معادلة خط على مستوى.

كما هو معروف ، يتم تحديد أي نقطة على المستوى بواسطة إحداثيات في بعض أنظمة الإحداثيات. يمكن أن تكون أنظمة التنسيق مختلفة بناءً على اختيار الأساس والأصل.

تعريف. معادلة الخطهي العلاقة y = f (x) بين إحداثيات النقاط التي يتكون منها هذا الخط.

لاحظ أنه يمكن التعبير عن معادلة الخط بطريقة حدودية ، أي أن كل إحداثي لكل نقطة يتم التعبير عنه من خلال بعض المعلمات المستقلة ر.

مثال نموذجي هو مسار نقطة متحركة. في هذه الحالة ، يلعب الوقت دور المعلمة.

معادلة خط مستقيم على مستوى.

تعريف. يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

علاوة على ذلك ، فإن الثوابت أ ، ب لا تساوي الصفر في نفس الوقت ، أي أ 2 + ب 2 0. تسمى هذه المعادلة من الدرجة الأولى المعادلة العامة للخط المستقيم.

اعتمادًا على قيم الثوابت A و B و C ، تكون الحالات الخاصة التالية ممكنة:

C \ u003d 0 ، A  0 ، B  0 - يمر الخط عبر الأصل

A \ u003d 0 ، B  0 ، C  0 (By + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Ox

B \ u003d 0 ، A  0 ، C  0 (Ax + C \ u003d 0) - الخط موازٍ لمحور Oy

B \ u003d C \ u003d 0 ، A  0 - يتطابق الخط المستقيم مع محور Oy

A \ u003d C \ u003d 0 ، B 0 - يتزامن الخط المستقيم مع محور Ox

يمكن تقديم معادلة الخط المستقيم بأشكال مختلفة اعتمادًا على أي شروط أولية معينة.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي.

تعريف. ديكارتي نظام مستطيلمتجه التنسيق مع المكونات (A ، B) عمودي على الخط المعطى بواسطة المعادلة Ax + By + C = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (1 ، 2) المتعامد على المتجه (3, -1).

دعونا نؤلف عند A \ u003d 3 و B \ u003d -1 معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \ u003d 0. للعثور على المعامل C ، نستبدل إحداثيات النقطة المعينة A في التعبير الناتج.

نحصل على: 3 - 2 + C \ u003d 0 ، وبالتالي C \ u003d -1.

المجموع: المعادلة المرغوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دع نقطتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) تُعطى في الفراغ ، ثم معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

على المستوى ، يتم تبسيط معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه:

إذا كانت x 1  x 2 و x \ u003d x 1 ، إذا كانت x 1 \ u003d x 2.

جزء
= k يسمى عامل الانحدارمستقيم.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل.

لو معادلة عامةالفأس المباشر + Wu + C = 0 يؤدي إلى الشكل:

وتعيين
، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة معادلة الخط المستقيم بميلك.

معادلة الخط المستقيم على نقطة ومتجه الاتجاه.

بالتشابه مع النقطة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال تعيين خط مستقيم من خلال نقطة ومتجه توجيه لخط مستقيم.

تعريف. كل متجه غير صفري ( 1 ،  2) ، تسمى مكوناتها التي تفي بالشرط A 1 + B 2 = 0 متجه التوجيه للخط

آه + وو + ج = 0.

مثال.أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) والمرور بالنقطة أ (1 ، 2).

سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: Ax + By + C = 0. وفقًا للتعريف ، يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1A + (-1) B = 0 ، أي أ = ب.

ثم تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل: Ax + Ay + C = 0 ، أو x + y + C / A = 0.

عند x = 1 ، y = 2 نحصل على С / A = -3 ، أي المعادلة المرغوبة:

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C 0 ، فعند القسمة على –C ، نحصل على:
أو

، أين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل أهو إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور السيني ، و ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور Oy.

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط x - y + 1 = 0. أوجد معادلة هذا الخط في المقاطع.

ج \ u003d 1 ،
، أ = -1 ، ب = 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة Ax + Wy + C = 0 مقسومًا على الرقم
، من اتصل عامل التطبيع، ثم نحصل عليه

xcos + ysin - ع = 0 -

المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار علامة  لعامل التطبيع بحيث С< 0.

p هو طول العمود العمودي الذي تم إسقاطه من الأصل إلى الخط المستقيم ، و هي الزاوية المكونة من هذا العمودي مع الاتجاه الإيجابي لمحور Ox.

مثال.بالنظر إلى المعادلة العامة للخط المستقيم 12x - 5y - 65 \ u003d 0. مطلوب للكتابة أنواع مختلفةمعادلات هذا الخط.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط بالميل: (اقسم على 5)

المعادلة العادية للخط المستقيم:

؛ cos = 12/13 ؛ sin = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، خطوط مستقيمة موازية للمحاور أو تمر عبر الأصل.

مثال.يقطع الخط المستقيم مقاطع موجبة متساوية على محاور الإحداثيات. اكتب معادلة الخط المستقيم إذا كانت مساحة المثلث المكونة من هذين المقطعين 8 سم 2.

معادلة الخط المستقيم لها الشكل:
، أ = ب = 1 ؛ أب / 2 = 8 ؛ أ = 4 ؛ -4.

أ = -4 لا تتناسب مع حالة المشكلة.

المجموع:
أو x + y - 4 = 0.

مثال.اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقطة أ (-2 ، -3) والأصل.

معادلة الخط المستقيم لها الشكل:
، حيث x 1 \ u003d y 1 \ u003d 0 ؛ × 2 \ u003d -2 ؛ ص 2 \ u003d -3.

الزاوية بين الخطوط على المستوى.

تعريف. إذا تم إعطاء خطين y = k 1 x + b 1 ، y = k 2 x + b 2 ، فسيتم تعريف الزاوية الحادة بين هذين الخطين على أنها

.

خطان متوازيان إذا ك 1 = ك 2.

يكون الخطان متعامدين إذا كان k 1 = -1 / k 2.

نظرية. خطوط مستقيمة Ax + Vy + C = 0 و A 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0 تكون متوازية عندما تكون المعاملات A متناسبة 1 =  أ ، ب 1 =  ب. إذا كان أيضًا ج 1 =  C ، ثم تتطابق الخطوط.

تم إيجاد إحداثيات نقطة تقاطع سطرين كحل لنظام معادلات هذين المستقيمين.

معادلة خط يمر عبر نقطة معينة

عمودي على هذا الخط.

تعريف. يتم تمثيل الخط المار بالنقطة M 1 (x 1، y 1) والعمودي على الخط y \ u003d kx + b بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا كانت النقطة M (x 0 ، ذ 0 ) ، ثم يتم تحديد المسافة إلى الخط Ax + Vy + C = 0 على أنها

.

دليل. اجعل النقطة M 1 (x 1، y 1) هي قاعدة العمود العمودي المسقط من النقطة M إلى الخط المعطى. ثم المسافة بين النقطتين M و M 1:

يمكن إيجاد إحداثيات x 1 و y 1 كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة خط مستقيم يمر نقطة معينة M 0 عمودي على خط معطى.

إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

.

لقد تم إثبات النظرية.

مثال.حدد الزاوية بين السطور: y = -3x + 7 ؛ ص = 2 س + 1.

ك 1 \ u003d -3 ؛ ل 2 = 2tg =
؛  =  / 4.

مثال.بيّن أن الخطين 3x - 5y + 7 = 0 و 10x + 6y - 3 = 0 عموديان.

نجد: ك 1 \ u003d 3/5 ، ك 2 \ u003d -5/3 ، ك 1 ك 2 \ u003d -1 ، لذلك ، الخطوط متعامدة.

مثال.يتم إعطاء رؤوس المثلث أ (0 ؛ 1) ، ب (6 ؛ 5) ، ج (12 ؛ -1). أوجد معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس C.

نجد معادلة الضلع AB:
؛ 4 س = 6 ص - 6 ؛

2x - 3y + 3 = 0 ؛

معادلة الارتفاع المطلوبة هي: Ax + By + C = 0 أو y = kx + b.

ك = . ثم y =
. لأن يمر الارتفاع بالنقطة C ، ثم تحقق إحداثياته ​​هذه المعادلة:
من أين ب = 17. المجموع:
.

الجواب: 3 س + 2 ص - 34 = 0.

الهندسة التحليلية في الفضاء.

معادلة الخط في الفضاء.

معادلة الخط المستقيم في الفراغ بنقطة و

ناقل الاتجاه.

خذ خطًا تعسفيًا ومتجهًا (م ، ن ، ع) موازية للخط المعطى. المتجه مُسَمًّى ناقلات التوجيهمستقيم.

لنأخذ نقطتين عشوائيتين M 0 (x 0 ، y 0 ، z 0) و M (x ، y ، z) على الخط المستقيم.

ض

م 1

دعونا نشير إلى متجهات نصف القطر لهذه النقاط على أنها و ، من الواضح أن - =
.

لأن ثلاثة أبعاد
و هي علاقة خطية متداخلة ، ثم تكون العلاقة صحيحة
= t ، حيث t هي بعض المعلمات.

في المجموع ، يمكننا أن نكتب: = + ر.

لأن يتم استيفاء هذه المعادلة بإحداثيات أي نقطة على الخط ، ثم تكون المعادلة الناتجة المعادلة البارامترية للخط المستقيم.

يمكن تمثيل معادلة المتجه هذه في شكل إحداثيات:

بتحويل هذا النظام ومعادلة قيم المعلمة t ، نحصل على المعادلات الأساسية لخط مستقيم في الفضاء:

.

تعريف. جيب التمام الاتجاهالمباشر هي جيب تمام اتجاه المتجه ، والتي يمكن حسابها بواسطة الصيغ:

;

.

من هنا نحصل على: m: n: p = cos: cos: cos.

الأرقام م ، ن ، ص تسمى عوامل الانحدارمستقيم. لأن متجه غير صفري ، لا يمكن أن تكون m و n و p صفراً في نفس الوقت ، ولكن يمكن أن يكون واحدًا أو اثنين من هذه الأرقام صفرًا. في هذه الحالة ، في معادلة الخط المستقيم ، يجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر.

معادلة خط مستقيم في الفراغ المار

من خلال نقطتين.

إذا تم وضع علامة على نقطتين تعسفيتين M 1 (x 1 ، y 1 ، z 1) و M 2 (x 2 ، y 2 ، z 2) على خط مستقيم في الفضاء ، فيجب أن تفي إحداثيات هذه النقاط بمعادلة الخط المستقيم التي تم الحصول عليها أعلاه:

.

بالإضافة إلى ذلك ، بالنسبة للنقطة M 1 ، يمكننا كتابة:

.

حل هذه المعادلات معًا ، نحصل على:

.

هذه معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين في الفضاء.

المعادلات العامة للخط المستقيم في الفراغ.

يمكن اعتبار معادلة الخط المستقيم على أنها معادلة لخط تقاطع مستويين.

كما نوقش أعلاه ، يمكن إعطاء طائرة في شكل متجه بالمعادلة:

+ D = 0 ، أين

- طائرة عادية - متجه نصف القطر لنقطة عشوائية للمستوى.

معادلة خط مستقيم على مستوى.
متجه الاتجاه مستقيم. ناقلات الطبيعي

الخط المستقيم على المستوى هو أبسطها الأشكال الهندسية، مألوف لك من الصفوف الدنياواليوم سنتعلم كيف نتعامل معها بأساليب الهندسة التحليلية. لإتقان المادة ، من الضروري أن تكون قادرًا على بناء خط مستقيم ؛ تعرف على المعادلة التي تحدد الخط المستقيم ، على وجه الخصوص ، الخط المستقيم الذي يمر عبر الأصل والخطوط المستقيمة الموازية لمحاور الإحداثيات. يمكن العثور على هذه المعلومات في الدليل. الرسوم البيانية وخصائص الوظائف الابتدائية، لقد أنشأته من أجل matan ، لكن القسم عنه دالة خطيةاتضح أنها ناجحة للغاية ومفصلة. لذلك ، أقداح الشاي العزيزة ، قم بالتدفئة أولاً هناك. بالإضافة إلى ذلك ، يجب أن تكون لديك معرفة أساسية بـ ثلاثة أبعادوإلا فإن فهم المادة سيكون غير مكتمل.

في هذا الدرس ، سنلقي نظرة على الطرق التي يمكنك من خلالها كتابة معادلة الخط المستقيم في المستوى. أوصي بعدم إهمال الأمثلة العملية (حتى لو بدت بسيطة جدًا) ، حيث سأزودهم بالحقائق الأولية والمهمة ، والأساليب التقنية التي ستكون مطلوبة في المستقبل ، بما في ذلك في أقسام أخرى من الرياضيات العليا.

• كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بميل؟
• كيف ؟
• كيفية إيجاد متجه الاتجاه بالمعادلة العامة للخط المستقيم؟
• كيف تكتب معادلة خط مستقيم بنقطة ومتجه عادي؟

ونبدأ:

معادلة الخط مع المنحدر

يسمى شكل "المدرسة" المعروف لمعادلة الخط المستقيم معادلة الخط المستقيم بميل. على سبيل المثال ، إذا أعطيت المعادلة خطًا مستقيمًا ، فإن ميله:. ضع في اعتبارك المعنى الهندسي لهذا المعامل وكيف تؤثر قيمته على موقع الخط:

في سياق الهندسة ثبت ذلك ميل الخط المستقيم هو ظل الزاويةبين اتجاه المحور الموجبوخط معين: ، والزاوية "مفكوكة" عكس اتجاه عقارب الساعة.

من أجل عدم تشويش الرسم ، قمت برسم زوايا لخطين مستقيمين فقط. تأمل الخط المستقيم "الأحمر" وميله. حسب ما سبق: (يُشار إلى الزاوية "ألفا" بقوس أخضر). بالنسبة للخط المستقيم "الأزرق" ذي المنحدر ، تكون المساواة صحيحة (يُشار إلى الزاوية "بيتا" بالقوس البني). وإذا كان ظل الزاوية معروفًا ، فمن السهل العثور عليه إذا لزم الأمر والزاويةباستخدام وظيفة عكسية- قوس ظل. كما يقولون ، جدول مثلثي أو آلة حاسبة في متناول اليد. هكذا، يميز المنحدر درجة ميل الخط المستقيم إلى المحور السيني.

في نفس الوقت ، هذا ممكن الحالات التالية:

1) إذا كان المنحدر سالبًا: فإن الخط ، تقريبًا ، ينتقل من أعلى إلى أسفل. الأمثلة هي الخطوط المستقيمة "الزرقاء" و "القرمزية" في الرسم.

2) إذا كان الميل موجبًا: فإن الخط ينتقل من الأسفل إلى الأعلى. الأمثلة هي خطوط مستقيمة "سوداء" و "حمراء" في الرسم.

3) إذا كان الميل يساوي صفرًا: فإن المعادلة تأخذ الشكل والخط المقابل موازٍ للمحور. مثال على ذلك هو الخط "الأصفر".

4) لعائلة من الخطوط المستقيمة الموازية للمحور (لا يوجد مثال في الرسم ، باستثناء المحور نفسه) ، المنحدر غير موجود (ظل 90 درجة غير محدد).

كلما زاد مقياس الانحدار ، زاد انحدار الرسم البياني الخطي.

على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك خطين مستقيمين. هنا ، يكون للخط المستقيم انحدار أكثر حدة. أذكرك أن الوحدة تسمح لك بتجاهل العلامة ، فنحن مهتمون بها فقط القيم المطلقةمعاملات الزاوي.

في المقابل ، يكون الخط المستقيم أكثر انحدارًا من الخطوط المستقيمة. .

والعكس صحيح: كلما كان مقياس الانحدار أصغر ، يكون الخط المستقيم أكثر انبساطًا.

للخطوط المستقيمة عدم المساواة صحيح ، فالخط المستقيم أكثر من مظلة. شريحة الأطفال ، حتى لا تزرع الكدمات والمطبات.

لماذا هذا مطلوب؟

إطالة عذابك إن معرفة الحقائق المذكورة أعلاه يسمح لك برؤية أخطائك على الفور ، ولا سيما الأخطاء عند رسم الرسوم البيانية - إذا تبين أن الرسم "من الواضح أن هناك شيئًا خاطئًا". من المستحسن أن تقوم بذلك حالاكان من الواضح ، على سبيل المثال ، أن الخط المستقيم شديد الانحدار ويمتد من أسفل إلى أعلى ، والخط المستقيم مسطح جدًا وقريب من المحور ويمر من أعلى إلى أسفل.

غالبًا ما تظهر في المشكلات الهندسية عدة خطوط مستقيمة ، لذا من الملائم الإشارة إليها بطريقة أو بأخرى.

الرموز: الخطوط المستقيمة يشار إليها بخط صغير بأحرف لاتينية:. الخيار الشائع هو تعيين نفس الحرف برموز طبيعية. على سبيل المثال ، يمكن الإشارة إلى الأسطر الخمسة التي رأيناها للتو .

نظرًا لأن أي خط مستقيم يتم تحديده بشكل فريد بنقطتين ، فيمكن الإشارة إليه بالنقاط التالية: إلخ. من الواضح تمامًا أن التدوين يشير إلى أن النقاط تنتمي إلى الخط.

حان الوقت للتخفيف قليلاً:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بميل؟

إذا كانت هناك نقطة معروفة تنتمي إلى خط معين ، وانحدار هذا الخط ، فسيتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

مثال 1

اكتب معادلة خط مستقيم بميل إذا كان معروفًا أن النقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

حل: سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم حسب الصيغة . في هذه الحالة:

إجابة:

فحصنفذت بشكل أساسي. أولًا ، ننظر إلى المعادلة الناتجة ونتأكد من أن الميل في مكانه. ثانيًا ، يجب أن تفي إحداثيات النقطة بالمعادلة المعطاة. دعنا نعوض بها في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة ، مما يعني أن النقطة تفي بالمعادلة الناتجة.

خاتمة: وجدت المعادلة بشكل صحيح.

مثال أكثر صعوبة لحل افعل ذلك بنفسك:

مثال 2

اكتب معادلة الخط المستقيم إذا عرفت أن زاوية ميله للاتجاه الموجب للمحور هي ، والنقطة تنتمي إلى هذا الخط المستقيم.

إذا كنت تواجه مشكلة ، فأعد القراءة مادة نظرية. بتعبير أدق ، أكثر عملية ، أفتقد العديد من البراهين.

رن الجرس الأخير ، وتلاشت كرة التخرج ، وخارج البوابات المدرسة المنزليةنحن ننتظر ، في الواقع ، الهندسة التحليلية. النكات انتهت ... ربما بدأت للتو =)

نلوح بحنين المقبض إلى المألوف ونتعرف على المعادلة العامة للخط المستقيم. نظرًا لأنه في الهندسة التحليلية ، فإن هذا هو بالضبط ما يتم استخدامه:

المعادلة العامة للخط المستقيم لها الشكل: ، أين توجد بعض الأرقام. في نفس الوقت ، المعاملات معًالا تساوي الصفر ، لأن المعادلة تفقد معناها.

دعونا نرتدي بدلة ونربط المعادلة بمنحدر. أولاً ، ننقل كل المصطلحات إلى الجانب الأيسر:

يجب وضع المصطلح الذي يحتوي على "x" في المقام الأول:

من حيث المبدأ ، فإن المعادلة لها الشكل بالفعل ، ولكن وفقًا لقواعد الآداب الرياضية ، يجب أن يكون معامل المصطلح الأول (في هذه الحالة) موجبًا. علامات التغيير:

تذكر هذه الميزة التقنية!نجعل المعامل الأول (غالبًا) إيجابيًا!

في الهندسة التحليلية ، تُعطى معادلة الخط المستقيم دائمًا في شكل عام. حسنًا ، إذا لزم الأمر ، فمن السهل إحضاره إلى نموذج "المدرسة" بميل (باستثناء الخطوط المستقيمة الموازية للمحور y).

دعنا نسأل أنفسنا ماذا كافٍتعرف لبناء خط مستقيم؟ نقطتان. لكن فيما يتعلق بحالة الطفولة هذه لاحقًا ، يتم الآن التمسك بقاعدة الأسهم. لكل خط مستقيم منحدر محدد جيدًا ، ومن السهل "التكيف" معه المتجه.

المتجه الموازي لخط يسمى متجه الاتجاه لهذا الخط.. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه ، وستكون جميعها مترابطة (موجهة بشكل مشترك أم لا - لا يهم).

سأشير إلى متجه الاتجاه على النحو التالي:.

لكن متجهًا واحدًا لا يكفي لبناء خط مستقيم ، فالناقل مجاني وغير متصل بأي نقطة من المستوى. لذلك ، من الضروري أيضًا معرفة بعض النقاط التي تنتمي إلى الخط.

كيف تكتب معادلة لخط مستقيم معطى نقطة ومتجه اتجاه؟

إذا كانت نقطة معينة تنتمي إلى الخط والمتجه التوجيهي لهذا الخط معروفة ، فيمكن عندئذٍ تجميع معادلة هذا الخط بواسطة الصيغة:

في بعض الأحيان يطلق عليه معادلة الخط الكنسي .

ماذا تفعل ومتى أحد الإحداثياتهي صفر ، سننظر في الأمثلة العملية أدناه. بالمناسبة ، لاحظ - كلاهما في وقت واحدلا يمكن أن تكون الإحداثيات صفراً ، لأن المتجه الصفري لا يحدد اتجاهًا معينًا.

مثال 3

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه

حل: سنقوم بتكوين معادلة الخط المستقيم حسب الصيغة. في هذه الحالة:

باستخدام خصائص التناسب نتخلص من الكسور:

ونجلب المعادلة إلى شكل عام:

إجابة:

الرسم في مثل هذه الأمثلة ، كقاعدة عامة ، ليس ضروريًا ، ولكن من أجل الفهم:

في الرسم ، نرى نقطة البداية ، متجه الاتجاه الأصلي (يمكن تأجيله من أي نقطة على المستوى) والخط المُنشأ. بالمناسبة ، في كثير من الحالات ، يتم تنفيذ بناء خط مستقيم بشكل أكثر ملاءمة باستخدام معادلة الميل. من السهل تحويل معادلتنا إلى النموذج وبدون أي مشاكل التقط نقطة أخرى لبناء خط مستقيم.

كما لوحظ في بداية القسم ، يحتوي الخط على عدد لا نهائي من متجهات الاتجاه ، وجميعها متداخلة. على سبيل المثال ، رسمت ثلاثة نواقل من هذا القبيل: . أيًا كان متجه الاتجاه الذي نختاره ، ستكون النتيجة دائمًا نفس معادلة الخط المستقيم.

لنقم بتكوين معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه التوجيه:

تقسيم النسبة:

اقسم كلا الجانبين على -2 واحصل على المعادلة المألوفة:

يمكن لأولئك الذين يرغبون بالمثل اختبار النواقل أو أي ناقل خطي آخر.

لنحل الآن المسألة العكسية:

كيفية إيجاد متجه الاتجاه بالمعادلة العامة للخط المستقيم؟

بسيط جدا:

إذا تم إعطاء خط مستقيم بواسطة معادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل ، فإن المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط المستقيم.

أمثلة لإيجاد متجهات الاتجاه للخطوط المستقيمة:

يسمح لنا البيان بالعثور على متجه اتجاه واحد فقط من مجموعة لا نهائية ، لكننا لسنا بحاجة إلى المزيد. على الرغم من أنه من المستحسن في بعض الحالات تقليل إحداثيات متجهات الاتجاه:

لذلك ، تحدد المعادلة خطاً مستقيماً موازياً للمحور وإحداثيات متجه التوجيه الناتج مقسومة بشكل ملائم على -2 ، والحصول على متجه الأساس بالضبط كمتجه التوجيه. منطقيا.

وبالمثل ، تحدد المعادلة خطاً مستقيماً موازياً للمحور ، وبقسمة إحداثيات المتجه على 5 ، نحصل على ort على أنه متجه الاتجاه.

الآن دعنا ننفذ تحقق من المثال 3. ذهب المثال إلى الأعلى ، لذا أذكرك أننا فيه قمنا بتكوين معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه

أولاًوفقًا لمعادلة الخط المستقيم ، نستعيد متجه التوجيه: - كل شيء على ما يرام ، لقد حصلنا على المتجه الأصلي (في بعض الحالات ، يمكن أن يتحول إلى علاقة خطية متداخلة مع المتجه الأصلي ، وعادة ما يكون من السهل رؤيته من خلال تناسب الإحداثيات المقابلة).

ثانيًا، يجب أن تفي إحداثيات النقطة بالمعادلة. نستبدلها في المعادلة:

تم الحصول على المساواة الصحيحة ، ونحن سعداء للغاية.

خاتمة: اكتملت المهمة بشكل صحيح.

مثال 4

اكتب معادلة خط مستقيم بمعلومية نقطة ومتجه اتجاه

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك". الحل والجواب في نهاية الدرس. من المستحسن للغاية إجراء فحص وفقًا للخوارزمية التي تم النظر فيها للتو. حاول دائمًا (إن أمكن) التحقق من المسودة. من الحماقة ارتكاب أخطاء حيث يمكن تجنبها بنسبة 100٪.

إذا كان أحد إحداثيات متجه الاتجاه صفرًا ، فمن السهل جدًا القيام بما يلي:

مثال 5

حل: الصيغة غير صالحة لأن المقام على الجانب الأيمن هو صفر. هناك مخرج! باستخدام خصائص التناسب ، نعيد كتابة الصيغة بالشكل ، والباقي يتدحرج على طول شبق عميق:

إجابة:

فحص:

1) استعادة متجه الاتجاه للخط المستقيم:
- يكون المتجه الناتج على علاقة خطية متواصل مع متجه الاتجاه الأصلي.

2) استبدل إحداثيات النقطة في المعادلة:

يتم الحصول على المساواة الصحيحة

خاتمة: اكتملت المهمة بشكل صحيح

السؤال الذي يطرح نفسه ، لماذا تهتم بالصيغة إذا كانت هناك نسخة عالمية ستعمل على أي حال؟ هناك سببان. أولاً ، الصيغة الكسرية أفضل بكثير أن نتذكر. وثانيًا ، عيب الصيغة العامة هو ذلك زيادة ملحوظة في خطر حدوث ارتباكعند استبدال الإحداثيات.

مثال 6

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه الاتجاه.

هذا مثال على "افعل ذلك بنفسك".

دعنا نعود إلى نقطتين في كل مكان:

كيف تكتب معادلة الخط المستقيم بنقطتين؟

إذا كانت هناك نقطتان معروفتان ، فيمكن تجميع معادلة الخط المستقيم الذي يمر عبر هذه النقاط باستخدام الصيغة:

في الواقع ، هذه صيغة من المعادلات ، وإليكم السبب: إذا عُرفت نقطتان ، فسيكون المتجه هو متجه اتجاه هذا الخط. في الدرس ناقلات للدمىاعتبرنا أبسط مهمة- كيفية إيجاد إحداثيات متجه من نقطتين. وفقًا لهذه المشكلة ، فإن إحداثيات متجه الاتجاه:

ملحوظة : يمكن "مبادلة" النقاط واستخدام الصيغة . مثل هذا القرار سيكون متساويا.

مثال 7

اكتب معادلة الخط المستقيم من نقطتين .

حل: استخدم الصيغة:

نقوم بتمشيط القواسم:

وخلط سطح السفينة:

من الملائم الآن التخلص من الأعداد الكسرية. في هذه الحالة ، تحتاج إلى ضرب كلا الجزأين في 6:

افتح الأقواس وجلب المعادلة إلى الذهن:

إجابة:

فحصواضح - يجب أن تفي إحداثيات النقاط الأولية بالمعادلة الناتجة:

1) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

2) استبدل إحداثيات النقطة:

المساواة الحقيقية.

خاتمة: معادلة الخط المستقيم صحيحة.

لو مرة على الأقلمن النقاط لا تفي بالمعادلة ، ابحث عن خطأ.

وتجدر الإشارة إلى أن التحقق الرسومي في هذه الحالة صعب ، لأن بناء خط ومعرفة ما إذا كانت النقاط تنتمي إليه ، ليس سهلا.

سأذكر بضع نقاط فنية للحل. ربما يكون من الأفضل في هذه المشكلة استخدام صيغة المرآة ونفس النقاط اصنع معادلة:

هناك عدد أقل من الكسور. إذا كنت تريد ، يمكنك إكمال الحل حتى النهاية ، يجب أن تكون النتيجة نفس المعادلة.

النقطة الثانية هي النظر إلى الإجابة النهائية ومعرفة ما إذا كان يمكن تبسيطها بشكل أكبر؟ على سبيل المثال ، إذا تم الحصول على معادلة ، فمن المستحسن تقليلها بمقدار اثنين: - ستحدد المعادلة نفس الخط المستقيم. ومع ذلك ، هذا بالفعل موضوع نقاش حول الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة.

بعد أن تلقيت إجابة في المثال 7 ، تحسبًا لذلك ، تحققت مما إذا كانت جميع معاملات المعادلة قابلة للقسمة على 2 أو 3 أو 7. على الرغم من أن مثل هذه التخفيضات تتم غالبًا أثناء الحل.

المثال 8

اكتب معادلة الخط المستقيم المار بالنقاط .

هذا مثال على حل مستقل ، والذي سيسمح لك فقط بفهم أسلوب الحساب والعمل به بشكل أفضل.

على غرار الفقرة السابقة: إذا كان في الصيغة يختفي أحد المقامات (تنسيق متجه الاتجاه) ، ثم نعيد كتابته بالشكل. ومرة أخرى ، لاحظ كيف بدأت تبدو محرجة ومربكة. لا أرى فائدة كبيرة في جلب أمثلة عملية، لأننا قد حللنا بالفعل مثل هذه المشكلة (انظر رقم 5 ، 6).

خط مستقيم متجه عادي (ناقل عادي)

ما هو طبيعي؟ بكلمات بسيطة، العمودي هو العمودي. أي أن المتجه الطبيعي لخط ما عمودي على الخط المعطى. من الواضح أن أي خط مستقيم يحتوي على عدد لا حصر له منها (بالإضافة إلى متجهات التوجيه) ، وستكون جميع المتجهات العادية للخط المستقيم متداخلة (اتجاهي أم لا - لا يهم).

سيكون التعامل معهم أسهل من التعامل مع متجهات الاتجاه:

إذا تم إعطاء خط مستقيم بواسطة معادلة عامة في نظام إحداثيات مستطيل ، فإن المتجه هو المتجه الطبيعي لهذا الخط المستقيم.

إذا كان لابد من "سحب" إحداثيات متجه الاتجاه بعناية من المعادلة ، فيمكن ببساطة "إزالة" إحداثيات المتجه العادي.

يكون المتجه العادي دائمًا متعامدًا مع متجه الاتجاه للخط. سوف نتحقق من تعامد هذه المتجهات باستخدام المنتج نقطة:

سأقدم أمثلة بنفس المعادلات مثل متجه الاتجاه:

هل من الممكن كتابة معادلة لخط مستقيم بمعرفة نقطة واحدة ومتجه عادي؟ يبدو الأمر وكأنه ممكن. إذا كان المتجه الطبيعي معروفًا ، فسيتم تحديد اتجاه الخط المستقيم بشكل فريد أيضًا - وهذا "هيكل صلب" بزاوية 90 درجة.

كيف تكتب معادلة خط مستقيم بنقطة ومتجه عادي؟

إذا كانت هناك نقطة ما تنتمي إلى الخط والمتجه الطبيعي لهذا الخط معروفة ، فسيتم التعبير عن معادلة هذا الخط بالصيغة:

هنا ذهب كل شيء بدون كسور ومفاجآت أخرى. هذا هو ناقلنا الطبيعي. أحبها. والاحترام =)

المثال 9

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

حل: استخدم الصيغة:

تم الحصول على المعادلة العامة للخط المستقيم ، دعنا نتحقق من:

1) "إزالة" إحداثيات المتجه العادي من المعادلة: - نعم ، في الواقع ، يتم الحصول على المتجه الأصلي من الحالة (أو يجب أن يكون المتجه على خط واحد مع المتجه الأصلي).

2) تحقق مما إذا كانت النقطة تفي بالمعادلة:

المساواة الحقيقية.

بعد اقتناعنا بصحة المعادلة ، سنكمل الجزء الثاني الأسهل من المهمة. نسحب متجه الاتجاه للخط المستقيم:

إجابة:

في الرسم الوضع كما يلي:

لأغراض التدريب ، مهمة مماثلة لحل مستقل:

المثال 10

اكتب معادلة الخط المستقيم بنقطة ومتجه عادي. أوجد متجه الاتجاه للخط المستقيم.

سيخصص القسم الأخير من الدرس لأنواع المعادلات الأقل شيوعًا ، ولكن المهمة أيضًا للخط المستقيم في المستوى

معادلة خط مستقيم في مقاطع.
معادلة الخط المستقيم بالصيغة البارامترية

معادلة الخط المستقيم في المقاطع لها الشكل ، حيث توجد ثوابت غير صفرية. لا يمكن تمثيل بعض أنواع المعادلات في هذا الشكل ، على سبيل المثال ، التناسب المباشر (نظرًا لأن المصطلح المجاني هو صفر ولا توجد طريقة للحصول على واحدة في الجانب الأيمن).

هذا ، من الناحية المجازية ، نوع "تقني" من المعادلة. تتمثل المهمة المعتادة في تمثيل المعادلة العامة للخط المستقيم كمعادلة للخط المستقيم في مقاطع. لماذا هي مريحة؟ تتيح لك معادلة الخط المستقيم في المقاطع العثور بسرعة على نقاط تقاطع الخط المستقيم مع محاور الإحداثيات ، وهو أمر مهم جدًا في بعض مسائل الرياضيات العليا.

أوجد نقطة تقاطع الخط مع المحور. نعيد ضبط "y" ، وتأخذ المعادلة الشكل. يتم الحصول على النقطة المطلوبة تلقائيًا:.

نفس الشيء مع المحور هي النقطة التي يتقاطع فيها الخط مع المحور الصادي.

المعادلة العامة للخط المستقيم:

حالات خاصة للمعادلة العامة للخط المستقيم:

و إذا ج= 0 ، المعادلة (2) سيكون لها الشكل

فأس + بواسطة = 0,

والخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة يمر عبر الأصل ، منذ إحداثيات الأصل x = 0, ذ= 0 تحقق هذه المعادلة.

ب) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) ب= 0 ، ثم تأخذ المعادلة الشكل

فأس + مع= 0 أو.

لا تحتوي المعادلة على متغير ذ، والخط المستقيم الذي تحدده هذه المعادلة موازٍ للمحور أوي.

ج) إذا كان في المعادلة العامة للخط المستقيم (2) أ= 0 ، ثم تأخذ هذه المعادلة الشكل

بواسطة + مع= 0 ، أو ؛

لا تحتوي المعادلة على متغير x، والخط المستقيم الذي تحدده موازٍ للمحور ثور.

يجب أن نتذكر: إذا كان الخط المستقيم موازيًا لأي محور إحداثيات ، فإن معادلته لا تحتوي على مصطلح يحتوي على إحداثيات بنفس الاسم مع هذا المحور.

د) متى ج= 0 و أ= 0 المعادلة (2) تأخذ الشكل بواسطة= 0 أو ذ = 0.

هذه هي معادلة المحور ثور.

ه) متى ج= 0 و ب= 0 المعادلة (2) يمكن كتابتها بالصيغة فأس= 0 أو x = 0.

هذه هي معادلة المحور أوي.

الترتيب المتبادل للخطوط المستقيمة على المستوى. الزاوية بين الخطوط على المستوى. حالة الخطوط المتوازية. حالة عمودية الخطوط.

ل 1 لتر 2 لتر 1: أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 = 0
ل 2: أ 2 س + ب 2 ص + ج 2 = 0

S 2 S 1 تسمى المتجهات S 1 و S 2 أدلة لخطوطها.

يتم تحديد الزاوية بين الخطين l 1 و l 2 بالزاوية بين متجهات الاتجاه.
النظرية 1:زاوية cos بين l 1 و l 2 \ u003d cos (l 1 ؛ l 2) \ u003d

النظرية 2:من أجل تساوي سطرين ، من الضروري والكافي:

النظرية 3:بحيث يكون الخطان متعامدين ضروريًا وكافيًا:

ل 1 ل 2 ó أ 1 أ 2 + ب 1 ب 2 = 0

المعادلة العامة للطائرة وحالاتها الخاصة. معادلة المستوى في مقاطع.

معادلة المستوى العامة:

الفأس + By + Cz + D = 0

حالات خاصة:

1. D = 0 Ax + By + Cz = 0 - يمر المستوى عبر نقطة الأصل

2. С = 0 فأس + ب + د = 0 - طائرة || أوقية

3. В = 0 فأس + تش + د = 0 - طائرة || OY

4. A = 0 بواسطة + Cz + D = 0 - طائرة || ثور

5. A = 0 و D = 0 By + Cz = 0 - تمر الطائرة عبر OX

6. B = 0 و D = 0 Ax + Cz = 0 - تمر الطائرة عبر OY

7. C = 0 و D = 0 Ax + By = 0 - تمر الطائرة عبر OZ

الترتيب المتبادل للطائرات والخطوط المستقيمة في الفضاء:

1. الزاوية بين الخطوط في الفضاء هي الزاوية بين متجهات اتجاهها.

كوس (ل 1 ؛ ل 2) = كوس (س 1 ؛ ق 2) = =

2. يتم تحديد الزاوية بين المستويين من خلال الزاوية بين نواقلهم العادية.

كوس (ل 1 ؛ ل 2) = كوس (ن 1 ؛ ن 2) = =

3. يمكن إيجاد جيب تمام الزاوية بين الخط والمستوى من خلال جيب الزاوية بين متجه الاتجاه للخط والمتجه الطبيعي للمستوى.

4. سطرين || في الفضاء عندهم || أدلة المتجهات

5. طائرتان || متى || نواقل عادية

6. يتم تقديم مفاهيم عمودية الخطوط والمستويات بالمثل.

السؤال رقم 14

أنواع مختلفة من معادلة الخط المستقيم على المستوى (معادلة الخط المستقيم في مقاطع ، مع ميل ، إلخ.)

معادلة خط مستقيم في مقاطع:
افترض أنه في المعادلة العامة للخط المستقيم:

1. C \ u003d 0 Ah + Wu \ u003d 0 - يمر الخط المستقيم عبر الأصل.

2. a \ u003d 0 Wu + C \ u003d 0 y \ u003d

3. في \ u003d 0 Ax + C \ u003d 0 x \ u003d

4. v \ u003d C \ u003d 0 Ax \ u003d 0 x \ u003d 0

5. a \ u003d C \ u003d 0 وو \ u003d 0 ص \ u003d 0

معادلة الخط المستقيم بميل:

يمكن كتابة أي خط مستقيم لا يساوي المحور ص (ب ليس = 0) في ما يلي. استمارة:

k = tgα α هي الزاوية بين الخط المستقيم والخط الموجَّه إيجابيًا ОХ

ب - نقطة تقاطع الخط المستقيم مع محور نظام التشغيل

وثيقة في:

الفأس + ب + ج = 0

وو \ u003d -Ax-C |: ب

معادلة الخط المستقيم على نقطتين:

السؤال رقم 16

حد النهايةوظائف عند نقطة و x → ∞

حد النهاية عند النقطة × 0:

يسمى الرقم أ حد الدالة y \ u003d f (x) لـ x → x 0 ، إذا كان لأي E> 0 هناك b> 0 مثل x ≠ x 0 ، مما يرضي عدم المساواة | x - x 0 |< б, выполняется условие |f(x) - A| < Е

يشار إلى الحد: = أ

حد النهاية عند النقطة +:

الرقم أ يسمى نهاية الدالة y = f (x) من أجل x → + ∞ ، إذا كان لأي E> 0 يوجد C> 0 مثل أن x> C المتباينة | f (x) - A |< Е

يشار إلى الحد: = أ

حد النهاية عند النقطة:

الرقم أ يسمى حد الدالة y = f (x) من أجل س →-،إذا كان لأي E.< 0 существует С < 0 такое, что при х < -С выполняется неравенство |f(x) - A| < Е

تتابع هذه المقالة موضوع معادلة الخط المستقيم على المستوى: ضع في اعتبارك نوعًا من المعادلة مثل المعادلة العامة للخط المستقيم. دعونا نحدد نظرية ونقدم برهانها ؛ دعنا نتعرف على المعادلة العامة غير المكتملة للخط المستقيم وكيفية إجراء انتقالات من معادلة عامة إلى أنواع أخرى من المعادلات للخط المستقيم. سنقوم بتوحيد النظرية بأكملها مع الرسوم التوضيحية وحل المشكلات العملية.

Yandex.RTB R-A-339285-1

دع نظام إحداثيات مستطيل O x y يُعطى على المستوى.

نظرية 1

أي معادلة من الدرجة الأولى ، لها الشكل A x + B y + C \ u003d 0 ، حيث A ، B ، C هي بعض أرقام حقيقية(لا تساوي A و B الصفر في نفس الوقت) يحدد خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى. في المقابل ، يتم تحديد أي خط في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى بواسطة معادلة لها الشكل أ س + ب ص + ج = 0 لمجموعة معينة من القيم أ ، ب ، ج.

دليل

تتكون هذه النظرية من نقطتين ، سنثبت كل منهما.

1. دعنا نثبت أن المعادلة أ س + ب ص + ج = 0 تحدد خطًا على المستوى.

يجب أن يكون هناك بعض النقاط M 0 (x 0 ، y 0) التي تتوافق إحداثياتها مع المعادلة A x + B y + C = 0. بالتالي: A x 0 + B y 0 + C = 0. اطرح من الجانبين الأيسر والأيمن للمعادلتين A x + B y + C \ u003d 0 الأجزاء اليسرى واليمنى من المعادلة A x 0 + B y 0 + C \ u003d 0 ، نحصل على معادلة جديدة تشبه A (x - x 0) + B (y - y 0) \ u003d 0. إنه يكافئ A x + B y + C = 0.

المعادلة الناتجة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 هي شرط ضروري وكافٍ لعمودية المتجهات n → = (A، B) و M 0 M → = (x - x 0، y - y 0). وبالتالي ، فإن مجموعة النقاط M (x ، y) تحدد في نظام إحداثيات مستطيل خطًا مستقيمًا عموديًا على اتجاه المتجه n → = (A ، B). يمكننا أن نفترض أن هذا ليس كذلك ، ولكن المتجهات n → = (A ، B) و M 0 M → = (x - x 0 ، y - y 0) لن تكون متعامدة ، والمساواة A (x - x 0) + B (y - y 0) = 0 لن تكون صحيحة.

لذلك ، فإن المعادلة A (x - x 0) + B (y - y 0) \ u003d 0 تحدد بعض الخطوط في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى ، وبالتالي فإن المعادلة المكافئة A x + B y + C \ u003d 0 تحدد نفس الخط. هكذا أثبتنا الجزء الأول من النظرية.

1. دعنا نثبت أن أي خط مستقيم في نظام إحداثيات مستطيل على مستوى يمكن الحصول عليه بمعادلة من الدرجة الأولى A x + B y + C = 0.

دعونا نضع خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل على المستوى ؛ النقطة M 0 (x 0 ، y 0) التي يمر من خلالها هذا الخط ، وكذلك المتجه الطبيعي لهذا الخط n → = (A ، B).

دع هناك أيضًا نقطة ما M (x ، y) - نقطة عائمة على الخط. في هذه الحالة ، المتجهات n → = (A ، B) و M 0 M → = (x - x 0 ، y - y 0) متعامدة مع بعضها البعض ، وحاصل ضربها القياسي هو صفر:

ن → ، م 0 م → = أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0

دعنا نعيد كتابة المعادلة A x + B y - A x 0 - B y 0 = 0 ، حدد C: C = - A x 0 - B y 0 وفي النتيجة النهائيةنحصل على المعادلة أ س + ب ص + ج = 0.

لذلك ، لقد أثبتنا الجزء الثاني من النظرية ، وأثبتنا النظرية بأكملها ككل.

التعريف 1

معادلة تبدو مثلأ س + ب ص + ج = 0 - هذا المعادلة العامة للخط المستقيمعلى مستوى في نظام إحداثيات مستطيليا س ص.

استنادًا إلى النظرية المثبتة ، يمكننا أن نستنتج أن الخط المستقيم المعطى على مستوى في نظام إحداثيات مستطيل ثابت ومعادلته العامة مرتبطان ارتباطًا وثيقًا. بمعنى آخر ، السطر الأصلي يتوافق مع معادلته العامة ؛ المعادلة العامة للخط المستقيم تقابل خطًا مستقيمًا معينًا.

ويترتب أيضًا من إثبات النظرية أن المعاملين A و B للمتغيرين x و y هما إحداثيات المتجه العادي للخط المستقيم ، والتي تُعطى بواسطة المعادلة العامة للخط المستقيم A x + B y + C = 0.

يعتبر مثال محددالمعادلة العامة للخط المستقيم.

دع المعادلة 2 س + 3 ص - 2 = 0 تُعطى ، والتي تقابل خطًا مستقيمًا في نظام إحداثيات مستطيل معين. المتجه الطبيعي لهذا الخط هو المتجه ن → = (2 ، 3). ارسم خطًا مستقيمًا معينًا في الرسم.

يمكن أيضًا مناقشة ما يلي: يتم تحديد الخط المستقيم الذي نراه في الرسم بالمعادلة العامة 2 س + 3 ص - 2 = 0 ، لأن إحداثيات جميع نقاط خط مستقيم معين تتوافق مع هذه المعادلة.

يمكننا الحصول على المعادلة λ · A x + λ · B y + λ · C = 0 بضرب كلا طرفي معادلة الخط المستقيم العام بعدد غير صفري λ. المعادلة الناتجة تعادل المعادلة العامة الأصلية ، وبالتالي ، فإنها ستصف نفس الخط في المستوى.

التعريف 2

أكمل المعادلة العامة للخط المستقيم- مثل هذه المعادلة العامة للخط A x + B y + C \ u003d 0 ، حيث تكون الأرقام A و B و C غير صفرية. خلاف ذلك ، فإن المعادلة غير مكتمل.

دعونا نحلل جميع الاختلافات في المعادلة العامة غير المكتملة للخط المستقيم.

1. عندما A \ u003d 0 ، B ≠ 0 ، C ≠ 0 ، تصبح المعادلة العامة B y + C \ u003d 0. تحدد مثل هذه المعادلة العامة غير المكتملة خطًا مستقيمًا في نظام الإحداثيات المستطيل O x y الموازي للمحور O x ، لأنه لأي القيمة الفعليةمتغير x y سيأخذ القيمة - ج ب. بمعنى آخر ، المعادلة العامة للخط A x + B y + C \ u003d 0 ، عندما A \ u003d 0 ، B ≠ 0 ، تحدد موضع النقاط (x ، y) التي إحداثياتها تساوي نفس الرقم - ج ب.
2. إذا كانت A \ u003d 0 ، B 0 ، C \ u003d 0 ، تصبح المعادلة العامة y \ u003d 0. هذه معادلة غير كاملةيحدد المحور x O x.
3. عندما A ≠ 0 ، B \ u003d 0 ، C ≠ 0 ، نحصل على معادلة عامة غير مكتملة A x + C \ u003d 0 ، مع تحديد خط مستقيم موازٍ لمحور y.
4. دع A ≠ 0، B \ u003d 0، C \ u003d 0 ، ثم تأخذ المعادلة العامة غير المكتملة الشكل x \ u003d 0 ، وهذه هي معادلة خط الإحداثيات O y.
5. أخيرًا ، عندما A ≠ 0 ، B ≠ 0 ، C \ u003d 0 ، تأخذ المعادلة العامة غير المكتملة الشكل A x + B y \ u003d 0. وتصف هذه المعادلة خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطة الأصل. في الواقع ، زوج الأرقام (0 ، 0) يتوافق مع المساواة أ س + ب ص = 0 ، منذ أ · 0 + ب · 0 = 0.

دعونا نوضح بيانيا جميع الأنواع المذكورة أعلاه من المعادلة العامة غير المكتملة للخط المستقيم.

مثال 1

من المعروف أن الخط المستقيم المعطى يوازي المحور y ويمر بالنقطة 7 2 ، - 11. من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم معين.

حل

يتم إعطاء خط مستقيم موازٍ لمحور y بواسطة معادلة على شكل A x + C \ u003d 0 ، حيث A ≠ 0. يحدد الشرط أيضًا إحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الخط ، وتتوافق إحداثيات هذه النقطة مع شروط المعادلة العامة غير المكتملة A x + C = 0 ، أي المساواة صحيحة:

أ 2 7 + ج = 0

من الممكن تحديد C منه بإعطاء A قيمة غير صفرية ، على سبيل المثال ، A = 7. في هذه الحالة ، نحصل على: 7 2 7 + C \ u003d 0 C \ u003d - 2. نعلم كلا المعاملين A و C ، استبدلهما في المعادلة A x + C = 0 واحصل على المعادلة المطلوبة للخط: 7 x - 2 = 0

إجابة: 7 س - 2 = 0

مثال 2

يوضح الرسم خطًا مستقيمًا ، من الضروري كتابة معادلته.

حل

يسمح لنا الرسم المعطى بأخذ البيانات الأولية بسهولة لحل المشكلة. نرى في الرسم أن الخط المعطى موازٍ لمحور O x ويمر بالنقطة (0 ، 3).

يتم تحديد الخط المستقيم الموازي للإحداثيات بواسطة المعادلة العامة غير المكتملة B y + С = 0. أوجد قيمتي ب وج. إحداثيات النقطة (0 ، 3) ، بما أن الخط المستقيم المحدد يمر عبرها ، سوف تفي بمعادلة الخط المستقيم B y + С = 0 ، ثم تكون المساواة صحيحة: В · 3 + С = 0. لنقم بتعيين B على قيمة أخرى غير الصفر. لنفترض B \ u003d 1 ، في هذه الحالة ، من المساواة B · 3 + C \ u003d 0 يمكننا العثور على C: C \ u003d - 3. نحن نستخدم القيم المعروفة B و C نحصل على المعادلة المطلوبة للخط: y - 3 = 0.

إجابة:ص - 3 = 0.

معادلة عامة لخط مستقيم يمر بنقطة معينة من المستوى

دع الخط المعين يمر عبر النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ، ثم تتوافق إحداثياته ​​مع المعادلة العامة للخط ، أي المساواة صحيحة: أ س 0 + ب ص 0 + ج = 0. اطرح الجانبين الأيمن والأيسر من هذه المعادلة من الجانبين الأيمن والأيسر من العام معادلة كاملةمستقيم. نحصل على: A (x - x 0) + B (y - y 0) + C \ u003d 0 ، هذه المعادلة تعادل المعادلة العامة الأصلية ، تمر عبر النقطة M 0 (x 0 ، y 0) ولها متجه عادي n → \ u003d (A ، B).

النتيجة التي حصلنا عليها تجعل من الممكن كتابة المعادلة العامة للخط المستقيم للإحداثيات المعروفة للمتجه العادي للخط المستقيم وإحداثيات نقطة معينة من هذا الخط المستقيم.

مثال 3

بالنظر إلى النقطة M 0 (- 3 ، 4) التي يمر من خلالها الخط ، والمتجه الطبيعي لهذا الخط ن → = (1 ، - 2). من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

حل

تسمح لنا الشروط الأولية بالحصول على البيانات اللازمة لتجميع المعادلة: A \ u003d 1، B \ u003d - 2، x 0 \ u003d - 3، y 0 \ u003d 4. ثم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 1 (س - (- 3)) - 2 ص (ص - 4) = 0 ⇔ ⇔ س - 2 ص + 22 = 0

كان يمكن حل المشكلة بشكل مختلف. المعادلة العامة للخط المستقيم لها الصيغة أ س + ب ص + ج = 0. يسمح لك المتجه الطبيعي المعطى بالحصول على قيم المعاملين A و B ، ثم:

أ س + ب ص + ج = 0 1 س - 2 ص + ج = 0 س - 2 ص + ج = 0

لنجد الآن قيمة C ، باستخدام النقطة M 0 (- 3 ، 4) المعطاة بحالة المشكلة ، والتي يمر الخط من خلالها. تتوافق إحداثيات هذه النقطة مع المعادلة x - 2 · y + C = 0 ، أي - 3-2 4 + C \ u003d 0. ومن ثم C = 11. تأخذ معادلة الخط المستقيم المطلوبة الشكل: x - 2 · y + 11 = 0.

إجابة:س - 2 ص + 11 = 0.

مثال 4

إذا كان الخط 2 3 x - y - 1 2 = 0 والنقطة M 0 تقع على هذا الخط. لا يُعرف سوى حدود هذه النقطة ، وهي تساوي - 3. من الضروري تحديد إحداثيات نقطة معينة.

حل

لنقم بتعيين إحداثيات النقطة M 0 على أنها x 0 و y 0. تشير البيانات الأولية إلى أن x 0 \ u003d - 3. نظرًا لأن النقطة تنتمي إلى خط معين ، فإن إحداثياتها تتوافق مع المعادلة العامة لهذا الخط. ثم ستكون المساواة التالية صحيحة:

٢ ٣ × ٠ - ص ٠ - ١ ٢ = ٠

حدد y 0: 2 3 (- 3) - y 0-1 2 = 0 ⇔ - 5 2 - y 0 = 0 y 0 = - 5 2

إجابة: - 5 2

الانتقال من المعادلة العامة للخط المستقيم إلى أنواع أخرى من المعادلات للخط المستقيم والعكس صحيح

كما نعلم ، هناك عدة أنواع من معادلة نفس الخط المستقيم في المستوى. يعتمد اختيار نوع المعادلة على ظروف المشكلة ؛ من الممكن اختيار الخيار الأكثر ملاءمة لحلها. هذا هو المكان الذي تكون فيه مهارة تحويل معادلة من نوع إلى معادلة من نوع آخر مفيدة جدًا.

أولاً ، ضع في اعتبارك الانتقال من المعادلة العامة للصيغة A x + B y + C = 0 إلى المعادلة الأساسية x - x 1 a x = y - y 1 a y.

إذا كان A ≠ 0 ، فإننا ننقل المصطلح B y إلى الجانب الأيمن من المعادلة العامة. في الجانب الأيسر ، نخرج A من الأقواس. نتيجة لذلك ، نحصل على: A x + C A = - B y.

يمكن كتابة هذه المساواة كنسبة: x + C A - B = y A.

إذا كان B ≠ 0 ، فإننا نترك فقط المصطلح A x على الجانب الأيسر من المعادلة العامة ، وننقل الآخرين إلى الجانب الأيمن ، ونحصل على: A x \ u003d - B y - C. نخرج - B من الأقواس ، ثم: A x \ u003d - B y + C B.

دعنا نعيد كتابة المساواة كنسبة: x - B = y + C B A.

بالطبع ، ليست هناك حاجة لحفظ الصيغ الناتجة. يكفي معرفة خوارزمية الإجراءات أثناء الانتقال من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية.

مثال 5

المعادلة العامة للخط 3 ص - 4 = 0 معطاة. يجب تحويلها إلى معادلة أساسية.

حل

نكتب المعادلة الأصلية بالشكل 3 ص - 4 = 0. بعد ذلك ، نتصرف وفقًا للخوارزمية: يظل المصطلح 0 x في الجانب الأيسر ؛ وعلى الجانب الأيمن نخرج - 3 من الأقواس ؛ نحصل على: 0 x = - 3 y - 4 3.

لنكتب المساواة الناتجة كنسبة: x - 3 = y - 4 3 0. وهكذا ، حصلنا على معادلة للصيغة المتعارف عليها.

الجواب: س - 3 = ص - ٠ ٣ ٤.

لتحويل المعادلة العامة للخط المستقيم إلى المعادلات البارامترية ، أولاً ، يتم الانتقال إلى الشكل المتعارف عليه ، ثم الانتقال من المعادلة الأساسية للخط المستقيم إلى المعادلات البارامترية.

مثال 6

الخط المستقيم هو المعادلة 2 س - 5 ص - 1 = 0. اكتب المعادلات البارامترية لهذا الخط.

حل

لننتقل من المعادلة العامة إلى المعادلة الأساسية:

2 س - 5 ص - 1 = 0 2 س = 5 ص + 1 ⇔ 2 س = 5 ص + 1 5 س 5 = ص + 1 5 2

لنأخذ الآن كلا الجزأين من المعادلة الأساسية الناتجة مساويًا لـ λ ، ثم:

س 5 = λ ص + 1 5 2 = λ ⇔ س = 5 λ ص = - 1 5 + 2 λ ، λ ∈ ر

إجابة:س = ٥ ص = - ٥ ١ + ٢ ، λ ∈ ر

يمكن تحويل المعادلة العامة إلى معادلة خط مستقيم بميل y = k x + b ، ولكن فقط عندما يكون B 0. بالنسبة للانتقال على الجانب الأيسر ، نترك المصطلح B y ، ويتم نقل الباقي إلى اليمين. نحصل على: B y = - A x - C. دعنا نقسم كلا الجزأين من المساواة الناتجة على B ، والتي تختلف عن الصفر: y = - A B x - C B.

مثال 7

المعادلة العامة للخط المستقيم معطاة: 2 س + 7 ص = 0. تحتاج إلى تحويل هذه المعادلة إلى معادلة ميل.

حل

هيا ننتج الإجراءات اللازمةوفقًا للخوارزمية:

2 س + 7 ص = 0 7 ص - 2 س ⇔ ص = - 2 7 س

إجابة:ص = - ٢ ٧ س.

من المعادلة العامة للخط المستقيم ، يكفي ببساطة الحصول على معادلة في أجزاء من النموذج x a + y b \ u003d 1. لإجراء مثل هذا الانتقال ، ننقل الرقم C إلى الجانب الأيمن من المساواة ، ونقسم كلا الجزأين من المساواة الناتجة عن طريق - С ، وأخيراً ، ننقل معاملات المتغيرين x و y إلى القواسم:

أ س + ب ص + ج = 0 أ س + ب ص = - ج ⇔ ⇔ أ - ج س + ب - ج ص = 1 س - ج أ + ص - ج ب = 1

المثال 8

من الضروري تحويل المعادلة العامة للخط المستقيم x - 7 y + 1 2 = 0 إلى معادلة الخط المستقيم في مقاطع.

حل

لننتقل 1 2 إلى الجانب الأيمن: x - 7 y + 1 2 = 0 x - 7 y = - 1 2.

قسّم على -1/2 كلا طرفي المعادلة: x - 7 y = - 1 2 ⇔ 1 - 1 2 x - 7 - 1 2 y = 1.

إجابة:س - 1 2 + ص 1 14 = 1.

بشكل عام ، الانتقال العكسي سهل أيضًا: من أنواع المعادلات الأخرى إلى المعادلات العامة.

يمكن بسهولة تحويل معادلة الخط المستقيم في المقاطع والمعادلة ذات المنحدر إلى معادلة عامة بمجرد جمع كل المصطلحات الموجودة على الجانب الأيسر من المعادلة:

س أ + ص ب ⇔ 1 أ س + 1 ب ص - 1 = 0 ⇔ أ س + ب ص + ج = 0 ص = ك س + ب ⇔ ص - ك س - ب = 0 أ س + ب ص + ج = 0

يتم تحويل المعادلة الأساسية إلى المعادلة العامة وفقًا للمخطط التالي:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ ⇔ a y x - a x y - a y x 1 + a x y 1 = 0 ⇔ A x + B y + C = 0

للانتقال من البارامترية ، يتم أولاً الانتقال إلى المتعارف عليه ، ثم الانتقال إلى العام:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ A x + B y + C = 0

المثال 9

المعادلات البارامترية للخط المستقيم x = - 1 + 2 · λ y = 4 معطاة. من الضروري كتابة المعادلة العامة لهذا الخط.

حل

لنقم بالانتقال من المعادلات البارامترية إلى المعادلات الأساسية:

x = - 1 + 2 λ y = 4 ⇔ x = - 1 + 2 λ y = 4 + 0 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 4 0 ⇔ x + 1 2 = y - 4 0

دعنا ننتقل من الأساسي إلى العام:

س + 1 2 = ص - 4 0 ⇔ 0 (س + 1) = 2 (ص - 4) ⇔ ص - 4 = 0

إجابة:ص - 4 = 0

المثال 10

معادلة الخط المستقيم في الأجزاء x 3 + y 1 2 = 1 معطاة. من الضروري إجراء الانتقال إلى الشكل العام للمعادلة.

حل:

دعنا فقط نعيد كتابة المعادلة بالشكل المطلوب:

س 3 + ص 1 2 = 1 1 3 س + 2 ص - 1 = 0

إجابة: 1 3 س + 2 ص - 1 = 0.

رسم معادلة عامة للخط المستقيم

أعلاه ، قلنا أنه يمكن كتابة المعادلة العامة بإحداثيات معروفة للمتجه الطبيعي وإحداثيات النقطة التي يمر من خلالها الخط. يتم تحديد هذا الخط المستقيم بالمعادلة أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0. في نفس المكان قمنا بتحليل المثال المقابل.

الآن دعونا نلقي نظرة على المزيد أمثلة معقدة، حيث من الضروري أولاً تحديد إحداثيات المتجه الطبيعي.

المثال 11

إذا كان الخط موازيا للخط 2 س - 3 ص + 3 3 = 0. المعروف أيضًا هو النقطة M 0 (4 ، 1) التي يمر من خلالها الخط المحدد. من الضروري كتابة معادلة خط مستقيم معين.

حل

تخبرنا الشروط الأولية أن الخطوط متوازية ، بينما ، كمتجه عادي للخط الذي يجب كتابة معادلته ، نأخذ متجه التوجيه للخط n → \ u003d (2 ، - 3): 2 x - 3 y + 3 3 \ u003d 0. الآن نحن نعرف جميع البيانات اللازمة لتكوين المعادلة العامة للخط المستقيم:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 2 (س - 4) - 3 (ص - 1) = 0 2 س - 3 ص - 5 = 0

إجابة: 2 س - 3 ص - 5 = 0.

المثال 12

يمر الخط المستقيم عبر نقطة الأصل بشكل عمودي على الخط المستقيم x - 2 3 = y + 4 5. من الضروري كتابة المعادلة العامة لخط مستقيم معين.

حل

سيكون المتجه الطبيعي للخط المعطى هو المتجه التوجيهي للخط x - 2 3 = y + 4 5.

ثم n → = (3 ، 5). يمر الخط المستقيم من خلال الأصل ، أي من خلال النقطة O (0 ، 0). دعنا نؤلف المعادلة العامة لخط مستقيم معين:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) = 0 3 (س - 0) + 5 (ص - 0) = 0 ⇔ 3 س + 5 ص = 0

إجابة: 3 س + 5 ص = 0.

إذا لاحظت وجود خطأ في النص ، فيرجى تمييزه والضغط على Ctrl + Enter

خصائص الخط المستقيم في الهندسة الإقليدية.

هناك عدد لا نهائي من الخطوط التي يمكن رسمها من خلال أي نقطة.

من خلال أي نقطتين غير متطابقتين ، يوجد خط مستقيم واحد فقط.

يتقاطع خطان غير متطابقين في المستوى عند نقطة واحدة ، أو يتقاطعان

متوازي (يتبع من السابق).

هناك ثلاثة خيارات في الفضاء ثلاثي الأبعاد. الموقف النسبيخطان مستقيمان:

• تتقاطع الخطوط

• الخطوط المستقيمة متوازية

• تتقاطع الخطوط المستقيمة.

مستقيم خط- منحنى جبري من الدرجة الأولى: في نظام الإحداثيات الديكارتية ، خط مستقيم

تُعطى على المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى (معادلة خطية).

المعادلة العامة للخط المستقيم.

تعريف. يمكن إعطاء أي خط في المستوى بمعادلة من الدرجة الأولى

آه + وو + ج = 0 ،

وثابت أ ، بلا يساوي الصفر في نفس الوقت. هذه المعادلة من الدرجة الأولى تسمى عام

معادلة الخط المستقيم.بالاعتماد على قيم الثوابت أ ، بو معالحالات الخاصة التالية ممكنة:

. ج = 0 ، 0 ، ب 0- الخط يمر عبر الأصل

. أ = 0 ، ب 0 ، ج 0 (ب + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور أوه

. ب = 0 ، أ ≠ 0 ، ج 0 (فأس + ج = 0)- خط مستقيم موازي للمحور OU

. ب = ج = 0 ، أ ≠ 0- يتطابق الخط مع المحور OU

. أ = ج = 0 ، ب 0- يتطابق الخط مع المحور أوه

يمكن تمثيل معادلة الخط المستقيم في أشكال مختلفةاعتمادا على أي معين

الشروط الأولية.

معادلة الخط المستقيم بنقطة والمتجه العادي.

تعريف. في نظام إحداثيات مستطيل ديكارتي ، متجه به مكونات (أ ، ب)

عمودي على الخط من المعادلة

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بنقطة أ (1 ، 2)عمودي على المتجه (3, -1).

حل. لنؤلف في A \ u003d 3 و B \ u003d -1 معادلة الخط المستقيم: 3x - y + C \ u003d 0. لإيجاد المعامل C

نعوض بإحداثيات النقطة المعطاة A في التعبير الناتج ، ونحصل على: 3 - 2 + C = 0 ، لذلك

ج = -1. المجموع: المعادلة المرغوبة: 3 س - ص - 1 \ u003d 0.

معادلة خط مستقيم يمر بنقطتين.

دعنا نعطي نقطتين في الفضاء م 1 (س 1 ، ص 1 ، ض 1)و M2 (× 2 ، ص 2 ، ض 2) ،ثم معادلة الخط المستقيم,

يمر عبر هذه النقاط:

إذا كان أي من المقامات يساوي صفرًا ، فيجب أن يكون البسط المقابل مساويًا للصفر. على

المستوى ، معادلة الخط المستقيم المكتوبة أعلاه مبسطة:

لو × 1 × 2و س = س 1، لو س 1 = س 2 .

جزء = كمُسَمًّى عامل الانحدار مستقيم.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم المار بالنقطتين أ (1 ، 2) ، ب (3 ، 4).

حل. بتطبيق الصيغة أعلاه ، نحصل على:

معادلة الخط المستقيم بنقطة وميل.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم آه + وو + ج = 0أحضر إلى النموذج:

وتعيين ، ثم يتم استدعاء المعادلة الناتجة

معادلة الخط المستقيم بميله k.

معادلة الخط المستقيم على نقطة ومتجه الاتجاه.

بالتشابه مع النقطة مع الأخذ في الاعتبار معادلة الخط المستقيم من خلال المتجه العادي ، يمكنك إدخال المهمة

خط مستقيم يمر بنقطة ومتجه الاتجاه لخط مستقيم.

تعريف. كل متجه غير صفري (α 1، α 2)، مكوناتها تفي بالشرط

أ 1 + ب 2 = 0مُسَمًّى ناقل الاتجاه للخط المستقيم.

آه + وو + ج = 0.

مثال. أوجد معادلة الخط المستقيم مع متجه الاتجاه (1 ، -1) ويمر بالنقطة أ (1 ، 2).

حل. سنبحث عن معادلة الخط المستقيم المطلوب بالشكل: الفأس + ب + ج = 0.حسب التعريف ،

يجب أن تستوفي المعاملات الشروط:

1 * أ + (-1) * ب = 0 ، أي أ = ب.

ثم تأخذ معادلة الخط المستقيم الشكل: الفأس + آي + ج = 0 ،أو س + ص + ج / أ = 0.

في س = 1 ، ص = 2نحن نحصل ج / أ = -3، أي. المعادلة المرغوبة:

س + ص - 3 = 0

معادلة خط مستقيم في مقاطع.

إذا كانت المعادلة العامة للخط المستقيم Ah + Wu + C = 0 C ≠ 0 ، عند القسمة على -C ، نحصل على:

او اين

المعنى الهندسي للمعاملات هو أن المعامل a هو إحداثيات نقطة التقاطع

مباشرة مع المحور أوه،أ ب- إحداثيات نقطة تقاطع الخط مع المحور OU.

مثال. يتم إعطاء المعادلة العامة للخط المستقيم س - ص + 1 = 0.أوجد معادلة هذا الخط المستقيم في أجزاء.

C \ u003d 1،، a \ u003d -1، b \ u003d 1.

المعادلة العادية للخط المستقيم.

إذا كان كلا طرفي المعادلة آه + وو + ج = 0قسمة على الرقم ، من اتصل

عامل التطبيع، ثم نحصل عليه

xcosφ + ysinφ - ع = 0 -المعادلة العادية للخط المستقيم.

يجب اختيار علامة ± لعامل التطبيع بحيث μ * ج< 0.

ص- انخفاض طول العمود العمودي من الأصل إلى الخط ،

أ φ - الزاوية المتكونة من هذا العمودي مع الاتجاه الإيجابي للمحور أوه.

مثال. بالنظر إلى المعادلة العامة للخط المستقيم 12 س - 5 ص - 65 = 0. مطلوب لكتابة أنواع مختلفة من المعادلات

هذا الخط المستقيم.

معادلة هذا الخط المستقيم في مقاطع:

معادلة هذا الخط مع المنحدر: (اقسم على 5)

معادلة الخط المستقيم:

كوس φ = 12/13 ؛ الخطيئة φ = -5/13 ؛ ص = 5.

وتجدر الإشارة إلى أنه لا يمكن تمثيل كل خط مستقيم بمعادلة في مقاطع ، على سبيل المثال ، الخطوط المستقيمة ،

بالتوازي مع المحاور أو يمر عبر الأصل.

الزاوية بين الخطوط على المستوى.

تعريف. إذا أعطيت سطرين ص \ u003d ك 1 س + ب 1 ، ص \ u003d ك 2 س + ب 2، ثم الزاوية الحادة بين هذه الخطوط

سيتم تعريفه على أنه

خطان متوازيان إذا ل 1 = ك 2. خطان متعامدان

لو ك 1 \ u003d -1 / ك 2 .

نظرية.

مباشر آه + وو + ج = 0و أ 1 س + ب 1 ص + ج 1 \ u003d 0متوازية عندما تكون المعاملات متناسبة

أ 1 \ u003d λA ، B 1 \ u003d λB. إذا كان كذلك С 1 \ u003d λС، ثم تتطابق الخطوط. إحداثيات نقطة تقاطع خطين

تم العثور عليها كحل لنظام معادلات هذه الخطوط.

معادلة الخط المار بنقطة معينة تكون عمودية على خط معين.

تعريف. خط يمر بنقطة م 1 (× 1 ، ص 1)وعمودي على الخط ص = ك س + ب

ممثلة بالمعادلة:

المسافة من نقطة إلى خط.

نظرية. إذا أعطيت نقطة م (× 0 ، ص 0) ،ثم المسافة إلى الخط آه + وو + ج = 0معرف ك:

دليل. دع النقطة م 1 (× 1 ، ص 1)- اسقطت قاعدة العمود العمودي من النقطة ملاجل منحه

مباشر. ثم المسافة بين النقطتين مو م 1:

(1)

إحداثيات × 1و 1يمكن إيجادها كحل لنظام المعادلات:

المعادلة الثانية للنظام هي معادلة خط مستقيم يمر بنقطة معينة M 0 عموديًا

سطر معين. إذا قمنا بتحويل المعادلة الأولى للنظام إلى النموذج:

أ (س - س 0) + ب (ص - ص 0) + فأس 0 + ب 0 + ج = 0 ،

ثم نحصل على الحل:

بالتعويض عن هذه التعبيرات في المعادلة (1) ، نجد:

لقد تم إثبات النظرية.