Ev » Kardiyoloji » Kesirli fonksiyon ve grafiği. Ders "Doğrusal kesirli fonksiyon ve grafiği

Kesirli fonksiyon ve grafiği. Ders "Doğrusal kesirli fonksiyon ve grafiği

1. kesirli doğrusal fonksiyon ve programı

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) şeklindeki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

bir konsept ile rasyonel sayılar muhtemelen zaten aşinasınızdır. benzer şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak gösterilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bir bölümüyse - birinci dereceden polinomlar, yani. işlevi görüntüle

y = (ax + b) / (cx + d), o zaman kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi takdirde fonksiyon doğrusal y = ax/d + b/d olur) ve a/c ≠ b/d (aksi halde fonksiyon bir sabittir). Doğrusal-kesirli fonksiyon, x = -d/c hariç tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan eğriye denir. abartı. x'te sınırsız bir artış ile mutlak değer y = 1/x fonksiyonunun mutlak değeri sonsuza kadar azalır ve grafiğin her iki dalı da apsis eksenine yaklaşır: sağdaki üstten, soldaki alttan yaklaşır. Bir hiperbolün dallarının yaklaştığı doğrulara hiperbol denir. asimptotlar.

örnek 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Çözüm.

Tamsayı kısmını seçelim: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: sağa 3 birim parça kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve kaydırma 2 birim segment yukarı.

Herhangi bir y = (ax + b) / (cx + d) kesri, "tüm kısım" vurgulanarak aynı şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri hiperbollerdir, çeşitli şekillerde koordinat eksenleri boyunca kaydırılır ve Oy ekseni boyunca uzatılır.

Herhangi bir keyfi doğrusal-kesirli fonksiyonun grafiğini çizmek için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı doğruları bulmak yeterli olacaktır - hiperbol x = -d/c ve y = a/c asimptotlarıdır.

Örnek 2

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

x = -1 olduğunda fonksiyon tanımlı değildir. Bu nedenle, x = -1 doğrusu dikey bir asimptot görevi görür. Yatay asimptotu bulmak için x argümanı mutlak değerde arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e böleriz:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olarak kesir 3/2 olma eğilimindedir. Dolayısıyla, yatay asimptot y = 3/2 düz çizgisidir.

Örnek 3

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

Kesrin "tüm kısmını" seçiyoruz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve bir kaydırma Oy ekseni boyunca 2 birim aralıklarla.

Tanım alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım alanındaki aralıkların her birinde artar.

Cevap: şekil 1.

2. Kesirli-rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) biçiminde bir kesirli rasyonel fonksiyon düşünün, burada P(x) ve Q(x) birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) veya y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bir bölümüyse, grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu tam olarak oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Bununla birlikte, yukarıda zaten tanıştıklarımıza benzer teknikleri uygulamak genellikle yeterlidir.

Kesir uygun olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Açıkçası, bir kesirli rasyonel fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların çizimi

Kesirli-rasyonel bir işlevi çizmenin birkaç yolunu düşünün.

Örnek 4

y = 1/x 2 fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

y \u003d 1 / x 2 grafiğini çizmek için y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanıyoruz ve grafikleri "bölme" yöntemini kullanıyoruz.

Etki alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon çifttir. (-∞; 0) aralığından tüm x'ler için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: şekil 2.

Örnek 5

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

Etki alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: şekil 3.

Örnek 6

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) işlevini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik y eksenine göre simetriktir. Çizdirmeden önce, tamsayı kısmını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürüyoruz:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmının seçiminin, grafikleri çizerken ana olanlardan biri olduğuna dikkat edin.

x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani, y = 1 doğrusu yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu düşünün ve tam olarak en büyük değerini bulmaya çalışın, yani grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiği doğru bir şekilde oluşturmak için bugünün bilgisi yeterli değildir. Eğrimizin çok yükseğe "tırmanamayacağı" açıktır, çünkü payda hızla payı "geçmeye" başlar. Bakalım, fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilir. Bunu yapmak için x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 denklemini çözmeniz gerekir. Bu denklemin gerçek kökleri yoktur. Yani varsayımımız yanlış. en çok bulmak için büyük önem işlevi, A \u003d x / (x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A için bir çözümü olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Ax 2 - x + A = 0. Bu denklemin 1 - 4A 2 ≥ 0 olduğunda bir çözümü vardır. Buradan şunu buluruz: en yüksek değer Bir = 1/2.

Cevap: Şekil 5, max y(x) = ½.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Fonksiyon grafiklerinin nasıl oluşturulacağını bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenden yardım almak için -.
İlk ders ücretsiz!

blog.site, materyalin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

kesirli rasyonel fonksiyon

formül y = k/x, grafik bir hiperboldür. GIA'nın 1. Bölümünde, bu işlev eksenler boyunca ofsetler olmadan önerilmiştir. Bu nedenle, yalnızca bir parametresi vardır. k. En büyük fark dış görünüş grafikler işarete bağlıdır k.

Aşağıdaki durumlarda grafiklerdeki farklılıkları görmek daha zordur: k bir karakter:

Gördüğümüz gibi, daha k, abartma arttıkça.

Şekil, k parametresinin önemli ölçüde farklılık gösterdiği işlevleri göstermektedir. Fark o kadar büyük değilse, gözle belirlemek oldukça zordur.

Bu bağlamda, GIA'ya hazırlanmak için genel olarak iyi bir rehberde bulduğum aşağıdaki görev, tek kelimeyle bir "şaheser":

Sadece bu da değil, oldukça küçük bir resimde yakın aralıklı grafikler basitçe birleşiyor. Ayrıca, pozitif ve negatif k'li hiperboller bir arada tasvir edilmiştir. koordinat uçağı. Bu çizime bakan herkes için tamamen kafa karıştırıcı. Sadece "havalı bir yıldız" göze çarpar.

Tanrıya şükür bu sadece bir eğitim görevi. Gerçek versiyonlarda daha doğru ifadeler ve belirgin çizimler sunuldu.

Katsayının nasıl belirleneceğini bulalım k fonksiyonun grafiğine göre

Formülden: y = k / x bunu takip eder k = y x. Yani, herhangi bir tamsayı noktasını uygun koordinatlarla alıp çarpabiliriz - şunu elde ederiz: k.

k= 1 (- 3) = - 3.

Dolayısıyla, bu işlevin formülü şöyledir: y = - 3/x.

Durumu kesirli k ile düşünmek ilginçtir. Bu durumda, formül birkaç şekilde yazılabilir. Bu yanıltıcı olmamalıdır.

Örneğin,

Bu grafikte tek bir tamsayı noktası bulmak imkansızdır. Bu nedenle, değer k kabaca belirlenebilir.

k= 1 0.7≈0.7. Ancak 0 olduğu anlaşılmaktadır.< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Öyleyse özetleyelim.

k> 0 hiperbol 1. ve 3. koordinat açılarında (çeyrekler) bulunur,

k < 0 - во 2-м и 4-ом.

Eğer k modulo 1'den büyük ( k= 2 veya k= - 2), o zaman grafik y ekseninde 1'in üzerinde (- 1'in altında) bulunur, daha geniş görünür.

Eğer k modulo 1'den küçük ( k= 1/2 veya k= - 1/2), o zaman grafik y ekseni boyunca 1'in altında (- 1'in üstünde) bulunur ve daha dar görünür, sıfıra "bastırılır":

Ana Sayfa > Edebiyat

Belediye eğitim kurumu

"Ortalama Kapsamlı okul№24"

Sorunlu soyut çalışma

cebirde ve analizin başlangıcı

Kesirli rasyonel fonksiyonun grafikleri

11. sınıf öğrencileri A Tovchegrechko Natalia Sergeevna iş danışmanı Parsheva Valentina Vasilievna matematik öğretmeni, yüksek öğretim öğretmeni yeterlilik kategorisi

Severodvinsk

İçindekiler 3Giriş 4Ana bölüm. Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri 6Sonuç 17Kaynaklar 18

giriiş

Grafik fonksiyonlarından biri ilginç konular okul matematiğinde. Zamanımızın en büyük matematikçilerinden biri olan Israel Moiseevich Gelfand şöyle yazdı: “Grafik oluşturma süreci, formülleri ve açıklamaları geometrik görüntülere dönüştürmenin bir yoludur. Bu - çizim - formülleri ve işlevleri görmenin ve bu işlevlerin nasıl değiştiğini görmenin bir yoludur. Örneğin y=x 2 yazılırsa hemen bir parabol görürsünüz; y=x 2 -4 ise, dört birim alçaltılmış bir parabol görürsünüz; y=4-x 2 ise, önceki parabolü baş aşağı görürsünüz. Hem formülü hem de geometrik yorumunu aynı anda görebilme yeteneği, yalnızca matematik çalışmak için değil, diğer dersler için de önemlidir. Bisiklete binmeyi, yazı yazmayı veya araba sürmeyi öğrenmek gibi, ömür boyu sizinle kalan bir beceri." Matematik derslerinde, temel olarak en basit grafikleri - temel fonksiyonların grafiklerini oluştururuz. Sadece 11. sınıfta türev yardımıyla daha karmaşık fonksiyonlar oluşturmayı öğrendiler. Kitap okurken:

Çalışmanın amacı: ilgili teorik materyalleri incelemek, doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için bir algoritma belirlemek. Görevler: 1. doğrusal kesirli ve kesirli rasyonel fonksiyon kavramlarını temel alarak oluşturur. teorik materyal Bu konuda; 2. doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için yöntemler bulabilecektir.

Ana bölüm. Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri

1. Kesirli - doğrusal fonksiyon ve grafiği

k≠0 olmak üzere y=k/x biçimindeki bir fonksiyon, özellikleri ve grafiği ile zaten tanışmıştık. Bu fonksiyonun bir özelliğine dikkat edelim. Pozitif sayılar kümesindeki y=k/x işlevi, argümanın değerlerinde sınırsız bir artışla (x artı sonsuza eğilimli olduğunda), pozitif kalan fonksiyonların değerlerinin eğilimi gösterme özelliğine sahiptir. sıfıra Argümanın pozitif değerleri azaldıkça (x sıfıra eğilimli olduğunda), fonksiyonun değerleri sonsuza kadar artar (y artı sonsuza eğilimlidir). Set için de benzer bir tablo görülüyor. negatif sayılar. Grafikte (Şekil 1), bu özellik, hiperbolün noktalarının orijinden sonsuza (sağa veya sola, yukarı veya aşağı) uzaklaştıkça düz çizgiye süresiz olarak yaklaşması gerçeğiyle ifade edilir: │x│ artı sonsuza eğilimli olduğunda x eksenine veya │x│ sıfıra giderken y eksenine doğru. Bu hat denir eğri asimptotları.

Pirinç. 1

y=k/x hiperbolünün iki asimptotu vardır: x ekseni ve y ekseni. Asimptot kavramı, birçok fonksiyonun grafiğinin oluşturulmasında önemli bir rol oynar. Bildiğimiz fonksiyon grafiklerinin dönüşümlerini kullanarak koordinat düzleminde y=k/x hiperbolü sağa veya sola, yukarı veya aşağı hareket ettirebiliriz. Sonuç olarak, yeni fonksiyon grafikleri elde edeceğiz. örnek 1 y=6/x olsun. Bu hiperbolü 1,5 birim sağa kaydıralım ve ardından ortaya çıkan grafiği 3,5 birim yukarı kaydıralım. Bu dönüşümle, y=6/x hiperbolünün asimptotları da kayacaktır: x ekseni y=3.5 düz doğrusuna, y ekseni y=1.5 düz doğrusuna gidecektir (Şekil 2). Grafiği oluşturduğumuz fonksiyon şu formülle verilebilir:

Bu formülün sağındaki ifadeyi kesir olarak gösterelim:

Böylece, Şekil 2 formül tarafından verilen fonksiyonun grafiğini göstermektedir.

Bu kesrin payı ve paydası, x'e göre doğrusal binomlardır. Bu tür fonksiyonlara kesirli doğrusal fonksiyonlar denir.

Genel olarak, form formülü ile verilen bir fonksiyon
, Nerede
x bir değişkendir, a,B, C, Dc≠0 ile verilen sayılar ve
M.Ö- reklam≠0 doğrusal-kesirli fonksiyon olarak adlandırılır. Tanımdaki gereksinimin c≠0 ve
bc-ad≠0, gerekli. c=0 ve d≠0 veya bc-ad=0 ile lineer bir fonksiyon elde ederiz. Aslında, eğer с=0 ve d≠0 ise, o zaman

bc-ad=0, c≠0 ise, bu eşitlikten b'yi a, c ve d cinsinden ifade edip formülde yerine koyarak şunu elde ederiz:

Yani, ilk durumda, bir lineer fonksiyonumuz var. Genel görünüm
, ikinci durumda - bir sabit
. Şimdi bir doğrusal-kesirli fonksiyonun aşağıdaki formülle verilmişse nasıl çizileceğini gösterelim.
Örnek 2 Fonksiyonu çizelim
, yani şeklinde temsil edelim.
: payı paydaya bölerek kesrin tamsayı kısmını seçin, şunu elde ederiz:

Bu yüzden,
. Bu fonksiyonun grafiğinin, y=5/x fonksiyonunun grafiğinden art arda iki kaydırma kullanılarak elde edilebileceğini görüyoruz: y=5/x hiperbolünü 3 birim sağa kaydırmak ve ardından ortaya çıkan hiperbolü kaydırmak
2 birim yukarı Bu kaydırmalarla, y \u003d 5 / x hiperbolünün asimptotları da hareket edecektir: x ekseni 2 birim yukarı ve y ekseni 3 birim sağa. Bir grafik oluşturmak için, koordinat düzleminde noktalı bir asimptot çizeriz: y=2 düz çizgisi ve x=3 düz çizgisi. Hiperbol iki daldan oluştuğu için, her birini oluşturmak için iki tablo yapacağız: biri x için<3, а другую для x>3 (yani, asimptot kesişme noktasının solundaki ilk ve sağındaki ikinci):

İlk tabloda koordinatları belirtilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyerek ve bunları düz bir çizgiyle birleştirerek hiperbolün bir dalını elde ederiz. Benzer şekilde (ikinci tabloyu kullanarak) hiperbolün ikinci dalını elde ederiz. Fonksiyonun grafiği Şekil 3'te gösterilmiştir.

herhangi bir kesir
tamsayı kısmı vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenlerine paralel olarak çeşitli şekillerde kaydırılan ve Oy ekseni boyunca uzanan hiperbollerdir.

Örnek 3

Fonksiyonu çizelim
.Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için dallarının (asimptotlarının) yaklaştığı doğruları ve birkaç noktayı daha bulmak yeterlidir. Önce dikey asimptotu bulalım. İşlev, 2x+2=0, yani burada tanımlanmamıştır. x=-1'de. Bu nedenle, dikey asimptot x=-1 düz çizgisidir. Yatay asimptotu bulmak için, argüman arttığında (mutlak değerde), kesrin pay ve paydasındaki ikinci terimler olduğunda fonksiyonların değerlerinin neye yaklaştığına bakmanız gerekir.
nispeten küçük Bu yüzden

Bu nedenle, yatay asimptot bir düz çizgidir y=3/2. Koordinat eksenleri ile hiperbolümüzün kesişme noktalarını tanımlayalım. x=0 için y=5/2'ye sahibiz. 3x+5=0 olduğunda fonksiyon sıfıra eşittir, yani x \u003d -5 / 3'te. Çizimde (-5 / 3; 0) ve (0; 5/2) noktalarını işaretleyerek ve bulunan yatay ve dikey asimptotları çizerek bir grafik oluşturacağız (Şekil 4) .

Genel olarak yatay asimptotu bulmak için payı paydaya bölmek gerekir, o zaman y=3/2+1/(x+1), y=3/2 yatay asimptottur.

2. Kesirli-rasyonel fonksiyon

Kesirli bir rasyonel işlevi düşünün

Pay ve paydanın sırasıyla polinom olduğu, n'inci ve mth derecesi. Kesir uygun olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Nerede k 1 ... k s, sırasıyla m 1 ... m s çokluklarına sahip olan Q (x) polinomunun kökleridir ve trinomialler, m 1 ... m t çokluğuna sahip karmaşık Q (x) köklerinin konjugasyon çiftlerine karşılık gelir. formun kesirleri

arandı temel rasyonel kesirler sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü tipler. Burada A, B, C - gerçek sayılar; m ve m doğal sayılardır, m, m>1; x 2 +px+q gerçek katsayılarına sahip üç terimlinin hayali kökleri vardır.Açıkçası, kesirli-rasyonel bir fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir. Fonksiyon Grafiği

1/x m (m~1, 2, …) fonksiyonunun grafiğinden x ekseni boyunca sağa │k│ ölçek birimleri ile paralel öteleme yoluyla elde ederiz. Fonksiyon grafiğini görüntüle

Paydada tam bir kare seçilirse ve ardından 1/x 2 fonksiyonunun grafiğinin uygun oluşumu gerçekleştirilirse, oluşturmak kolaydır. Bir Fonksiyonu Çizmek

iki fonksiyonun grafiklerinin çarpımını oluşturmaya indirgenmiştir:

y= bx+ C Ve

Yorum. Bir Fonksiyonu Çizmek

Nerede bir d-b c 0 ,
,

nerede n - doğal sayı, göre yapılabilir genel şema bazılarında fonksiyon araştırması ve çizimi somut örnekler grafiğin uygun dönüşümlerini gerçekleştirerek başarılı bir şekilde grafik oluşturabilirsiniz; en iyi yol yüksek matematik yöntemleri verir. örnek 1 Bir fonksiyon çiz

Tamsayı kısmını seçerek,

kesir
temel kesirlerin toplamı olarak temsil eder:

Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım:

Bu grafikleri ekledikten sonra, verilen bir fonksiyonun grafiğini elde ederiz:

Şekil 6, 7, 8, çizim fonksiyonlarının örnekleridir
Ve
. Örnek 2 Bir Fonksiyonu Çizmek
:

(1);
(2);
(3); (4)

Örnek 3 Bir fonksiyonun grafiğini çizme

(1);
(2);
(3); (4)

Çözüm

Soyut çalışma yaparken: - doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonlarla ilgili kavramlarını netleştirdi: tanım 1. Doğrusal bir kesirli fonksiyon, x'in bir değişken olduğu, a, b, c ve d'nin c≠0 ve bc-ad≠0 ile verilen sayılar olduğu bir formun fonksiyonudur. tanım 2. Kesirli bir rasyonel fonksiyon, formun bir fonksiyonudur.

nerede n

Bu fonksiyonların grafiklerini çizmek için bir algoritma oluşturdu;

Aşağıdakiler gibi grafik fonksiyonlarında kazanılan deneyim:

;

Ek literatür ve materyallerle çalışmayı, bilimsel bilgileri seçmeyi öğrendim; - Bilgisayarda grafik çalışmaları yapma konusunda deneyim kazandım; - Problem-özet çalışması oluşturmayı öğrendim.

Dipnot. 21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu (bilgi otoyolu) ve yaklaşan teknoloji çağı hakkında bitmeyen bir konuşma ve akıl yürütme akışıyla bombardımana tutulduk.

21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu (bilgi otoyolu) ve yaklaşan teknoloji çağı hakkında bitmeyen bir konuşma ve akıl yürütme akışıyla bombardımana tutulduk.

Seçmeli dersler, spor salonu öğrencilerinin eğitimsel ve bilişsel, eğitimsel ve araştırma faaliyetlerinin örgütlenme biçimlerinden biridir.

belge

Bu koleksiyon, …… desteğiyle Moskova Şehri Pedagoji Spor Salonu-Laboratuvarı No. 1505 ekibi tarafından hazırlanan beşinci sayıdır.

Matematik ve deneyim

Kitap

Makale, temel olarak apriorizm ve ampirizm çerçevesinde gelişen, matematik ve deneyim arasındaki ilişkiye yönelik çeşitli yaklaşımların geniş ölçekli bir karşılaştırmasını yapmaya çalışmaktadır.

“SUBBAŞ TEMEL EĞİTİM OKULU” BALTASI BELEDİYE İLÇESİ

Tataristan Cumhuriyeti

Ders Geliştirme - 9. Sınıf

Konu: Kesirli doğrusal fonksiyontion

yeterlilik kategorisi

GarifullinADemiryoluBENRifkatovna

201 4

Ders konusu: Kesirli - doğrusal fonksiyon.

Dersin amacı:

Eğitsel: Öğrencilere kavramları tanıtınkesirli - doğrusal fonksiyon ve asimptotların denklemi;

Geliştirme: Mantıksal düşünme tekniklerinin oluşturulması, konuya ilginin geliştirilmesi; tanım alanını, kesirli doğrusal bir fonksiyonun değer alanını ve grafiğini oluşturmak için becerilerin oluşumunu bulmayı geliştirmek;

- Motivasyon hedefi:öğrencilerin matematik kültürünün eğitimi, çeşitli ustalık bilgisi biçimlerinin kullanılması yoluyla konunun incelenmesine olan ilginin dikkati, korunması ve geliştirilmesi.

Ekipman ve literatür: Dizüstü bilgisayar, projektör, interaktif beyaz tahta, y= fonksiyonunun koordinat düzlemi ve grafiği , yansıma haritası, multimedya sunumu,Cebir: temel kapsamlı okulun 9. sınıfı için bir ders kitabı / Yu.N. Makarychev, N.G. Mendyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova; S.A.'nın editörlüğünde Telyakovsky / M: “Aydınlanma”, 2004, eklemelerle.

ders türü:

bilgi, beceri, beceri geliştirmeye yönelik ders.

Dersler sırasında.

Ben organizasyon anı:

Hedef: - sözlü bilgi işlem becerilerinin geliştirilmesi;

yeni bir konunun incelenmesi için gerekli teorik materyallerin ve tanımların tekrarı.

Tünaydın Derse ödevi kontrol ederek başlıyoruz:

Ekrana dikkat (slayt 1-4):

1. Egzersiz.

Lütfen 3. soruyu bu fonksiyonun grafiğine göre cevaplayınız (fonksiyonun maksimum değerini bulunuz, ...)

( 24 )

Görev -2. İfadenin değerini hesaplayın:

- =

Görev -3: İkinci dereceden denklemin köklerinin üçlü toplamını bulun:

X 2 -671∙X + 670= 0.

İkinci dereceden denklemin katsayılarının toplamı sıfırdır:

1+(-671)+670 = 0. Yani x 1 =1 ve x 2 = Buradan,

3∙(x 1 +x 2 )=3∙671=2013

Ve şimdi sırayla 3 görevin de cevaplarını noktalarla yazacağız. (24.12.2013.)

Sonuç: Evet, doğru! Ve böylece, bugünün dersinin konusu:

Kesirli - doğrusal fonksiyon.

Yola girmeden önce, sürücü yolun kurallarını bilmelidir: yasaklama ve izin verme işaretleri. Bugün bazı yasaklayıcı ve izin verici işaretleri de hatırlamamız gerekiyor. Ekrana dikkat! (Slayt-6 )

Çözüm:

İfade mantıklı değil;

Doğru ifade, cevap: -2;

doğru ifade, cevap: -0;

sıfıra bölemezsin 0!

Her şeyin doğru yazılmış olup olmadığına dikkat edin? (slayt - 7)

1) ; 2) = ; 3) = bir .

(1) gerçek eşitlik, 2) = - ; 3) = - A )

II. Yeni bir konu keşfetmek: (slayt - 8).

Hedef: Kesirli doğrusal bir fonksiyonun tanım alanını ve değer alanını bulma becerilerini öğretmek, fonksiyonun grafiğinin apsis ve ordinatlar boyunca paralel aktarımını kullanarak grafiğini çizmek.

Hangi fonksiyonun koordinat düzleminde çizildiğini belirleyin?

Fonksiyonun koordinat düzlemindeki grafiği verilmiştir.

Soru

Beklenen yanıt

Fonksiyonun alanını bulun, (D( y)=?)

X ≠0 veya(-∞;0]UUU

Fonksiyonun grafiğini Öküz ekseni (apsis) boyunca paralel öteleme kullanarak 1 birim sağa kaydırıyoruz;

Hangi fonksiyonun grafiği çizilir?

Fonksiyonun grafiğini Oy (ordinat) ekseni boyunca paralel öteleme kullanarak 2 birim yukarı hareket ettiriyoruz;

Ve şimdi, hangi fonksiyon grafiği oluşturuldu?

x=1 ve y=2 çizgilerini çizin

Nasıl düşünüyorsun? Hangi doğrudan hatları aldık?

Bu düz çizgiler, fonksiyonun grafiğinin eğrisinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaştıkça yaklaştığı.

Ve onlar denirasimptotlardır.

Yani, hiperbolün bir asimptotu y eksenine sağından 2 birim mesafede paralel, ikinci asimptotu ise x eksenine 1 birim uzaklıkta paralel olarak ilerliyor.

Tebrikler! Şimdi sonuca varalım:

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiği, y = hiperbolünden elde edilebilen bir hiperboldür.koordinat eksenleri boyunca paralel ötelemeler kullanarak. Bunun için doğrusal-kesirli bir fonksiyonun formülü şu şekilde sunulmalıdır: y =

burada n, hiperbolün sağa veya sola hareket ettiği birim sayısıdır, m, hiperbolün yukarı veya aşağı hareket ettiği birim sayısıdır. Bu durumda, hiperbolün asimptotları x = m, y = n doğrularına kaydırılır.

İşte kesirli doğrusal fonksiyon örnekleri:

; .

Lineer-kesirli bir fonksiyon, y = formunun bir fonksiyonudur. , burada x bir değişkendir, a, b, c, d bazı sayılardır, c ≠ 0, ad - bc ≠ 0.

c≠0 vereklam- M.Ö≠0, çünkü c=0'da fonksiyon doğrusal bir fonksiyona dönüşür.

Eğerreklam- M.Ö=0, şuna eşit olan indirgenmiş bir kesir değeri elde ederiz: (yani sabit).

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun özellikleri:

1. Bağımsız değişkenin pozitif değerleri arttıkça, fonksiyonun değerleri azalır ve sıfıra yönelir, ancak pozitif kalır.

2. Fonksiyonun pozitif değerleri arttıkça bağımsız değişkenin değerleri azalır ve sıfıra yönelir, ancak pozitif kalır.

III - kapsanan malzemenin konsolidasyonu.

Hedef: - sunum becerilerini ve yeteneklerini geliştirmekdoğrusal-kesirli bir fonksiyonun formülleri şu şekildedir:

Asimptot denklemleri derleme ve kesirli bir doğrusal fonksiyonu çizme becerilerini pekiştirmek.

Örnek 1:

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak, bu işlevi şu şekilde temsil ederiz: .

= (slayt-10)

Beden Eğitimi:

(ısınma ipuçları - görevli)

Hedef: - Zihinsel stresi ortadan kaldırmak ve öğrencilerin sağlığını güçlendirmek.

Ders kitabıyla çalışın: No. 184.

Çözüm: Dönüşümleri kullanarak, bu fonksiyonu y=k/(х-m)+n olarak temsil ederiz.

= de x≠0.

Asimptot denklemini yazalım: x=2 ve y=3.

Yani fonksiyonun grafiği Öküz ekseni boyunca 2 birim sağında ve Oy ekseni boyunca 3 birim yukarısında hareket eder.

Grup çalışması:

Hedef: - başkalarını dinleme ve aynı zamanda özellikle fikirlerini ifade etme becerilerinin oluşturulması;

liderlik yeteneğine sahip bir kişinin eğitimi;

matematiksel konuşma kültürü öğrencilerinde eğitim.

Seçenek numarası 1

Bir işlev verildiğinde:

Seçenek numarası 2

Verilen bir işlev

1. Doğrusal-kesirli fonksiyonu standart forma getirin ve asimptot denklemini yazın.

2. Fonksiyonun kapsamını bulun

3. Fonksiyon değerleri kümesini bulun

1. Doğrusal-kesirli fonksiyonu standart forma getirin ve asimptot denklemini yazın.

2. Fonksiyonun kapsamını bulun.

3. Bir dizi fonksiyon değeri bulun.

(Çalışmayı birinci bitiren grup tahtada grup çalışmasını savunmaya hazırlanıyor. Çalışmanın analizi yapılıyor.)

IV. Dersi özetlemek.

Hedef: - dersteki teorik ve pratik etkinliklerin analizi;

Öğrencilerde özgüven becerilerinin oluşumu;

Öğrencilerin etkinliğinin ve bilincinin yansıması, öz değerlendirmesi.

Ve böylece, sevgili öğrencilerim! Ders bitmek üzere. Bir yansıma haritası doldurmanız gerekir. Görüşlerinizi açık ve okunaklı bir şekilde yazın

Soyadı ve adı ________________________________________

ders aşamaları

Dersin aşamalarının karmaşıklık seviyesinin belirlenmesi

senin us-üçlü

Dersteki etkinliğinizin değerlendirilmesi, 1-5 puan

kolay

orta ağır

zor

Organizasyon aşaması

Yeni materyal öğrenmek

Kesirli doğrusal bir fonksiyonun grafiğini oluşturma yeteneğinin becerilerinin oluşturulması

Grup çalışması

Ders hakkında genel görüş

Ev ödevi:

Hedef: - bu konunun gelişim düzeyinin doğrulanması.

[s.10*, No. 180(a), 181(b).]

GIA'ya hazırlık: (Üzerinde çalışmak "Sanal seçmeli” )

Egzersiz yapmak GIA serisinden (No. 23 - maksimum puan):

Y= fonksiyonunu çizinve c'nin hangi değerleri için y=c doğrusunun grafikle tam olarak bir ortak noktası olduğunu belirleyin.

Sorular ve görevler 14.00 - 14.30 saatleri arasında yayınlanacaktır.

balta +B
Doğrusal bir kesirli fonksiyon, formun bir fonksiyonudur y = --- ,
cx +D

Nerede X- değişken, A,B,C,D bazı sayılardır ve C ≠ 0, reklam-M.Ö ≠ 0.

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun özellikleri:

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiği, koordinat eksenleri boyunca paralel ötelemeler kullanılarak y = k/x hiperbolünden elde edilebilen bir hiperboldür. Bunu yapmak için, doğrusal-kesirli bir fonksiyonun formülü aşağıdaki biçimde gösterilmelidir:

k
y = n + ---
x-m

Nerede N- hiperbolün sağa veya sola kaydırıldığı birim sayısı, M- hiperbolün yukarı veya aşağı hareket ettiği birim sayısı. Bu durumda, hiperbolün asimptotları x = m, y = n doğrularına kaydırılır.

Bir asimptot, eğrinin noktalarının sonsuza doğru uzaklaştıkça yaklaştığı düz bir çizgidir (aşağıdaki şekle bakın).

Paralel transferler için önceki bölümlere bakın.

örnek 1 Hiperbolün asimptotlarını bulun ve fonksiyonun grafiğini çizin:

X + 8
y = ---
X – 2

Çözüm:

k
Kesri n + --- olarak gösterelim
x-m

Bunun için X+ 8'i şu biçimde yazıyoruz: x - 2 + 10 (yani 8, -2 + 10 olarak sunuldu).

X+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
X – 2 X – 2 X – 2 X – 2

İfade neden bu formu aldı? Cevap basit: Toplama yapın (her iki terimi ortak bir paydaya getirin) ve önceki ifadeye döneceksiniz. Yani, verilen ifadenin dönüşümünün sonucudur.

Böylece, gerekli tüm değerleri aldık:

k = 10, m = 2, n = 1.

Böylece, hiperbolümüzün asimptotlarını bulduk (x = m, y = n olduğu gerçeğine dayanarak):

Yani, hiperbolün bir asimptotu eksene paralel uzanır. y sağında 2 birim uzaklıkta ve ikinci asimptot eksene paralel uzanıyor X 1 birim üstü.

Bu fonksiyonu çizelim. Bunu yapmak için aşağıdakileri yapacağız:

1) koordinat düzleminde noktalı bir çizgi ile asimptotları çiziyoruz - x = 2 doğrusu ve y = 1 doğrusu.

2) hiperbol iki daldan oluştuğu için, bu dalları oluşturmak için iki tablo derleyeceğiz: biri x için<2, другую для x>2.

Öncelikle ilk seçenek için x değerlerini seçiyoruz (x<2). Если x = –3, то:

10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3 – 2

Keyfi olarak başka değerler seçiyoruz X(örneğin, -2, -1, 0 ve 1). Karşılık gelen değerleri hesaplayın y. Elde edilen tüm hesaplamaların sonuçları tabloya girilir:

Şimdi x>2 seçeneği için bir tablo yapalım:

Paylaşmak: