Ev » 1 yıldan 1,5 yıla kadar çocuk » Kesirli lineer asimptot fonksiyonu. Grafik fonksiyonları, okul matematiğindeki en ilginç konulardan biridir.

Kesirli lineer asimptot fonksiyonu. Grafik fonksiyonları, okul matematiğindeki en ilginç konulardan biridir.

y = fonksiyonu ve grafiği.

HEDEFLER:

1) y = fonksiyonunun tanımını tanıtmak;

2) Agrapher programını kullanarak y = fonksiyonunun grafiğini çizmeyi öğretmek;

3) fonksiyon grafiklerinin dönüşüm özelliklerini kullanarak y \u003d fonksiyonunun grafiklerinin eskizlerini oluşturma becerisini oluşturmak;

I. Yeni materyal - genişletilmiş konuşma.

Y: y = ; y = ; y = .

Bu formüllerin sağ tarafında yazan ifadeler nelerdir?

D: Bu formüllerin doğru kısımları, payın birinci dereceden bir binom veya sıfırdan farklı bir sayı olduğu ve paydanın birinci dereceden bir binom olduğu bir rasyonel kesir biçimine sahiptir.

U: Bu tür işlevleri bir form formülüyle belirtmek adettendir.

a) c = 0 veya c) = olduğu durumları göz önünde bulundurun.

(İkinci durumda öğrenciler zorluk yaşayacaksa, onlardan ifade etmelerini istemeniz gerekir. İle belirli bir orandan alın ve ardından elde edilen ifadeyi formül (1)'de değiştirin).

D1: c \u003d 0 ise, y \u003d x + b doğrusal bir fonksiyondur.

D2: Eğer = ise, o zaman c = . değeri değiştirme İle formül (1)'de şunu elde ederiz:

Yani y = lineer bir fonksiyondur.

Y: y \u003d biçimindeki bir formülle belirtilebilen bir işlev, burada x harfi bağımsızdır

bu değişken ve a, b, c ve d harfleri rasgele sayılardır ve c0 ve ad'nin tümü 0'dır, doğrusal-kesirli fonksiyon olarak adlandırılır.

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiğinin bir hiperbol olduğunu gösterelim.

örnek 1 y = fonksiyonunu çizelim. Kesirden tamsayı kısmını çıkaralım.

Elimizde: = = = 1 + .

y \u003d +1 fonksiyonunun grafiği, y \u003d fonksiyonunun grafiğinden iki paralel çeviri kullanılarak elde edilebilir: X ekseni boyunca 2 birim sağa kaydırma ve yönünde 1 birim yukarı kaydırma Y ekseni Bu kaymalarla, y \u003d hiperbolünün asimptotları hareket edecektir: düz çizgi x \u003d 0 (yani, y ekseni) 2 birim sağa ve düz çizgi y = 0 (yani, x ekseni) bir birim yukarıdadır. Çizmeden önce çizelim koordinat uçağı kesikli asimptotlar: düz çizgiler x = 2 ve y = 1 (Şekil 1a). Hiperbolün iki daldan oluştuğunu göz önünde bulundurarak, her birini oluşturmak için Agrapher programını kullanarak biri x>2 için diğeri x için olmak üzere iki tablo derleyeceğiz.<2.

X	1	0	-1	-2	-4	-10
de	-5	-2	-1	-0,5	0	0,5
X	3	4	5	6	8	12
de	7	4	3	2,5	2	1,6

Koordinatları ilk tabloda kayıtlı olan noktaları (Agrapher programını kullanarak) koordinat düzleminde işaretleyin ve bunları pürüzsüz, sürekli bir çizgi ile birleştirin. Hiperbolün bir dalını elde ederiz. Benzer şekilde, ikinci tabloyu kullanarak hiperbolün ikinci dalını elde ederiz (Şekil 1b).

Örnek 2. y \u003d - fonksiyonunu çizelim 2x + 10 binomunu x + 3 binomuna bölerek kesirden tamsayı kısmını seçiyoruz. Bu nedenle, y = -2.

y = -2 fonksiyonunun grafiği, y = - fonksiyonunun grafiğinden iki paralel öteleme kullanılarak elde edilebilir: 3 birim sola kaydırma ve 2 birim aşağı kaydırma. Hiperbolün asimptotları x = -3 ve y = -2 doğrularıdır. x için tabloları derleyin (Agrapher programını kullanarak)<-3 и для х>-3.

X	-2	-1	1	2	7
de	-6	-4	-3	-2,8	-2,4
X	-4	-5	-7	-8	-11
de	2	0	-1	-1,2	-1,5

Koordinat düzleminde (Agrapher programını kullanarak) noktalar oluşturduktan ve bunlar aracılığıyla hiperbolün dallarını çizdikten sonra, y = - fonksiyonunun bir grafiğini elde ederiz (Şekil 2).

W: Doğrusal bir kesirli fonksiyonun grafiği nedir?

D: Herhangi bir doğrusal-kesirli fonksiyonun grafiği bir hiperboldür.

S: Doğrusal bir kesirli fonksiyon nasıl çizilir?

D: Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiği, koordinat eksenleri boyunca paralel ötelemeler kullanılarak y \u003d fonksiyonunun grafiğinden elde edilir, doğrusal-kesirli fonksiyonun hiperbolünün dalları nokta etrafında simetriktir (-. Düz x \u003d satırı - hiperbolün dikey asimptotu olarak adlandırılır.Y \u003d düz çizgisine yatay asimptot denir.

S: Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun tanım alanı nedir?

S: Doğrusal bir kesirli fonksiyonun aralığı nedir?

D: E(y) = .

T: Fonksiyonun sıfırları var mı?

D: x \u003d 0 ise, f (0) \u003d, d. Yani, işlevin sıfırları vardır - A noktası.

S: Doğrusal bir kesirli fonksiyonun grafiğinin x ekseni ile kesişme noktaları var mı?

D: Eğer y = 0 ise x = -. Yani, a ise, X ekseni ile kesişme noktasının koordinatları vardır. a \u003d 0, in ise, doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiğinin apsis ekseni ile kesişme noktaları yoktur.

Y: Fonksiyon, bc-ad > 0 ise tüm tanım alanının aralıklarında azalır ve bc-ad ise tüm tanım alanının aralıklarında artar< 0. Но это немонотонная функция.

T: Fonksiyonun en büyük ve en küçük değerlerini belirtmek mümkün mü?

D: Fonksiyonun maksimum ve minimum değerleri yoktur.

T: Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiğinin asimptotları hangi doğrulardır?

D: Dikey asimptot düz çizgidir x = -; ve yatay asimptot y = düz çizgisidir.

(Öğrenciler bir doğrusal-kesirli fonksiyonun tüm genelleştirici sonuçlarını-tanımlarını ve özelliklerini bir deftere yazarlar)

II. konsolidasyon

Doğrusal-kesirli fonksiyonların grafiklerini oluştururken ve "okurken", Agrapher programının özellikleri kullanılır.

III. Bağımsız çalışmayı öğretmek.

Hiperbol merkezini, asimptotları bulun ve fonksiyonun grafiğini çizin:

a) y = b) y = c) y = ; d) y = ; e) y = ; f) y = ;

g) y = h) y = -

Her öğrenci kendi hızında çalışır. Gerekirse öğretmen, cevapları öğrencinin görevi doğru bir şekilde tamamlamasına yardımcı olacak sorular sorarak yardım sağlar.

y = ve y = fonksiyonlarının özelliklerinin ve bu fonksiyonların grafiklerinin özelliklerinin incelenmesi üzerine laboratuvar ve pratik çalışma.

HEDEFLER: 1) Agrapher programını kullanarak y = ve y = fonksiyonlarının grafiklerini oluşturmak için becerilerin oluşumuna devam etmek;

2) fonksiyonların "grafiklerini okuma" becerilerini ve kesirli doğrusal fonksiyonların çeşitli dönüşümleri altında grafiklerdeki değişiklikleri "tahmin etme" becerisini pekiştirmek.

I. Doğrusal-kesirli bir fonksiyonun özelliklerinin farklılaştırılmış tekrarı.

Her öğrenciye bir kart verilir - görevleri içeren bir çıktı. Tüm yapılar Agrapher programı kullanılarak gerçekleştirilir. Her görevin sonuçları hemen tartışılır.

Her öğrenci özdenetim yardımıyla ödev sırasında elde edilen sonuçları düzeltebilir ve bir öğretmenden veya öğrenci danışmanından yardım isteyebilir.

f(x) =6 olan X bağımsız değişkeninin değerini bulun; f(x)=-2.5.

3. y fonksiyonunun grafiğini oluşturun \u003d Noktanın bu fonksiyonun grafiğine ait olup olmadığını belirleyin: a) A (20; 0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2.5); d) D(25;0.4)?

4. y \u003d işlevinin grafiğini çizin. y\u003e 0 ve y'nin olduğu aralıkları bulun<0.

5. y = fonksiyonunu çizin. Fonksiyonun etki alanını ve aralığını bulun.

6. Hiperbolün asimptotlarını belirtin - y \u003d - fonksiyonunun grafiği. Çizimi gerçekleştirin.

7. y = fonksiyonunu çizin. Fonksiyonun sıfırlarını bulun.

II.Laboratuvar ve pratik çalışma.

Her öğrenciye 2 kart verilir: 1 numaralı kart "Talimat"öyle bir planla iş yapılıyor ve görev ve kart numarası 2 olan metin ” Fonksiyon Çalışması Sonuçları ”.

Belirtilen işlevi çizin.
Fonksiyonun kapsamını bulun.
Fonksiyonun aralığını bulun.
Hiperbolün asimptotlarını verin.
Fonksiyonun sıfırlarını bulun (f(x) = 0).
Hiperbolün x ekseni (y = 0) ile kesişme noktasını bulun.

7. Aşağıdakilerin olduğu boşlukları bulun: a) y<0; б) y>0.

8. Fonksiyonun artış (azalma) aralıklarını belirleyin.

ben seçeneği.

Agrapher programını kullanarak bir fonksiyon grafiği oluşturun ve özelliklerini keşfedin:

a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -5-

Bu derste, daha yakından inceleyeceğiz doğrusal fonksiyon, doğrusal-kesirli bir fonksiyon, modül, parametre kullanarak problemleri çözün.

Tema: Tekrarlama

Ders: kesirli doğrusal fonksiyon

Tanım:

Doğrusal-kesirli bir fonksiyona şu şekilde bir fonksiyon denir:

Örneğin:

Bu doğrusal-kesirli fonksiyonun grafiğinin bir hiperbol olduğunu kanıtlayalım.

Paydaki ikiliyi çıkaralım, şunu elde ederiz:

Hem payda hem de paydada x var. Şimdi, ifade payda görünecek şekilde dönüştürüyoruz:

Şimdi kesri terim terime indirelim:

Açıkçası, bu fonksiyonun grafiği bir hiperboldür.

İkinci bir ispat yolu sunabiliriz, yani payı paydaya göre bir sütuna bölmek:

Var:

Özellikle bir hiperbolün simetri merkezini bulmak için doğrusal-kesirli bir fonksiyonun grafiğini kolayca oluşturabilmek önemlidir. Hadi sorunu çözelim.

Örnek 1 - bir fonksiyon grafiği çizin:

Bu işlevi zaten dönüştürdük ve şunu elde ettik:

Bu grafiği oluşturmak için eksenleri veya hiperbolün kendisini kaydırmayacağız. Sabitlik aralıklarının varlığını kullanarak fonksiyon grafikleri oluşturmak için standart yöntemi kullanıyoruz.

Algoritmaya göre hareket ediyoruz. İlk olarak, verilen işlevi inceliyoruz.

Böylece, üç sabitlik aralığımız var: en sağda () işlevin bir artı işareti vardır, ardından işaretler değişir, çünkü tüm kökler birinci dereceye sahiptir. Yani, aralıkta fonksiyon negatiftir, aralıkta fonksiyon pozitiftir.

ODZ'nin kökleri ve kırılma noktaları civarında grafiğin bir taslağını oluşturuyoruz. Elimizde: fonksiyonun işareti artıdan eksiye değiştiği noktada, eğri önce eksenin üzerinde, sonra sıfırdan geçiyor ve sonra x ekseninin altında bulunuyor. Bir kesrin paydası neredeyse sıfır olduğunda, argümanın değeri üçe yöneldiğinde, kesrin değeri sonsuza gitme eğilimindedir. Bu durumda argüman soldaki üçlüye yaklaştığında fonksiyon negatiftir ve eksi sonsuza eğilim gösterir, sağda fonksiyon pozitiftir ve artı sonsuzdan çıkar.

Şimdi sonsuz uzak noktaların yakınında fonksiyonun grafiğinin bir taslağını oluşturuyoruz, yani argüman artı veya eksi sonsuza gittiğinde. Bu durumda sabit terimler ihmal edilebilir. Sahibiz:

Böylece, bir yatay asimptotumuz ve bir dikey asimptotumuz var, hiperbolün merkezi (3;2) noktasıdır. Örnekleyelim:

Pirinç. 1. Örnek 1 için bir hiperbolün grafiği

Doğrusal-kesirli bir fonksiyonla ilgili problemler, bir modül veya parametrenin varlığıyla karmaşık hale gelebilir. Örneğin bir fonksiyon grafiği oluşturmak için aşağıdaki algoritmayı izlemelisiniz:

Pirinç. 2. Algoritma için örnek

Ortaya çıkan grafik, x ekseninin üzerinde ve x ekseninin altında olan dallara sahiptir.

1. Belirtilen modülü uygulayın. Bu durumda, grafiğin x ekseninin üzerindeki kısımları değişmeden kalır ve eksenin altındakiler x eksenine göre aynalanır. Biz:

Pirinç. 3. Algoritma için örnek

Örnek 2 - bir fonksiyon grafiği çizin:

Pirinç. 4. Örnek 2 için fonksiyon grafiği

Aşağıdaki görevi ele alalım - bir fonksiyon grafiği çizmek için. Bunu yapmak için aşağıdaki algoritmayı izlemelisiniz:

1. Alt modüler fonksiyonun grafiğini çizin

Aşağıdaki grafiğe sahip olduğumuzu varsayalım:

Pirinç. 5. Algoritma için örnek

1. Belirtilen modülü uygulayın. Bunun nasıl yapıldığını anlamak için modülü genişletelim.

Böylece, argümanın negatif olmayan değerlerine sahip fonksiyon değerleri için herhangi bir değişiklik olmayacaktır. İkinci denklemle ilgili olarak, y ekseni etrafında simetrik bir eşleme ile elde edildiğini biliyoruz. fonksiyonun bir grafiğine sahibiz:

Pirinç. 6. Algoritma için örnek

Örnek 3 - bir fonksiyon grafiği çizin:

Algoritmaya göre, önce bir alt modüler fonksiyon grafiği çizmeniz gerekiyor, onu zaten oluşturduk (bkz. Şekil 1)

Pirinç. 7. Örnek 3 için fonksiyon grafiği

Örnek 4 - bir denklemin kök sayısını bir parametre ile bulun:

Bir denklemi bir parametre ile çözmenin, parametrenin tüm değerleri üzerinde yineleme yapmak ve her biri için cevabı belirtmek anlamına geldiğini hatırlayın. Metodolojiye göre hareket ederiz. İlk olarak, fonksiyonun bir grafiğini oluşturuyoruz, bunu önceki örnekte zaten yapmıştık (bkz. Şekil 7). Ardından, grafiği farklı a için bir çizgi ailesiyle kesmeniz, kesişme noktalarını bulmanız ve cevabı yazmanız gerekir.

Grafiğe bakarak cevabı yazıyoruz: için ve denklemin iki çözümü var; için, denklemin bir çözümü vardır; için, denklemin çözümü yoktur.

"Kesirli bir doğrusal fonksiyonun grafiğini çizmek" gibi bir konuyu incelemek için metodolojinin sorularını düşünün. Ne yazık ki, çalışması temel programdan çıkarıldı ve matematik öğretmeni derslerinde ona istediği sıklıkta dokunmuyor. Ancak, GIA'nın ikinci bölümü olan matematik derslerini henüz kimse iptal etmedi. Evet ve Birleşik Devlet Sınavında, C5 görevinin gövdesine (parametreler aracılığıyla) girme olasılığı vardır. Bu nedenle, kolları sıvamanız ve bunu ortalama veya orta güçlü bir öğrenciyle bir derste anlatma yöntemi üzerinde çalışmanız gerekecektir. Kural olarak, bir matematik öğretmeni, çalışmanın ilk 5-7 yılı boyunca okul müfredatının ana bölümleri için açıklamalar geliştirir. Bu süre zarfında çeşitli kategorilerde onlarca öğrenci hocanın gözünden ve elinden geçmeyi başarır. İhmal edilmiş ve doğal olarak zayıf çocuklardan, aylaklardan ve okuldan kaçanlardan maksatlı yeteneklere.

Zamanla, bir matematik öğretmeni karmaşık kavramları matematiksel bütünlük ve doğruluktan ödün vermeden basit bir dille açıklama becerisine sahip olur. Materyal, konuşma, görsel eşlik ve kayıtların kaydı için bireysel bir sunum tarzı geliştirildi. Deneyimli herhangi bir öğretmen dersi gözleri kapalı anlatacaktır, çünkü materyali anlamakta hangi sorunların ortaya çıktığını ve bunları çözmek için neyin gerekli olduğunu önceden bilir. Doğru kelimeleri ve kayıtları seçmek, dersin başlangıcı, ortası ve sonu için örneklerin yanı sıra ev ödevi için alıştırmaları doğru bir şekilde oluşturmak önemlidir.

Konuyla çalışmanın bazı özel yöntemleri bu makalede ele alınacaktır.

Bir matematik öğretmeni hangi grafiklerle başlar?

İncelenen kavramın tanımıyla başlamanız gerekir. Size bir kesirli doğrusal fonksiyonun formun bir fonksiyonu olduğunu hatırlatırım. İnşaatı inşaata indirgenmiştir. en yaygın abartı grafikleri dönüştürmek için iyi bilinen basit tekniklerle. Uygulamada, yalnızca öğretmenin kendisi için basittirler. Güçlü bir öğrenci, yeterli bir hesaplama ve dönüşüm hızıyla öğretmene gelse bile, yine de bu teknikleri ayrı ayrı anlatmak zorundadır. Neden? Okulda, 9. sınıfta, grafikler yalnızca kaydırılarak oluşturulur ve sayısal çarpanları toplama yöntemleri (sıkıştırma ve germe yöntemleri) kullanılmaz. Matematik öğretmeni hangi tabloyu kullanıyor? Başlamak için en iyi yer neresidir? Tüm hazırlıklar, bence en uygun işlev örneği üzerinde gerçekleştirilir. . Başka ne kullanmalı? 9. sınıftaki trigonometri grafikler olmadan incelenir (ve matematikte GIA koşulları altında dönüştürülen ders kitaplarında hiç geçmezler). İkinci dereceden işlev, bu konuda kökün sahip olduğu "metodolojik ağırlığa" sahip değildir. Neden? 9. sınıfta, kare üç terimli iyice çalışılır ve öğrenci, inşaat problemlerini vardiya olmadan çözme konusunda oldukça yeteneklidir. Form anında bir refleksin parantezleri açmasına neden olur, ardından parabolün tepesinden ve değerler tablosundan standart çizim kuralını uygulayabilirsiniz. Böyle bir manevra ile gerçekleştirmek mümkün olmayacak ve matematik öğretmeninin öğrenciyi genel dönüştürme yöntemlerini çalışmaya motive etmesi daha kolay olacaktır. y=|x| ayrıca kendini haklı çıkarmaz çünkü kökü kadar yakından incelenmez ve okul çocukları ondan çok korkar. Ek olarak, modülün kendisi (daha doğrusu "asılı") incelenen dönüşümler arasındadır.

Bu nedenle, öğretmenin karekökü kullanarak dönüşümlere hazırlanmaktan daha uygun ve etkili bir şeyi yoktur. Bunun gibi grafikler oluşturmak pratik gerektirir. Bu hazırlığın başarılı olduğunu varsayalım. Çocuk çizelgeleri nasıl kaydıracağını ve hatta sıkıştıracağını / uzatacağını bilir. Sıradaki ne?

Bir sonraki aşama, tüm parçayı seçmeyi öğrenmektir. Belki de bir matematik öğretmeninin ana görevi budur, çünkü tüm bölüm vurgulandıktan sonra, konuyla ilgili tüm hesaplama yükünden aslan payını alır. Standart yapım şemalarından birine uyan bir form için fonksiyon hazırlamak son derece önemlidir. Dönüşümlerin mantığını erişilebilir, anlaşılır ve bir yandan da matematiksel olarak doğru ve uyumlu bir şekilde anlatmak da önemlidir.

Size bir grafik çizmek için bir kesri forma dönüştürmeniz gerektiğini hatırlatmama izin verin. . Buna ve buna değil
, paydayı koruyarak. Neden? Sadece parçalardan oluşan değil, aynı zamanda asimptotları da olan grafiğin dönüşümlerini gerçekleştirmek zordur. Süreklilik, az ya da çok net bir şekilde hareket ettirilen iki veya üç noktayı bir çizgi ile birleştirmek için kullanılır. Süreksiz bir fonksiyon durumunda, hangi noktaların bağlanacağı hemen belli olmaz. Bu nedenle, bir abartıyı sıkıştırmak veya esnetmek son derece elverişsizdir. Bir matematik öğretmeni, bir öğrenciye yalnızca vardiyalarla idare etmeyi öğretmekle yükümlüdür.

Bunu yapmak için, tamsayı kısmını vurgulamanın yanı sıra, paydadaki katsayıyı da kaldırmanız gerekir. C.

Bir kesrin tamsayı kısmını çıkarma

Bütün parçanın seçimi nasıl öğretilir? Matematik öğretmenleri, bir öğrencinin bilgi düzeyini her zaman yeterince değerlendirmezler ve programda polinomları kalanlı bölme teoremine ilişkin ayrıntılı bir çalışma olmamasına rağmen, bir köşeye bölme kuralını uygularlar. Öğretmen köşe bölümünü alırsa, dersin neredeyse yarısını bunu açıklamak için harcamanız gerekecektir (tabii ki her şey dikkatlice kanıtlanmadıkça). Ne yazık ki, öğretmenin bu zamanı her zaman müsait değildir. Herhangi bir köşeyi hiç düşünmemek daha iyidir.

Bir öğrenciyle çalışmanın iki yolu vardır:
1) Öğretmen ona bir kesirli fonksiyon örneği kullanarak tamamlanmış algoritmayı gösterir.
2) Öğretmen, bu algoritma için mantıksal arama için koşullar yaratır.

İkinci yolun uygulanması bana özel ders uygulaması için en ilginç ve son derece yararlı görünüyor. öğrencinin düşüncesini geliştirmek. Belirli ipuçları ve işaretlerin yardımıyla, belirli bir doğru adımlar dizisinin keşfedilmesine yol açmak genellikle mümkündür. Birisi tarafından hazırlanan bir planın otomatik olarak uygulanmasının aksine, 9. sınıf öğrencisi kendi başına plan aramayı öğrenir. Doğal olarak, tüm açıklamalar örneklerle yapılmalıdır. Bunun için bir fonksiyon ele alalım ve öğreticinin algoritmanın arama mantığı hakkındaki yorumlarını ele alalım. Bir matematik öğretmeni soruyor: "Eksenleri kaydırarak standart bir grafik dönüşümü gerçekleştirmemizi engelleyen nedir? Tabii ki, X'in hem payda hem de paydada aynı anda bulunması. Yani paydan çıkarmanız gerekiyor. Bunu özdeş dönüşümlerle nasıl yapabilirim? Kesri azaltmak için tek bir yol var. Ancak eşit çarpanlarımız (parantezler) yok. Bu yüzden onları yapay olarak yaratmaya çalışmalısınız. Ama nasıl? Herhangi bir özdeş geçiş olmadan payı payda ile değiştiremezsiniz. Payı, paydaya eşit bir parantez içerecek şekilde dönüştürmeye çalışalım. oraya koyalım zorla ve katsayıları, parantez üzerinde "hareket ettiklerinde", yani açılıp benzer terimler eklendiğinde, 2x + 3 doğrusal bir polinom elde edilecek şekilde "bindirin".

Matematik öğretmeni, katsayılar için boş dikdörtgenler şeklinde boşluklar ekler (5-6. sınıf ders kitaplarında sıklıkla kullanıldığı gibi) ve bunları sayılarla doldurma görevini belirler. seçim olmalıdır soldan sağa ilk geçişten başlayarak. Öğrenci parantezi nasıl açacağını hayal etmelidir. Açıklanması x ile yalnızca bir terimle sonuçlanacağından, eski pay 2x + 3'teki en yüksek katsayıya eşit olması gereken katsayısıdır. Bu nedenle ilk karenin 2 sayısını içerdiği açıktır. Doldurulur. Bir matematik öğretmeni, c=1 ile oldukça basit bir kesirli doğrusal fonksiyon almalıdır. Ancak bundan sonra, hoş olmayan bir pay ve payda biçimine sahip örneklerin analizine devam edebilirsiniz (kesirli katsayılara sahip olanlar dahil).

Devam etmek. Öğretmen parantezi açar ve sonucu hemen üstüne imzalar.
Karşılık gelen faktör çiftini gölgelendirebilirsiniz. "Genişletilmiş terime", eski payın serbest katsayısını elde etmek için ikinci boşluktan böyle bir sayı eklemek gerekir. Açıkçası 7.

Daha sonra, kesir, tek tek kesirlerin toplamına bölünür (genellikle kesirleri bir bulutla daire içine alırım, konumlarını kelebek kanatlarıyla karşılaştırırım). Ben de "Kesiri bir kelebekle kıralım" diyorum. Öğrenciler bu cümleyi iyi hatırlıyorlar.

Matematik öğretmeni, hiperbol kaydırma algoritmasını uygulamanın zaten mümkün olduğu forma tamsayı kısmını çıkarma işleminin tamamını gösterir:

Payda bire eşit olmayan bir kıdemli katsayıya sahipse, hiçbir durumda orada bırakılmamalıdır. Bu, hem öğretmene hem de öğrenciye ek bir dönüşüm ihtiyacıyla ilişkili ekstra bir baş ağrısı getirecek ve en zoru: sıkıştırma - esneme. Doğru orantılılık grafiğinin şematik yapısı için payın türü önemli değildir. Önemli olan işaretini bilmek. O zaman paydanın en yüksek katsayısını ona aktarmak daha iyidir. Örneğin, işlevle çalışıyorsak , sonra basitçe 3'ü parantezden alıp payın içine "yükseltiriz" ve içinde bir kesir oluştururuz. İnşa için çok daha uygun bir ifade elde ederiz: Sağa ve 2 yukarı kaydırmak kalır.

2 tamsayı kısmı ile kalan kesir arasında bir "eksi" belirirse, onu paya koymak da daha iyidir. Aksi takdirde, inşaatın belirli bir aşamasında, ayrıca hiperbolü Oy eksenine göre görüntülemeniz gerekecektir. Bu sadece süreci karmaşıklaştıracaktır.

Matematik Öğretmeninin Altın Kuralı:
grafiğin simetrisine, daralmasına veya genişlemesine yol açan tüm uygunsuz katsayılar paya aktarılmalıdır.

Herhangi bir konuyla çalışma tekniklerini tarif etmek zordur. Her zaman bir eksiklik hissi vardır. Kesirli bir doğrusal fonksiyon hakkında ne kadar konuşmayı başardığınızı yargılamak size kalmış. Makaleye yorumlarınızı ve geri bildirimlerinizi gönderin (sayfanın altında gördüğünüz kutuya yazabilirsiniz). Onları kesinlikle yayınlayacağım.

Kolpakov A.N. Matematik öğretmeni Moskova. Strogino. Öğretmenler için yöntemler.

1. Doğrusal kesirli fonksiyon ve grafiği

P(x) ve Q(x)'in polinom olduğu y = P(x) / Q(x) şeklindeki bir fonksiyona kesirli rasyonel fonksiyon denir.

Muhtemelen rasyonel sayılar kavramına zaten aşinasınızdır. benzer şekilde rasyonel fonksiyonlar iki polinomun bölümü olarak gösterilebilen fonksiyonlardır.

Kesirli bir rasyonel fonksiyon, iki doğrusal fonksiyonun bir bölümüyse - birinci dereceden polinomlar, yani. işlevi görüntüle

y = (ax + b) / (cx + d), o zaman kesirli doğrusal denir.

y = (ax + b) / (cx + d) fonksiyonunda c ≠ 0 (aksi takdirde fonksiyon doğrusal y = ax/d + b/d olur) ve a/c ≠ b/d (aksi halde fonksiyon bir sabittir). Doğrusal-kesirli fonksiyon, x = -d/c hariç tüm gerçek sayılar için tanımlanmıştır. Doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri bildiğiniz y = 1/x grafiğinden şekil olarak farklı değildir. y = 1/x fonksiyonunun grafiği olan eğriye denir. abartı. x'te sınırsız bir artış ile mutlak değer y = 1/x fonksiyonunun mutlak değeri sonsuza kadar azalır ve grafiğin her iki dalı da apsis eksenine yaklaşır: sağdaki üstten, soldaki alttan yaklaşır. Bir hiperbolün dallarının yaklaştığı doğrulara hiperbol denir. asimptotlar.

örnek 1

y = (2x + 1) / (x - 3).

Çözüm.

Tamsayı kısmını seçelim: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: sağa 3 birim parça kaydırma, Oy ekseni boyunca 7 kez uzatma ve kaydırma 2 birim segment yukarı.

Herhangi bir y = (ax + b) / (cx + d) kesri, "tüm kısım" vurgulanarak aynı şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri hiperbollerdir, çeşitli şekillerde koordinat eksenleri boyunca kaydırılır ve Oy ekseni boyunca uzatılır.

Herhangi bir keyfi doğrusal-kesirli fonksiyonun grafiğini çizmek için, bu fonksiyonu tanımlayan kesri dönüştürmek hiç gerekli değildir. Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için, dallarının yaklaştığı doğruları bulmak yeterli olacaktır - hiperbol x = -d/c ve y = a/c asimptotlarıdır.

Örnek 2

y = (3x + 5)/(2x + 2) fonksiyonunun grafiğinin asimptotlarını bulun.

Çözüm.

x = -1 olduğunda fonksiyon tanımlı değildir. Bu nedenle, x = -1 doğrusu dikey bir asimptot görevi görür. Yatay asimptotu bulmak için x argümanı mutlak değerde arttığında y(x) fonksiyonunun değerlerinin neye yaklaştığını bulalım.

Bunu yapmak için kesrin payını ve paydasını x'e böleriz:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

x → ∞ olarak kesir 3/2 olma eğilimindedir. Dolayısıyla, yatay asimptot y = 3/2 düz çizgisidir.

Örnek 3

y = (2x + 1)/(x + 1) fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

Kesrin "tüm kısmını" seçiyoruz:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Şimdi bu fonksiyonun grafiğinin y = 1/x fonksiyonunun grafiğinden aşağıdaki dönüşümlerle elde edildiğini görmek kolaydır: 1 birim sola kaydırma, Ox'e göre simetrik bir gösterim ve bir kaydırma Oy ekseni boyunca 2 birim aralıklarla.

Tanım alanı D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Değer aralığı E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Eksenlerle kesişme noktaları: c Oy: (0; 1); c Öküz: (-1/2; 0). Fonksiyon, tanım alanındaki aralıkların her birinde artar.

Cevap: şekil 1.

2. Kesirli-rasyonel fonksiyon

y = P(x) / Q(x) biçiminde bir kesirli rasyonel fonksiyon düşünün, burada P(x) ve Q(x) birinciden daha yüksek dereceli polinomlardır.

Bu tür rasyonel fonksiyonlara örnekler:

y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) veya y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

y = P(x) / Q(x) fonksiyonu birinciden daha yüksek dereceli iki polinomun bir bölümüyse, grafiği kural olarak daha karmaşık olacaktır ve bazen onu tam olarak oluşturmak zor olabilir. , tüm detaylarıyla. Bununla birlikte, yukarıda zaten tanıştıklarımıza benzer teknikleri uygulamak genellikle yeterlidir.

Kesir uygun olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 + p t x + q t) m1 + ... + (M m1 x + N m1) / (x 2 + p t x + q t).

Açıkçası, bir kesirli rasyonel fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir.

Kesirli rasyonel fonksiyonların çizimi

Kesirli-rasyonel bir işlevi çizmenin birkaç yolunu düşünün.

Örnek 4

y = 1/x 2 fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

y \u003d 1 / x 2 grafiğini çizmek için y \u003d x 2 fonksiyonunun grafiğini kullanıyoruz ve grafikleri "bölme" yöntemini kullanıyoruz.

Etki alanı D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Değer aralığı E(y) = (0; +∞).

Eksenler ile kesişme noktaları yoktur. Fonksiyon çifttir. (-∞; 0) aralığından tüm x'ler için artar, x için 0'dan +∞'a azalır.

Cevap: şekil 2.

Örnek 5

y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) fonksiyonunu çizin.

Çözüm.

Etki alanı D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.

Burada çarpanlara ayırma, azaltma ve doğrusal bir fonksiyona indirgeme tekniğini kullandık.

Cevap: şekil 3.

Örnek 6

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) işlevini çizin.

Çözüm.

Tanım alanı D(y) = R'dir. Fonksiyon çift olduğundan grafik y eksenine göre simetriktir. Çizdirmeden önce, tamsayı kısmını vurgulayarak ifadeyi yeniden dönüştürüyoruz:

y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).

Kesirli-rasyonel bir fonksiyonun formülündeki tamsayı kısmının seçiminin, grafikleri çizerken ana olanlardan biri olduğuna dikkat edin.

x → ±∞ ise, o zaman y → 1, yani, y = 1 doğrusu yatay bir asimptottur.

Cevap: Şekil 4.

Örnek 7

y = x/(x 2 + 1) fonksiyonunu düşünün ve tam olarak en büyük değerini bulmaya çalışın, yani grafiğin sağ yarısındaki en yüksek nokta. Bu grafiği doğru bir şekilde oluşturmak için bugünün bilgisi yeterli değildir. Eğrimizin çok yükseğe "tırmanamayacağı" açıktır, çünkü payda hızla payı "geçmeye" başlar. Bakalım, fonksiyonun değeri 1'e eşit olabilir. Bunu yapmak için x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0 denklemini çözmeniz gerekir. Bu denklemin gerçek kökleri yoktur. Yani varsayımımız yanlış. Fonksiyonun en büyük değerini bulmak için, A \u003d x / (x 2 + 1) denkleminin hangi en büyük A için bir çözümü olacağını bulmanız gerekir. Orijinal denklemi ikinci dereceden bir denklemle değiştirelim: Ax 2 - x + A \u003d 0. Bu denklemin 1 - 4A 2 ≥ 0 olduğunda bir çözümü vardır. Buradan en büyük A \u003d 1/2 değerini buluyoruz.

Cevap: Şekil 5, max y(x) = ½.

Sormak istediğiniz bir şey var mı? Fonksiyon grafiklerinin nasıl oluşturulacağını bilmiyor musunuz?
Bir öğretmenin yardımını almak için - kayıt olun.
İlk ders ücretsiz!

site, malzemenin tamamen veya kısmen kopyalanmasıyla, kaynağa bir bağlantı gereklidir.

Ana Sayfa > Edebiyat

Belediye eğitim kurumu

"Ortalama Kapsamlı okul№24"

Sorunlu soyut çalışma

cebirde ve analizin başlangıcı

Kesirli rasyonel fonksiyonun grafikleri

11. sınıf öğrencileri A Tovchegrechko Natalia Sergeevna iş danışmanı Parsheva Valentina Vasilievna matematik öğretmeni, yüksek öğretim öğretmeni yeterlilik kategorisi

Severodvinsk

İçindekiler 3Giriş 4Ana bölüm. Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri 6Sonuç 17Kaynaklar 18

giriiş

Grafik fonksiyonları, okul matematiğindeki en ilginç konulardan biridir. Zamanımızın en büyük matematikçilerinden biri olan Israel Moiseevich Gelfand şöyle yazdı: “Grafik oluşturma süreci, formülleri ve açıklamaları geometrik görüntülere dönüştürmenin bir yoludur. Bu - çizim - formülleri ve işlevleri görmenin ve bu işlevlerin nasıl değiştiğini görmenin bir yoludur. Örneğin y=x 2 yazılırsa hemen bir parabol görürsünüz; y=x 2 -4 ise, dört birim alçaltılmış bir parabol görürsünüz; y=4-x 2 ise, önceki parabolü baş aşağı görürsünüz. Hem formülü hem de geometrik yorumunu aynı anda görebilme yeteneği, yalnızca matematik çalışmak için değil, diğer dersler için de önemlidir. Bisiklete binmeyi, yazı yazmayı veya araba sürmeyi öğrenmek gibi, ömür boyu sizinle kalan bir beceri." Matematik derslerinde, temel olarak en basit grafikleri - temel fonksiyonların grafiklerini oluştururuz. Sadece 11. sınıfta türev yardımıyla daha karmaşık fonksiyonlar oluşturmayı öğrendiler. Kitap okurken:

Çalışmanın amacı: ilgili teorik materyalleri incelemek, doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için bir algoritma belirlemek. Görevler: 1. doğrusal kesirli ve kesirli rasyonel fonksiyon kavramlarını temel alarak oluşturur. teorik malzeme Bu konuda; 2. doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonların grafiklerini oluşturmak için yöntemler bulabilecektir.

Ana bölüm. Kesirli rasyonel fonksiyonların grafikleri

1. Kesirli - doğrusal fonksiyon ve grafiği

k≠0 olmak üzere y=k/x biçimindeki bir fonksiyon, özellikleri ve grafiği ile zaten tanışmıştık. Bu fonksiyonun bir özelliğine dikkat edelim. Pozitif sayılar kümesindeki y=k/x işlevi, argümanın değerlerinde sınırsız bir artışla (x artı sonsuza eğilimli olduğunda), pozitif kalan fonksiyonların değerlerinin eğilimi gösterme özelliğine sahiptir. sıfıra Argümanın pozitif değerleri azaldıkça (x sıfıra eğilimli olduğunda), fonksiyonun değerleri sonsuza kadar artar (y artı sonsuza eğilimlidir). Set için de benzer bir tablo görülüyor. negatif sayılar. Grafikte (Şekil 1), bu özellik, hiperbolün noktalarının orijinden sonsuza (sağa veya sola, yukarı veya aşağı) uzaklaştıkça düz çizgiye süresiz olarak yaklaşması gerçeğiyle ifade edilir: │x│ artı sonsuza eğilimli olduğunda x eksenine veya │x│ sıfıra giderken y eksenine doğru. Bu hat denir eğri asimptotları.

Pirinç. 1

y=k/x hiperbolünün iki asimptotu vardır: x ekseni ve y ekseni. Asimptot kavramı, birçok fonksiyonun grafiğinin oluşturulmasında önemli bir rol oynar. Bildiğimiz fonksiyon grafiklerinin dönüşümlerini kullanarak koordinat düzleminde y=k/x hiperbolü sağa veya sola, yukarı veya aşağı hareket ettirebiliriz. Sonuç olarak, yeni fonksiyon grafikleri elde edeceğiz. örnek 1 y=6/x olsun. Bu hiperbolü 1,5 birim sağa kaydıralım ve ardından ortaya çıkan grafiği 3,5 birim yukarı kaydıralım. Bu dönüşümle, y=6/x hiperbolünün asimptotları da kayacaktır: x ekseni y=3.5 düz doğrusuna, y ekseni y=1.5 düz doğrusuna gidecektir (Şekil 2). Grafiği oluşturduğumuz fonksiyon şu formülle verilebilir:

Bu formülün sağındaki ifadeyi kesir olarak gösterelim:

Böylece, Şekil 2, formül tarafından verilen fonksiyonun grafiğini göstermektedir.

Bu kesrin payı ve paydası, x'e göre doğrusal binomlardır. Bu tür fonksiyonlara kesirli doğrusal fonksiyonlar denir.

Genel olarak, form formülü ile verilen bir fonksiyon
, Nerede
x bir değişkendir, a,B, C, Dc≠0 ile verilen sayılar ve
M.Ö- reklam≠0 doğrusal-kesirli fonksiyon olarak adlandırılır. Tanımdaki gereksinimin c≠0 ve
bc-ad≠0, gerekli. c=0 ve d≠0 veya bc-ad=0 ile lineer bir fonksiyon elde ederiz. Aslında, eğer с=0 ve d≠0 ise, o zaman

bc-ad=0, c≠0 ise, bu eşitlikten b'yi a, c ve d cinsinden ifade edip formülde yerine koyarak şunu elde ederiz:

Yani, ilk durumda, bir lineer fonksiyonumuz var. Genel görünüm
, ikinci durumda - bir sabit
. Şimdi bir doğrusal-kesirli fonksiyonun aşağıdaki formülle verilmişse nasıl çizileceğini gösterelim.
Örnek 2 Fonksiyonu çizelim
, yani şeklinde temsil edelim.
: payı paydaya bölerek kesrin tamsayı kısmını seçin, şunu elde ederiz:

Bu yüzden,
. Bu fonksiyonun grafiğinin, y=5/x fonksiyonunun grafiğinden art arda iki kaydırma kullanılarak elde edilebileceğini görüyoruz: y=5/x hiperbolünü 3 birim sağa kaydırmak ve ardından ortaya çıkan hiperbolü kaydırmak
2 birim yukarı Bu kaydırmalarla, y \u003d 5 / x hiperbolünün asimptotları da hareket edecektir: x ekseni 2 birim yukarı ve y ekseni 3 birim sağa. Bir grafik oluşturmak için, koordinat düzleminde noktalı bir asimptot çizeriz: y=2 düz çizgisi ve x=3 düz çizgisi. Hiperbol iki daldan oluştuğu için, her birini oluşturmak için iki tablo yapacağız: biri x için<3, а другую для x>3 (yani, asimptot kesişme noktasının solundaki ilk ve sağındaki ikinci):

İlk tabloda koordinatları belirtilen noktaları koordinat düzleminde işaretleyerek ve bunları düz bir çizgiyle birleştirerek hiperbolün bir dalını elde ederiz. Benzer şekilde (ikinci tabloyu kullanarak) hiperbolün ikinci dalını elde ederiz. Fonksiyonun grafiği Şekil 3'te gösterilmiştir.

herhangi bir kesir
tamsayı kısmı vurgulanarak benzer şekilde yazılabilir. Sonuç olarak, tüm doğrusal-kesirli fonksiyonların grafikleri, koordinat eksenlerine paralel olarak çeşitli şekillerde kaydırılan ve Oy ekseni boyunca uzanan hiperbollerdir.

Örnek 3

Fonksiyonu çizelim
.Grafiğin bir hiperbol olduğunu bildiğimiz için dallarının (asimptotlarının) yaklaştığı doğruları ve birkaç noktayı daha bulmak yeterlidir. Önce dikey asimptotu bulalım. İşlev, 2x+2=0, yani burada tanımlanmamıştır. x=-1'de. Bu nedenle, dikey asimptot x=-1 düz çizgisidir. Yatay asimptotu bulmak için, argüman arttığında (mutlak değerde), kesrin pay ve paydasındaki ikinci terimlerin fonksiyonların değerlerinin neye yaklaştığına bakmamız gerekir.
nispeten küçük Bu yüzden

Bu nedenle, yatay asimptot bir düz çizgidir y=3/2. Koordinat eksenleri ile hiperbolümüzün kesişme noktalarını tanımlayalım. x=0 için y=5/2'ye sahibiz. 3x+5=0 olduğunda fonksiyon sıfıra eşittir, yani x \u003d -5 / 3'te. Çizimde (-5 / 3; 0) ve (0; 5/2) noktalarını işaretleyerek ve bulunan yatay ve dikey asimptotları çizerek bir grafik oluşturacağız (Şekil 4) .

Genel olarak yatay asimptotu bulmak için payı paydaya bölmek gerekir, o zaman y=3/2+1/(x+1), y=3/2 yatay asimptottur.

2. Kesirli-rasyonel fonksiyon

Kesirli bir rasyonel işlevi düşünün

Pay ve paydanın sırasıyla polinom olduğu, n'inci ve mth derecesi. Kesir uygun olsun (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Nerede k 1 ... k s, sırasıyla m 1 ... m s çokluklarına sahip olan Q (x) polinomunun kökleridir ve trinomialler, m 1 ... m t çokluğuna sahip karmaşık Q (x) köklerinin konjugasyon çiftlerine karşılık gelir. formun kesirleri

arandı temel rasyonel kesirler sırasıyla birinci, ikinci, üçüncü ve dördüncü tipler. Burada A, B, C - gerçek sayılar; m ve m doğal sayılardır, m, m>1; x 2 +px+q gerçek katsayılarına sahip üç terimlinin hayali kökleri vardır.Açıkçası, kesirli-rasyonel bir fonksiyonun grafiği, temel kesirlerin grafiklerinin toplamı olarak elde edilebilir. Fonksiyon Grafiği

1/x m (m~1, 2, …) fonksiyonunun grafiğinden x ekseni boyunca sağa │k│ ölçek birimleri ile paralel öteleme yoluyla elde ederiz. Fonksiyon grafiğini görüntüle

Paydada tam bir kare seçilirse ve ardından 1/x 2 fonksiyonunun grafiğinin uygun oluşumu gerçekleştirilirse, oluşturmak kolaydır. Bir Fonksiyonu Çizmek

iki fonksiyonun grafiklerinin çarpımını oluşturmaya indirgenir:

y= bx+ C Ve

Yorum. Bir Fonksiyonu Çizmek

Nerede bir d-b c 0 ,
,

nerede n - doğal sayı, göre yapılabilir genel şema bazılarında fonksiyon araştırması ve çizimi somut örnekler grafiğin uygun dönüşümlerini gerçekleştirerek başarılı bir şekilde grafik oluşturabilirsiniz; en iyi yol yüksek matematik yöntemleri verir. örnek 1 Bir fonksiyon çiz

Tamsayı kısmını seçerek,

kesir
temel kesirlerin toplamı olarak temsil eder:

Fonksiyonların grafiklerini oluşturalım:

Bu grafikleri ekledikten sonra, verilen bir fonksiyonun grafiğini elde ederiz:

Şekil 6, 7, 8, çizim fonksiyonlarının örnekleridir
Ve
. Örnek 2 Bir Fonksiyonu Çizmek
:

(1);
(2);
(3); (4)

Örnek 3 Bir fonksiyonun grafiğini çizme

(1);
(2);
(3); (4)

Çözüm

Soyut çalışma yaparken: - doğrusal-kesirli ve kesirli-rasyonel fonksiyonlarla ilgili kavramlarını netleştirdi: tanım 1. Doğrusal bir kesirli fonksiyon, x'in bir değişken olduğu, a, b, c ve d'nin c≠0 ve bc-ad≠0 ile verilen sayılar olduğu bir formun fonksiyonudur. tanım 2. Kesirli bir rasyonel fonksiyon, formun bir fonksiyonudur.

nerede n

Bu fonksiyonların grafiklerini çizmek için bir algoritma oluşturdu;

Aşağıdakiler gibi grafik fonksiyonlarında kazanılan deneyim:

;

Ek literatür ve materyallerle çalışmayı, bilimsel bilgileri seçmeyi öğrendim; - Bilgisayarda grafik çalışmaları yapma konusunda deneyim kazandım; - Problem-özet çalışması oluşturmayı öğrendim.

Dipnot. 21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu (bilgi otoyolu) ve yaklaşan teknoloji çağı hakkında bitmeyen bir konuşma ve akıl yürütme akışıyla bombardımana tutulduk.

21. yüzyılın arifesinde, bilgi otoyolu (bilgi otoyolu) ve yaklaşan teknoloji çağı hakkında bitmeyen bir konuşma ve akıl yürütme akışıyla bombardımana tutulduk.

Seçmeli dersler, spor salonu öğrencilerinin eğitimsel ve bilişsel, eğitimsel ve araştırma faaliyetlerinin örgütlenme biçimlerinden biridir.

belge

Bu koleksiyon, …… desteğiyle Moskova Şehri Pedagoji Spor Salonu-Laboratuvarı No. 1505 ekibi tarafından hazırlanan beşinci sayıdır.

Matematik ve deneyim

Kitap

Makale, temel olarak apriorizm ve ampirizm çerçevesinde gelişen, matematik ve deneyim arasındaki ilişkiye yönelik çeşitli yaklaşımların geniş ölçekli bir karşılaştırmasını yapmaya çalışmaktadır.

Paylaşmak: