الصفحة الرئيسية » طفل 2 - 3 سنوات » ابحث عن الزاوية بين ثلاثة خطوط على الإنترنت. أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. الترتيب المتبادل للخطوط. الزاوية بين السطور

ابحث عن الزاوية بين ثلاثة خطوط على الإنترنت. أبسط مسائل الخط المستقيم على المستوى. الترتيب المتبادل للخطوط. الزاوية بين السطور

سيكون من المفيد لكل طالب يستعد لامتحان الرياضيات تكرار موضوع "إيجاد الزاوية بين السطور". كما تظهر الإحصائيات ، عند اجتياز اختبار الشهادة ، فإن مهام هذا القسميسبب القياس الفراغي صعوبات ل عدد كبيرالطلاب. في الوقت نفسه ، توجد المهام التي تتطلب إيجاد الزاوية بين الخطوط المستقيمة في الاستخدام على كل من المستويين الأساسي والملف الشخصي. هذا يعني أن كل شخص يجب أن يكون قادرًا على حلها.

لحظات أساسية

هناك 4 أنواع من الترتيب المتبادل للخطوط في الفضاء. يمكن أن تتطابق أو تتقاطع أو تكون متوازية أو متقاطعة. يمكن أن تكون الزاوية بينهما حادة أو مستقيمة.

للعثور على الزاوية بين السطور في اختبار الدولة الموحد أو ، على سبيل المثال ، في الحل ، يمكن لأطفال المدارس في موسكو والمدن الأخرى استخدام عدة طرق لحل المشكلات في هذا القسم من القياس الفراغي. يمكنك إكمال المهمة من خلال الإنشاءات الكلاسيكية. للقيام بذلك ، يجدر تعلم البديهيات والنظريات الأساسية للقياس الفراغي. يحتاج الطالب إلى أن يكون قادرًا على بناء التفكير المنطقي وإنشاء الرسومات من أجل إحضار المهمة إلى مشكلة قياس المخطط.

يمكنك أيضًا استخدام طريقة تنسيق المتجه ، باستخدام صيغ وقواعد وخوارزميات بسيطة. الشيء الرئيسي في هذه الحالة هو إجراء جميع الحسابات بشكل صحيح. سيساعدك مشروع Shkolkovo التعليمي على صقل مهاراتك في حل المشكلات في القياس الفراغي والأقسام الأخرى من الدورة المدرسية.

Oh-oh-oh-oh-oh ... حسنًا ، إنها صغيرة ، كما لو كنت تقرأ الجملة لنفسك =) ومع ذلك ، فإن الاسترخاء سيساعدك ، خاصةً منذ أن اشتريت الملحقات المناسبة اليوم. لذلك ، دعنا ننتقل إلى القسم الأول ، كما آمل ، في نهاية المقال ، سأحافظ على مزاج مبهج.

الترتيب المتبادل لخطين مستقيمين

الحالة عندما تغني القاعة في الجوقة. يمكن لخطين:

1) المباراة ؛

2) كن متوازيًا: ؛

3) أو تتقاطع عند نقطة واحدة:.

مساعدة للدمى : يرجى تذكر العلامة الرياضية للتقاطع ، وسوف تحدث في كثير من الأحيان. الإدخال يعني أن الخط يتقاطع مع الخط عند النقطة.

كيف تحدد الموضع النسبي لخطين؟

لنبدأ بالحالة الأولى:

يتطابق خطان إذا وفقط إذا كانت معاملات كل منهما متناسبة، وهذا هو ، هناك مثل هذا العدد من "لامدا" أن المساواة

لنفكر في الخطوط المستقيمة ونؤلف ثلاث معادلات من المعاملات المقابلة:. من كل معادلة ، يترتب على ذلك ، أن هذه الخطوط تتطابق.

في الواقع ، إذا كانت جميع معاملات المعادلة اضرب ب -1 (علامات التغيير) ، وجميع معاملات المعادلة تقليل بمقدار 2 ، تحصل على نفس المعادلة:.

الحالة الثانية عندما تكون الخطوط متوازية:

خطان متوازيان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما في المتغيرات متناسبة: ، لكن.

كمثال ، ضع في اعتبارك خطين مستقيمين. نتحقق من تناسب المعاملات المقابلة للمتغيرات:

ومع ذلك ، فمن الواضح أن.

والحالة الثالثة عندما يتقاطع الخطان:

يتقاطع خطان إذا وفقط إذا كانت معاملاتهما للمتغيرات غير متناسبةأي أنه لا توجد قيمة "لامدا" بحيث تتحقق المساواة

لذلك ، بالنسبة للخطوط المستقيمة ، سنقوم بتكوين نظام:

من المعادلة الأولى يتبع ذلك ، ومن المعادلة الثانية: النظام غير متسق(لا توجد حلول). وبالتالي ، فإن المعاملات في المتغيرات ليست متناسبة.

الخلاصة: تتقاطع الخطوط

في المشاكل العملية ، يمكن استخدام مخطط الحل الذي تم النظر فيه للتو. بالمناسبة ، إنها تشبه إلى حد بعيد خوارزمية فحص المتجهات للعلاقة الخطية المتداخلة ، والتي أخذناها في الاعتبار في الدرس. مفهوم الاعتماد الخطي (غير) للناقلات. أساس المتجه. لكن هناك حزمة أكثر تحضرًا:

مثال 1

اكتشف الموضع النسبي للخطوط:

المحلولبناءً على دراسة توجيه نواقل الخطوط المستقيمة:

أ) من المعادلات نجد متجهات الاتجاه للخطوط: .

، لذلك لا تكون المتجهات على خط واحد وتتقاطع الخطوط.

فقط في حالة ، سأضع حجرًا بمؤشرات عند مفترق الطرق:

يقفز الباقون فوق الحجر ويتابعون ، مباشرة إلى Kashchei the Deathless =)

ب) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

الخطوط لها نفس متجه الاتجاه ، مما يعني أنها إما متوازية أو متشابهة. هنا المحدد ليس ضروريا.

من الواضح أن معاملات المجهول متناسبة ، بينما.

دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة:

في هذا الطريق،

ج) ابحث عن متجهات الاتجاه للخطوط:

لنحسب المحدد المكون من إحداثيات هذه المتجهات:
لذلك ، فإن نواقل الاتجاه متداخلة. الخطوط إما موازية أو متزامنة.

من السهل رؤية عامل التناسب "لامدا" مباشرة من نسبة متجهات الاتجاه الخطي. ومع ذلك ، يمكن أيضًا العثور عليها من خلال معاملات المعادلات نفسها: .

الآن دعنا نكتشف ما إذا كانت المساواة صحيحة. كلا المصطلحين المجانيين صفرا ، لذلك:

القيمة الناتجة تحقق هذه المعادلة (أي رقم يرضيها بشكل عام).

وهكذا تتطابق الخطوط.

إجابه:

قريبا جدا سوف تتعلم (أو حتى تعلمت بالفعل) حل المشكلة المدروسة لفظيا حرفيا في غضون ثوان. في هذا الصدد ، لا أرى أي سبب لتقديم شيء ما لحل مستقل ، فمن الأفضل وضع لبنة أخرى مهمة في الأساس الهندسي:

كيفية رسم خط مواز لخط معين؟

لجهل هذا أبسط مهمةيعاقب العندليب السارق بشدة.

مثال 2

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط متوازي يمر بالنقطة.

المحلول: دلالة على الخط المجهول بالحرف. ماذا تقول الشرط عنها؟ الخط يمر بالنقطة. وإذا كانت الخطوط متوازية ، فمن الواضح أن متجه التوجيه للخط "ce" مناسب أيضًا لإنشاء الخط "de".

نخرج متجه الاتجاه من المعادلة:

إجابه:

تبدو هندسة المثال بسيطة:

الاختبار التحليلي الخطوات التالية:

1) نتحقق من أن الخطوط لها نفس متجه الاتجاه (إذا لم يتم تبسيط معادلة الخط بشكل صحيح ، فستكون المتجهات على خط واحد).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة.

من السهل إجراء التحقق التحليلي لفظيًا في معظم الحالات. انظر إلى المعادلتين وسيكتشف الكثير منكم بسرعة كيف أن الخطوط متوازية دون أي رسم.

ستكون أمثلة الحل الذاتي اليوم إبداعية. لأنه لا يزال يتعين عليك التنافس مع بابا ياجا ، وهي ، كما تعلم ، من محبي جميع أنواع الألغاز.

مثال 3

اكتب معادلة لخط يمر بنقطة موازية للخط إذا

هناك طريقة عقلانية وليست عقلانية للحل. أقصر طريق في نهاية الدرس.

قمنا ببعض العمل مع الخطوط المتوازية وسنعود إليها لاحقًا. إن حالة الخطوط المتزامنة ليست ذات أهمية كبيرة ، لذلك دعونا نفكر في مشكلة معروفة لك جيدًا من المناهج الدراسية:

كيف تجد نقطة تقاطع خطين؟

إذا كان مستقيما تتقاطع عند النقطة ، فتكون إحداثياتها هي الحل أنظمة المعادلات الخطية

كيف تجد نقطة تقاطع الخطوط؟ حل النظام.

تستخدم لتمني الصحة أو النجاح لشخص قبل الشرب المعنى الهندسي لنظام اثنين المعادلات الخطيةمع اثنين من المجهولعبارة عن خطين متقاطعين (غالبًا) على مستوى مستو.

مثال 4

أوجد نقطة تقاطع الخطوط

المحلول: هناك طريقتان لحل - رسومية وتحليلية.

الطريقة الرسومية هي ببساطة رسم الخطوط المعينة ومعرفة نقطة التقاطع مباشرة من الرسم:

ها هي وجهة نظرنا:. للتحقق ، يجب أن تستبدل إحداثياته في كل معادلة للخط المستقيم ، يجب أن تناسب كلاهما هناك وهناك. بمعنى آخر ، إحداثيات نقطة هي حل النظام. في الواقع ، اعتبرنا طريقة رسومية لحلها أنظمة المعادلات الخطيةمع معادلتين ، مجهولين.

الطريقة الرسومية ، بالطبع ، ليست سيئة ، لكن هناك عيوب ملحوظة. لا ، النقطة ليست أن طلاب الصف السابع يقررون بهذه الطريقة ، فالنقطة هي أن الأمر سيستغرق وقتًا لعمل رسم صحيح ودقيق. بالإضافة إلى ذلك ، ليس من السهل إنشاء بعض الخطوط ، ويمكن أن تكون نقطة التقاطع نفسها في مكان ما في المملكة الثلاثين خارج ورقة دفتر الملاحظات.

لذلك ، من الأفضل البحث عن نقطة التقاطع المنهج التحليلي. لنحل النظام:

لحل النظام ، تم استخدام طريقة جمع المعادلات النهائية. لتنمية المهارات ذات الصلة ، قم بزيارة الدرس كيف تحل نظام المعادلات؟

إجابه:

التحقق بسيط - يجب أن تفي إحداثيات نقطة التقاطع بكل معادلة في النظام.

مثال 5

أوجد نقطة تقاطع الخطين إذا تقاطعا.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". من المناسب تقسيم المشكلة إلى عدة مراحل. يشير تحليل الحالة إلى أنه من الضروري:
1) اكتب معادلة الخط المستقيم.
2) اكتب معادلة الخط المستقيم.
3) اكتشف الموضع النسبي للخطوط.
4) إذا تقاطع الخطان ، فابحث عن نقطة التقاطع.

يعد تطوير خوارزمية الإجراء نموذجيًا للعديد من المشكلات الهندسية ، وسأركز بشكل متكرر على هذا.

الحل الكامل والإجابة في نهاية البرنامج التعليمي:

زوج من الأحذية لم يتم تهالكه بعد ، حيث وصلنا إلى القسم الثاني من الدرس:

خطوط متعامدة. المسافة من نقطة إلى خط.
الزاوية بين السطور

لنبدأ بمهمة نموذجية وهامة للغاية. في الجزء الأول ، تعلمنا كيفية بناء خط مستقيم موازٍ للخط المعطى ، والآن سيتحول الكوخ على أرجل الدجاج إلى 90 درجة:

كيفية رسم خط عمودي على خط معين؟

مثال 6

يتم إعطاء الخط المستقيم بواسطة المعادلة. اكتب معادلة لخط عمودي يمر بنقطة.

المحلول: ومن المعروف عن طريق الافتراض أن. سيكون من الجيد إيجاد متجه الاتجاه للخط المستقيم. نظرًا لأن الخطوط عمودية ، فإن الحيلة بسيطة:

من المعادلة "نزيل" المتجه العادي: والذي سيكون المتجه الموجه للخط المستقيم.

نؤلف معادلة الخط المستقيم بنقطة وناقل التوجيه:

إجابه:

دعونا نكشف عن الرسم الهندسي:

هممم ... سماء برتقالية ، بحر برتقالي ، جمل برتقالي.

التحقق التحليلي من الحل:

1) استخرج متجهات الاتجاه من المعادلات وبمساعدة حاصل الضرب النقطي للناقلاتنستنتج أن الخطوط عمودية بالفعل:.

بالمناسبة ، يمكنك استخدام المتجهات العادية ، الأمر أسهل.

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تحقق المعادلة الناتجة .

التحقق ، مرة أخرى ، من السهل القيام به لفظيًا.

مثال 7

أوجد نقطة تقاطع المستقيمات المتعامدة ، إذا كانت المعادلة معروفة ونقطة.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". هناك العديد من الإجراءات في المهمة ، لذا فمن الملائم ترتيب الحل نقطة تلو الأخرى.

تستمر رحلتنا المثيرة:

المسافة من نقطة إلى خط

أمامنا شريط مستقيم من النهر ومهمتنا هي الوصول إليه في أقصر الطرق. لا توجد عوائق ، وسيكون الطريق الأمثل هو الحركة على طول الخط العمودي. أي أن المسافة من نقطة إلى خط هي طول المقطع العمودي.

يشار إلى المسافة في الهندسة تقليديا رسالة يونانية"ro" ، على سبيل المثال: - المسافة من النقطة "em" إلى الخط المستقيم "de".

المسافة من نقطة إلى خط يتم التعبير عنها بالصيغة

المثال 8

أوجد المسافة من نقطة إلى خط

المحلول: كل ما تحتاجه هو استبدال الأرقام بعناية في الصيغة وإجراء العمليات الحسابية:

إجابه:

لننفذ الرسم:

المسافة التي تم العثور عليها من النقطة إلى الخط هي بالضبط طول الجزء الأحمر. إذا قمت بعمل رسم على ورق متقلب على مقياس من وحدة واحدة. = 1 سم (خليتان) ، ثم يمكن قياس المسافة بمسطرة عادية.

ضع في اعتبارك مهمة أخرى وفقًا لنفس الرسم:

المهمة هي إيجاد إحداثيات النقطة ، والتي تكون متناظرة مع النقطة بالنسبة للخط . أقترح تنفيذ الإجراءات بمفردك ، ومع ذلك ، سأحدد خوارزمية الحل بنتائج وسيطة:

1) ابحث عن خط عمودي على خط مستقيم.

2) أوجد نقطة تقاطع الخطوط: .

تمت مناقشة كلا الإجراءين بالتفصيل في هذا الدرس.

3) النقطة هي منتصف المقطع. نعرف إحداثيات الوسط وأحد النهايات. بواسطة الصيغ لإحداثيات منتصف المقطعتجد .

لن يكون من غير الضروري التحقق من أن المسافة تساوي أيضًا 2.2 وحدة.

قد تنشأ صعوبات هنا في العمليات الحسابية ، ولكن في البرج تساعد الآلة الحاسبة الدقيقة كثيرًا ، مما يسمح لك بحساب الكسور العادية. لقد نصحت عدة مرات وسوف أوصي مرة أخرى.

كيف تجد المسافة بين خطين متوازيين؟

المثال 9

أوجد المسافة بين خطين متوازيين

هذا مثال آخر على حل مستقل. القليل من التلميح: هناك طرق عديدة لا حصر لها لحلها. استخلاص المعلومات في نهاية الدرس ، ولكن من الأفضل أن تحاول التخمين بنفسك ، أعتقد أنك تمكنت من تشتيت براعتك جيدًا.

الزاوية بين خطين

مهما كانت الزاوية ، ثم الدعامة:

في الهندسة ، تُؤخذ الزاوية بين خطين مستقيمين كزاوية أصغر ، والتي تتبع منها تلقائيًا أنه لا يمكن أن تكون منفرجة. في الشكل ، الزاوية التي يشير إليها القوس الأحمر لا تعتبر الزاوية بين الخطوط المتقاطعة. وجارتها "الخضراء" أو موجهة بشكل معاكسركن قرمزي.

إذا كانت الخطوط متعامدة ، فيمكن اعتبار أي من الزوايا الأربع كزاوية بينهما.

كيف تختلف الزوايا؟ توجيه. أولاً ، اتجاه "التمرير" في الزاوية مهم بشكل أساسي. ثانيًا ، يتم كتابة الزاوية ذات الاتجاه السالب بعلامة ناقص ، على سبيل المثال ، إذا.

لماذا قلت هذا؟ يبدو أنه يمكنك تجاوز المفهوم المعتاد للزاوية. الحقيقة هي أنه في الصيغ التي سنجد بها الزوايا ، يمكن بسهولة الحصول على نتيجة سلبية ، وهذا لا ينبغي أن يفاجئك. الزاوية بعلامة ناقص ليست أسوأ ، ولها معنى هندسي محدد للغاية. في الرسم لزاوية سالبة ، من الضروري الإشارة إلى اتجاهها (في اتجاه عقارب الساعة) بسهم.

كيف تجد الزاوية بين خطين؟هناك صيغتان للعمل:

المثال 10

أوجد الزاوية بين الخطوط

المحلولو الطريقة الأولى

النظر في سطرين من المعادلاتفي نظرة عامة:

إذا كان مستقيما غير عمودي، ومن بعد الموجهةيمكن حساب الزاوية بينهما باستخدام الصيغة:

دعنا ننتبه جيدًا إلى المقام - هذا هو بالضبط منتج عدديناقلات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

إذا اختفى مقام الصيغة ، وستكون المتجهات متعامدة وستكون الخطوط متعامدة. هذا هو السبب في إبداء تحفظ بشأن عدم تعامد الخطوط في الصياغة.

بناءً على ما سبق ، يتم إضفاء الطابع الرسمي على الحل بشكل ملائم في خطوتين:

1) احسب الناتج القياسي لتوجيه متجهات الخطوط المستقيمة:
لذلك فإن الخطوط ليست عمودية.

2) نجد الزاوية بين السطور بالصيغة:

باستخدام وظيفة عكسيةمن السهل العثور على الزاوية نفسها. في هذه الحالة ، نستخدم غرابة قوس المماس (انظر الشكل. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية):

إجابه:

في الإجابة ، نشير إلى القيمة الدقيقة ، وكذلك القيمة التقريبية (يفضل أن تكون بالدرجات والراديان) ، المحسوبة باستخدام الآلة الحاسبة.

حسنًا ، ناقص ، ناقص ، لا بأس. هنا رسم توضيحي هندسي:

ليس من المستغرب أن تكون الزاوية سالبة الاتجاه ، لأنه في حالة المشكلة ، يكون الرقم الأول عبارة عن خط مستقيم ويبدأ "التواء" الزاوية منه بالضبط.

إذا كنت تريد حقًا الحصول على زاوية موجبة ، فأنت بحاجة إلى تبديل الخطوط المستقيمة ، أي أخذ المعاملات من المعادلة الثانية ، وخذ المعاملات من المعادلة الأولى. باختصار ، عليك أن تبدأ مباشرة .

تعليمات

ملاحظة

فترة ظل الدالة المثلثية هي 180 درجة ، مما يعني أن زوايا ميل الخطوط المستقيمة لا يمكن ، في القيمة المطلقة ، تجاوز هذه القيمة.

نصيحة مفيدة

إذا كانت معاملات الميل متساوية مع بعضها البعض ، فإن الزاوية بين هذه الخطوط هي 0 ، لأن هذه الخطوط إما تتطابق أو تكون متوازية.

لتحديد الزاوية بين خطوط العبور ، من الضروري نقل كلا الخطين (أو أحدهما) إلى موضع جديد بطريقة النقل المتوازي إلى التقاطع. بعد ذلك ، يجب أن تجد الزاوية بين الخطوط المتقاطعة الناتجة.

سوف تحتاج

مسطرة ، مثلث قائم الزاوية ، قلم رصاص ، منقلة.

تعليمات

لذلك ، دع المتجه V = (a ، b ، c) والمستوى A x + B y + C z = 0 ، حيث A و B و C هي إحداثيات العمودي N. ثم جيب تمام الزاوية α بين المتجهين V و N هي: cos α \ u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

لحساب قيمة الزاوية بالدرجات أو الراديان ، تحتاج إلى حساب الدالة العكسية لجيب التمام من التعبير الناتج ، أي arccosine: α \ u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

مثال: البحث عن ركنما بين المتجه(5 ، -3 ، 8) و طائرة، معطى معادلة عامة 2 x - 5 y + 3 z = 0. الحل: اكتب إحداثيات المتجه الطبيعي للمستوى N = (2، -5، 3). استبدل كل شيء القيم المعروفةفي الصيغة أعلاه: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0.8 → α = 36.87 °.

فيديوهات ذات علاقة

خط مستقيم به دائرة نقطة مشتركة، مماس للدائرة. ميزة أخرى للماس هي أنه دائمًا ما يكون عموديًا على نصف القطر المرسوم إلى نقطة التلامس ، أي أن الظل ونصف القطر يشكلان خطًا مستقيمًا ركن. إذا تم رسم مماسين للدائرة AB و AC من النقطة A ، فسيكونان دائمًا متساويين. تعريف الزاوية بين الظلال ( ركن ABC) باستخدام نظرية فيثاغورس.

تعليمات

لتحديد الزاوية ، تحتاج إلى معرفة نصف قطر الدائرة OB و OS ومسافة نقطة أصل المماس من مركز الدائرة - O. إذن ، الزاويتان ABO و ACO متساويتان ، نصف القطر OB ، على سبيل المثال ، 10 سم والمسافة إلى مركز الدائرة AO تساوي 15 سم. حدد طول الظل بالصيغة وفقًا لنظرية فيثاغورس: AB = الجذر التربيعيمن AO2 - OB2 أو 152-102 = 225-100 = 125 ؛

ركنبين الخطوط المستقيمة في الفضاء ، سوف نسمي أيًا من الزوايا المتجاورة المكونة من خطين مستقيمين مرسومين من خلال نقطة عشوائية موازية للبيانات.

دع خطين مستقيمين في الفراغ:

من الواضح أن الزاوية φ بين الخطوط يمكن اعتبارها الزاوية بين متجهات اتجاهها و. منذ ذلك الحين ، وفقًا لصيغة جيب التمام للزاوية بين المتجهات التي نحصل عليها

شروط التوازي والعمودي لخطين مكافئة لظروف التوازي والعمودي لمتجهات الاتجاه الخاصة بهم و:

اثنان على التوالي متوازيةإذا وفقط إذا كانت معاملات كل منهما متناسبة ، أي ل 1 مواز ل 2 إذا وفقط إذا كان متوازيًا .

اثنان على التوالي عموديإذا وفقط إذا كان مجموع حاصل ضرب المعاملات المقابلة يساوي صفرًا:.

في الهدف بين الخط والطائرة

دع الخط د- غير عمودي على المستوى θ ؛
د′ - إسقاط خط مستقيم دإلى الطائرة θ ؛
أصغر الزوايا بين الخطوط المستقيمة دو د' سنطالب الزاوية بين الخط والمستوى.
دعنا نشير إليها على أنها φ = ( د,θ)
اذا كان د⊥θ ثم ( د، θ) = π / 2

أوي→ي→ك→− نظام مستطيلإحداثيات.
معادلة الطائرة:

θ: فأس+بواسطة+تشيكوسلوفاكيا+د=0

نعتبر أن الخط مُعطى بنقطة ومتجه اتجاه: د[م 0,ص→]
المتجه ن→(أ,ب,ج)⊥θ
ثم يبقى معرفة الزاوية بين المتجهات ن→ و ص→ ، تدل على أنها γ = ( ن→,ص→).

إذا كانت الزاوية γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

إذا كانت الزاوية γ> / 2 ، فإن الزاوية المطلوبة φ = γ − π / 2

sinφ = sin (2π − γ) = cosγ

sinφ = sin (γ − 2π) = - cosγ

ثم، الزاوية بين الخط والمستوىيمكن حسابها باستخدام الصيغة:

sinφ = ∣cosγ∣ = ∣ ∣ أب 1+بي بي 2+cp 3∣ ∣ √أ 2+ب 2+ج 2√ص 21+ص 22+ص 23

السؤال 29. مفهوم الشكل التربيعي. تعريف علامة الأشكال التربيعية.

الصيغة التربيعية j (x 1، x 2، ...، x n) n متغيرات حقيقية x 1، x 2، ...، x nيسمى مجموع النموذج
, (1)

أين aij هي بعض الأرقام تسمى المعاملات. بدون فقدان التعميم ، يمكننا أن نفترض ذلك aij = أ جي.

يسمى الشكل التربيعي صالح،إذا aij О GR. مصفوفة من الدرجة الثانيةتسمى المصفوفة المكونة من معاملاتها. الشكل التربيعي (1) يتوافق مع مصفوفة متماثلة فريدة
بمعنى آخر. أ تي = أ. لذلك ، يمكن كتابة الصيغة التربيعية (1) في شكل مصفوفة j ( X) = س تي آه، أين س ت = (X 1 X 2 … x ن). (2)

والعكس صحيح ، فإن أي مصفوفة متماثلة (2) تتوافق مع شكل تربيعي فريد يصل إلى تدوين المتغيرات.

رتبة الشكل التربيعييسمى رتبة المصفوفة الخاصة به. يسمى الشكل التربيعي غير منحطإذا كانت المصفوفة الخاصة بها غير لغوية لكن. (تذكر أن المصفوفة لكنيسمى غير متدهور إذا كان محدده غير صفري). خلاف ذلك ، فإن الشكل التربيعي يتدهور.

إيجابية محددة(أو إيجابي تمامًا) إذا

ي ( X) > 0 ، لأي احد X = (X 1 , X 2 , …, x ن), بجانب X = (0, 0, …, 0).

مصفوفة لكنشكل تربيعي محدد موجب ي ( X) يسمى أيضًا محددًا إيجابيًا. لذلك ، يتوافق الشكل التربيعي الإيجابي المحدد مع مصفوفة محددة موجبة فريدة والعكس صحيح.

يسمى الشكل التربيعي (1) محدد سلبي(أو سلبية تمامًا) إذا

ي ( X) < 0, для любого X = (X 1 , X 2 , …, x ن)، بجانب X = (0, 0, …, 0).

وبالمثل كما هو مذكور أعلاه ، فإن المصفوفة التربيعية السالبة المحددة تسمى أيضًا المصفوفة السالبة المحددة.

لذلك ، شكل إيجابي (سلبي) محدد من التربيع j ( X) يصل إلى الحد الأدنى (الأقصى) للقيمة j ( X *) = 0 من أجل X * = (0, 0, …, 0).

لاحظ أن معظمالأشكال التربيعية ليست علامة محددة ، أي أنها ليست موجبة ولا سلبية. تختفي هذه الأشكال التربيعية ليس فقط عند أصل نظام الإحداثيات ، ولكن أيضًا في نقاط أخرى.

متي ن> 2 ، معايير خاصة مطلوبة للتحقق من دقة علامة الشكل التربيعي. دعونا نفكر فيها.

القاصرون الكبارالشكل التربيعي يسمى القصر:

أي ، هؤلاء قاصرون من الرتبة 1 ، 2 ، ... ، نالمصفوفات لكن، الموجودة في الزاوية اليسرى العليا ، يتطابق آخرها مع محدد المصفوفة لكن.

معيار التحديد الإيجابي (معيار سيلفستر)

X) = س تي آههو ايجابي واضح ، فمن الضروري والكافي لجميع القاصرين الرئيسيين في المصفوفة لكنكانت إيجابية ، أي: م 1 > 0, م 2 > 0, …, م ن > 0. معيار اليقين السلبي من أجل الصيغة التربيعية j ( X) = س تي آهسلبي محدد ، فمن الضروري والكافي أن يكون القصر الأساسيون من نظام زوجي موجبين ، وأن يكون الأطفال من الترتيب الفردي سلبيًا ، أي: م 1 < 0, م 2 > 0, م 3 < 0, …, (–1)ن

بمساعدة هذا آلة حاسبة على الانترنتأوجد الزاوية بين السطور. معطى حل مفصلمع التفسيرات. لحساب الزاوية بين السطور ، قم بتعيين البعد (2 - إذا تم اعتبار الخط المستقيم على مستوى ، 3- إذا تم اعتبار الخط المستقيم في الفراغ) ، أدخل عناصر المعادلة في الخلايا وانقر فوق " زر "حل". انظر الجزء النظري أدناه.

تحذير

مسح كافة الخلايا؟

إغلاق واضح

تعليمات إدخال البيانات.يتم إدخال الأرقام كأرقام كاملة (أمثلة: 487 ، 5 ، -7623 ، إلخ) ، أو أرقام عشرية (مثل 67. ، 102.54 ، إلخ) أو كسور. يجب كتابة الكسر بالصيغة a / b ، حيث يكون a و b (b> 0) عددًا صحيحًا أو أرقام عشرية. أمثلة 45/5 ، 6.6 / 76.4 ، -7 / 6.7 ، إلخ.

1. الزاوية بين الخطوط على المستوى

يتم إعطاء الخطوط بواسطة المعادلات الأساسية

1.1 تحديد الزاوية بين السطور

دع الخطوط في مساحة ثنائية الأبعاد إل 1 و إل

وهكذا ، من الصيغة (1.4) يمكن للمرء أن يجد الزاوية بين السطور إل 1 و إل 2. كما يتضح من الشكل 1 ، تشكل الخطوط المتقاطعة زوايا متجاورة φ و φ واحد . إذا كانت الزاوية التي تم العثور عليها أكبر من 90 درجة ، فيمكنك إيجاد الزاوية الصغرى بين السطور إل 1 و إل 2: φ 1 =180-φ .

من الصيغة (1.4) يمكن للمرء أن يستنتج شروط التوازي والعمودي لخطين مستقيمين.

مثال 1. تحديد الزاوية بين الخطوط

لنبسط ونحل: