebiyatta bir fonksiyonun uygulanması” konulu raporlar hazırlar.

Refleks.

Masanızdaki resimlerle ruh halinizi gösterin.

Bugünün dersi

Beğendim.

Ben sevmedim.

ders materyali ben anlaşıldı, anlaşılmadı).

Konuyla ilgili ders ve sunum: "Güç fonksiyonları. Kübik kök. Kübik kökün özellikleri"

Ek materyaller
Sevgili kullanıcılar, yorumlarınızı, geri bildirimlerinizi, önerilerinizi bırakmayı unutmayın! Tüm materyaller bir antivirüs programı tarafından kontrol edilir.

9. sınıf için "Integral" çevrimiçi mağazasında öğretim yardımcıları ve simülatörler
Eğitim kompleksi 1C: "Parametrelerle cebirsel problemler, 9-11. Sınıflar" Yazılım ortamı "1C: Matematiksel yapıcı 6.0"

Bir güç fonksiyonunun tanımı - küp kök

Beyler, güç fonksiyonlarını incelemeye devam ediyoruz. Bugün x fonksiyonunun Küp Kökü hakkında konuşacağız.
Küp kök nedir?
$y^3=x$ doğruysa, y sayısına x'in küp kökü (üçüncü derece kök) denir.
$\sqrt(x)$ olarak gösterilirler, burada x kök sayıdır, 3 üsdür.
$\sqrt(27)=3$; $3^3=27$.
$\sqrt((-8))=-2$; $(-2)^3=-8$.
Gördüğümüz gibi, küp kökü negatif sayılardan da çıkarılabilir. Kökümüzün tüm sayılar için var olduğu ortaya çıktı.
Negatif bir sayının üçüncü kökü, negatif bir sayıya eşittir. Tek bir kuvvete yükseltildiğinde, işaret korunur, üçüncü kuvvet tektir.

Eşitliği kontrol edelim: $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$.
$\sqrt((-x))=a$ ve $\sqrt(x)=b$ olsun. Her iki ifadeyi de üçüncü kuvvete yükseltelim. $–x=a^3$ ve $x=b^3$. Sonra $a^3=-b^3$ veya $a=-b$. Köklerin gösteriminde istenen kimliği elde ederiz.

Küp köklerin özellikleri

a) $\sqrt(a*b)=\sqrt(a)*\sqrt(6)$.
b) $\sqrt(\frac(a)(b))=\frac(\sqrt(a))(\sqrt(b))$.

İkinci özelliği kanıtlayalım. $(\sqrt(\frac(a)(b)))^3=\frac(\sqrt(a)^3)(\sqrt(b)^3)=\frac(a)(b)$.
Küpteki $\sqrt(\frac(a)(b))$ sayısının $\frac(a)(b)$'ye ve ardından $\sqrt(\frac(a)'ya eşit olduğunu bulduk. (b)$, hangi ve kanıtlanması gerekiyordu.

Arkadaşlar fonksiyon grafiğimizi çizelim.
1) Tanım alanı gerçek sayılar kümesidir.
2) Fonksiyon tek çünkü $\sqrt((-x))$=-$\sqrt(x)$. Sonra, $x≥0$ için fonksiyonumuzu ele alalım, ardından orijine göre grafiği yansıtalım.
3) Fonksiyon $х≥0$ için artar. Fonksiyonumuz için, bağımsız değişkenin daha büyük bir değeri, fonksiyonun daha büyük bir değerine karşılık gelir, bu da artan anlamına gelir.
4) İşlev yukarıdan sınırlı değildir. Aslında, keyfi olarak büyük bir sayıdan üçüncü derecenin kökünü hesaplayabilirsiniz ve sonsuza kadar ilerleyerek argümanın daha büyük değerlerini bulabiliriz.
5) $x≥0$ için en küçük değer 0'dır. Bu özellik açıktır.
x≥0 için nokta bazında fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım.

Fonksiyonun grafiğini tüm tanım alanında oluşturalım. Fonksiyonumuzun tuhaf olduğunu unutmayın.

İşlev özellikleri:
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Tek işlev.
3) Arttırır (-∞;+∞).
4) Sınırsız.
5) Minimum veya maksimum değer yoktur.

7) E(y)= (-∞;+∞).
8) Aşağıya doğru dışbükey (-∞;0), yukarıya doğru dışbükey (0;+∞).

Güç fonksiyonlarını çözme örnekleri

örnekler
1. $\sqrt(x)=x$ denklemini çözün.
Karar. $y=\sqrt(x)$ ve $y=x$ koordinat düzleminde iki grafik oluşturalım.

Gördüğünüz gibi grafiklerimiz üç noktada kesişiyor.
Cevap: (-1;-1), (0;0), (1;1).

2. Fonksiyonun bir grafiğini oluşturun. $y=\sqrt((x-2))-3$.
Karar. Grafiğimiz, $y=\sqrt(x)$ fonksiyonunun grafiğinden iki birim sağa ve üç birim aşağı paralel kaydırılarak elde edilir.

3. Bir fonksiyon grafiği oluşturun ve okuyun. $\begin(durumlar)y=\sqrt(x), x≥-1\\y=-x-2, x≤-1 \end(durumlar)$.
Karar. Koşullarımızı dikkate alarak aynı koordinat düzleminde iki fonksiyon grafiği oluşturalım. $х≥-1$ için bir kübik kök grafiği, $х≤-1$ için doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturuyoruz.
1) D(y)=(-∞;+∞).
2) Fonksiyon ne çift ne de tektir.
3) (-∞;-1) azaltır, (-1;+∞) artırır.
4) Yukarıdan sınırsız, aşağıdan sınırlı.
5) Maksimum değer yoktur. En küçük değer eksi birdir.
6) Fonksiyon tüm gerçek hat üzerinde süreklidir.
7) E(y)= (-1;+∞).

Bağımsız çözüm için görevler

1. $\sqrt(x)=2-x$ denklemini çözün.
2. $y=\sqrt((x+1))+1$ fonksiyonunu çizin.
3. Fonksiyonun grafiğini oluşturun ve okuyun. $\begin(durumlar)y=\sqrt(x), x≥1\\y=(x-1)^2+1, x≤1 \end(durumlar)$.