Trova l'angolo tra tre linee online. I problemi più semplici con una linea retta su un piano. Disposizione reciproca delle linee. Angolo tra le linee

Sarà utile per ogni studente che si prepara all'esame di matematica ripetere l'argomento "Trovare l'angolo tra le linee". Come mostrano le statistiche, quando si supera un test di certificazione, le attività per questa sezione la stereometria causa difficoltà per un largo numero studenti. Allo stesso tempo, le attività che richiedono di trovare l'angolo tra le linee rette si trovano in USE sia a livello di base che di profilo. Ciò significa che tutti dovrebbero essere in grado di risolverli.

Momenti fondamentali

Esistono 4 tipi di disposizione reciproca delle linee nello spazio. Possono coincidere, intersecarsi, essere parallele o incrociarsi. L'angolo tra loro può essere acuto o dritto.

Per trovare l'angolo tra le linee nell'Unified State Examination o, ad esempio, nella soluzione, gli scolari di Mosca e di altre città possono utilizzare diversi metodi per risolvere i problemi in questa sezione di stereometria. Puoi completare l'attività con costruzioni classiche. Per fare ciò, vale la pena apprendere gli assiomi e i teoremi di base della stereometria. Lo studente deve essere in grado di costruire ragionamenti logici e creare disegni per portare il compito a un problema planimetrico.

Puoi anche utilizzare il metodo delle coordinate vettoriali, utilizzando semplici formule, regole e algoritmi. La cosa principale in questo caso è eseguire correttamente tutti i calcoli. Il progetto educativo Shkolkovo ti aiuterà ad affinare le tue abilità nel risolvere problemi di stereometria e altre sezioni del corso scolastico.

Oh-oh-oh-oh-oh ... beh, è ​​​​metallico, come se leggessi la frase a te stesso =) Tuttavia, il rilassamento aiuterà, soprattutto perché oggi ho comprato accessori adatti. Passiamo quindi alla prima sezione, spero, entro la fine dell'articolo manterrò uno stato d'animo allegro.

Disposizione reciproca di due rette

Il caso in cui la sala canta in coro. Due linee possono:

1) partita;

2) essere parallelo: ;

3) o si intersecano in un unico punto: .

Aiuto per i manichini : per favore ricorda il segno matematico dell'intersezione , si verificherà molto spesso. La voce significa che la linea si interseca con la linea nel punto.

Come determinare la posizione relativa di due linee?

Partiamo dal primo caso:

Due rette coincidono se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè esiste un tale numero "lambda" che le uguaglianze

Consideriamo le rette e componiamo tre equazioni dai corrispondenti coefficienti: . Da ogni equazione segue che, quindi, queste rette coincidono.

Infatti, se tutti i coefficienti dell'equazione moltiplicare per -1 (cambiare segno), e tutti i coefficienti dell'equazione riduci di 2, ottieni la stessa equazione: .

Il secondo caso quando le linee sono parallele:

Due rette sono parallele se e solo se i loro coefficienti alle variabili sono proporzionali: , Ma.

Ad esempio, considera due linee rette. Controlliamo la proporzionalità dei coefficienti corrispondenti per le variabili:

Tuttavia, è chiaro che.

E il terzo caso, quando le linee si intersecano:

Due rette si intersecano se e solo se i loro coefficienti delle variabili NON sono proporzionali, cioè NON esiste un tale valore di "lambda" che le uguaglianze siano soddisfatte

Quindi, per le linee rette comporremo un sistema:

Dalla prima equazione segue che , e dalla seconda equazione: , quindi, il sistema è incoerente(nessuna soluzione). Pertanto, i coefficienti alle variabili non sono proporzionali.

Conclusione: le linee si intersecano

Nei problemi pratici può essere utilizzato lo schema di soluzione appena considerato. A proposito, è molto simile all'algoritmo per il controllo della collinearità dei vettori, che abbiamo considerato nella lezione. Il concetto di (non)dipendenza lineare dei vettori. Base vettoriale. Ma c'è un pacchetto più civile:

Esempio 1

Scopri la posizione relativa delle linee:

Soluzione basato sullo studio dei vettori direttivi di rette:

a) Dalle equazioni troviamo i vettori di direzione delle linee: .

, quindi i vettori non sono collineari e le rette si intersecano.

Per ogni evenienza, metterò una pietra con i puntatori all'incrocio:

Gli altri saltano oltre la pietra e proseguono, dritti a Kashchei l'Immortale =)

b) Trova i vettori di direzione delle linee:

Le linee hanno lo stesso vettore di direzione, il che significa che sono parallele o uguali. Qui il determinante non è necessario.

Ovviamente i coefficienti delle incognite sono proporzionali, mentre .

Scopriamo se l'uguaglianza è vera:

Così,

c) Trova i vettori di direzione delle linee:

Calcoliamo il determinante, composto dalle coordinate di questi vettori:
, quindi, i vettori di direzione sono collineari. Le rette o sono parallele o coincidono.

Il fattore di proporzionalità "lambda" è facile da vedere direttamente dal rapporto dei vettori di direzione collineari. Tuttavia, può anche essere trovato attraverso i coefficienti delle equazioni stesse: .

Ora scopriamo se l'uguaglianza è vera. Entrambi i termini liberi sono zero, quindi:

Il valore risultante soddisfa questa equazione (qualsiasi numero generalmente la soddisfa).

Pertanto, le linee coincidono.

Risposta:

Molto presto imparerai (o addirittura hai già imparato) a risolvere verbalmente il problema considerato letteralmente in pochi secondi. A questo proposito, non vedo alcun motivo per offrire qualcosa per una soluzione indipendente, è meglio porre un mattone più importante nelle fondamenta geometriche:

Come disegnare una linea parallela a una data?

Per ignoranza di questo il compito più semplice punisce severamente l'Usignolo il Ladro.

Esempio 2

La retta è data dall'equazione . Scrivi un'equazione per una retta parallela che passa per il punto.

Soluzione: Denota la riga sconosciuta con la lettera . Cosa dice la condizione al riguardo? La retta passa per il punto. E se le rette sono parallele, allora è ovvio che il vettore direttivo della retta "ce" è adatto anche per costruire la retta "te".

Prendiamo il vettore di direzione dall'equazione:

Risposta:

La geometria dell'esempio sembra semplice:

I test analitici lo sono prossimi passi:

1) Verifichiamo che le rette abbiano lo stesso vettore direzione (se l'equazione della retta non è opportunamente semplificata, allora i vettori saranno collineari).

2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante.

La verifica analitica nella maggior parte dei casi è facile da eseguire verbalmente. Guarda le due equazioni e molti di voi capiranno rapidamente come le linee sono parallele senza alcun disegno.

Gli esempi per l'auto-risoluzione oggi saranno creativi. Perché devi ancora competere con Baba Yaga e lei, sai, è un'amante di tutti i tipi di enigmi.

Esempio 3

Scrivi un'equazione per una retta passante per un punto parallelo alla retta if

C'è un modo razionale e poco razionale per risolvere. La via più breve è alla fine della lezione.

Abbiamo lavorato un po' con le linee parallele e ci ritorneremo in seguito. Il caso delle linee coincidenti è di scarso interesse, quindi consideriamo un problema che ti è ben noto dal curriculum scolastico:

Come trovare il punto di intersezione di due rette?

Se dritto intersecano nel punto , allora le sue coordinate sono la soluzione sistemi di equazioni lineari

Come trovare il punto di intersezione delle linee? Risolvi il sistema.

Ecco a te significato geometrico del sistema dei due equazioni lineari con due incognite sono due linee rette che si intersecano (il più delle volte) su un piano.

Esempio 4

Trova il punto di intersezione delle linee

Soluzione: Esistono due modi per risolvere: grafico e analitico.

Il modo grafico è semplicemente disegnare le linee date e scoprire il punto di intersezione direttamente dal disegno:

Ecco il nostro punto: . Per verificare, dovresti sostituire le sue coordinate in ogni equazione di una linea retta, dovrebbero adattarsi sia lì che là. In altre parole, le coordinate di un punto sono la soluzione del sistema . In effetti, abbiamo considerato un modo grafico per risolvere sistemi di equazioni lineari con due equazioni, due incognite.

Il metodo grafico, ovviamente, non è male, ma ci sono notevoli svantaggi. No, il punto non è che i ragazzi di seconda media decidono in questo modo, il punto è che ci vorrà del tempo per fare un disegno corretto ed ESATTO. Inoltre, alcune linee non sono così facili da costruire e il punto di intersezione stesso può trovarsi da qualche parte nel trentesimo regno al di fuori del foglio del taccuino.

Pertanto, è più opportuno cercare il punto di intersezione metodo analitico. Risolviamo il sistema:

Per risolvere il sistema è stato utilizzato il metodo dell'addizione termwise di equazioni. Per sviluppare le competenze pertinenti, visita la lezione Come risolvere un sistema di equazioni?

Risposta:

La verifica è banale: le coordinate del punto di intersezione devono soddisfare ogni equazione del sistema.

Esempio 5

Trova il punto di intersezione delle linee se si intersecano.

Questo è un esempio fai da te. È conveniente dividere il problema in più fasi. L'analisi della condizione suggerisce che è necessario:
1) Scrivi l'equazione di una retta.
2) Scrivi l'equazione di una retta.
3) Scopri la posizione relativa delle linee.
4) Se le linee si intersecano, trova il punto di intersezione.

Lo sviluppo di un algoritmo di azione è tipico di molti problemi geometrici e mi concentrerò ripetutamente su questo.

Soluzione completa e risposta alla fine del tutorial:

Un paio di scarpe non è ancora stato consumato, poiché siamo arrivati ​​alla seconda sezione della lezione:

Linee perpendicolari. La distanza da un punto a una linea.
Angolo tra le linee

Iniziamo con un compito tipico e molto importante. Nella prima parte abbiamo imparato a costruire una linea retta parallela a quella data, e ora la capanna su cosce di pollo girerà di 90 gradi:

Come disegnare una linea perpendicolare a una data?

Esempio 6

La retta è data dall'equazione . Scrivi un'equazione per una retta perpendicolare passante per un punto.

Soluzione: Si sa per ipotesi che . Sarebbe bello trovare il vettore di direzione della retta. Poiché le linee sono perpendicolari, il trucco è semplice:

Dall'equazione “togliamo” il vettore normale: , che sarà il vettore direttivo della retta.

Componiamo l'equazione di una linea retta da un punto e un vettore di direzione:

Risposta:

Apriamo lo schizzo geometrico:

Hmmm... Cielo arancione, mare arancione, cammello arancione.

Verifica analitica della soluzione:

1) Estrarre i vettori di direzione dalle equazioni e con l'aiuto prodotto scalare di vettori concludiamo che le rette sono effettivamente perpendicolari: .

A proposito, puoi usare vettori normali, è ancora più semplice.

2) Verificare se il punto soddisfa l'equazione risultante .

La verifica, ancora una volta, è facile da eseguire verbalmente.

Esempio 7

Trova il punto di intersezione delle rette perpendicolari, se l'equazione è nota e punto.

Questo è un esempio fai da te. Ci sono diverse azioni nell'attività, quindi è conveniente organizzare la soluzione punto per punto.

Il nostro entusiasmante viaggio continua:

Distanza dal punto alla linea

Davanti a noi c'è una striscia diritta del fiume e il nostro compito è raggiungerla nel modo più breve. Non ci sono ostacoli e il percorso ottimale sarà il movimento lungo la perpendicolare. Cioè, la distanza da un punto a una linea è la lunghezza del segmento perpendicolare.

La distanza in geometria è tradizionalmente indicata lettera greca"ro", ad esempio: - la distanza dal punto "em" alla retta "de".

Distanza dal punto alla linea è espresso dalla formula

Esempio 8

Trova la distanza da un punto a una linea

Soluzione: tutto ciò di cui hai bisogno è sostituire attentamente i numeri nella formula e fare i calcoli:

Risposta:

Eseguiamo il disegno:

La distanza trovata dal punto alla linea è esattamente la lunghezza del segmento rosso. Se fai un disegno su carta a scacchi su una scala di 1 unità. \u003d 1 cm (2 celle), quindi la distanza può essere misurata con un normale righello.

Considera un'altra attività secondo lo stesso disegno:

Il compito è trovare le coordinate del punto , che è simmetrico al punto rispetto alla linea . Propongo di eseguire le azioni da solo, tuttavia, delineerò l'algoritmo della soluzione con risultati intermedi:

1) Trova una retta perpendicolare a una retta.

2) Trova il punto di intersezione delle rette: .

Entrambe le azioni sono discusse in dettaglio in questa lezione.

3) Il punto è il punto medio del segmento. Conosciamo le coordinate del centro e di una delle estremità. Di formule per le coordinate del centro del segmento Trovare .

Non sarà superfluo verificare che anche la distanza sia pari a 2,2 unità.

Qui possono sorgere difficoltà nei calcoli, ma nella torre un microcalcolatore aiuta molto, permettendoti di contare le frazioni ordinarie. Ho consigliato molte volte e lo consiglierò di nuovo.

Come trovare la distanza tra due rette parallele?

Esempio 9

Trova la distanza tra due rette parallele

Questo è un altro esempio per una soluzione indipendente. Un piccolo suggerimento: ci sono infiniti modi per risolvere. Debriefing alla fine della lezione, ma meglio provare a indovinare da solo, penso che tu sia riuscito a disperdere bene la tua ingegnosità.

Angolo tra due linee

Qualunque sia l'angolo, poi lo stipite:


In geometria, l'angolo tra due rette è preso come l'angolo PICCOLO, da cui automaticamente segue che non può essere ottuso. Nella figura, l'angolo indicato dall'arco rosso non è considerato l'angolo tra le linee che si intersecano. E il suo vicino "verde" o orientato in modo opposto angolo cremisi.

Se le linee sono perpendicolari, uno qualsiasi dei 4 angoli può essere considerato come l'angolo tra di loro.

In che modo gli angoli sono diversi? Orientamento. Innanzitutto, la direzione di "scorrimento" dell'angolo è di fondamentale importanza. In secondo luogo, un angolo orientato negativamente viene scritto con un segno meno, ad esempio if .

Perché ho detto questo? Sembra che tu possa cavartela con il solito concetto di angolo. Il fatto è che nelle formule con cui troveremo gli angoli si può facilmente ottenere un risultato negativo, e questo non dovrebbe sorprenderti. Un angolo con un segno meno non è peggio e ha un significato geometrico molto specifico. Nel disegno per un angolo negativo, è imperativo indicare il suo orientamento (in senso orario) con una freccia.

Come trovare l'angolo tra due rette? Ci sono due formule di lavoro:

Esempio 10

Trova l'angolo tra le linee

Soluzione E Metodo uno

Considera due linee data da equazioni v vista generale:

Se dritto non perpendicolare, Quello orientata l'angolo tra loro può essere calcolato usando la formula:

Prestiamo molta attenzione al denominatore: questo è esattamente prodotto scalare vettori di direzione delle rette:

Se , allora il denominatore della formula si annulla ei vettori saranno ortogonali e le rette perpendicolari. Ecco perché è stata fatta una riserva sulla non perpendicolarità delle linee nella formulazione.

Sulla base di quanto precede, la soluzione viene opportunamente formalizzata in due fasi:

1) Calcola il prodotto scalare dei vettori direttivi delle rette:
quindi le rette non sono perpendicolari.

2) Troviamo l'angolo tra le linee con la formula:

Usando funzione inversa facile trovare l'angolo stesso. In questo caso, usiamo la disparità dell'arcotangente (vedi Fig. Grafici e proprietà delle funzioni elementari):

Risposta:

Nella risposta indichiamo il valore esatto, nonché il valore approssimativo (preferibilmente sia in gradi che in radianti), calcolato utilizzando una calcolatrice.

Bene, meno, quindi meno, va bene. Ecco un'illustrazione geometrica:

Non sorprende che l'angolo si sia rivelato di orientamento negativo, perché nella condizione del problema il primo numero è una linea retta e proprio da essa è iniziata la “torsione” dell'angolo.

Se vuoi davvero ottenere un angolo positivo, devi scambiare le linee rette, cioè prendere i coefficienti dalla seconda equazione , e prendi i coefficienti dalla prima equazione . Insomma, bisogna iniziare con una diretta .

Istruzione

Nota

Il periodo della funzione trigonometrica tangente è di 180 gradi, il che significa che gli angoli di inclinazione delle rette non possono, in valore assoluto, superare questo valore.

Consigli utili

Se i coefficienti di pendenza sono uguali tra loro, l'angolo tra tali linee è 0, poiché tali linee coincidono o sono parallele.

Per determinare l'angolo tra le linee di intersezione, è necessario trasferire entrambe le linee (o una di esse) in una nuova posizione con il metodo del trasferimento parallelo all'intersezione. Successivamente, dovresti trovare l'angolo tra le linee di intersezione risultanti.

Avrai bisogno

• Righello, triangolo rettangolo, matita, goniometro.

Istruzione

Quindi, siano dati il ​​vettore V = (a, b, c) e il piano A x + B y + C z = 0, dove A, B e C sono le coordinate della normale N. Allora il coseno dell'angolo α tra i vettori V e N è: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Per calcolare il valore dell'angolo in gradi o radianti, è necessario calcolare la funzione inversa al coseno dall'espressione risultante, ad es. arcoseno: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Esempio: trovare angolo fra vettore(5, -3, 8) e aereo, dato equazione generale 2 x - 5 y + 3 z = 0. Soluzione: annotare le coordinate del vettore normale del piano N = (2, -5, 3). Sostituisci tutto valori noti nella formula precedente: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Video collegati

Una linea retta che ne ha una con un cerchio punto comune, è tangente al cerchio. Un'altra caratteristica della tangente è che è sempre perpendicolare al raggio tracciato nel punto di contatto, cioè la tangente e il raggio formano una linea retta angolo. Se due tangenti al cerchio AB e AC sono disegnate da un punto A, allora sono sempre uguali tra loro. Definizione dell'angolo tra le tangenti ( angolo ABC) è prodotto usando il teorema di Pitagora.

Istruzione

Per determinare l'angolo, è necessario conoscere il raggio del cerchio OB e OS e la distanza del punto di origine della tangente dal centro del cerchio - O. Quindi, gli angoli ABO e ACO sono uguali, il raggio OB , ad esempio, 10 cm e la distanza dal centro del cerchio AO è di 15 cm Determinare la lunghezza della tangente con la formula secondo il teorema di Pitagora: AB = Radice quadrata da AO2 - OB2 o 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

angolo tra rette nello spazio chiameremo uno qualsiasi degli angoli adiacenti formati da due rette tracciate attraverso un punto arbitrario parallelo ai dati.

Siano date nello spazio due rette:

Ovviamente, l'angolo φ tra le linee può essere preso come l'angolo tra i loro vettori di direzione e . Poiché , quindi secondo la formula per il coseno dell'angolo tra i vettori otteniamo

Le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette sono equivalenti alle condizioni di parallelismo e perpendicolarità dei loro vettori di direzione e:

Due dritto sono parallele se e solo se i rispettivi coefficienti sono proporzionali, cioè l 1 parallelo l 2 se e solo se parallele .

Due dritto perpendicolare se e solo se la somma dei prodotti dei corrispondenti coefficienti è uguale a zero: .

A obiettivo tra linea e piano

Lascia la linea D- non perpendicolare al piano θ;
D′− proiezione di una retta D al piano θ;
Il più piccolo degli angoli tra rette D E D′ chiameremo angolo tra retta e piano.
Indichiamolo come φ=( D,θ)
Se D⊥θ , quindi ( D,θ)=π/2

Oh→J→K→− sistema rettangolare coordinate.
Equazione del piano:

θ: Ascia+Di+cz+D=0

Consideriamo che la retta sia data da un punto e da un vettore direzione: D[M 0,P→]
Vettore N→(UN,B,C)⊥θ
Quindi resta da scoprire l'angolo tra i vettori N→ e P→, indicalo come γ=( N→,P→).

Se l'angolo γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Se l'angolo γ>π/2 , allora l'angolo richiesto φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Poi, angolo tra retta e piano può essere calcolato utilizzando la formula:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+p.p 2+cp 3∣ ∣ √UN 2+B 2+C 2√P 21+P 22+P 23

Domanda 29. Il concetto di forma quadratica. La definizione di segno delle forme quadratiche.

Forma quadratica j (x 1, x 2, ..., x n) n variabili reali x 1, x 2, ..., x n si chiama somma della forma
, (1)

Dove aij sono alcuni numeri chiamati coefficienti. Senza perdita di generalità, possiamo assumerlo aij = un ji.

Viene chiamata la forma quadratica valido, Se aij О GR. Matrice di forma quadratica si chiama matrice composta dai suoi coefficienti. La forma quadratica (1) corrisponde a un'unica matrice simmetrica
cioè. LA T = LA. Pertanto, la forma quadratica (1) può essere scritta in forma matriciale j ( X) = x T Ah, Dove x t = (X 1 X 2 … x n). (2)

E viceversa, ad ogni matrice simmetrica (2) corrisponde un'unica forma quadratica fino alla notazione delle variabili.

Il rango della forma quadraticaè detto rango della sua matrice. Viene chiamata la forma quadratica non degenerato, se la sua matrice è non singolare UN. (ricordiamo che la matrice UN si dice non degenere se il suo determinante è diverso da zero). Altrimenti, la forma quadratica è degenere.

definito positivo(o strettamente positivo) se

J ( X) > 0 , per chiunque X = (X 1 , X 2 , …, x n), tranne X = (0, 0, …, 0).

Matrice UN forma quadratica definita positiva j ( X) è detto anche definito positivo. Pertanto, una forma quadratica definita positiva corrisponde a un'unica matrice definita positiva e viceversa.

Viene chiamata la forma quadratica (1). definito negativo(o strettamente negativo) se

J ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x n), tranne X = (0, 0, …, 0).

Analogamente a quanto sopra, una matrice quadratica definita negativa è anche chiamata definita negativa.

Pertanto, una forma quadratica definita positivamente (negativamente) j ( X) raggiunge il valore minimo (massimo) j ( X*) = 0 per X* = (0, 0, …, 0).

Notare che la maggior parte le forme quadratiche non sono definite dal segno, cioè non sono né positive né negative. Tali forme quadratiche svaniscono non solo all'origine del sistema di coordinate, ma anche in altri punti.

Quando N> 2, sono richiesti criteri speciali per verificare la definizione di segno di una forma quadratica. Consideriamoli.

Maggiori Minori forme quadratiche sono chiamate minori:

cioè si tratta di minori di ordine 1, 2, …, N matrici UN, situato nell'angolo in alto a sinistra, l'ultimo dei quali coincide con il determinante della matrice UN.

Criterio di determinatezza positiva (criterio di Sylvester)

X) = x T Ahè definito positivo, è necessario e sufficiente che tutti i minori principali della matrice UN erano positivi, cioè: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Criterio di certezza negativa Affinché la forma quadratica j ( X) = x T Ahè definito negativo, è necessario e sufficiente che i suoi minori principali di ordine pari siano positivi, e quelli di ordine dispari siano negativi, cioè: M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)N

Con l'aiuto di questo calcolatrice in linea trovare l'angolo tra le linee. dato soluzione dettagliata con spiegazioni. Per calcolare l'angolo tra le linee, impostare la dimensione (2-se si considera una retta su un piano, 3- se si considera una retta nello spazio), inserire gli elementi dell'equazione nelle celle e cliccare sul pulsante " pulsante Risolvi". Vedere la parte teorica di seguito.

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Istruzioni per l'inserimento dei dati. I numeri vengono inseriti come numeri interi (esempi: 487, 5, -7623, ecc.), numeri decimali (es. 67., 102.54, ecc.) o frazioni. La frazione deve essere digitata nella forma a/b, dove a e b (b>0) sono numeri interi o numeri decimali. Esempi 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7, ecc.

1. Angolo tra le linee su un piano

Le linee sono date dalle equazioni canoniche

1.1. Determinazione dell'angolo tra le linee

Lasciate le linee nello spazio bidimensionale l 1 e l

Pertanto, dalla formula (1.4) si può trovare l'angolo tra le linee l 1 e l 2. Come si può vedere dalla Fig.1, le linee che si intersecano formano angoli adiacenti φ E φ 1 . Se l'angolo trovato è maggiore di 90°, puoi trovare l'angolo minimo tra le linee l 1 e l 2: φ 1 =180-φ .

Dalla formula (1.4) si deducono le condizioni di parallelismo e perpendicolarità di due rette.

Esempio 1. Determinare l'angolo tra le linee

Semplifichiamo e risolviamo:

1.2. Condizione di rette parallele

Permettere φ =0. Poi cosφ=1. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la seguente forma:

,

,

Esempio 2. Determina se le rette sono parallele

L'uguaglianza (1.9) è soddisfatta, quindi le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.

Risposta. Le rette (1.10) e (1.11) sono parallele.

1.3. La condizione di perpendicolarità delle rette

Permettere φ =90°. Poi cosφ=0. In questo caso, l'espressione (1.4) assumerà la seguente forma:

Esempio 3. Determina se le linee sono perpendicolari

La condizione (1.13) è soddisfatta, quindi le rette (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.

Risposta. Le linee (1.14) e (1.15) sono perpendicolari.

Le rette sono date dalle equazioni generali

1.4. Determinazione dell'angolo tra le linee

Lascia due righe l 1 e l 2 sono dati da equazioni generali

Dalla definizione del prodotto scalare di due vettori, abbiamo:

Esempio 4. Trova l'angolo tra le linee

Valori sostitutivi UN 1 , B 1 , UN 2 , B 2 nella (1.23), otteniamo:

Questo angolo è maggiore di 90°. Trova l'angolo minimo tra le linee. Per fare ciò, sottrai questo angolo da 180:

D'altra parte, la condizione delle rette parallele l 1 e l 2 è equivalente alla condizione dei vettori collineari N 1 e N 2 e può essere rappresentato come segue:

L'uguaglianza (1.24) è soddisfatta, quindi le rette (1.26) e (1.27) sono parallele.

Risposta. Le rette (1.26) e (1.27) sono parallele.

1.6. La condizione di perpendicolarità delle rette

La condizione di perpendicolarità delle rette l 1 e l 2 può essere estratto dalla formula (1.20) sostituendo cos(φ )=0. Allora il prodotto scalare ( N 1 ,N 2)=0. Dove

L'uguaglianza (1.28) è soddisfatta, quindi le rette (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.

Risposta. Le linee (1.29) e (1.30) sono perpendicolari.

2. Angolo tra le linee nello spazio

2.1. Determinazione dell'angolo tra le linee

Lascia le linee nello spazio l 1 e l 2 sono date dalle equazioni canoniche

dove | Q 1 | e | Q 2 | moduli del vettore di direzione Q 1 e Q 2 rispettivamente, φ -angolo tra vettori Q 1 e Q 2 .

Dall'espressione (2.3) otteniamo:

.

Semplifichiamo e risolviamo:

.

Troviamo l'angolo φ