Dom » Dijete od 2 do 3 godine » Pronađite kut između triju linija online. Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Međusobni raspored linija. Kut između pravaca

Pronađite kut između triju linija online. Najjednostavniji zadaci s pravcem u ravnini. Međusobni raspored linija. Kut između pravaca

Svakom učeniku koji se priprema za ispit iz matematike bit će korisno ponoviti temu “Određivanje kuta između pravaca”. Kao što statistika pokazuje, prilikom prolaska certifikacijskog testa, zadaci za ovaj odjeljak stereometrija uzrokuje poteškoće za veliki broj učenicima. Istodobno, zadaci koji zahtijevaju pronalaženje kuta između ravnih linija nalaze se u USE-u i na osnovnoj i na razini profila. To znači da bi ih svatko trebao moći riješiti.

Osnovni momenti

Postoje 4 vrste međusobnog rasporeda linija u prostoru. Mogu se podudarati, presijecati, biti paralelni ili se sijeku. Kut između njih može biti oštar ili ravan.

Da bi pronašli kut između linija u Jedinstvenom državnom ispitu ili, na primjer, u rješenju, školarci u Moskvi i drugim gradovima mogu koristiti nekoliko metoda za rješavanje problema u ovom dijelu stereometrije. Zadatak možete izvršiti klasičnim konstrukcijama. Da biste to učinili, vrijedi naučiti osnovne aksiome i teoreme stereometrije. Učenik treba biti u stanju logički graditi zaključivanje i izraditi crteže kako bi zadatak doveo do planimetrijskog problema.

Također možete koristiti metodu vektorskih koordinata, koristeći jednostavne formule, pravila i algoritme. Glavna stvar u ovom slučaju je ispravno izvršiti sve izračune. Obrazovni projekt Shkolkovo pomoći će vam da usavršite svoje vještine u rješavanju problema u stereometriji i drugim dijelovima školskog tečaja.

Oh-oh-oh-oh-oh ... pa, sitno je, kao da ste sami pročitali rečenicu =) Međutim, tada će opuštanje pomoći, pogotovo jer sam danas kupila odgovarajuće dodatke. Stoga, prijeđimo na prvi odjeljak, nadam se da ću do kraja članka zadržati veselo raspoloženje.

Međusobni raspored dviju ravnih linija

Slučaj kada dvorana pjeva u zboru. Dvije linije mogu:

1) utakmica;

2) biti paralelan: ;

3) ili se sijeku u jednoj točki: .

Pomoć za glupane : molimo zapamtite matematički znak raskrižja, on će se pojaviti vrlo često. Zapis znači da se pravac siječe s pravcem u točki.

Kako odrediti međusobni položaj dviju linija?

Počnimo s prvim slučajem:

Dva se pravca podudaraju ako i samo ako su im koeficijenti proporcionalni, odnosno postoji takav broj "lambda" da jednakosti

Promotrimo ravne linije i sastavimo tri jednadžbe od odgovarajućih koeficijenata: . Iz svake jednadžbe slijedi da se, dakle, ove linije podudaraju.

Doista, ako su svi koeficijenti jednadžbe pomnožite s -1 (promijenite predznak), i sve koeficijente jednadžbe smanjite za 2, dobit ćete istu jednadžbu: .

Drugi slučaj kada su pravci paralelni:

Dva pravca su paralelna ako i samo ako su im koeficijenti pri varijablama proporcionalni: , Ali.

Kao primjer, razmotrite dvije ravne linije. Provjeravamo proporcionalnost odgovarajućih koeficijenata za varijable:

Međutim, jasno je da.

I treći slučaj, kada se linije sijeku:

Dva se pravca sijeku ako i samo ako njihovi koeficijenti varijabli NISU proporcionalni, to jest, NE postoji takva vrijednost "lambda" da su jednakosti ispunjene

Dakle, za ravne linije ćemo sastaviti sustav:

Iz prve jednadžbe slijedi da je , a iz druge jednadžbe: , dakle, sustav je nedosljedan(nema rješenja). Dakle, koeficijenti kod varijabli nisu proporcionalni.

Zaključak: linije se sijeku

U praktičnim problemima može se koristiti upravo razmatrana shema rješenja. Usput, vrlo je sličan algoritmu za provjeru kolinearnosti vektora, koji smo razmatrali u lekciji. Pojam linearne (ne)ovisnosti vektora. Vektorska osnova. Ali postoji civiliziraniji paket:

Primjer 1

Odredi relativni položaj linija:

Riješenje na temelju proučavanja vektora usmjeravanja ravnih linija:

a) Iz jednadžbi nalazimo vektore smjera pravaca: .

, pa vektori nisu kolinearni i pravci se sijeku.

Za svaki slučaj, na raskrižju ću postaviti kamen sa pokazivačima:

Ostali preskaču kamen i slijede dalje, ravno do Kashcheija Besmrtnog =)

b) Odredite vektore smjera pravaca:

Pravci imaju isti vektor smjera, što znači da su ili paralelni ili isti. Ovdje odrednica nije potrebna.

Očito je da su koeficijenti nepoznanica proporcionalni, dok je .

Otkrijmo je li jednakost istinita:

Tako,

c) Odredite vektore smjera pravaca:

Izračunajmo determinantu sastavljenu od koordinata ovih vektora:
, stoga su vektori smjera kolinearni. Pravci su ili paralelni ili se poklapaju.

Faktor proporcionalnosti "lambda" lako je vidjeti izravno iz omjera kolinearnih vektora smjera. Međutim, može se pronaći i preko koeficijenata samih jednadžbi: .

Sada saznajmo je li jednakost istinita. Oba besplatna termina su nula, pa:

Rezultirajuća vrijednost zadovoljava ovu jednadžbu (bilo koji broj je općenito zadovoljava).

Dakle, linije se podudaraju.

Odgovor:

Vrlo brzo ćete naučiti (ili ste već naučili) razmatrani problem riješiti verbalno doslovno u nekoliko sekundi. U tom smislu, ne vidim razloga ponuditi nešto za neovisno rješenje, bolje je postaviti još jednu važnu ciglu u geometrijski temelj:

Kako nacrtati pravac paralelan sa zadanim?

Zbog neznanja o ovome najjednostavniji zadatak strogo kažnjava Slavuja razbojnika.

Primjer 2

Pravac je dan jednadžbom . Napiši jednadžbu za paralelni pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Označite nepoznatu liniju slovom . Što stanje govori o tome? Pravac prolazi točkom. A ako su pravci paralelni, onda je očito da je i smjerni vektor pravca "ce" pogodan za konstruiranje pravca "te".

Iz jednadžbe izdvajamo vektor smjera:

Odgovor:

Geometrija primjera izgleda jednostavno:

Analitičko ispitivanje je Sljedeći koraci:

1) Provjeravamo imaju li pravci isti vektor smjera (ako jednadžba pravca nije ispravno pojednostavljena, vektori će biti kolinearni).

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu.

Analitičku provjeru u većini slučajeva lako je izvesti usmeno. Pogledajte dvije jednadžbe i mnogi od vas će brzo shvatiti kako su linije paralelne bez ikakvog crteža.

Primjeri za samostalno rješavanje danas će biti kreativni. Jer još se morate natjecati s Baba Yagom, a ona je, znate, ljubiteljica svih vrsta zagonetki.

Primjer 3

Napišite jednadžbu za pravac koji prolazi kroz točku paralelnu s pravcem if

Postoji racionalan i ne baš racionalan način rješavanja. Najkraći put je na kraju lekcije.

Malo smo radili s paralelnim linijama i vratit ćemo im se kasnije. Slučaj podudarnih linija malo je zanimljiv, pa razmotrimo problem koji vam je dobro poznat iz školskog programa:

Kako pronaći točku sjecišta dviju linija?

Ako je ravno sijeku u točki , tada su njegove koordinate rješenje sustavi linearnih jednadžbi

Kako pronaći točku sjecišta linija? Riješite sustav.

Ovo je za tebe geometrijsko značenje sustava dvojke linearne jednadžbe sa dvije nepoznanice su dvije (najčešće) prave u ravnini koje se sijeku.

Primjer 4

Pronađite točku sjecišta linija

Riješenje: Postoje dva načina rješavanja - grafički i analitički.

Grafički način je jednostavno nacrtati zadane linije i pronaći točku sjecišta izravno iz crteža:

Evo naše tvrdnje: . Da biste provjerili, trebali biste zamijeniti njegove koordinate u svaku jednadžbu ravne linije, one bi trebale stati i tamo i tamo. Drugim riječima, koordinate točke su rješenje sustava . Zapravo, razmotrili smo grafički način rješavanja sustavi linearnih jednadžbi s dvije jednadžbe, dvije nepoznanice.

Grafička metoda, naravno, nije loša, ali postoje vidljivi nedostaci. Ne, nije poanta da sedmaši tako odluče, poanta je da će trebati vremena da se napravi ispravan i TOČAN crtež. Osim toga, neke linije nije tako lako konstruirati, a sama točka sjecišta može biti negdje u tridesetom kraljevstvu izvan lista bilježnice.

Stoga je svrsishodnije tražiti točku sjecišta analitička metoda. Riješimo sustav:

Za rješavanje sustava korištena je metoda počlanog zbrajanja jednadžbi. Da biste razvili relevantne vještine, posjetite lekciju Kako riješiti sustav jednadžbi?

Odgovor:

Provjera je trivijalna - koordinate točke presjeka moraju zadovoljiti svaku jednadžbu sustava.

Primjer 5

Pronađite točku sjecišta pravaca ako se sijeku.

Ovo je primjer "uradi sam". Zadatak se može zgodno podijeliti u nekoliko faza. Analiza stanja sugerira da je potrebno:
1) Napišite jednadžbu pravca.
2) Napišite jednadžbu pravca.
3) Odredi relativni položaj pravaca.
4) Ako se pravci sijeku, pronađite točku sjecišta.

Razvoj akcijskog algoritma tipičan je za mnoge geometrijske probleme i ja ću se više puta usredotočiti na to.

Potpuno rješenje i odgovor na kraju tutoriala:

Par cipela još nije istrošen, jer smo došli do drugog dijela lekcije:

Okomite linije. Udaljenost od točke do pravca.
Kut između pravaca

Počnimo s tipičnim i vrlo važnim zadatkom. U prvom dijelu naučili smo kako izgraditi ravnu liniju paralelnu sa zadanom, a sada će se koliba na pilećim nogama okrenuti za 90 stupnjeva:

Kako nacrtati pravac okomit na zadani?

Primjer 6

Pravac je dan jednadžbom . Napišite jednadžbu za okomiti pravac koji prolazi točkom.

Riješenje: Poznato je po pretpostavci da . Bilo bi lijepo pronaći vektor smjera ravne linije. Budući da su linije okomite, trik je jednostavan:

Iz jednadžbe “uklonimo” vektor normale: , koji će biti vektor usmjeravanja pravca.

Jednadžbu pravca sastavljamo pomoću točke i usmjeravajućeg vektora:

Odgovor:

Razmotrimo geometrijsku skicu:

Hmmm... Narančasto nebo, narančasto more, narančasta deva.

Analitička provjera rješenja:

1) Izdvojite vektore smjera iz jednadžbi i uz pomoć točkasti umnožak vektora zaključujemo da su pravci doista okomiti: .

Usput, možete koristiti normalne vektore, čak je i lakše.

2) Provjerite zadovoljava li točka dobivenu jednadžbu .

Potvrdu je, opet, lako izvesti verbalno.

Primjer 7

Odredite sjecište okomitih pravaca, ako je jednadžba poznata i točka.

Ovo je primjer "uradi sam". U zadatku postoji nekoliko radnji, pa je zgodno rješavati točku po točku.

Naše uzbudljivo putovanje se nastavlja:

Udaljenost od točke do linije

Pred nama je ravni pojas rijeke i naš zadatak je doći do njega najkraćim putem. Nema prepreka, a najoptimalnija ruta bit će kretanje duž okomice. To jest, udaljenost od točke do crte je duljina okomitog segmenta.

Udaljenost se u geometriji tradicionalno označava grčko slovo"ro", na primjer: - udaljenost od točke "em" do pravca "de".

Udaljenost od točke do linije izražava se formulom

Primjer 8

Nađi udaljenost od točke do pravca

Riješenje: sve što trebate je pažljivo zamijeniti brojeve u formulu i napraviti izračune:

Odgovor:

Izvršimo crtež:

Nađena udaljenost od točke do pravca jednaka je duljini crvenog segmenta. Ako nacrtate crtež na kariranom papiru u mjerilu 1 jedinice. \u003d 1 cm (2 ćelije), tada se udaljenost može izmjeriti običnim ravnalom.

Razmotrite još jedan zadatak prema istom crtežu:

Zadatak je pronaći koordinate točke koja je simetrična točki u odnosu na pravac . Predlažem da radnje izvršite sami, međutim, opisat ću algoritam rješenja s međurezultatima:

1) Pronađite pravac koji je okomit na pravac.

2) Pronađite točku sjecišta pravaca: .

Obje radnje se detaljno razmatraju u ovoj lekciji.

3) Točka je središte odsječka. Znamo koordinate sredine i jednog od krajeva. Po formule za koordinate sredine segmenta pronaći .

Neće biti suvišno provjeriti je li udaljenost također jednaka 2,2 jedinice.

Ovdje se mogu pojaviti poteškoće u izračunima, ali u tornju mikrokalkulator puno pomaže, omogućujući vam da brojite obične razlomke. Savjetovao sam mnogo puta i preporučit ću opet.

Kako pronaći udaljenost između dvije paralelne crte?

Primjer 9

Nađi udaljenost između dvije paralelne crte

Ovo je još jedan primjer neovisnog rješenja. Mali savjet: postoji beskonačno mnogo načina za rješavanje. Ispitivanje na kraju lekcije, ali bolje pokušajte sami pogoditi, mislim da ste uspjeli dobro raspršiti svoju domišljatost.

Kut između dva pravca

Kakav ugao, takav dovratnik:

U geometriji se kut između dviju ravnih crta uzima kao MANI kut, iz čega automatski proizlazi da ne može biti tup. Na slici se kut označen crvenim lukom ne smatra kutom između linija koje se sijeku. I njegov “zeleni” susjed ili suprotno orijentiran grimizni kutak.

Ako su pravci okomiti, tada se bilo koji od 4 kuta može uzeti kao kut između njih.

Kako se razlikuju kutovi? Orijentacija. Prvo, smjer "klizanja" ugla je temeljno važan. Drugo, negativno orijentirani kut se piše sa znakom minus, na primjer, ako .

Zašto sam ovo rekao? Čini se da se možete snaći s uobičajenim konceptom kuta. Činjenica je da se u formulama kojima ćemo pronaći kutove vrlo lako može dobiti negativan rezultat, što vas ne bi trebalo iznenaditi. Kut s predznakom minus nije ništa gori i ima vrlo specifično geometrijsko značenje. Na crtežu za negativni kut potrebno je strelicom označiti njegovu orijentaciju (u smjeru kazaljke na satu).

Kako pronaći kut između dva pravca? Postoje dvije radne formule:

Primjer 10

Pronađite kut između pravaca

Riješenje I Prva metoda

Razmotrite dvije linije dane jednadžbama V opći pogled:

Ako je ravno nije okomito, To orijentiran kut između njih može se izračunati pomoću formule:

Obratimo pozornost na nazivnik - to je točno skalarni proizvod vektori smjera ravnih linija:

Ako je , tada nazivnik formule nestaje, a vektori će biti ortogonalni, a pravci će biti okomiti. Zato je napravljena rezerva oko neokomitosti linija u formulaciji.

Na temelju prethodno navedenog, rješenje je praktično formalizirano u dva koraka:

1) Izračunajte skalarni umnožak vektora usmjeravanja ravnih linija:
pa linije nisu okomite.

2) Kut između linija nalazimo formulom:

Pomoću inverzna funkcija lako pronaći sam kutak. U ovom slučaju koristimo neparnost arc tangensa (vidi sl. Grafovi i svojstva elementarnih funkcija):

Odgovor:

U odgovoru navodimo točnu vrijednost, kao i približnu vrijednost (po mogućnosti iu stupnjevima iu radijanima), izračunatu pomoću kalkulatora.

Pa minus, pa minus, nema veze. Evo geometrijske ilustracije:

Nije iznenađujuće da je kut ispao negativne orijentacije, jer je u uvjetu zadatka prvi broj ravna crta i "uvijanje" kuta je počelo upravo od nje.

Ako stvarno želite dobiti pozitivan kut, trebate zamijeniti ravne linije, odnosno uzeti koeficijente iz druge jednadžbe , te uzmite koeficijente iz prve jednadžbe. Ukratko, morate početi s izravnim .

Uputa

Bilješka

Period tangente trigonometrijske funkcije je 180 stupnjeva, što znači da kutovi nagiba ravnih pravaca u apsolutnoj vrijednosti ne mogu biti veći od te vrijednosti.

Koristan savjet

Ako su koeficijenti nagiba međusobno jednaki, tada je kut između takvih linija 0, budući da se takve linije podudaraju ili su paralelne.

Za određivanje kuta između linija koje se križaju potrebno je obje linije (ili jednu od njih) prenijeti u novi položaj metodom paralelnog prijenosa do sjecišta. Nakon toga trebali biste pronaći kut između dobivenih linija koje se presijecaju.

Trebat će vam

Ravnalo, pravokutni trokut, olovka, kutomjer.

Uputa

Dakle, neka je zadan vektor V = (a, b, c) i ravnina A x + B y + C z = 0, gdje su A, B i C koordinate normale N. Tada je kosinus kuta α između vektora V i N je: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

Da biste izračunali vrijednost kuta u stupnjevima ili radijanima, trebate izračunati funkciju inverznu kosinusu iz dobivenog izraza, tj. arkosinus: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Primjer: pronaći kutak između vektor(5, -3, 8) i avion, dano opća jednadžba 2 x - 5 y + 3 z = 0. Rješenje: zapišite koordinate vektora normale ravnine N = (2, -5, 3). Zamijenite sve poznate vrijednosti u gornjoj formuli: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Povezani Videi

Ravna crta koja ima jedan s krugom zajednička točka, je tangenta na krug. Druga značajka tangente je da je uvijek okomita na radijus povučen na točku dodira, odnosno da tangenta i radijus čine ravnu liniju kutak. Ako su iz jedne točke A povučene dvije tangente na kružnicu AB i AC, tada su one uvijek međusobno jednake. Definicija kuta između tangenti ( kutak ABC) se proizvodi korištenjem Pitagorinog teorema.

Uputa

Za određivanje kuta potrebno je znati polumjer kružnice OB i OS te udaljenost ishodišta tangente od središta kružnice - O. Dakle, kutovi ABO i ACO su jednaki, polumjer OB , npr. 10 cm, a udaljenost do središta kružnice AO je 15 cm Duljinu tangente odredite formulom u skladu s Pitagorinim poučkom: AB = Korijen od AO2 - OB2 ili 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

kutak između ravnih linija u prostoru nazvat ćemo bilo koji od susjednih kutova što ih tvore dvije prave povučene kroz proizvoljnu točku paralelnu s podatkom.

Neka su u prostoru date dvije ravne linije:

Očito, kut φ između pravaca može se uzeti kao kut između njihovih vektora smjera i . Budući da , onda prema formuli za kosinus kuta između vektora dobivamo

Uvjeti paralelnosti i okomitosti dvaju pravaca ekvivalentni su uvjetima paralelnosti i okomitosti njihovih vektora smjera i:

Dva ravno su paralelni ako i samo ako su njihovi odgovarajući koeficijenti proporcionalni, tj. l 1 paralelno l 2 ako i samo ako je paralelan .

Dva ravno okomito ako i samo ako je zbroj umnožaka odgovarajućih koeficijenata jednak nuli: .

Na cilj između pravca i ravnine

Neka linija d- nije okomito na ravninu θ;
d′− projekcija pravca d na ravninu θ;
Najmanji kut između ravnih linija d I d'nazvat ćemo kut između pravca i ravnine.
Označimo to kao φ=( d,θ)
Ako d⊥θ , tada ( d,θ)=π/2

oi→j→k→− pravokutni sustav koordinate.
Jednadžba ravnine:

θ: Sjekira+Po+cz+D=0

Smatramo da je pravac zadan točkom i vektorom smjera: d[M 0,str→]
Vektor n→(A,B,C)⊥θ
Zatim ostaje saznati kut između vektora n→ i str→, označimo kao γ=( n→,str→).

Ako je kut γ<π/2 , то искомый угол φ=π/2−γ .

Ako je kut γ>π/2 , tada je traženi kut φ=γ−π/2

sinφ=sin(2π−γ)=cosγ

sinφ=sin(γ−2π)=−cosγ

Zatim, kut između pravca i ravnine može se izračunati pomoću formule:

sinφ=∣cosγ∣=∣ ∣ Ap 1+bp 2+cp 3∣ ∣ √A 2+B 2+C 2√str 21+str 22+str 23

Pitanje 29. Pojam kvadratne forme. Predznak određenosti kvadratnih oblika.

Kvadratni oblik j (x 1, x 2, ..., x n) n realnih varijabli x 1, x 2, ..., x n naziva se suma oblika
, (1)

Gdje aij su neki brojevi koji se nazivaju koeficijenti. Bez gubitka općenitosti, možemo pretpostaviti da aij = a ji.

Kvadratni oblik se zove vrijedi, Ako aij O GR. Matrica kvadratnog oblika naziva se matrica sastavljena od njegovih koeficijenata. Kvadratni oblik (1) odgovara jedinstvenoj simetričnoj matrici
tj. A T = A. Stoga se kvadratni oblik (1) može napisati u matričnom obliku j ( x) = x T Ah, Gdje x T = (x 1 x 2 … x n). (2)

I obrnuto, svaka simetrična matrica (2) odgovara jedinstvenom kvadratnom obliku do zapisa varijabli.

Rang kvadratnog oblika naziva se rang njegove matrice. Kvadratni oblik se zove nedegeneriran, ako je njegova matrica nesingularna A. (podsjetimo se da je matrica A naziva se nedegeneriranim ako mu je determinanta različita od nule). U suprotnom, kvadratna forma je degenerirana.

pozitivno određen(ili strogo pozitivno) ako

j ( x) > 0 , za bilo koga x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).

Matrica A pozitivno određeni kvadratni oblik j ( x) naziva se i pozitivno određeno. Prema tome, pozitivno određena kvadratna forma odgovara jedinstvenoj pozitivno određenoj matrici i obrnuto.

Kvadratni oblik (1) naziva se negativno određen(ili strogo negativno) ako

j ( x) < 0, для любого x = (x 1 , x 2 , …, x n), osim x = (0, 0, …, 0).

Slično kao gore, negativno-određena kvadratna matrica također se naziva negativno-određena.

Dakle, pozitivno (negativno) određena kvadratna forma j ( x) dostiže minimalnu (maksimalnu) vrijednost j ( X*) = 0 za X* = (0, 0, …, 0).

Imajte na umu da većina kvadratni oblici nisu predznačno određeni, odnosno nisu ni pozitivni ni negativni. Takvi kvadratni oblici nestaju ne samo u ishodištu koordinatnog sustava, već iu drugim točkama.

Kada n> 2, potrebni su posebni kriteriji za provjeru predznaka definiranosti kvadratnog oblika. Razmotrimo ih.

Major Minors kvadratni oblik nazivamo minorima:

odnosno radi se o minorima reda 1, 2, …, n matrice A, koji se nalazi u gornjem lijevom kutu, posljednji od njih podudara se s determinantom matrice A.

Kriterij pozitivne određenosti (Sylvesterov kriterij)

x) = x T Ah je pozitivno određena, potrebno je i dovoljno da svi glavni minori matrice A bili pozitivni, odnosno: M 1 > 0, M 2 > 0, …, M n > 0. Kriterij negativne izvjesnosti Da bi kvadratni oblik j ( x) = x T Ah je negativno određen, potrebno je i dovoljno da su njegovi glavni minori parnog reda pozitivni, a neparnog reda negativni, tj. M 1 < 0, M 2 > 0, M 3 < 0, …, (–1)n

Uz pomoć ovoga online kalkulator pronaći kut između linija. dano detaljno rješenje s objašnjenjima. Za izračun kuta između pravaca postavite dimenziju (2-ako se ravna crta razmatra na ravnini, 3- ako se ravna crta razmatra u prostoru), unesite elemente jednadžbe u ćelije i kliknite na " gumb Riješi". Pogledajte teorijski dio u nastavku.

Upozorenje

Očistiti sve ćelije?

Zatvori Clear

Uputa za unos podataka. Brojevi se unose kao cijeli brojevi (primjeri: 487, 5, -7623 itd.), decimalni brojevi (npr. 67., 102,54 itd.) ili razlomci. Razlomak mora biti upisan u obliku a/b, gdje su a i b (b>0) cijeli brojevi ili decimalni brojevi. Primjeri 45/5, 6,6/76,4, -7/6,7 itd.

1. Kut između pravaca u ravnini

Pravci su dani kanonskim jednadžbama

1.1. Određivanje kuta između pravaca

Neka linije budu u dvodimenzionalnom prostoru L 1 i L

Dakle, iz formule (1.4) može se pronaći kut između pravaca L 1 i L 2. Kao što se može vidjeti na slici 1, linije koje se sijeku tvore susjedne kutove φ I φ 1 . Ako je pronađeni kut veći od 90°, tada možete pronaći najmanji kut između linija L 1 i L 2: φ 1 =180-φ .

Iz formule (1.4) mogu se izvesti uvjeti paralelnosti i okomitosti dviju ravnih linija.

Primjer 1. Odredite kut između pravaca

Pojednostavimo i riješimo: