NASTAVNI RAD

TEORIJA STATISTIKE

Na temu: Prosjeci

Izvršio: Grupni broj: STP - 72

Yunusova Gulnazia Chamilevna

Provjerila: Naušnica Ljudmila Konstantinovna

Uvod

1. Suština prosjeka, opšti principi aplikacije

2. Vrste prosjeka i njihov obim

2.1 Prosjeci snage

2.1.1 Aritmetička sredina

2.1.2 Harmonična sredina

2.1.3 Geometrijska sredina

2.1.4 RMS

2.2. Strukturni proseci

2.2.1 Medijan

3. Osnovni metodološki zahtjevi za pravilno izračunavanje prosjeka

Zaključak

Spisak korišćene literature

Uvod

istorija praktična primjena prosek ima desetine vekova. Glavna svrha izračunavanja prosjeka bila je proučavanje proporcija između količina. Značaj izračunavanja prosjeka je povećan u vezi sa razvojem teorije vjerovatnoće i matematičke statistike. Rješenje mnogih teorijskih i praktičnih problema bilo bi nemoguće bez izračunavanja prosjeka i procjene fluktuacije pojedinačnih vrijednosti atributa.

Naučnici različitih pravaca nastojali su definirati prosjek. Na primjer, izvanredni francuski matematičar O. L. Cauchy (1789 - 1857) vjerovao je da je prosjek nekoliko veličina nova vrijednost, koja se nalazi između najmanje i najveće od razmatranih veličina.

Međutim, belgijskog statističara A. Queteleta (1796 - 1874) treba smatrati tvorcem teorije prosjeka. Pokušao je utvrditi prirodu prosječnih vrijednosti i pravilnosti koje se u njima manifestiraju. Prema Queteletu, trajni uzroci djeluju na isti način (konstantno) na svaki fenomen koji se proučava. Oni su ti koji ove pojave čine sličnima jedni drugima, stvaraju zajedničke obrasce za sve njih.

Posljedica učenja A. Queteleta o općim i pojedinačnim uzrocima bila je alokacija prosječnih vrijednosti kao glavne metode statističke analize. On je naglasio da statistički prosjeci nisu samo mjera matematičkog mjerenja, već kategorija objektivne stvarnosti. On je identifikovao tipičan, stvarno postojeći prosek sa pravom vrednošću, odstupanja od kojih mogu biti samo slučajna.

Živopisan izraz navedenog pogleda na prosjek je njegova teorija o "prosječnoj osobi", tj. osoba prosječne visine, težine, snage, prosječne zapremine prsa, kapacitet pluća, prosječna vidna oštrina i normalan ten. Prosjeci karakteriziraju "pravi" tip osobe, sva odstupanja od ove vrste ukazuju na ružnoću ili bolest.

Stavovi A. Queteleta su dalje razvijeni u radovima njemačkog statističara V. Lexisa (1837 - 1914).

Druga verzija idealističke teorije prosjeka temelji se na filozofiji mahizma. Njegov osnivač je bio engleski statističar A. Bowley (1869 - 1957). U sredini je najviše vidio put jednostavan opis kvantitativne karakteristike fenomena. U definiranju značenja prosjeka, ili, kako on to kaže, "njihove funkcije", Bowley u prvi plan stavlja makovski princip mišljenja. Tako je napisao da je funkcija prosjeka jasna: sastoji se u izražavanju kompleksne grupe uz pomoć nekoliko prostih brojeva. Um ne može odmah shvatiti veličine miliona statistika; one moraju biti grupisane, pojednostavljene, prosječne.

A. Queteletov sljedbenik bio je talijanski statističar C. Gini (1884-1965), autor velike monografije "Prosječne vrijednosti". K.Gini je kritizirao definiciju prosjeka koju je dao sovjetski statističar A.Ya. . Boyarsky, i formulirao vlastitu: „Prosjek nekoliko vrijednosti rezultat je radnji izvršenih na tim vrijednostima prema određenom pravilu, i jedna je od ovih vrijednosti, što je ni više ni manje od svih druge (prosječne realne ili efektivne), ili neke nove vrijednosti između najmanje i najveće od datih vrijednosti (brojeći prosjek).

U ovom seminarski rad detaljno ćemo razmotriti glavne probleme teorije prosjeka. U prvom poglavlju ćemo otkriti suštinu prosjeka i opšte principe primjene. U drugom poglavlju ćemo razmotriti vrste prosjeka i opseg njihove primjene konkretnim primjerima. Treće poglavlje će razmotriti glavne metodološke zahtjeve za izračunavanje prosjeka.

1. Suština prosjeka, opći principi primjene

Prosjeci su jedna od najčešćih zbirnih statistika. Oni imaju za cilj da jednim brojem okarakterišu statističku populaciju koja se sastoji od manjine jedinica. Prosječne vrijednosti su usko povezane sa zakonom velikih brojeva.Suština ove zavisnosti leži u činjenici da se kod velikog broja posmatranja slučajna odstupanja od opšte statistike međusobno poništavaju i, u prosjeku, dolazi do statističke pravilnosti. jasnije manifestuje.

Prosječna vrijednost je generalizujući indikator koji karakteriše tipičan nivo pojave u specifičnim uslovima mjesta i vremena. Izražava nivo karakteristike, tipične za svaku jedinicu populacije.

Prosjek je objektivna karakteristika samo za homogene pojave. Prosjeci za heterogene populacije nazivaju se sweeping i mogu se koristiti samo u kombinaciji s parcijalnim prosjecima homogenih populacija.

Prosjek se koristi u statističkim studijama za procjenu trenutnog nivoa neke pojave, za poređenje nekoliko populacija na istoj osnovi jedna s drugom, za proučavanje dinamike razvoja fenomena koji se proučava tokom vremena, za proučavanje odnosa pojava.

Prosjeci se široko koriste u raznim planskim, prognoznim, finansijskim proračunima.

Glavna vrijednost prosječnih vrijednosti je njihova generalizujuća funkcija, tj. zamjena skupa različitih pojedinačnih vrijednosti neke karakteristike prosječnom vrijednošću koja karakterizira cijeli skup fenomena. Svima su poznate osobine razvoja modernih ljudi, koje se očituju, između ostalog, u većem rastu sinova u odnosu na očeve, kćeri u odnosu na majke u istoj dobi. Ali kako izmjeriti ovaj fenomen?

U različitim porodicama postoje veoma različiti omjeri rasta starije i mlađe generacije. Nije svaki sin viši od oca, niti svaka kćerka od majke. Ali ako izmjerimo prosječnu visinu mnogih hiljada ljudi, onda se po prosječnoj visini sinova i očeva, kćeri i majki može precizno utvrditi i sama činjenica ubrzanja i tipično prosječno povećanje rasta u jednoj generaciji.

Za proizvodnju iste količine robe određene vrste i kvaliteta različitih proizvođača(fabrike, firme) troše nejednake količine rada i materijalnih resursa. Ali tržište prosječuje ove troškove, a cijena robe određena je prosječnom potrošnjom resursa za proizvodnju.

Vrijeme u određenom trenutku globus istog dana u različite godine mogu biti veoma različiti. Na primjer, u Sankt Peterburgu 31. marta, temperatura zraka tokom više od stotinu godina posmatranja kretala se od -20,1° 1883. do +12,24° 1920. Približno iste fluktuacije se javljaju i drugim danima u godini. Prema takvim pojedinačnim vremenskim podacima u bilo kojoj proizvoljnoj godini, nemoguće je dobiti predstavu o klimi Sankt Peterburga. Klimatske karakteristike su prosječne za dug period vremenske karakteristike - temperatura zraka, vlažnost, brzina vjetra, količina padavina, broj sunčanih sati sedmično, mjesec i cijele godine itd.

Ako prosječna vrijednost generalizira kvalitativno homogene vrijednosti osobine, onda je to tipična karakteristika osobine u datoj populaciji. Dakle, možemo govoriti o mjerenju tipičnog rasta ruskih djevojaka rođenih 1973. godine kada napune 20 godina. Tipična karakteristika će biti prosječna mliječnost crno-bijelih krava u prvoj godini laktacije pri ishrani od 12,5 krmnih jedinica dnevno.

Međutim, pogrešno je svoditi ulogu prosječnih vrijednosti samo na karakteristike tipičnih vrijednosti osobina u populacijama koje su homogene po ovoj osobini. U praksi, moderna statistika mnogo češće koristi prosječne vrijednosti koje generaliziraju očito heterogene pojave, kao što je, na primjer, prinos svih žitarica širom Rusije. Ili uzmite takav prosjek kao prosječnu potrošnju mesa po glavi stanovnika: uostalom, među ovom populacijom ima djece mlađe od godinu dana koja uopće ne jedu meso, i vegetarijanaca, i sjevernjaka, i južnjaka, rudara, sportaša i penzionera. Još jasnija je netipčnost takvog prosječnog pokazatelja kao što je prosječni nacionalni dohodak proizveden po glavi stanovnika.

Prosječan nacionalni dohodak po glavi stanovnika, prosječan prinos žitarica u cijeloj zemlji, prosječna potrošnja različiti proizvodi ishrana - to su karakteristike države kao jedinstvenog ekonomskog sistema, to su takozvani sistemski proseci.

Prosjeci sistema mogu karakterizirati i prostorne ili objektne sisteme koji postoje istovremeno (država, industrija, regija, planeta Zemlja, itd.) i dinamičke sisteme produžene u vremenu (godina, decenija, godišnje doba, itd.).

Primjer sistemskog prosjeka koji karakterizira vremenski period je prosječna temperatura zraka u Sankt Peterburgu za 1992. godinu, jednako +6,3°. Ovaj prosjek sumira izuzetno heterogene temperature mraznih zimskih dana i noći, vrućih ljetnih dana, proljeća i jeseni. 1992. je bila topla godina, njena prosječna temperatura nije tipična za Sankt Peterburg. Kao tipičnu srednju godišnju temperaturu vazduha u gradu treba koristiti višegodišnji prosek, recimo, za 30 godina od 1963. do 1992. godine, koji iznosi +5,05°. Ovaj prosek je tipičan prosek, pošto generalizuje homogene veličine; prosječne godišnje temperature iste geografske tačke, koje variraju tokom 30 godina od +2,90° u 1976. do +7,44° u 1989.

Metoda prosjeka

3.1 Suština i značenje prosjeka u statistici. Vrste prosjeka

Prosječna vrijednost u statistici se naziva generalizovana karakteristika kvalitativno homogenih pojava i procesa prema nekom varijabilnom atributu, koja pokazuje nivo atributa koji se odnosi na jedinicu populacije. prosječna vrijednost apstraktno, jer karakterizira vrijednost atributa za neku bezličnu jedinicu populacije.Essence prosječne veličine leži u tome što se opšte i nužno, odnosno tendencija i zakonitost u razvoju masovnih pojava, otkriva kroz pojedinačno i slučajno. Osobine koje se sumiraju u prosječne vrijednosti su svojstvene svim jedinicama populacije. Zbog toga je prosječna vrijednost od velike važnosti za identifikaciju obrazaca svojstvenih masovnim pojavama i neprimjetnih u pojedinim jedinicama populacije.

Opći principi za korištenje prosjeka:

neophodan je razuman izbor jedinice stanovništva za koju se izračunava prosječna vrijednost;

pri određivanju prosječne vrijednosti potrebno je poći od kvalitativnog sadržaja prosječne osobine, uzeti u obzir odnos proučavanih osobina, kao i podatke dostupne za izračunavanje;

prosječne vrijednosti treba izračunati prema kvalitativno homogenim agregatima, koji se dobijaju metodom grupisanja, koja uključuje izračunavanje sistema generalizirajućih pokazatelja;

ukupni prosjeci bi trebali biti podržani prosjecima grupe.

U zavisnosti od prirode primarnih podataka, obima i načina obračuna u statistici, razlikuju se: glavne vrste proseka:

1) proseci snage(aritmetička sredina, harmonijska, geometrijska, srednja kvadratna i kubna);

2) strukturni (neparametarski) prosjeci(način i medijan).

U statistici, ispravnu karakterizaciju populacije koja se proučava na osnovu različitih karakteristika u svakom pojedinačnom slučaju daje samo dobro definisan tip prosjeka. Pitanje koje vrste prosjeka treba primijeniti u konkretnom slučaju rješava se specifičnom analizom populacije koja se proučava, kao i na osnovu principa smislenosti rezultata prilikom sumiranja ili vaganja. Ovi i drugi principi su izraženi u statistici teorija prosjeka.

Na primjer, aritmetička sredina i harmonijska sredina se koriste za karakterizaciju srednje vrijednosti varijabilne osobine u populaciji koja se proučava. Geometrijska sredina se koristi samo pri izračunavanju prosječne stope dinamike, a srednja kvadratna samo pri izračunavanju indikatora varijacije.

Formule za izračunavanje prosječnih vrijednosti prikazane su u tabeli 3.1.

Tabela 3.1 – Formule za izračunavanje prosječnih vrijednosti

Oznake:- količine za koje se računa prosjek; - prosjek, gdje linija iznad označava da se vrši usrednjavanje pojedinačnih vrijednosti; - učestalost (ponovljivost vrijednosti pojedinačnih osobina).

Očigledno se izvode različiti prosjeci opća formula za srednju vrijednost snage (3.1) :

, (3.1)

za k = + 1 - aritmetička sredina; k = -1 - harmonijska sredina; k = 0 - geometrijska sredina; k = +2 - srednji kvadrat.

Prosjeci su jednostavni ili ponderisani. ponderisani proseci nazivaju se vrijednosti koje uzimaju u obzir da neke varijante vrijednosti atributa mogu imati različite brojeve; u tom smislu, svaka opcija se mora pomnožiti sa ovim brojem. "Težine" su u ovom slučaju broj jedinica stanovništva u različite grupe, tj. svaka opcija je "ponderisana" svojom frekvencijom. Frekvencija f se zove statistička težina ili težinski prosjek.

Na kraju ispravan izbor prosjeka pretpostavlja sljedeći niz:

a) uspostavljanje generalizirajućeg indikatora stanovništva;

b) određivanje matematičkog odnosa vrijednosti za dati generalizujući indikator;

c) zamjena pojedinačnih vrijednosti prosječnim vrijednostima;

d) izračunavanje prosjeka korištenjem odgovarajuće jednačine.

3.2 Aritmetička sredina i njena svojstva i tehnika proračuna. Prosječan harmonik

Aritmetička sredina- najčešći tip srednje veličine; izračunava se u onim slučajevima kada se volumen prosječnog atributa formira kao zbir njegovih vrijednosti za pojedinačne jedinice proučavane statističke populacije.

Najvažnija svojstva aritmetička sredina :

1. Proizvod prosjeka i zbira frekvencija uvijek je jednak zbiru proizvoda varijante (pojedinačne vrijednosti) i frekvencija.

2. Ako se od svake opcije oduzme (doda) bilo koji proizvoljan broj, tada će se novi prosjek smanjiti (povećati) za isti broj.

3. Ako se svaka opcija pomnoži (podijeli) nekim proizvoljnim brojem, tada će se novi prosjek povećati (smanjiti) za isti iznos

4. Ako se sve frekvencije (težine) podijele ili pomnože sa bilo kojim brojem, tada se aritmetička sredina neće promijeniti iz ovoga.

5. Zbir odstupanja pojedinačnih opcija od aritmetičke sredine je uvijek nula.

Moguće je oduzeti proizvoljnu konstantnu vrijednost od svih vrijednosti atributa (bolja je vrijednost srednje opcije ili opcija s najvećom frekvencijom), smanjiti nastale razlike za zajednički faktor (po mogućnosti za vrijednost intervala ), i izrazite frekvencije u pojedinostima (u procentima) i pomnožite izračunati prosjek sa zajedničkim faktorom i dodajte proizvoljnu konstantnu vrijednost. Ova metoda izračunavanja aritmetičke sredine naziva se metoda obračuna od uslovne nule .

Geometrijska sredina nalazi svoju primjenu u određivanju prosječne stope rasta (prosječne stope rasta), kada se pojedinačne vrijednosti osobine prikazuju kao relativne vrijednosti. Također se koristi ako je potrebno pronaći prosjek između minimalne i maksimalne vrijednosti karakteristike (na primjer, između 100 i 1000000).

srednji kvadratni korijen koristi se za mjerenje varijacije osobine u populaciji (izračunavanje standardne devijacije).

U statistici radi Pravilo većine za znači:

X šteta.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Strukturna sredstva (mod i medijan)

Za utvrđivanje strukture stanovništva koriste se posebni prosjeci koji uključuju medijan i modus, odnosno tzv. strukturni prosjek. Ako se aritmetička sredina izračunava na osnovu upotrebe svih varijanti vrijednosti atributa, tada medijana i mod karakteriziraju vrijednost varijante koja zauzima određenu prosječnu poziciju u rangiranom nizu varijacija

Moda- najtipičnija, najčešće susrećana vrijednost karakteristike. Za diskretne serije mod će biti onaj sa najvećom frekvencijom. Definisati modu intervalne serije prvo odredite modalni interval (interval s najvećom frekvencijom). Zatim se unutar ovog intervala pronađe vrijednost karakteristike, koja može biti mod.

Da bismo pronašli određenu vrijednost moda intervalne serije, potrebno je koristiti formulu (3.2)

(3.2)

gdje je X Mo donja granica modalnog intervala; i Mo - vrijednost modalnog intervala; f Mo je frekvencija modalnog intervala; f Mo-1 - frekvencija intervala koji prethodi modalnom; f Mo+1 - frekvencija intervala nakon modalnog.

Moda se široko koristi u marketinškim aktivnostima u proučavanju potražnje potrošača, posebno u određivanju veličina odjeće i obuće za kojima je najveća potražnja, uz reguliranje politike cijena.

Medijan - vrijednost atributa varijable, koja se nalazi u sredini rangirane populacije. Za rangirana serija sa neparnim brojem pojedinačne vrijednosti (na primjer, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) medijana će biti vrijednost koja se nalazi u centru serije, tj. četvrta vrijednost je 6. For rangirane serije sa parnim brojem pojedinačne vrijednosti (na primjer, 1, 5, 7, 10, 11, 14) medijan će biti aritmetička srednja vrijednost, koja se izračunava iz dvije susjedne vrijednosti. Za naš slučaj, medijan je (7+10)/2= 8,5.

Dakle, da bi se pronašao medijan, prvo je potrebno odrediti njegov redni broj (njegovu poziciju u rangiranom nizu) koristeći formule (3.3):

(ako nema frekvencija)

N Me=
(ako postoje frekvencije) (3.3)

gdje je n broj jedinica u populaciji.

Brojčana vrijednost medijane intervalne serije određena akumuliranim frekvencijama u diskretnom varijacionom nizu. Da biste to učinili, prvo morate odrediti interval za pronalaženje medijane u intervalnoj seriji distribucije. Medijan je prvi interval u kojem zbir akumuliranih frekvencija prelazi polovinu ukupnog broja opažanja.

Numerička vrijednost medijane se obično određuje formulom (3.4)

(3.4)

gdje je x Me - donja granica srednjeg intervala; iMe - vrijednost intervala; SMe -1 - akumulirana frekvencija intervala koji prethodi medijani; fMe je frekvencija srednjeg intervala.

Unutar pronađenog intervala, medijana se također izračunava pomoću formule Me = xl e, gdje drugi faktor na desnoj strani jednačine pokazuje lokaciju medijane unutar intervala medijane, a x je dužina ovog intervala. Medijan dijeli niz varijacija na pola po učestalosti. Definišite više kvartila , koji dijele niz varijacija na 4 dijela jednake veličine po vjerovatnoći, i decila dijeleći seriju na 10 jednakih dijelova.

Ovo poglavlje opisuje svrhu prosječnih vrijednosti, raspravlja o njihovim glavnim tipovima i oblicima, kao i metodu izračunavanja. Prilikom proučavanja prezentiranog materijala potrebno je naučiti zahtjeve za konstrukcijom prosječnih vrijednosti, jer njihovo poštovanje omogućava korištenje ovih vrijednosti kao tipičnih karakteristika karakterističnih vrijednosti za skup homogenih jedinica.

Oblici i vrste prosjeka

prosječna vrijednost je generalizirana karakteristika nivoa vrijednosti atributa, koja se dobija po jedinici populacije. Za razliku od relativne vrijednosti, koja je mjera omjera indikatora, prosječna vrijednost služi kao mjera obilježja po jedinici stanovništva.

Najvažnije svojstvo prosječne vrijednosti je da odražava ono zajedničko što je svojstveno svim jedinicama populacije koja se proučava.

Vrijednosti atributa pojedinih jedinica populacije fluktuiraju u jednom ili drugom smjeru pod utjecajem mnogih faktora, među kojima mogu biti značajni i slučajni. Na primjer, kamatne stope na bankarske kredite određuju se početnim faktorima za sve kreditne institucije (nivo obavezne rezerve i bazna kamatna stopa za kredite koje centralna banka daje poslovnim bankama, itd.), kao i karakteristike svaku konkretnu transakciju, u zavisnosti od rizika svojstvenog ovom kreditu., njegove veličine i roka dospeća, troškova dobijanja kredita i praćenja njegove otplate itd.

Prosječna vrijednost sažima pojedinačne vrijednosti atributa i odražava utjecaj općih uslova koji su najkarakterističniji za ovu populaciju u specifičnim uvjetima mjesta i vremena. Suština prosjeka je u tome što on poništava odstupanja vrijednosti atributa pojedinih jedinica populacije, uslijed djelovanja slučajnih faktora, i uzima u obzir promjene uzrokovane djelovanjem glavni faktori. Prosječna vrijednost će odražavati tipičan nivo osobine u datoj populaciji jedinica kada se izračuna iz kvalitativno homogene populacije. U tom smislu se koristi metoda prosjeka u kombinaciji sa metodom grupiranja.

Zovu se prosječne vrijednosti koje karakteriziraju populaciju u cjelini general, i proseci, koji odražavaju posebnost grupe ili podgrupe, - grupa.

Kombinacija opštih i grupnih prosjeka omogućava poređenja u vremenu i prostoru i značajno proširuje granice statističke analize. Na primjer, kada se sumiraju rezultati popisa iz 2002. godine, ustanovljeno je da Rusiju, kao i većinu evropskih zemalja, karakterizira starenje stanovništva. u poređenju sa popisom iz 1989. prosečne starosti stanovništvo zemlje povećalo se za tri godine i iznosi 37,7 godina, muškarci - 35,2 godine, žene - 40,0 godina (prema podacima iz 1989. godine, ove brojke su bile 34,7, 31,9 i 37,2 godine, respektivno). Prema Rosstatu, očekivani životni vijek pri rođenju u 2011. godini iznosi 63 godine za muškarce i 75,6 godina za žene.

Svaki prosjek odražava posebnost proučavane populacije prema nekom atributu. Za donošenje praktičnih odluka, u pravilu je potrebno karakterizirati populaciju prema nekoliko kriterija. U ovom slučaju se koristi sistem prosjeka.

Na primjer, u cilju postizanja odgovarajućeg nivoa profitabilnosti poslovanja uz prihvatljiv nivo bankarskog rizika, prosječne kamatne stope na date kredite utvrđuju se uzimajući u obzir prosječne kamatne stope na depozite i druge finansijske instrumente.

Oblik, vrsta i način izračunavanja prosječne vrijednosti zavise od cilja studije, vrste i odnosa proučavanih karakteristika, kao i od prirode početnih podataka. Prosjeci se dijele u dvije glavne kategorije:

• 1) proseci snage;
• 2) strukturni proseci.

Formula srednje vrijednosti određena je vrijednošću snage srednje vrijednosti koja se primjenjuje. Sa povećanjem eksponenta k prosek se shodno tome povećava.

Da bi se analizirali i dobili statistički zaključci o rezultatu sumiranja i grupisanja, izračunavaju se generalizujući indikatori - prosječni i relativne vrijednosti.

Problem prosjeka - okarakterisati sve jedinice statističke populacije jednom vrijednošću atributa.

Prosječne vrijednosti karakteriziraju kvalitativni pokazatelji preduzetničku aktivnost: troškovi distribucije, profit, profitabilnost itd.

prosječna vrijednost- ovo je generalizirajuća karakteristika jedinica stanovništva prema nekom promjenjivom atributu.

Prosječne vrijednosti omogućavaju upoređivanje nivoa iste osobine u različitim populacijama i pronalaženje razloga za ova odstupanja.

U analizi fenomena koji se proučavaju, uloga prosječnih vrijednosti je ogromna. Engleski ekonomista W. Petty (1623-1687) je uveliko koristio prosjeke. V. Petty je želio da koristi prosječne vrijednosti kao mjeru troškova potrošnje na prosječni dnevni život jednog radnika. Stabilnost prosječne vrijednosti je odraz obrazaca procesa koji se proučavaju. Vjerovao je da se informacije mogu transformirati čak i ako nema dovoljno početnih podataka.

Engleski naučnik G. King (1648-1712) koristio je prosječne i relativne vrijednosti kada je analizirao podatke o stanovništvu Engleske.

Teorijski razvoj belgijskog statističara A. Queteleta (1796-1874) zasniva se na nekonzistentnosti prirode društvenih pojava- visoko stabilan u masi, ali čisto individualan.

Prema A. Queteletu, trajni uzroci djeluju na isti način na svaki fenomen koji se proučava i čine te pojave sličnim jedni drugima, stvaraju obrasce zajedničke za sve njih.

Posljedica učenja A. Queteleta bila je alokacija prosječnih vrijednosti kao glavne metode statističke analize. On je rekao da statistički prosjeci nisu kategorija objektivne realnosti.

A. Quetelet je izrazio svoje stavove o prosjeku u svojoj teoriji prosječne osobe. Prosječna osoba je osoba koja ima sve kvalitete u prosječnoj veličini (prosječan mortalitet ili natalitet, prosječna visina i težina, prosječna brzina trčanja, prosječna sklonost braku i samoubistvu, dobra djela itd.). Za A. Quetelet prosjecna osoba je ideal čoveka. Nedosljednost teorije prosječne osobe A. Queteleta dokazana je u ruskoj statističkoj literaturi godine. krajem XIX-XX vekovima

Poznati ruski statističar Yu. E. Yanson (1835-1893) napisao je da A. Quetelet pretpostavlja postojanje u prirodi tipa prosječne osobe kao nečeg datog, od čega je život odbacio prosječne ljude datog društva i određenom vremenu, a to ga dovodi do potpuno mehaničkog pogleda na zakone kretanja društvenog života: kretanje je postepeno povećanje prosječnih svojstava osobe, postupna obnova tipa; sledstveno tome, takvo nivelisanje svih manifestacija života društvenog tela, iza koje prestaje svako kretanje napred.

Suština ove teorije našla je svoj dalji razvoj u radovima brojnih statističkih teoretičara kao teorija pravih vrijednosti. A. Quetelet je imao sljedbenike - njemačkog ekonomistu i statističara W. Lexisa (1837-1914), koji je prenio teoriju pravih vrijednosti na ekonomske fenomene društvenog života. Njegova teorija je poznata kao teorija stabilnosti. Druga verzija idealističke teorije prosjeka zasnovana je na filozofiji

Njegov osnivač je engleski statističar A. Bowley (1869–1957), jedan od najistaknutijih teoretičara modernog doba u oblasti teorije prosjeka. Njegov koncept prosjeka izložen je u knjizi "Elementi statistike".

A. Bowley razmatra prosjeke samo sa kvantitativne strane, odvajajući na taj način kvantitet od kvaliteta. Određujući značenje prosječnih vrijednosti (ili "njihove funkcije"), A. Bowley iznosi mahistički princip mišljenja. A. Bowley je napisao da funkcija prosjeka treba da izrazi kompleksnu grupu

sa nekoliko prostih brojeva. Statističke podatke treba pojednostaviti, grupisati i usrednjavati.Ove stavove dijele i R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) i drugi.

30-ih godina. 20ti vijek i narednih godina, prosječna vrijednost se smatra društveno značajnom karakteristikom, čiji informativni sadržaj zavisi od homogenosti podataka.

Najistaknutiji predstavnici italijanske škole R. Benini (1862-1956) i C. Gini (1884-1965), smatrajući statistiku granom logike, proširili su obim statističke indukcije, ali su povezivali kognitivne principe logike. i statistike sa prirodom proučavanih pojava, slijedeći tradiciju sociološkog tumačenja statistike.

U djelima K. Marxa i V. I. Lenjina posebna je uloga dodijeljena prosječnim vrijednostima.

K. Marx je tvrdio da se pojedinačna odstupanja od opšteg nivoa poništavaju u prosječnoj vrijednosti i prosječni nivo postaje generalizirajuća karakteristika fenomena mase.Prosječna vrijednost postaje takva karakteristika fenomena mase samo ako se uzme značajan broj jedinica. a ove jedinice su kvalitativno homogene. Marx je napisao da je pronađena prosječna vrijednost prosjek "... mnogo različitih individualnih vrijednosti iste vrste".

Prosječna vrijednost dobija poseban značaj u uslovima tržišnu ekonomiju. Pomaže u određivanju neophodnog i opšteg, trenda zakonitosti ekonomskog razvoja direktno kroz pojedinačne i nasumične.

Prosječne vrijednosti su generalizirajući pokazatelji u kojima se izražava djelovanje općih uslova, pravilnost proučavane pojave.

Statistički prosjeci se izračunavaju na osnovu masovnih podataka statistički ispravno organiziranog masovnog posmatranja. Ako se statistički prosjek izračuna iz masovnih podataka za kvalitativno homogenu populaciju (masovne pojave), onda će biti objektivan.

Prosječna vrijednost je apstraktna, jer karakterizira vrijednost apstraktne jedinice.

Prosjek se apstrahuje iz raznolikosti karakteristika u pojedinačnim objektima. Apstrakcija - korak naučno istraživanje. Dijalektičko jedinstvo pojedinačnog i opšteg ostvaruje se u prosječnoj vrijednosti.

Prosječne vrijednosti treba primijeniti na osnovu dijalektičkog razumijevanja kategorija pojedinačnog i opšteg, pojedinačnog i mase.

Srednji odražava nešto zajedničko što je zbrojeno u određenom pojedinačnom objektu.

Za identifikaciju obrazaca u masovnim društvenim procesima, prosječna vrijednost je od velike važnosti.

Odstupanje pojedinca od opšteg je manifestacija procesa razvoja.

Prosječna vrijednost odražava karakterističan, tipičan, stvarni nivo fenomena koji se proučava. Svrha prosjeka je karakteriziranje ovih nivoa i njihovih promjena u vremenu i prostoru.

Prosek je uobičajena vrednost, jer se formira u normalnom, prirodnom, opšti uslovi postojanje specifičnog masovnog fenomena, posmatranog kao celine.

Objektivno svojstvo statističkog procesa ili fenomena odražava prosječnu vrijednost.

Pojedinačne vrijednosti proučavane statističke karakteristike su različite za svaku jedinicu populacije. Prosječna vrijednost pojedinačnih vrijednosti jedne vrste je proizvod nužde, koji je rezultat kumulativnog djelovanja svih jedinica populacije, manifestiranog u masi nesreća koje se ponavljaju.

Neki pojedinačni fenomeni imaju znakove koji postoje u svim pojavama, osim u različite količine je visina ili starost osobe. Ostali znakovi individualnog fenomena, kvalitativno različiti u razne pojave, odnosno kod nekih su prisutne, a kod drugih se ne primjećuju (muškarac neće postati žena). Prosječna vrijednost se izračunava za znakove koji su kvalitativno homogeni i koji se razlikuju samo kvantitativno, a koji su svojstveni svim pojavama u datom skupu.

Prosječna vrijednost je odraz vrijednosti osobine koja se proučava i mjeri se u istoj dimenziji kao i ova osobina.

Teorija dijalektičkog materijalizma uči da se sve na svijetu mijenja i razvija. A također se mijenjaju znakovi koje karakteriziraju prosječne vrijednosti, a shodno tome i sami prosjeci.

dešava u životu kontinuirani proces stvaranje nečeg novog. Nosilac novog kvaliteta su pojedinačni objekti, tada se broj tih objekata povećava, a novi postaje masovni, tipični.

Prosječna vrijednost karakteriše proučavanu populaciju samo po jednom osnovu. Za potpun i sveobuhvatan prikaz proučavane populacije za niz specifičnosti, potrebno je imati sistem prosječnih vrijednosti koji može opisati fenomen iz različitih uglova.

U statističkoj obradi materijala javljaju se različiti problemi koje je potrebno riješiti, pa se stoga u statističkoj praksi koriste različite prosječne vrijednosti. Matematička statistika koristi različite proseke, kao što su: aritmetički prosek; geometrijska sredina; prosječni harmonik; srednji kvadrat.

Da bi se primijenio jedan od navedenih tipova prosjeka, potrebno je analizirati populaciju koja se proučava, utvrditi materijalni sadržaj fenomena koji se proučava, a sve se to radi na osnovu zaključaka dobijenih iz principa smislenosti rezultata. prilikom vaganja ili zbrajanja.

U proučavanju prosjeka koriste se sljedeći indikatori i oznake.

Kriterijum po kojem se nalazi prosjek se zove prosječna karakteristika i označava se sa x; naziva se vrijednost prosječne karakteristike za bilo koju jedinicu statističke populacije njegovo individualno značenje ili opcije, i označen kao x 1 , X 2 , x 3 ,… X P ; učestalost je ponovljivost pojedinačnih vrijednosti osobine, označene slovom f.

Aritmetička sredina

Jedna od najčešćih vrsta medija aritmetička sredina, koji se izračunava kada se obim prosječnog atributa formira kao zbir njegovih vrijednosti za pojedinačne jedinice proučavane statističke populacije.

Da bi se izračunala aritmetička sredina, zbir svih nivoa karakteristika se deli sa njihovim brojem.

Ako se neke opcije javljaju nekoliko puta, tada se zbroj nivoa atributa može dobiti množenjem svakog nivoa sa odgovarajućim brojem jedinica populacije, nakon čega slijedi dodavanje rezultirajućih proizvoda, aritmetička sredina izračunata na ovaj način naziva se ponderirana aritmetika znači.

Formula za ponderisanu aritmetičku sredinu je sljedeća:

gdje su x i opcije,

f i - frekvencije ili težine.

Ponderisani prosjek treba koristiti u svim slučajevima kada varijante imaju različite količine.

Aritmetički prosjek, takoreći, ravnomjerno raspoređuje između pojedinačnih objekata ukupnu vrijednost atributa, koja u stvari varira za svaki od njih.

Izračunavanje prosječnih vrijednosti vrši se prema podacima grupiranim u obliku intervalnih serija raspodjele, kada su varijante osobina iz kojih se izračunava prosjek prikazane u obliku intervala (od - do).

Svojstva aritmetičke sredine:

1) aritmetička sredina zbira promjenljivih vrijednosti jednaka je zbiru aritmetičkih sredina: Ako je x i = y i + z i , tada

Ovo svojstvo pokazuje u kojim slučajevima je moguće sumirati prosječne vrijednosti.

2) algebarski zbir odstupanja pojedinačnih vrijednosti varijabilne karakteristike od srednje vrijednosti jednak je nuli, jer je zbir odstupanja u jednom smjeru nadoknađen zbirom odstupanja u drugom smjeru:

Ovo pravilo pokazuje da je srednja vrijednost rezultanta.

3) ako se sve varijante serije povećaju ili smanje za isti broj?, tada će se prosjek povećati ili smanjiti za isti broj?:

4) ako se sve varijante serije povećaju ili smanje za A puta, tada će se i prosjek povećati ili smanjiti za A puta:

5) peto svojstvo prosjeka nam pokazuje da ono ne zavisi od veličine pondera, već zavisi od odnosa između njih. Kao težine mogu se uzeti ne samo relativne, već i apsolutne vrijednosti.

Ako se sve frekvencije serije podijele ili pomnože sa istim brojem d, tada se prosjek neće promijeniti.

Prosječan harmonik. Za određivanje aritmetičke sredine potrebno je imati niz opcija i frekvencija, odnosno vrijednosti X i f.

Pretpostavimo da znamo pojedinačne vrijednosti karakteristike X i radi X/, i frekvencije f su nepoznati, onda, za izračunavanje prosjeka, označavamo proizvod = X/; gdje:

Prosjek u ovom obliku naziva se harmonijski ponderirani prosjek i označava se x šteta. vzvv.

Shodno tome, harmonijska sredina je identična aritmetičkoj sredini. Primjenjivo je kada stvarne težine nisu poznate. f, a proizvod je poznat fx = z

Kada radi fx jednaka ili jednaka jedinici (m = 1), koristi se harmonijska prosta sredina izračunata po formuli:

gdje X- odvojene opcije;

n- broj.

Geometrijska sredina

Ako postoji n faktora rasta, onda je formula za prosječni koeficijent:

Ovo je formula geometrijske sredine.

Geometrijska sredina jednaka je korijenu stepena n iz proizvoda koeficijenata rasta koji karakterišu odnos vrednosti svakog narednog perioda prema vrednosti prethodnog.

Ako su vrijednosti izražene kao kvadratne funkcije podložne usrednjavanju, koristi se srednji kvadrat. Na primjer, koristeći srednji kvadrat, možete odrediti promjere cijevi, kotača itd.

Srednji kvadratni premium se određuje ekstrahiranjem kvadratni korijen od količnika dijeljenja zbira kvadrata vrijednosti pojedinačnih karakteristika njihovim brojem.

Ponderisani srednji kvadrat je:

Za karakterizaciju strukture statističke populacije koriste se indikatori koji se nazivaju strukturni proseci. To uključuje mod i medijan.

Moda (M o ) - najčešća opcija. Moda naziva se vrijednost karakteristike, koja odgovara maksimalnoj tački teorijske krivulje distribucije.

Režim predstavlja najčešću ili tipičnu vrijednost.

Moda se koristi u komercijalnoj praksi za proučavanje potražnje potrošača i rekordnih cijena.

U diskretnoj seriji, mod je varijanta sa najvećom frekvencijom. U nizu varijacija intervala, modom se smatra centralna varijanta intervala, koja ima najveću frekvenciju (posebnost).

Unutar intervala je potrebno pronaći vrijednost atributa, a to je mod.

gdje X o je donja granica modalnog intervala;

h je vrijednost modalnog intervala;

fm je frekvencija modalnog intervala;

f t-1 - frekvencija intervala koji prethodi modalnom;

fm+1 je frekvencija intervala nakon modalnog.

Način rada zavisi od veličine grupa, od tačnog položaja granica grupa.

Moda- broj koji se zapravo najčešće javlja (je određena vrijednost), u praksi ima najširu primjenu (najčešći tip kupca).

Medijan (M e- ovo je vrijednost koja dijeli broj naručenih serija varijacija na dva jednaka dijela: jedan dio ima vrijednosti varijabilnog atributa manje od srednja opcija a druga je velika.

Medijan je element koji je veći ili jednak i istovremeno manji ili jednak polovini preostalih elemenata serije distribucije.

Svojstvo medijane je da je zbir apsolutnih odstupanja vrijednosti osobine od medijane manji nego od bilo koje druge vrijednosti.

Korištenje medijane vam omogućava da dobijete preciznije rezultate od korištenja drugih oblika prosjeka.

Redoslijed pronalaženja medijane u nizu varijacija intervala je sljedeći: pojedinačne vrijednosti atributa raspoređujemo po rangu; odrediti akumulirane frekvencije za ovu rangiranu seriju; prema akumuliranim frekvencijama, nalazimo srednji interval:

gdje x me je donja granica srednjeg intervala;

i Ja je vrijednost srednjeg intervala;

f/2 je polovični zbir frekvencija serije;

S Ja-1 je zbir akumuliranih frekvencija koje prethode srednjem intervalu;

f Ja je frekvencija srednjeg intervala.

Medijan dijeli broj redova na pola, dakle, to je mjesto gdje je akumulirana frekvencija polovina ili više od polovine ukupnog broja frekvencija, a prethodna (kumulativna) frekvencija je manja od polovine populacije.

Znaci jedinica statističkih agregata su različiti po svom značenju, na primer, plate radnika jedne profesije preduzeća nisu iste za isti vremenski period, tržišne cene za iste proizvode su različite, prinosi useva na farmama regiona itd. Stoga, kako bi se odredila vrijednost karakteristike karakteristične za cjelokupnu populaciju jedinica koje se proučavaju, izračunavaju se prosječne vrijednosti.
prosječna vrijednost – to je generalizirajuća karakteristika skupa pojedinačnih vrijednosti neke kvantitativne osobine.

Populacija koja se proučava pomoću kvantitativnog atributa sastoji se od individualnih vrijednosti; oni su pod uticajem kao uobičajeni uzroci i individualnih uslova. U prosječnoj vrijednosti poništavaju se odstupanja karakteristična za pojedinačne vrijednosti. Prosjek, kao funkcija skupa pojedinačnih vrijednosti, predstavlja cijeli skup sa jednom vrijednošću i odražava ono zajedničko što je svojstveno svim njegovim jedinicama.

Prosjek izračunat za populacije koje se sastoje od kvalitativno homogenih jedinica naziva se tipičan prosek. Na primjer, možete izračunati prosječnu mjesečnu platu zaposlenika jedne ili druge profesionalne grupe (rudar, doktor, bibliotekar). Naravno, mjesečni nivoi plate rudari se, zbog razlika u kvalifikacijama, stažu, odrađenim satima mjesečno i mnogim drugim faktorima, razlikuju jedni od drugih i od visine prosječne plate. Međutim, prosječni nivo odražava glavne faktore koji utiču na visinu zarada, te međusobno nadoknađuju razlike koje nastaju zbog individualne karakteristike radnik. Prosječna plata odražava tipičan nivo plata za ovu vrstu radnika. Dobijanju tipičnog prosjeka treba prethoditi analiza koliko je ova populacija kvalitativno homogena. Ako se skup sastoji od odvojeni dijelovi, treba ga podijeliti u tipične grupe (prosječna temperatura u bolnici).

Zovu se prosječne vrijednosti koje se koriste kao karakteristike za heterogene populacije sistemske proseke. Na primjer, prosječna vrijednost bruto domaćeg proizvoda (BDP) po glavi stanovnika, prosječna potrošnja različitih grupa dobara po osobi i druge slične vrijednosti koje predstavljaju opšte karakteristike države kao jedinstvenog ekonomskog sistema.

Prosjek treba izračunati za populacije koje se sastoje od dovoljno velikog broja jedinica. Usklađenost s ovim uvjetom neophodna je kako bi zakon velikih brojeva stupio na snagu, zbog čega se nasumična odstupanja pojedinačnih vrijednosti od opšti trend uzvratite jedni drugima.

Vrste prosjeka i metode za njihovo izračunavanje

Izbor vrste prosjeka određen je ekonomskim sadržajem određenog indikatora i početnim podacima. Međutim, bilo koju prosječnu vrijednost treba izračunati tako da kada zamijeni svaku varijantu prosječne karakteristike, konačna, generalizirajuća ili, kako se obično naziva, indikator definicije, što je povezano sa prosjekom. Na primjer, prilikom zamjene stvarnih brzina na odvojenim dionicama puta, oni prosječna brzina ne bi trebalo promijeniti ukupnu pređenu udaljenost vozilo u isto vrijeme; prilikom zamjene stvarnih plata pojedinih zaposlenih u preduzeću prosječnom plata platni spisak se ne smije mijenjati. Shodno tome, u svakom konkretnom slučaju, u zavisnosti od prirode dostupnih podataka, postoji samo jedna prava prosečna vrednost indikatora koja je adekvatna svojstvima i suštini socio-ekonomskog fenomena koji se proučava.
Najčešće korištene su aritmetička sredina, harmonijska sredina, geometrijska sredina, srednji kvadrat i srednja kubna.
Navedeni prosjeci pripadaju klasi moć srednje i kombinovano opšta formula:
,
gdje je prosječna vrijednost proučavane osobine;
m je eksponent srednje vrijednosti;
– trenutna vrijednost (varijanta) prosječne karakteristike;
n je broj karakteristika.
U zavisnosti od vrednosti eksponenta m razlikuju se sledeće vrste proseka snage:
pri m = -1 – srednji harmonik ;
pri m = 0 – geometrijska sredina ;
pri m = 1 – aritmetička sredina;
pri m = 2 – srednji kvadrat ;
pri m = 3 - prosječna kubna.
Kada koristite iste početne podatke, što je veći eksponent m u gornjoj formuli, to je veća vrijednost prosječne vrijednosti:
.
Ovo svojstvo potencijskog zakona znači da se povećava s povećanjem eksponenta funkcije koja definira pravilo većine sredstava.
Svaki od označenih prosjeka može imati dva oblika: jednostavno i ponderisano.
Jednostavan oblik sredine primjenjuje se kada se prosjek izračunava na primarnim (negrupisanim) podacima. ponderisani oblik– prilikom izračunavanja prosjeka za sekundarne (grupisane) podatke.

Aritmetička sredina

Aritmetička sredina se koristi kada je obim populacije zbir svih pojedinačnih vrijednosti varijabilnog atributa. Treba napomenuti da ako tip prosjeka nije naznačen, pretpostavlja se aritmetički prosjek. Njegova logična formula je:

jednostavna aritmetička sredina izračunati prema negrupisanim podacima prema formuli:
ili ,
gdje su pojedinačne vrijednosti obilježja;
j je redni broj jedinice posmatranja, koju karakteriše vrijednost ;
N je broj jedinica posmatranja (veličina skupa).
Primjer. U predavanju „Sažetak i grupisanje statističkih podataka“ razmatrani su rezultati posmatranja radnog iskustva tima od 10 ljudi. Izračunajte prosječno radno iskustvo radnika brigade. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Po formuli proste aritmetičke sredine se i računa hronološki prosjeci, ako su vremenski intervali za koje su prikazane karakteristične vrijednosti jednaki.
Primjer. Obim prodatih proizvoda za prvi kvartal iznosio je 47 den. jedinica, za drugu 54, za treću 65 i za četvrtu 58 den. jedinice Prosečan kvartalni promet je (47+54+65+58)/4 = 56 den. jedinice
Ako su trenutni pokazatelji dati u hronološkom nizu, tada se pri izračunavanju prosjeka zamjenjuju poluzbirom vrijednosti na početku i na kraju perioda.
Ako postoji više od dva momenta i intervali između njih su jednaki, onda se prosjek izračunava pomoću formule za prosječnu hronologiju

,
gdje je n broj vremenskih tačaka
Kada su podaci grupirani prema vrijednostima atributa (tj. konstruiše se diskretni varijacioni niz raspodele) sa ponderisana aritmetička sredina izračunava se pomoću ili učestalosti, ili učestalosti opažanja specifičnih vrijednosti obilježja, čiji je broj (k) znatno manji od broja opažanja (N).
,
,
gdje je k broj grupa varijacionih serija,
i je broj grupe varijacione serije.
Budući da , i , dobijamo formule koje se koriste za praktične proračune:
i
Primjer. Izračunajmo prosječan staž radnih timova za grupisane serije.
a) korištenjem frekvencija:

b) korišćenjem frekvencija:

Kada su podaci grupirani po intervalima , tj. prikazani su u obliku intervalnih serija raspodjele, pri izračunavanju aritmetičke sredine kao vrijednost karakteristike uzima se sredina intervala, na osnovu pretpostavke o ravnomjernoj raspodjeli jedinica populacije u ovom intervalu. Izračun se vrši prema formulama:
i
gdje je sredina intervala: ,
gdje su i donja i gornja granica intervala (pod uvjetom da gornja granica ovaj interval se poklapa sa donja granica sledeći interval).

Primjer. Izračunajmo aritmetičku sredinu intervalnih varijacionih serija konstruisanih na osnovu rezultata studije godišnjih zarada 30 radnika (videti predavanje „Sažetak i grupisanje statističkih podataka“).
Tabela 1 - Interval varijacije serije distribucije.

UAH ili UAH
Aritmetička sredina izračunata na osnovu početnih podataka i nizova intervalnih varijacija možda se neće podudarati zbog neravnomjerne raspodjele vrijednosti atributa unutar intervala. U ovom slučaju, za preciznije izračunavanje aritmetičkog ponderisanog prosjeka, ne treba koristiti sredinu intervala, već aritmetičke prosječne vrijednosti izračunate za svaku grupu ( grupni proseci). Prosjek izračunat iz grupnih sredstava korištenjem ponderirane formule izračuna se poziva opšti prosek.
Aritmetička sredina ima niz svojstava.
1. Zbir odstupanja varijante od srednje vrijednosti je nula:
.
2. Ako se sve vrijednosti opcije povećavaju ili smanjuju za vrijednost A, tada se prosječna vrijednost povećava ili smanjuje za istu vrijednost A:

3. Ako se svaka opcija poveća ili smanji za B puta, tada će se i prosječna vrijednost povećati ili smanjiti za isti broj puta:
ili
4. Zbir proizvoda varijante po frekvencijama jednak je proizvodu prosječne vrijednosti zbirom frekvencija:

5. Ako se sve frekvencije podijele ili pomnože sa bilo kojim brojem, tada se aritmetička sredina neće promijeniti:

6) ako su u svim intervalima frekvencije jedna drugoj, tada je aritmetički ponderisani prosjek jednak jednostavnom aritmetičkom prosjeku:
,
gdje je k broj grupa u nizu varijacija.

Korištenje svojstava prosjeka omogućava vam da pojednostavite njegovo izračunavanje.
Pretpostavimo da su sve opcije (x) prvo smanjene za isti broj A, a zatim smanjene za faktor B. Najveće pojednostavljenje se postiže kada se vrednost sredine intervala sa najvećom frekvencijom odabere kao A, a vrednost intervala kao B (za redove sa jednakim intervalima). Količina A naziva se ishodište, pa se ovaj metod izračunavanja prosjeka naziva način b om referenca od uvjetne nule ili način trenutaka.
Nakon takve transformacije, dobijamo novi niz varijacionih distribucija, čije su varijante jednake . Njihova aritmetička sredina, tzv trenutak prvog reda, se izražava formulom i prema drugom i trećem svojstvu, aritmetička sredina je jednaka sredini originalne verzije, umanjena prvo za A, a zatim za B puta, tj.
Primiti pravi prosek(sredina originalnog reda) trebate pomnožiti trenutak prvog reda sa B i dodati A:

Izračunavanje aritmetičke sredine metodom momenata ilustrovano je podacima u tabeli. 2.
Tabela 2 - Raspodjela zaposlenih u radnji preduzeća prema radnom stažu

Pronalaženje trenutka prvog reda . Zatim, znajući da je A = 17,5 i B = 5, izračunavamo prosječno radno iskustvo radnika u radnji:
ima godina

Prosječan harmonik
Kao što je gore prikazano, aritmetička sredina se koristi za izračunavanje prosječne vrijednosti neke karakteristike u slučajevima kada su poznate njene varijante x i njihove frekvencije f.
Ako statistička informacija ne sadrži frekvencije f za pojedinačne opcije x populacije, već je prikazana kao njihov proizvod, primjenjuje se formula prosečno ponderisano harmonikom. Za izračunavanje prosjeka, označite , odakle . Zamjenom ovih izraza u ponderiranu aritmetičku srednju formulu, dobijamo ponderiranu harmonijsku srednju formulu:
,
gdje je zapremina (težina) vrijednosti atributa indikatora u intervalu sa brojem i (i=1,2, …, k).

Dakle, harmonijska sredina se koristi u slučajevima kada nisu same opcije podložne sumiranju, već njihove recipročne vrijednosti: .
U slučajevima kada je težina svake opcije jednaka jedan, tj. pojedinačne vrijednosti inverzne karakteristike se javljaju jednom, primjenjuju se jednostavna harmonijska sredina:
,
gdje su pojedinačne varijante inverzne osobine koje se javljaju jednom;
N je broj opcija.
Ako postoje harmonični proseci za dva dela populacije sa brojem i, onda se ukupan prosek za celu populaciju izračunava po formuli:

i pozvao ponderisana harmonijska sredina grupnih sredina.

Primjer. U prvom satu trgovanja na berzi sklopljena su tri posla. Podaci o iznosu prodaje grivne i kursu grivne prema američkom dolaru dati su u tabeli. 3 (kolone 2 i 3). Odredite prosječni tečaj grivne u odnosu na američki dolar za prvi sat trgovanja.
Tabela 3 - Podaci o toku trgovanja na berzi

Prosječni kurs dolara određen je omjerom količine prodanih grivna u toku svih transakcija i iznosa dolara stečenih kao rezultat istih transakcija. Ukupan iznos prodaje grivne poznat je iz kolone 2 tabele, a iznos kupljenih dolara u svakoj transakciji određuje se dijeljenjem iznosa prodaje grivne sa njenim kursom (kolona 4). Ukupno je kupljeno 22 miliona dolara tokom tri transakcije. To znači da je prosječni tečaj grivna za jedan dolar bio
.
Rezultirajuća vrijednost je stvarna, jer njegova zamjena stvarnih tečajeva grivne u transakcijama neće promijeniti ukupan iznos prodaje grivne, koji djeluje kao indikator definicije: miliona UAH
Ako je za izračunavanje korištena aritmetička sredina, tj. grivna, zatim po kursu za kupovinu od 22 miliona dolara. Moralo bi se potrošiti 110,66 miliona kuna, što nije tačno.

Geometrijska sredina
Geometrijska sredina se koristi za analizu dinamike pojava i omogućava vam da odredite prosječni faktor rasta. Prilikom izračunavanja geometrijske sredine, pojedinačne vrijednosti osobine su relativni pokazatelji dinamike, izgrađeni u obliku lančanih vrijednosti, kao omjer svakog nivoa prema prethodnom.
Geometrijska prosta sredina izračunava se po formuli:
,
gdje je znak proizvoda,
N je broj prosječnih vrijednosti.
Primjer. Broj registrovanih krivičnih djela za 4 godine povećan je za 1,57 puta, i to za 1. - za 1,08 puta, za 2. - za 1,1 puta, za 3. - za 1,18 i za 4. - 1,12 puta. Tada je prosječna godišnja stopa rasta broja krivičnih djela: , tj. Broj registrovanih krivičnih djela rastao je u prosjeku za 12% godišnje.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Da bismo izračunali srednji kvadrat ponderisani, određujemo i unosimo u tabelu i. Tada je prosječna vrijednost odstupanja dužine proizvoda od date norme jednaka:

Aritmetička sredina u ovom slučaju bi bila neprikladna, jer kao rezultat, dobili bismo nultu devijaciju.
Korištenje srednjeg kvadrata bit će razmotreno kasnije u eksponentima varijacije.