TRABAJO DEL CURSO

TEORÍA DE LA ESTADÍSTICA

Sobre el tema: Promedios

Completado por: Número de grupo: STP - 72

Yunusova Gulnazia Chamilevna

Comprobado por: Pendiente Lyudmila Konstantinovna

Introducción

1. La esencia de los promedios, principios generales aplicaciones

2. Tipos de promedios y su alcance

2.1 Promedios de potencia

2.1.1 Media aritmética

2.1.2 Media armónica

2.1.3 Media geométrica

2.1.4 valor eficaz

2.2. Promedios estructurales

2.2.1 Mediana

3. Requisitos metodológicos básicos para el correcto cálculo de promedios

Conclusión

Lista de literatura usada

Introducción

Historia aplicación práctica promedio tiene decenas de siglos. El propósito principal de calcular el promedio era estudiar las proporciones entre cantidades. La importancia de calcular promedios ha aumentado en relación con el desarrollo de la teoría de la probabilidad y la estadística matemática. La solución de muchos problemas teóricos y prácticos sería imposible sin calcular el promedio y evaluar la fluctuación de los valores individuales del atributo.

Científicos de diferentes direcciones buscaron definir el promedio. Por ejemplo, el destacado matemático francés O. L. Cauchy (1789 - 1857) creía que el promedio de varias cantidades es un nuevo valor, que se encuentra entre la menor y la mayor de las cantidades consideradas.

Sin embargo, el estadístico belga A. Quetelet (1796 - 1874) debe ser considerado el creador de la teoría de los promedios. Hizo un intento de determinar la naturaleza de los valores medios y las regularidades que se manifiestan en ellos. Según Quetelet, causas permanentes actuar de la misma manera (constantemente) sobre cada fenómeno en estudio. Son ellos quienes hacen que estos fenómenos sean similares entre sí, crean patrones comunes para todos ellos.

Una consecuencia de las enseñanzas de A. Quetelet sobre las causas generales e individuales fue la asignación de valores promedio como principal método de análisis estadístico. Hizo hincapié en que los promedios estadísticos no son solo una medida de medición matemática, sino una categoría de la realidad objetiva. Identificó un promedio típico, realmente existente con un valor verdadero, cuyas desviaciones solo pueden ser aleatorias.

Una expresión vívida de la visión declarada del promedio es su teoría de la "persona promedio", es decir, una persona de altura, peso, fuerza, volumen promedio pecho, capacidad pulmonar, agudeza visual media y complexión normal. Los promedios caracterizan el tipo "verdadero" de una persona, todas las desviaciones de este tipo indican fealdad o enfermedad.

Las opiniones de A. Quetelet se desarrollaron aún más en los trabajos del estadístico alemán V. Lexis (1837 - 1914).

Otra versión de la teoría idealista de los promedios se basa en la filosofía del machismo. Su fundador fue el estadístico inglés A. Bowley (1869 - 1957). En el medio vio el camino más descripción sencilla características cuantitativas del fenómeno. Al definir el significado de los promedios o, como él dice, "su función", Bowley pone de relieve el principio de pensamiento de Mach. Así, escribió que la función de los promedios es clara: consiste en expresar un grupo complejo con la ayuda de unos pocos números primos. La mente no puede captar inmediatamente las magnitudes de millones de estadísticas; deben agruparse, simplificarse, promediarse.

El seguidor de A. Quetelet fue el estadístico italiano C. Gini (1884-1965), autor de la gran monografía "Valores medios". K.Gini criticó la definición del promedio dada por el estadístico soviético A.Ya. . Boyarsky, y formuló el suyo propio: “El promedio de varios valores es el resultado de las acciones realizadas sobre estos valores de acuerdo con una regla determinada, y es uno de estos valores, que es ni más ni menos que todos los otros (el promedio real o efectivo), o algunos un nuevo valor intermedio entre el menor y el mayor de los valores dados (promedio de conteo).

En esto Papel a plazo consideraremos en detalle los principales problemas de la teoría de los promedios. En el primer capítulo, revelaremos la esencia de los promedios y los principios generales de aplicación. En el segundo capítulo, consideraremos los tipos de promedios y el alcance de su aplicación en ejemplos concretos. El tercer capítulo considerará los principales requisitos metodológicos para el cálculo de promedios.

1. La esencia de los promedios, principios generales de aplicación.

Los promedios son una de las estadísticas de resumen más comunes. Su objetivo es caracterizar por un número una población estadística que consta de una minoría de unidades. Los valores medios están estrechamente relacionados con la ley de los grandes números. La esencia de esta dependencia radica en el hecho de que, con un gran número de observaciones, las desviaciones aleatorias de las estadísticas generales se anulan entre sí y, en promedio, se obtiene una regularidad estadística. más claramente manifestado.

El valor medio es un indicador generalizador que caracteriza el nivel típico del fenómeno en condiciones específicas de lugar y tiempo. Expresa el nivel de la característica, típica de cada unidad de población.

El promedio es una característica objetiva sólo para fenómenos homogéneos. Los promedios para poblaciones heterogéneas se denominan de barrido y solo se pueden usar en combinación con promedios parciales de poblaciones homogéneas.

El promedio se utiliza en estudios estadísticos para evaluar el nivel actual de un fenómeno, para comparar varias poblaciones sobre la misma base entre sí, para estudiar la dinámica del desarrollo del fenómeno en estudio a lo largo del tiempo, para estudiar la relación de los fenómenos.

Los promedios se utilizan ampliamente en varios cálculos financieros planificados y pronosticados.

El valor principal de los valores promedio es su función de generalización, es decir. reemplazo de un conjunto de diferentes valores individuales de una característica por un valor promedio que caracteriza a todo el conjunto de fenómenos. Todos conocen las características del desarrollo de la gente moderna, que se manifiestan, entre otras cosas, en el mayor crecimiento de los hijos en comparación con los padres, las hijas en comparación con las madres a la misma edad. Pero, ¿cómo medir este fenómeno?

En diferentes familias, hay proporciones muy diferentes del crecimiento de las generaciones más viejas y más jóvenes. No todo hijo es superior a su padre, y no toda hija es superior a su madre. Pero si medimos la altura promedio de muchos miles de personas, entonces por la altura promedio de los hijos y padres, hijas y madres, uno puede establecer con precisión tanto el hecho mismo de la aceleración como el aumento promedio típico en el crecimiento en una generación.

Para la producción de la misma cantidad de bienes de cierto tipo y calidad. diferentes fabricantes(fábricas, empresas) gastan cantidades desiguales de mano de obra y recursos materiales. Pero el mercado promedia estos costos, y el costo de los bienes está determinado por el consumo promedio de recursos para la producción.

Clima en un punto determinado el mundo el mismo dia en diferentes años puede ser muy diferente. Por ejemplo, en San Petersburgo el 31 de marzo, la temperatura del aire durante más de cien años de observaciones varió de -20,1° en 1883 a +12,24° en 1920. Aproximadamente las mismas fluctuaciones ocurren en otros días del año. Según tales datos meteorológicos individuales en cualquier año arbitrario, es imposible tener una idea del clima de San Petersburgo. Las características del clima son el promedio de un largo período características climáticas: temperatura del aire, humedad, velocidad del viento, cantidad de precipitación, número de horas de sol por semana, mes y todo el año, etc.

Si el valor promedio generaliza valores cualitativamente homogéneos de un rasgo, entonces es una característica típica de un rasgo en una población determinada. Entonces, podemos hablar de medir el crecimiento típico de las niñas rusas nacidas en 1973 cuando cumplen 20 años. Una característica típica será la producción promedio de leche de las vacas Black-and-White en el primer año de lactancia a una tasa de alimentación de 12,5 unidades de alimentación por día.

Sin embargo, es erróneo reducir el papel de los valores medios únicamente a las características de valores típicos de rasgos en poblaciones que son homogéneas en cuanto a este rasgo. En la práctica, las estadísticas modernas usan con mucha más frecuencia valores promedio que generalizan fenómenos obviamente heterogéneos, como, por ejemplo, el rendimiento de todos los cultivos de cereales en toda Rusia. O considere un promedio como el consumo promedio de carne per cápita: después de todo, entre esta población hay niños menores de un año que no consumen carne en absoluto, y vegetarianos, norteños y sureños, mineros, atletas y jubilados. Aún más clara es la atipicidad de un indicador promedio como el ingreso nacional promedio producido per cápita.

Ingreso nacional promedio per cápita, rendimiento promedio de granos en todo el país, consumo promedio diferentes productos nutrición: estas son las características del estado como un solo sistema económico, estos son los llamados promedios del sistema.

Los promedios del sistema pueden caracterizar tanto sistemas espaciales u objetos que existen simultáneamente (estado, industria, región, planeta Tierra, etc.) como sistemas dinámicos extendidos en el tiempo (año, década, estación, etc.).

Un ejemplo de promedio del sistema que caracteriza un período de tiempo es temperatura media aire en San Petersburgo para 1992, igual a +6,3 °. Este promedio resume las temperaturas extremadamente heterogéneas de los días y noches heladas de invierno, los días calurosos de verano, la primavera y el otoño. 1992 fue un año cálido, su temperatura promedio no es típica de San Petersburgo. Como promedio anual típico de la temperatura del aire en la ciudad, se debe usar el promedio a largo plazo, por ejemplo, durante 30 años desde 1963 hasta 1992, que es igual a +5,05°. Este promedio es un promedio típico, ya que generaliza cantidades homogéneas; temperaturas medias anuales de un mismo punto geográfico, variando a lo largo de 30 años de +2,90° en 1976 a +7,44° en 1989

Método de promedios

3.1 Esencia y significado de los promedios en estadística. Tipos de promedios

Valor promedio en estadística, se denomina característica generalizada de fenómenos y procesos cualitativamente homogéneos según algún atributo variable, que muestra el nivel del atributo, relacionado con la unidad de la población. valor promedio abstracto, porque caracteriza el valor del atributo para alguna unidad impersonal de la población.Esencia de magnitud media reside en el hecho de que lo general y necesario, es decir, la tendencia y regularidad en el desarrollo de los fenómenos de masa, se revelan a través de lo individual y lo accidental. Las características que se resumen en valores promedio son inherentes a todas las unidades de la población.. Debido a esto, el valor promedio es de gran importancia para identificar patrones inherentes a fenómenos masivos y no perceptibles en unidades individuales de la población.

Principios generales para el uso de promedios:

es necesaria una elección razonable de la unidad de población para la que se calcula el valor medio;

al determinar el valor promedio, es necesario partir del contenido cualitativo del rasgo promediado, tener en cuenta la relación de los rasgos estudiados, así como los datos disponibles para el cálculo;

los valores promedio deben calcularse de acuerdo con agregados cualitativamente homogéneos, que se obtienen mediante el método de agrupación, que implica el cálculo de un sistema de indicadores generalizadores;

los promedios generales deben estar respaldados por promedios grupales.

Según la naturaleza de los datos primarios, el alcance y el método de cálculo en estadística, se distinguen los siguientes: principales tipos de promedios:

1) promedios de potencia(media aritmética, armónica, geométrica, cuadrática media y cúbica);

2) promedios estructurales (no paramétricos)(moda y mediana).

En estadística, la caracterización correcta de la población objeto de estudio sobre la base de características variables en cada caso individual viene dada únicamente por un tipo bien definido de promedio. La cuestión de qué tipo de promedio se debe aplicar en un caso particular se resuelve mediante un análisis específico de la población en estudio, así como también se basa en el principio de significatividad de los resultados al momento de resumir o pesar. Estos y otros principios se expresan en estadísticas la teoría de los promedios.

Por ejemplo, la media aritmética y la media armónica se utilizan para caracterizar el valor medio de un rasgo variable en la población que se estudia. La media geométrica se usa solo cuando se calcula la tasa promedio de dinámica, y el cuadrado medio solo cuando se calculan los indicadores de variación.

Las fórmulas para calcular los valores promedio se presentan en la Tabla 3.1.

Tabla 3.1 - Fórmulas para el cálculo de valores medios

Designaciones:- cantidades para las que se calcula el promedio; - promedio, donde la línea superior indica que se realiza el promedio de valores individuales; - frecuencia (repetibilidad de valores de rasgos individuales).

Obviamente, diferentes promedios se derivan de la fórmula general para la potencia media (3.1) :

, (3.1)

para k = + 1 - media aritmética; k = -1 - media armónica; k = 0 - media geométrica; k = +2 - raíz cuadrada media.

Los promedios son simples o ponderados. promedios ponderados se denominan valores que tienen en cuenta que algunas variantes de los valores de los atributos pueden tener números diferentes; en este sentido, cada opción tiene que ser multiplicada por este número. Los "pesos" en este caso son el número de unidades de la población en diferentes grupos, es decir. cada opción es "ponderada" por su frecuencia. La frecuencia f se llama peso estadístico o peso promedio.

Eventualmente elección correcta de la media asume la siguiente secuencia:

a) el establecimiento de un indicador generalizador de la población;

b) determinación de una relación matemática de valores para un indicador generalizador dado;

c) sustitución de valores individuales por valores medios;

d) cálculo del promedio utilizando la ecuación correspondiente.

3.2 Media aritmética y sus propiedades y técnica de cálculo. armónico medio

Significado aritmetico- el tipo más común de tamaño mediano; se calcula en aquellos casos en que el volumen del atributo promediado se forma como la suma de sus valores para unidades individuales de la población estadística estudiada.

Las propiedades más importantes significado aritmetico :

1. El producto de la media y la suma de las frecuencias siempre es igual a la suma de los productos de la variante (valores individuales) y las frecuencias.

2. Si se resta (agrega) cualquier número arbitrario de cada opción, entonces el nuevo promedio disminuirá (aumentará) en el mismo número.

3. Si cada opción se multiplica (divide) por algún número arbitrario, entonces el nuevo promedio aumentará (disminuirá) en la misma cantidad

4. Si todas las frecuencias (pesos) se dividen o multiplican por cualquier número, entonces la media aritmética no cambiará.

5. La suma de las desviaciones de las opciones individuales de la media aritmética siempre es cero.

Es posible restar un valor constante arbitrario de todos los valores del atributo (mejor es el valor de la opción intermedia o las opciones con la frecuencia más alta), reducir las diferencias resultantes por un factor común (preferiblemente por el valor del intervalo ), y exprese las frecuencias en particular (en porcentaje) y multiplique el promedio calculado por el factor común y agregue un valor constante arbitrario. Este método para calcular la media aritmética se llama método de cálculo a partir del cero condicional .

Significado geometrico encuentra su aplicación en la determinación de la tasa de crecimiento promedio (promedio de tasas de crecimiento), cuando los valores individuales del rasgo se presentan como valores relativos. También se usa si es necesario encontrar el promedio entre los valores mínimo y máximo de una característica (por ejemplo, entre 100 y 1000000).

media cuadrática se utiliza para medir la variación de un rasgo en la población (cálculo de la desviación estándar).

En estadística funciona Regla de la mayoría para los medios:

daño X.< Х геом. < Х арифм. < Х квадр. < Х куб.

3.3 Medias estructurales (moda y mediana)

Para determinar la estructura de la población se utilizan promedios especiales, que incluyen la mediana y la moda, o los llamados promedios estructurales. Si la media aritmética se calcula sobre la base del uso de todas las variantes de los valores de los atributos, la mediana y la moda caracterizan el valor de la variante que ocupa una determinada posición media en la serie de variaciones clasificadas.

Moda- el valor más típico y más frecuente de la función. Para serie discreta el modo será el de mayor frecuencia. Para definir la moda serie de intervalos primero determine el intervalo modal (intervalo que tiene la frecuencia más alta). Luego, dentro de este intervalo, se encuentra el valor de la característica, que puede ser una moda.

Para encontrar un valor específico de la moda de la serie de intervalos, es necesario usar la fórmula (3.2)

(3.2)

donde X Mo es el límite inferior del intervalo modal; i Mo - el valor del intervalo modal; f Mo es la frecuencia del intervalo modal; f Mo-1 - la frecuencia del intervalo que precede al modal; f Mo+1 - la frecuencia del intervalo que sigue al modal.

La moda es ampliamente utilizada en actividades de marketing en el estudio de la demanda de los consumidores, especialmente para determinar las tallas de ropa y zapatos que tienen mayor demanda, al tiempo que regula la política de precios.

Mediana - el valor del atributo variable, que se encuentra en el medio de la población a distancia. Para serie clasificada con un número impar valores individuales (por ejemplo, 1, 2, 3, 6, 7, 9, 10) la mediana será el valor que se ubica en el centro de la serie, es decir el cuarto valor es 6. Para serie clasificada con un número par valores individuales (por ejemplo, 1, 5, 7, 10, 11, 14) la mediana será el valor medio aritmético, que se calcula a partir de dos valores adyacentes. Para nuestro caso, la mediana es (7+10)/2= 8,5.

Por lo tanto, para encontrar la mediana, primero es necesario determinar su número ordinal (su posición en la serie clasificada) usando las fórmulas (3.3):

(si no hay frecuencias)

norte yo=
(si hay frecuencias) (3.3)

donde n es el número de unidades en la población.

El valor numérico de la mediana. serie de intervalos determinado por las frecuencias acumuladas en una serie variacional discreta. Para hacer esto, primero debe especificar el intervalo para encontrar la mediana en la serie de intervalos de la distribución. La mediana es el primer intervalo donde la suma de las frecuencias acumuladas supera la mitad del número total de observaciones.

El valor numérico de la mediana suele estar determinado por la fórmula (3.4)

(3.4)

donde x Me - el límite inferior del intervalo mediano; iMe - el valor del intervalo; SMe -1 - la frecuencia acumulada del intervalo que precede a la mediana; fMe es la frecuencia del intervalo mediano.

Dentro del intervalo encontrado, la mediana también se calcula usando la fórmula Me = SG e, donde el segundo factor en el lado derecho de la ecuación muestra la ubicación de la mediana dentro del intervalo de la mediana, y x es la longitud de este intervalo. La mediana divide la serie de variación por la mitad por la frecuencia. Definir más cuartiles , que dividen la serie de variación en 4 partes de igual tamaño en probabilidad, y deciles dividiendo la serie en 10 partes iguales.

Este capítulo describe el propósito de los valores promedio, analiza sus principales tipos y formas, y el método de cálculo. Al estudiar el material presentado, es necesario conocer los requisitos para la construcción de valores promedio, ya que su observancia permite usar estos valores como características típicas de los valores característicos para un conjunto de unidades homogéneas.

Formas y tipos de promedios.

valor promedio es una característica generalizada del nivel de valores de los atributos, que se obtiene por unidad de población. A diferencia del valor relativo, que es una medida de la relación de indicadores, el valor medio sirve como medida de una característica por unidad de población.

La propiedad más importante del valor medio es que refleja el común que es inherente a todas las unidades de la población objeto de estudio.

Los valores del atributo de las unidades individuales de la población fluctúan en una u otra dirección bajo la influencia de muchos factores, entre los que puede haber significativos y aleatorios. Por ejemplo, las tasas de interés de los préstamos bancarios están determinadas por los factores iniciales para todas las instituciones de crédito (el nivel de los requisitos de reserva y la tasa de interés base para los préstamos otorgados a los bancos comerciales por el banco central, etc.), así como las características de cada operación concreta, en función del riesgo inherente a dicho préstamo, su tamaño y vencimiento, los costes de obtención de un préstamo y el seguimiento de su devolución, etc.

El valor medio resume los valores individuales del atributo y refleja la influencia de las condiciones generales más características de esta población en condiciones específicas de lugar y tiempo. La esencia del promedio radica en el hecho de que anula las desviaciones de los valores del atributo de las unidades individuales de la población, debido a la acción de factores aleatorios, y tiene en cuenta los cambios provocados por la acción de los factores principales El valor medio reflejará el nivel típico del rasgo en una determinada población de unidades cuando se calcula a partir de una población cualitativamente homogénea. En este sentido, el método de promedios se utiliza en combinación con el método de agrupaciones.

Los valores medios que caracterizan a la población en su conjunto se denominan general, y los promedios, que reflejan la peculiaridad de un grupo o subgrupo, - grupo.

La combinación de promedios generales y grupales permite comparaciones en tiempo y espacio, y amplía significativamente los límites del análisis estadístico. Por ejemplo, al resumir los resultados del censo de 2002, se encontró que Rusia, como la mayoría de los países europeos, se caracteriza por el envejecimiento de la población. en comparación con el censo de 1989. edad promedio la población del país aumentó en tres años y ascendió a 37,7 años, hombres - 35,2 años, mujeres - 40,0 años (según datos de 1989, estas cifras fueron 34,7, 31,9 y 37,2 años, respectivamente). Según Rosstat, la esperanza de vida al nacer en 2011 es de 63 años para los hombres y de 75,6 años para las mujeres.

Cada promedio refleja la peculiaridad de la población estudiada según algún atributo. Para tomar decisiones prácticas, por regla general, es necesario caracterizar a la población según varios criterios. En este caso, se utiliza un sistema de promedios.

Por ejemplo, para lograr el nivel adecuado de rentabilidad de las operaciones con un nivel de riesgo bancario aceptable, las tasas de interés promedio de los préstamos emitidos se fijan teniendo en cuenta las tasas de interés promedio de los depósitos y otros instrumentos financieros.

La forma, el tipo y el método de cálculo del valor medio dependen del objetivo del estudio, el tipo y la relación de las características estudiadas, así como de la naturaleza de los datos iniciales. Los promedios se dividen en dos categorías principales:

• 1) promedios de potencia;
• 2) promedios estructurales.

La fórmula media está determinada por el valor de potencia de la media que se aplica. Con un aumento en el exponente k el promedio aumenta en consecuencia.

Para analizar y obtener conclusiones estadísticas sobre el resultado del resumen y agrupación, se calculan indicadores generalizadores - promedio y valores relativos.

El problema de los promedios - caracterizar todas las unidades de la población estadística con un valor del atributo.

Los valores medios se caracterizan por indicadores cualitativos. actividad empresarial: costes de distribución, beneficio, rentabilidad, etc.

valor promedio- esta es una característica generalizadora de las unidades de la población según algún atributo variable.

Los valores promedio permiten comparar los niveles de un mismo rasgo en diferentes poblaciones y encontrar las razones de estas discrepancias.

En el análisis de los fenómenos objeto de estudio, el papel de los valores medios es enorme. El economista inglés W. Petty (1623-1687) hizo un amplio uso de los promedios. V. Petty quería usar valores promedio como una medida del costo del gasto en la subsistencia diaria promedio de un trabajador. La estabilidad del valor promedio es un reflejo de los patrones de los procesos en estudio. Él creía que la información se puede transformar incluso si no hay suficientes datos iniciales.

El científico inglés G. King (1648-1712) utilizó valores medios y relativos al analizar datos sobre la población de Inglaterra.

Los desarrollos teóricos del estadístico belga A. Quetelet (1796-1874) se basan en la inconsistencia de la naturaleza Fenómeno social- altamente estable en masa, pero puramente individual.

Según A. Quetelet, las causas permanentes actúan de la misma manera sobre cada fenómeno objeto de estudio y hacen que estos fenómenos sean similares entre sí, creando patrones comunes a todos ellos.

Una consecuencia de las enseñanzas de A. Quetelet fue la asignación de valores medios como principal método de análisis estadístico. Dijo que los promedios estadísticos no son una categoría de la realidad objetiva.

A. Quetelet expresó sus puntos de vista sobre el promedio en su teoría de la persona promedio. Una persona promedio es una persona que tiene todas las cualidades en un tamaño promedio (tasa de mortalidad o natalidad promedio, altura y peso promedio, velocidad de carrera promedio, propensión promedio al matrimonio y al suicidio, buenas acciones etc.). Por A. Quetelet persona normal es el ideal del hombre. La inconsistencia de la teoría de la persona promedio de A. Quetelet se demostró en la literatura estadística rusa en finales del XIX-XX siglos

El conocido estadístico ruso Yu. E. Yanson (1835-1893) escribió que A. Quetelet asume la existencia en la naturaleza del tipo de persona promedio como algo dado, de lo cual la vida ha rechazado a la gente promedio de una sociedad dada y un tiempo dado, y esto lo lleva a una visión completamente mecánica de las leyes del movimiento de la vida social: el movimiento es un aumento gradual en las propiedades promedio de una persona, una restauración gradual de un tipo; en consecuencia, tal nivelación de todas las manifestaciones de la vida del cuerpo social, más allá de la cual cesa cualquier movimiento hacia adelante.

La esencia de esta teoría ha encontrado su mayor desarrollo en los trabajos de varios teóricos estadísticos como la teoría de los valores verdaderos. A. Quetelet tuvo seguidores: el economista y estadístico alemán W. Lexis (1837-1914), quien transfirió la teoría de los valores verdaderos a los fenómenos económicos de la vida social. Su teoría es conocida como la teoría de la estabilidad. Otra versión de la teoría idealista de los promedios se basa en la filosofía

Su fundador es el estadístico inglés A. Bowley (1869-1957), uno de los teóricos más destacados de los tiempos modernos en el campo de la teoría de los promedios. Su concepto de promedios se describe en el libro "Elementos de Estadística".

A. Bowley considera los promedios solo desde el punto de vista cuantitativo, separando así la cantidad de la calidad. Al determinar el significado de los valores promedio (o "su función"), A. Bowley presenta el principio de pensamiento machista. A. Bowley escribió que la función de promedios debe expresar un grupo complejo

con algunos números primos. Los datos estadísticos deben simplificarse, agruparse y promediarse.Estas opiniones fueron compartidas por R. Fisher (1890-1968), J. Yule (1871-1951), Frederick S. Mills (1892) y otros.

En los años 30. siglo 20 y años posteriores, el valor medio se considera como una característica socialmente significativa, cuyo contenido de información depende de la homogeneidad de los datos.

Los representantes más destacados de la escuela italiana R. Benini (1862-1956) y C. Gini (1884-1965), considerando la estadística como una rama de la lógica, ampliaron el alcance de la inducción estadística, pero asociaron los principios cognitivos de la lógica y estadísticas con la naturaleza de los fenómenos estudiados, siguiendo las tradiciones de la interpretación sociológica de las estadísticas.

En las obras de K. Marx y V. I. Lenin, se asigna un papel especial a los valores promedio.

K. Marx argumentó que las desviaciones individuales del nivel general se cancelan en el valor promedio y el nivel promedio se convierte en una característica generalizadora del fenómeno de masas. El valor promedio se convierte en tal característica del fenómeno de masas solo si se toma un número significativo de unidades. y estas unidades son cualitativamente homogéneas. Marx escribió que el valor promedio encontrado era el promedio de "... muchos valores individuales diferentes del mismo tipo".

El valor medio adquiere especial significación en condiciones economía de mercado. Ayuda a determinar la necesaria y general, la tendencia de las leyes del desarrollo económico directamente a través del individuo y al azar.

Valores promedio son indicadores generalizadores en los que se expresa la acción de las condiciones generales, la regularidad del fenómeno objeto de estudio.

Los promedios estadísticos se calculan sobre la base de datos de masa de una observación de masa organizada estadísticamente correctamente. Si el promedio estadístico se calcula a partir de datos masivos para una población cualitativamente homogénea (fenómenos masivos), entonces será objetivo.

El valor medio es abstracto, ya que caracteriza el valor de una unidad abstracta.

El promedio se abstrae de la diversidad de características en los objetos individuales. Abstracción - paso investigación científica. La unidad dialéctica de lo individual y lo general se realiza en el valor medio.

Los valores promedio deben aplicarse sobre la base de una comprensión dialéctica de las categorías de individuo y general, individuo y masa.

El del medio refleja algo en común que se suma en un solo objeto determinado.

Para identificar patrones en los procesos sociales masivos, el valor promedio es de gran importancia.

La desviación del individuo de lo general es una manifestación del proceso de desarrollo.

El valor medio refleja el nivel característico, típico y real de los fenómenos que se estudian. El propósito de los promedios es caracterizar estos niveles y sus cambios en el tiempo y el espacio.

El promedio es el valor habitual, porque se forma en normal, natural, condiciones generales la existencia de un fenómeno de masa específico, considerado como un todo.

Una propiedad objetiva de un proceso o fenómeno estadístico refleja el valor promedio.

Los valores individuales de la característica estadística estudiada son diferentes para cada unidad de población. El valor medio de los valores individuales de una especie es producto de la necesidad, que es el resultado de la acción acumulativa de todas las unidades de la población, manifestada en una masa de accidentes repetitivos.

Algunos fenómenos individuales tienen signos que existen en todos los fenómenos, pero en diferentes cantidades es la altura o la edad de la persona. Otros signos de un fenómeno individual, cualitativamente diferente en varios fenómenos, es decir, están presentes en unos y no se observan en otros (un hombre no se convertirá en mujer). El valor promedio se calcula para signos que son cualitativamente homogéneos y difieren solo cuantitativamente, que son inherentes a todos los fenómenos en un conjunto dado.

El valor promedio es un reflejo de los valores del rasgo que se está estudiando y se mide en la misma dimensión que este rasgo.

La teoría del materialismo dialéctico enseña que todo en el mundo cambia y se desarrolla. Y también cambian los signos que se caracterizan por valores promedio y, en consecuencia, los promedios mismos.

sucede en la vida proceso continuo creando algo nuevo. El portador de la nueva cualidad son los objetos individuales, luego aumenta el número de estos objetos y lo nuevo se vuelve masivo, típico.

El valor medio caracteriza a la población estudiada sólo sobre una base. Para una presentación completa y completa de la población estudiada para una serie de características específicas, es necesario contar con un sistema de valores promedio que pueda describir el fenómeno desde diferentes ángulos.

En el procesamiento estadístico del material, surgen varios problemas que deben resolverse y, por lo tanto, en la práctica estadística se utilizan varios valores promedio. La estadística matemática utiliza varios promedios, tales como: promedio aritmético; significado geometrico; armónico medio; media cuadrática.

Para aplicar uno de los tipos de promedio anteriores, es necesario analizar la población en estudio, determinar el contenido material del fenómeno en estudio, todo esto se hace sobre la base de las conclusiones obtenidas del principio de significado de los resultados. al pesar o sumar.

En el estudio de promedios, se utilizan los siguientes indicadores y notación.

El criterio por el cual se encuentra el promedio se llama característica promediada y se denota por x; el valor de la característica promediada para cualquier unidad de la población estadística se llama su significado particular o opciones, y denotado como X 1 , X 2 , X 3 ,… X PAG ; la frecuencia es la repetibilidad de los valores individuales de un rasgo, denotada por la letra F.

Significado aritmetico

Uno de los tipos más comunes de medio significado aritmetico, que se calcula cuando el volumen del atributo promediado se forma como la suma de sus valores para las unidades individuales de la población estadística estudiada.

Para calcular la media aritmética, la suma de todos los niveles de características se divide por su número.

Si algunas opciones ocurren varias veces, entonces la suma de los niveles de los atributos se puede obtener multiplicando cada nivel por el número correspondiente de unidades de población, seguido de la suma de los productos resultantes, la media aritmética calculada de esta manera se denomina aritmética ponderada. significar.

La fórmula para la media aritmética ponderada es la siguiente:

donde x i son opciones,

f i - frecuencias o pesos.

Se debe utilizar un promedio ponderado en todos los casos en que las variantes tengan diferentes abundancias.

El promedio aritmético, por así decirlo, distribuye equitativamente entre los objetos individuales el valor total del atributo, que de hecho varía para cada uno de ellos.

El cálculo de los valores medios se realiza según datos agrupados en forma de series de distribución de intervalos, cuando las variantes de rasgos a partir de las cuales se calcula el promedio se presentan en forma de intervalos (desde - hasta).

Propiedades de la media aritmética:

1) la media aritmética de la suma de los valores variables es igual a la suma de las medias aritméticas: Si x i = y i + z i , entonces

Esta propiedad muestra en qué casos es posible resumir los valores medios.

2) la suma algebraica de las desviaciones de los valores individuales de la característica variable de la media es igual a cero, ya que la suma de las desviaciones en una dirección se compensa con la suma de las desviaciones en la otra dirección:

Esta regla demuestra que la media es la resultante.

3) si todas las variantes de la serie aumentan o disminuyen en el mismo número?, ¿entonces el promedio aumentará o disminuirá en el mismo número?:

4) si todas las variantes de la serie aumentan o disminuyen A veces, entonces el promedio también aumentará o disminuirá A veces:

5) la quinta propiedad del promedio nos muestra que no depende del tamaño de los pesos, sino de la relación entre ellos. Como pesos, no solo se pueden tomar valores relativos, sino también absolutos.

Si todas las frecuencias de la serie se dividen o multiplican por el mismo número d, entonces el promedio no cambiará.

armónico medio. Para determinar la media aritmética, es necesario tener una serie de opciones y frecuencias, es decir, valores X Y F.

Supongamos que conocemos los valores individuales de la característica. X y funciona X/, y frecuencias F son desconocidos, entonces, para calcular el promedio, denotamos el producto = X/; dónde:

El promedio en esta forma se denomina promedio ponderado armónico y se denota daño x. vzvv.

En consecuencia, la media armónica es idéntica a la media aritmética. Es aplicable cuando no se conocen los pesos reales. F, y el producto es conocido efectos especiales = z

cuando las obras efectos especiales igual o igual a uno (m = 1), se utiliza la media armónica simple, calculada por la fórmula:

Dónde X- opciones separadas;

norte- número.

Significado geometrico

Si hay n factores de crecimiento, entonces la fórmula para el coeficiente promedio es:

Esta es la fórmula de la media geométrica.

La media geométrica es igual a la raíz del grado. norte del producto de los coeficientes de crecimiento que caracterizan la relación entre el valor de cada período posterior y el valor del anterior.

Si los valores expresados ​​como funciones cuadráticas están sujetos a un promedio, se utiliza la raíz cuadrática media. Por ejemplo, utilizando la raíz cuadrada media, puede determinar los diámetros de tuberías, ruedas, etc.

La raíz cuadrada media prima se determina extrayendo raíz cuadrada del cociente de dividir la suma de cuadrados de valores de características individuales por su número.

La raíz cuadrada media ponderada es:

Para caracterizar la estructura de la población estadística se utilizan indicadores que se denominan medias estructurales. Estos incluyen la moda y la mediana.

Moda (M O ) - la opción más común. Moda se llama el valor de la característica, que corresponde al punto máximo de la curva de distribución teórica.

La moda representa el valor más frecuente o típico.

La moda se utiliza en la práctica comercial para estudiar la demanda de los consumidores y registrar los precios.

En una serie discreta, el modo es la variante con la frecuencia más alta. En la serie de variación del intervalo, la variante central del intervalo, que tiene la frecuencia más alta (particularidad), se considera la moda.

Dentro del intervalo, es necesario encontrar el valor del atributo, que es la moda.

Dónde X O es el límite inferior del intervalo modal;

h es el valor del intervalo modal;

f m es la frecuencia del intervalo modal;

pies-1 - frecuencia del intervalo que precede al modal;

f m+1 es la frecuencia del intervalo que sigue al modal.

El modo depende del tamaño de los grupos, de la posición exacta de los límites de los grupos.

Moda- el número que en realidad ocurre con más frecuencia (es un valor determinado), en la práctica tiene la aplicación más amplia (el tipo de comprador más común).

Mediana (M mi- este es el valor que divide el número de serie de variación ordenada en dos partes iguales: una parte tiene los valores del atributo variable menos que opción intermedia y el otro es grande.

Mediana es un elemento que es mayor o igual y simultáneamente menor o igual a la mitad de los restantes elementos de la serie de distribución.

La propiedad de la mediana es que la suma de las desviaciones absolutas de los valores de los rasgos de la mediana es menor que de cualquier otro valor.

El uso de la mediana le permite obtener resultados más precisos que el uso de otras formas de promedios.

El orden para encontrar la mediana en la serie de variación del intervalo es el siguiente: ordenamos los valores individuales del atributo por rango; determinar las frecuencias acumuladas para esta serie clasificada; de acuerdo con las frecuencias acumuladas, encontramos el intervalo mediano:

Dónde x yo es el límite inferior del intervalo mediano;

i A mí es el valor del intervalo mediano;

f/2 es la mitad de la suma de las frecuencias de la serie;

S A mí-1 es la suma de las frecuencias acumuladas que preceden al intervalo mediano;

F A mí es la frecuencia del intervalo mediano.

La mediana divide el número de filas por la mitad, por lo tanto, es donde la frecuencia acumulada es la mitad o más de la mitad del número total de frecuencias, y la frecuencia anterior (acumulada) es menor a la mitad de la población.

Los signos de unidades de agregados estadísticos tienen un significado diferente, por ejemplo, los salarios de los trabajadores de una profesión de una empresa no son los mismos durante el mismo período de tiempo, los precios de mercado para los mismos productos son diferentes, los rendimientos de los cultivos en las granjas de la región, etc Por tanto, para determinar el valor de un rasgo característico de toda la población de unidades objeto de estudio, se calculan valores medios.
valor promedio – es una característica generalizadora del conjunto de valores individuales de algún rasgo cuantitativo.

La población estudiada por un atributo cuantitativo consiste en valores individuales; son influenciados como causas comunes y condiciones individuales. En el valor promedio, se cancelan las desviaciones características de los valores individuales. El promedio, siendo una función de un conjunto de valores individuales, representa el conjunto completo con un valor y refleja la cosa común que es inherente a todas sus unidades.

El promedio calculado para poblaciones que consisten en unidades cualitativamente homogéneas se llama promedio tipico. Por ejemplo, puedes calcular el salario medio mensual de un empleado de uno u otro grupo profesional (minero, médico, bibliotecario). Por supuesto, los niveles mensuales salarios los mineros, debido a diferencias en sus calificaciones, tiempo de servicio, horas trabajadas por mes y muchos otros factores, difieren entre sí y del nivel de salarios promedio. Sin embargo, el nivel medio refleja los principales factores que inciden en el nivel de los salarios, y compensan mutuamente las diferencias que surgen por caracteristicas individuales obrero. El salario medio refleja el nivel de salario típico de este tipo de trabajador. La obtención de un promedio típico debe ir precedida de un análisis de cómo esta población es cualitativamente homogénea. Si el conjunto consta de partes separadas, debe dividirse en grupos típicos (temperatura promedio en el hospital).

Los valores medios utilizados como características para poblaciones heterogéneas se denominan promedios del sistema. Por ejemplo, el valor promedio del producto interno bruto (PIB) per cápita, el consumo promedio de varios grupos de bienes por persona y otros valores similares que representan las características generales del estado como un sistema económico único.

El promedio debe calcularse para poblaciones que consisten en un número suficientemente grande de unidades. El cumplimiento de esta condición es necesario para que entre en vigor la ley de los grandes números, como resultado de lo cual las desviaciones aleatorias de los valores individuales de tendencia general reembolsarse unos a otros.

Tipos de promedios y métodos para calcularlos

La elección del tipo de promedio está determinada por el contenido económico de un determinado indicador y los datos iniciales. Sin embargo, cualquier valor promedio debe calcularse de modo que cuando reemplace cada variante de la característica promediada, la generalización final o, como se le llama comúnmente, indicador definitorio, que está relacionado con el promedio. Por ejemplo, al reemplazar las velocidades reales en secciones separadas de la ruta, velocidad media no debe cambiar la distancia total recorrida vehículo al mismo tiempo; al reemplazar los salarios reales de los empleados individuales de la empresa con el promedio salario la nómina no debe cambiar. En consecuencia, en cada caso concreto, dependiendo de la naturaleza de los datos disponibles, sólo existe un verdadero valor medio del indicador adecuado a las propiedades y esencia del fenómeno socioeconómico objeto de estudio.
Los más utilizados son la media aritmética, la media armónica, la media geométrica, la media cuadrática y la media cúbica.
Los promedios enumerados pertenecen a la clase fuerza medio y combinado formula general:
,
donde es el valor promedio del rasgo estudiado;
m es el exponente de la media;
– valor actual (variante) de la característica promediada;
n es el número de características.
Según el valor del exponente m, se distinguen los siguientes tipos de potencias medias:
en m = -1 – armónico medio;
en m = 0 – media geométrica;
en m = 1 – media aritmética;
en m = 2 – raíz cuadrada media;
en m = 3 - cúbico promedio.
Cuando se utilizan los mismos datos iniciales, cuanto mayor sea el exponente m en la fórmula anterior, mayor será el valor del valor promedio:
.
Esta propiedad de los medios de ley de potencia para aumentar con un aumento en el exponente de la función de definición se llama la regla de la mayoria de los medios.
Cada uno de los promedios marcados puede tomar dos formas: simple Y ponderado.
La forma simple del medio. se aplica cuando el promedio se calcula sobre datos primarios (no agrupados). forma ponderada– al calcular el promedio de datos secundarios (agrupados).

Significado aritmetico

La media aritmética se utiliza cuando el volumen de la población es la suma de todos los valores individuales del atributo variable. Cabe señalar que si no se indica el tipo de promedio, se asume el promedio aritmético. Su fórmula lógica es:

media aritmética simple calculado por datos desagrupados según la fórmula:
o ,
donde están los valores individuales de la característica;
j es el número de serie de la unidad de observación, que se caracteriza por el valor ;
N es el número de unidades de observación (tamaño del conjunto).
Ejemplo. En la charla “Resumen y agrupación de datos estadísticos”, se consideraron los resultados de la observación de la experiencia laboral de un equipo de 10 personas. Calcular la experiencia laboral promedio de los trabajadores de la brigada. 5, 3, 5, 4, 3, 4, 5, 4, 2, 4.

Según la fórmula de la media aritmética simple, también se calcula promedios cronológicos, si los intervalos de tiempo para los que se presentan los valores característicos son iguales.
Ejemplo. El volumen de productos vendidos para el primer trimestre ascendió a 47 den. unidades, para el segundo 54, para el tercero 65 y para el cuarto 58 den. unidades La facturación trimestral promedio es (47+54+65+58)/4 = 56 den. unidades
Si se dan indicadores momentáneos en la serie cronológica, al calcular el promedio, se reemplazan por semisumas de valores al principio y al final del período.
Si hay más de dos momentos y los intervalos entre ellos son iguales, entonces el promedio se calcula usando la fórmula para el promedio cronológico

,
donde n es el número de puntos de tiempo
Cuando los datos se agrupan por valores de atributo (es decir, se construye una serie de distribución variacional discreta) con media aritmética ponderada se calcula utilizando frecuencias o frecuencias de observación de valores específicos de la característica, cuyo número (k) es significativamente menor que el número de observaciones (N).
,
,
donde k es el número de grupos de la serie de variación,
i es el número del grupo de la serie de variación.
Como , y , obtenemos las fórmulas utilizadas para los cálculos prácticos:
Y
Ejemplo. Calculemos la antigüedad media de los equipos de trabajo para la serie agrupada.
a) usando frecuencias:

b) usando frecuencias:

Cuando los datos se agrupan por intervalos , es decir. se presentan en forma de series de distribución de intervalos; al calcular la media aritmética, se toma como valor de la característica la mitad del intervalo, basándose en el supuesto de una distribución uniforme de las unidades de población en este intervalo. El cálculo se realiza según las fórmulas:
Y
donde está el medio del intervalo: ,
donde y son los límites inferior y superior de los intervalos (siempre que límite superior este intervalo coincide con límite inferior siguiente intervalo).

Ejemplo. Calculemos la media aritmética de la serie de variación del intervalo construida a partir de los resultados de un estudio de los salarios anuales de 30 trabajadores (ver la lección "Resumen y agrupación de datos estadísticos").
Tabla 1 - Serie de distribución de variación de intervalo.

UAH o UAH
Las medias aritméticas calculadas sobre la base de los datos iniciales y la serie de variación del intervalo pueden no coincidir debido a la distribución desigual de los valores de los atributos dentro de los intervalos. En este caso, para un cálculo más preciso de la media aritmética ponderada, no se debe utilizar la mitad de los intervalos, sino las medias aritméticas simples calculadas para cada grupo ( promedios de grupo). El promedio calculado a partir de las medias del grupo utilizando una fórmula de cálculo ponderado se denomina promedio general.
La media aritmética tiene una serie de propiedades.
1. La suma de las desviaciones de la variante de la media es cero:
.
2. Si todos los valores de la opción aumentan o disminuyen en el valor A, entonces el valor promedio aumenta o disminuye en el mismo valor A:

3. Si cada opción aumenta o disminuye B veces, entonces el valor promedio también aumentará o disminuirá la misma cantidad de veces:
o
4. La suma de los productos de la variante por las frecuencias es igual al producto del valor medio por la suma de las frecuencias:

5. Si todas las frecuencias se dividen o multiplican por cualquier número, la media aritmética no cambiará:

6) si en todos los intervalos las frecuencias son iguales entre sí, entonces la media aritmética ponderada es igual a la media aritmética simple:
,
donde k es el número de grupos en la serie de variación.

El uso de las propiedades del promedio le permite simplificar su cálculo.
Suponga que todas las opciones (x) se reducen primero por el mismo número A y luego se reducen por un factor de B. La mayor simplificación se logra cuando el valor de la mitad del intervalo con la frecuencia más alta se elige como A, y el valor del intervalo como B (para filas con intervalos iguales). La cantidad A se llama origen, por lo que este método para calcular el promedio se llama forma b referencia de ohmios desde cero condicional o manera de momentos.
Después de tal transformación, obtenemos una nueva serie de distribución variacional, cuyas variantes son iguales a . Su media aritmética, llamada momento de primer orden, se expresa por la fórmula y de acuerdo con la segunda y tercera propiedades, la media aritmética es igual a la media de la versión original, reducida primero por A, y luego por B veces, es decir, .
por conseguir promedio real(en el medio de la fila original) debe multiplicar el momento de primer orden por B y agregar A:

El cálculo de la media aritmética por el método de los momentos se ilustra con los datos de la Tabla. 2.
Tabla 2 - Distribución de los empleados de la tienda de la empresa por antigüedad

Hallar el momento de primer orden . Luego, sabiendo que A = 17.5 y B = 5, calculamos la experiencia laboral promedio de los trabajadores de la tienda:
años

armónico medio
Como se muestra arriba, la media aritmética se usa para calcular el valor promedio de una característica en los casos en que se conocen sus variantes x y sus frecuencias f.
Si la información estadística no contiene frecuencias f para las opciones individuales x de la población, pero se presenta como su producto, se aplica la fórmula promedio armónico ponderado. Para calcular el promedio, denote , de donde . Sustituyendo estas expresiones en la fórmula de la media aritmética ponderada, obtenemos la fórmula de la media armónica ponderada:
,
donde es el volumen (peso) de los valores del atributo indicador en el intervalo con el número i (i=1,2, …, k).

Así, la media armónica se utiliza en los casos en que no son las opciones mismas las que están sujetas a suma, sino sus recíprocas: .
En los casos en que el peso de cada opción sea igual a uno, es decir, valores individuales de la característica inversa ocurren una vez, aplicar media armónica simple:
,
donde están las variantes individuales del rasgo inverso que ocurren una vez;
N es el número de opciones.
Si hay promedios armónicos para dos partes de la población con un número de y, entonces el promedio total para toda la población se calcula mediante la fórmula:

y llamó media armónica ponderada de las medias del grupo.

Ejemplo. Se realizaron tres transacciones durante la primera hora de negociación en el cambio de divisas. Los datos sobre la cantidad de ventas de hryvnia y el tipo de cambio de hryvnia frente al dólar estadounidense se dan en la Tabla. 3 (columnas 2 y 3). Determine el tipo de cambio promedio de la hryvnia frente al dólar estadounidense durante la primera hora de negociación.
Tabla 3 - Datos sobre el curso de la negociación en el cambio de divisas

El tipo de cambio promedio del dólar está determinado por la relación entre la cantidad de hryvnias vendidas en el curso de todas las transacciones y la cantidad de dólares adquiridos como resultado de las mismas transacciones. El monto total de la venta de hryvnia se conoce a partir de la columna 2 de la tabla, y la cantidad de dólares comprados en cada transacción se determina dividiendo el monto de la venta de hryvnia por su tipo de cambio (columna 4). Se compró un total de $ 22 millones durante tres transacciones. Esto significa que el tipo de cambio promedio de hryvnia por un dólar fue
.
El valor resultante es real, porque Su sustitución de los tipos de cambio reales de hryvnia en las transacciones no cambiará la cantidad total de ventas de hryvnia, que actúa como indicador definitorio: millones de UAH
Si se utilizó la media aritmética para el cálculo, es decir, hryvnia, luego al tipo de cambio para la compra de 22 millones de dólares. Habría que gastar 110,66 millones de UAH, lo cual no es cierto.

Significado geometrico
La media geométrica se utiliza para analizar la dinámica de los fenómenos y le permite determinar la tasa de crecimiento promedio. Al calcular la media geométrica, los valores individuales del rasgo son indicadores relativos de la dinámica, construidos en forma de cadena de valores, como la relación de cada nivel con el anterior.
La media geométrica simple se calcula mediante la fórmula:
,
donde esta la marca del producto
N es el número de valores promediados.
Ejemplo. El número de delitos registrados durante 4 años aumentó 1,57 veces, incluso para el primero, 1,08 veces, para el segundo, 1,1 veces, para el tercero, 1,18 y para el cuarto, 1,12 veces. Entonces la tasa de crecimiento anual promedio del número de delitos es: , es decir El número de delitos registrados ha crecido en promedio un 12% anual.

1,8
-0,8
0,2
1,0
1,4

1
3
4
1
1

3,24
0,64
0,04
1
1,96

3,24
1,92
0,16
1
1,96

Para calcular el cuadrado medio ponderado, determinamos e ingresamos en la tabla y. Entonces, el valor promedio de las desviaciones de la longitud de los productos de una norma dada es igual a:

La media aritmética en este caso sería inadecuada, porque como resultado, obtendríamos desviación cero.
El uso de la raíz cuadrada media se discutirá más adelante en los exponentes de variación.