ev » Estetik cerrahi » Farklı derecelerde kökler nasıl çıkarılır. Kök eklemeyi üstlenenleri hangi zorluklar bekliyor?

Farklı derecelerde kökler nasıl çıkarılır. Kök eklemeyi üstlenenleri hangi zorluklar bekliyor?

Bir sayının karekökü X bir numara aradı A, kendisini kendisiyle çarpma sürecinde olan ( A*A) bir sayı verebilir X.
Şunlar. A * A = A 2 = X, ve √X = Bir.

Karekökler üzerinden ( √x), diğer sayılarda olduğu gibi çıkarma ve toplama gibi aritmetik işlemler yapabilirsiniz. Kökleri çıkarmak ve eklemek için, bu eylemlere karşılık gelen işaretler kullanılarak bağlanmaları gerekir (örneğin, √x- √y ).
Ve sonra kökleri en basit hallerine getirin - aralarında benzerler varsa, bir alçı yapmanız gerekir. Benzer terimlerin katsayılarının karşılık gelen terimlerin işaretleriyle alınması, ardından parantez içine alınması ve çarpan parantezlerinin dışında ortak kökün gösterilmesinden oluşur. Elde ettiğimiz katsayı, olağan kurallara göre sadeleştirilir.

Adım 1. Karekök çıkarma

Öncelikle karekök toplamak için önce bu kökleri çıkarmanız gerekir. Bu, kök işareti altındaki sayılar tam kare ise yapılabilir. Örneğin, verilen ifadeyi alın √4 + √9 . İlk numara 4 sayının karesidir 2 . ikinci numara 9 sayının karesidir 3 . Böylece aşağıdaki eşitlik elde edilebilir: √4 + √9 = 2 + 3 = 5 .
Her şey, örnek çözüldü. Ama her zaman böyle olmaz.

Adım 2. Bir sayının çarpanını kökün altından çıkarmak

Kök işaretinin altında tam kare yoksa sayının çarpanını kök işaretinin altından çıkarmayı deneyebilirsiniz. Örneğin, ifadeyi alın √24 + √54 .

Sayıları çarpanlarına ayıralım:
24 = 2 * 2 * 2 * 3 ,
54 = 2 * 3 * 3 * 3 .

Listede 24 bir çarpanımız var 4 , karekök işaretinin altından çıkarılabilir. Listede 54 bir çarpanımız var 9 .

Eşitliği elde ederiz:
√24 + √54 = √(4 * 6) + √(9 * 6) = 2 * √6 + 3 * √6 = 5 * √6 .

Bu örneği göz önünde bulundurarak, çarpanın kök işaretinin altından çıkarılmasını ve böylece verilen ifadeyi basitleştirmesini elde ederiz.

Adım 3. Paydayı azaltmak

Şu durumu göz önünde bulundurun: iki karekökün toplamı bir kesrin paydasıdır, örneğin, bir / (√a + √b).
Şimdi "paydadaki irrasyonellikten kurtulma" görevi ile karşı karşıyayız.
Şu yöntemi kullanalım: kesrin payını ve paydasını ifadeyle çarp √a - √b.

Şimdi paydada kısaltılmış çarpma formülünü alıyoruz:
(√a + √b) * (√a - √b) = a - b.

Benzer şekilde, payda köklerin farkını içeriyorsa: √a - √b kesrin pay ve paydası şu ifade ile çarpılır: √a + √b.

Örnek olarak bir kesri ele alalım:
4 / (√3 + √5) = 4 * (√3 - √5) / ((√3 + √5) * (√3 - √5)) = 4 * (√3 - √5) / (-2) = 2 * (√5 - √3) .

Karmaşık payda azaltma örneği

Şimdi yeterince düşünelim karmaşık örnek paydadaki irrasyonellikten kurtulmak.

Örnek olarak bir kesri ele alalım: 12 / (√2 + √3 + √5) .
Payını ve paydasını alıp ifadeyle çarpmanız gerekir. √2 + √3 - √5 .

Biz:

12 / (√2 + √3 + √5) = 12 * (√2 + √3 - √5) / (2 * √6) = 2 * √3 + 3 * √2 - √30.

Adım 4. Hesap makinesinde yaklaşık değeri hesaplayın

Yalnızca yaklaşık bir değere ihtiyacınız varsa, bu, bir hesap makinesinde karekök değerini hesaplayarak yapılabilir. Ayrı ayrı, her sayı için değer hesaplanır ve ondalık basamak sayısına göre belirlenen gerekli doğrulukla kaydedilir. Ayrıca, normal sayılarda olduğu gibi gerekli tüm işlemler gerçekleştirilir.

Tahmini Hesaplama Örneği

Bu ifadenin yaklaşık değerini hesaplamak gerekir. √7 + √5 .

Sonuç olarak, şunu elde ederiz:

√7 + √5 ≈ 2,65 + 2,24 = 4,89 .

Lütfen dikkat: hiçbir koşulda karekökler asal sayılar olarak eklenmemelidir, bu kesinlikle kabul edilemez. Yani, beş ile üçün karekökünü toplarsanız, sekizin karekökünü elde edemeyiz.

Yararlı tavsiye: Bir sayıyı çarpanlara ayırmaya karar verirseniz, kök işaretinin altından bir kare elde etmek için ters kontrol yapmanız, yani hesaplamalardan elde edilen tüm çarpanları çarpmanız ve sonuç Bu matematiksel hesaplama, başlangıçta bize verilen sayıyla sonuçlanmalıdır.

Köklerin toplanması ve çıkarılması- lisede matematik (cebir) dersi alanların en yaygın "tökezlemelerinden" biri. Bununla birlikte, bunların doğru şekilde nasıl toplanıp çıkarılacağını öğrenmek çok önemlidir, çünkü köklerin toplamı veya farkı için örnekler, "matematik" disiplinindeki temel Birleşik Devlet Sınavı programında yer almaktadır.

Bu tür örneklerin çözümünde ustalaşmak için iki şeye ihtiyacınız var - kuralları anlamak ve pratik yapmak. Bir veya iki düzine tipik örneği çözen öğrenci, bu beceriyi otomatizme getirecek ve ardından sınavda korkacak hiçbir şeyi kalmayacak. Toplama ile aritmetik işlemlerde ustalaşmaya başlamanız önerilir, çünkü bunları eklemek, çıkarmaktan biraz daha kolaydır.

Bunu açıklamanın en kolay yolu karekök örneğidir. Matematikte köklü bir "kare" terimi vardır. "Kare", belirli bir sayıyı kendisiyle bir kez çarpmak anlamına gelir.. Örneğin, 2'nin karesini alırsanız 4 elde edersiniz. 7'nin karesini alırsanız 49'u elde edersiniz. 9'un karesi 81'dir. Yani 4'ün karekökü 2, 49'un karesi 7 ve 81'in karesi 9'dur.

Kural olarak, bu konuyu matematikte öğretmek kareköklerle başlar. Hemen belirlemek için, öğrenci liseçarpım tablosunu ezbere bilmelidir. Bu tabloyu iyi bilmeyenler için ipuçlarını kullanmalısınız. Genellikle bir sayıdan kök kare çıkarma işlemi birçok okul matematik defterinin kapağında tablo şeklinde verilir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

Meydan;
kübik (veya sözde üçüncü derece);
dördüncü derece;
beşinci derece.

Toplama kuralları

Tipik bir örneği başarılı bir şekilde çözmek için, tüm kök sayıların olmadığı akılda tutulmalıdır. birbiri ile istiflenebilir. Bunları bir araya getirebilmek için tek bir kalıba getirilmeleri gerekir. Bu mümkün değilse, sorunun çözümü yoktur. Bu tür problemler, öğrenciler için bir tür tuzak olarak matematik ders kitaplarında da sıklıkla bulunur.

Köklü ifadelerin birbirinden farklı olduğu ödevlerde toplamaya izin verilmez. Bu şu şekilde gösterilebilir: iyi örnek:

öğrenci şu görevle karşı karşıyadır: 4 ve 9'un karekökünü toplamak;
deneyimsiz öğrenci kuralları bilmek, genellikle şöyle yazar: "4'ün karekökü + 9'un kökü \u003d 13'ün kökü."
bu çözüm yolunun yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
bir mikro hesap makinesi kullanarak yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Şimdi çözümü kontrol etmeye kalıyor;
4=2 ve 9=3'ün kökü;
İki ile üçün toplamı beştir. Bu nedenle, bu çözüm algoritması yanlış kabul edilebilir.

Kökler aynı derecede fakat farklı sayısal ifadelere sahipse parantezden çıkarılır ve iki radikal ifadenin toplamı. Böylece, zaten bu miktardan çıkarılır.

Toplama algoritması

Doğru karar verebilmek için en basit görev, gerekli:

Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
Matematikte var olan kuralların rehberliğinde birbirine değer eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
Eğer eklenemezlerse eklenebilecek şekilde dönüştürmeniz gerekir.
Gerekli tüm dönüşümleri yaptıktan sonra, toplama yapmak ve bitmiş cevabı yazmak gerekir. Toplama, örneğin karmaşıklığına bağlı olarak zihinsel olarak veya bir hesap makinesiyle yapılabilir.

benzer kökler nelerdir

Bir toplama örneğini doğru çözebilmek için öncelikle nasıl sadeleştirilebileceğini düşünmek gerekir. Bunu yapmak için, benzerliğin ne olduğu hakkında temel bir bilgiye sahip olmanız gerekir.

Benzer olanları belirleme yeteneği, aynı tür toplama örneklerini hızlı bir şekilde çözmeye yardımcı olur ve bunları basitleştirilmiş bir forma getirir. Tipik bir toplama örneğini basitleştirmek için yapmanız gerekenler:

Benzer olanları bulun ve onları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
Mevcut örneği, aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna "gruplama" denir).
Daha sonra ifadeyi tekrar, bu sefer benzerleri (aynı göstergeye ve aynı kök şekle sahip) de birbirini takip edecek şekilde tekrar yazmalısınız.

Bundan sonra, basitleştirilmiş bir örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, toplamanın temel kurallarını açıkça anlamanız ve ayrıca kökün ne olduğunu ve nasıl olduğunu bilmeniz gerekir.

Bazen bu tür görevler ilk bakışta çok karmaşık görünebilir, ancak genellikle benzerlerini gruplandırarak kolayca çözülür. En önemli şey pratik yapmaktır ve ardından öğrenci "fındık gibi görevleri tıklamaya" başlayacaktır. Kök toplama matematiğin en önemli dallarından biridir, bu nedenle öğretmenlerin onu çalışmak için yeterli zaman ayırması gerekir.

Video

Bu video, kareköklü denklemleri anlamanıza yardımcı olacaktır.

Bir sayının kökünü bir hesap makinesi kullanarak çıkarmak en kolayıdır. Ancak, bir hesap makineniz yoksa, karekökü hesaplamak için algoritmayı bilmeniz gerekir. Gerçek şu ki, kare içindeki bir sayı kökün altında oturuyor. Örneğin, 4'ün karesi 16'dır. Yani 16'nın karekökü 4'e eşit olacaktır. Ayrıca 5'in karesi 25'tir. Bu nedenle 25'in kökü 5 olacaktır. Ve böyle devam eder.

Sayı küçükse sözlü olarak kolayca çıkarılabilir, örneğin 25'in kökü 5 ve 144-12'nin kökü olacaktır. Hesap makinesinde de hesaplayabilirsiniz, özel bir kök simgesi vardır, bir sayı girmeniz ve simgeye tıklamanız gerekir.

Karekök tablosu da yardımcı olacaktır:

Daha karmaşık ama çok etkili başka yollar da var:

Herhangi bir sayının kökü, özellikle bugün her telefonda bulunduğundan, bir hesap makinesi kullanılarak çıkarılabilir.

Bir sayıyı kendisiyle çarparak, belirli bir sayının nasıl sonuçlanacağını kabaca anlamaya çalışabilirsiniz.

Bir sayının karekökünü hesaplamak, özellikle özel bir tablo varsa, zor değildir. Cebir derslerinden iyi bilinen bir tablo. Böyle bir işleme a sayısının karekökünü almak yani denklemi çözmek denir. Akıllı telefonlardaki hemen hemen tüm hesap makinelerinin karekök işlevi vardır.

Bilinen bir sayının karekökünü çıkarmanın sonucu, ikinci güce (kare) yükseltildiğinde bildiğimiz sayıyı verecek olan başka bir sayı olacaktır. Kısa ve anlaşılır görünen yerleşim yerlerinin açıklamalarından birini düşünün:

İşte konuyla ilgili bir video:

Bir sayının karekökünü hesaplamanın birkaç yolu vardır.

En popüler yol, özel bir kök tablo kullanmaktır (aşağıya bakın).

Ayrıca her hesap makinesinde kökü bulabileceğiniz bir işlev vardır.

Veya özel bir formül kullanarak.

Bir sayının karekökünü çıkarmanın birkaç yolu vardır. Hesap makinesi kullanarak bunlardan biri en hızlı olanıdır.

Ancak hesap makinesi yoksa, manuel olarak yapabilirsiniz.

Sonuç doğru olacaktır.

İlke, bir sütuna bölmekle hemen hemen aynıdır:

Bir sayının karekökünün değerini hesap makinesi olmadan bulmaya çalışalım, örneğin 190969.

Böylece, her şey son derece basit. Hesaplamalarda asıl mesele, belirli basit kurallara uymak ve mantıklı düşünmektir.

Bunun için bir kareler tablosuna ihtiyacınız var.

Örneğin, 100'ün kökü = 10, 20'nin kökü = 400'ün 43'ü = 1849

Artık akıllı telefonlardakiler de dahil olmak üzere hemen hemen tüm hesap makineleri bir sayının karekökünü hesaplayabilir. ANCAK hesap makineniz yoksa sayının kökünü birkaç basit yolla bulabilirsiniz:

asal çarpanlara ayırma

Kök sayıyı, kare sayılar olan çarpanlara ayırın. Kök numaraya bağlı olarak, yaklaşık veya kesin bir cevap alacaksınız. Karekökün tamamı alınabilen sayılar kare sayılardır. Çarpıldığında orijinal sayıyı veren bir sayının çarpanları. Örneğin 8 sayısının çarpanları 2 ve 4'tür, 2 x 4 = 8 olduğundan 25, 36, 49 sayıları kare sayılardır, çünkü 25 = 5, 36 = 6, 49 = 7'dir. kare sayılardır. İlk olarak, kök sayıyı kare çarpanlara ayırmaya çalışın.

Örneğin, 400'ün karekökünü hesaplayın (manuel olarak). Önce 400'ü kare çarpanlara ayırmayı deneyin. 400, 25'e bölünebilen bir kare sayı olan 100'ün katıdır. 400'ü 25'e bölersek yine bir kare olan 16 olur. Böylece, 400, 25 ve 16'nın kare çarpanlarına, yani 25 x 16 = 400'e ayrılabilir.

400 = (25 x 16) şeklinde yazın.

Bazı terimlerin karekökü, her terimin karekökünün çarpımına eşittir, yani (a x b) = a x b. Bu kuralı kullanarak, her kare faktörün karekökünü alın ve cevabı bulmak için sonuçları çarpın.

Örneğimizde, 25 ve 16'nın karekökünü alın.

Kök sayı iki kare çarpanı hesaba katmıyorsa (ve çoğu durumda öyledir), bir tam sayı olarak tam cevabı bulamayacaksınız. Ancak, kök sayıyı bir kare çarpanına ve sıradan bir çarpana (tüm karekökün alınamadığı bir sayı) ayrıştırarak sorunu basitleştirebilirsiniz. Sonra kare çarpanın karekökünü alacaksınız ve normal çarpanın kökünü alacaksınız.

Örneğin, 147 sayısının karekökünü hesaplayın. 147 sayısı iki kare çarpana bölünemez, ancak şu çarpanlara ayrılabilir: 49 ve 3. Problemi şu şekilde çözün:

Artık kökün değerini (yaklaşık bir değer bulun), kök sayıya en yakın (sayı doğrusunun her iki tarafında) kareköklerin değerleriyle karşılaştırarak değerlendirebilirsiniz. Kökün değerini, kök işaretinin arkasındaki sayı ile çarpılması gereken bir ondalık kesir olarak alacaksınız.

Örneğimize geri dönelim. Kök sayı 3'tür. Buna en yakın kare sayılar 1 (1 \u003d 1) ve 4 (4 \u003d 2) olacaktır. Böylece 3 değeri 1 ile 2 arasındadır. 3 değeri muhtemelen 2'ye 1'den daha yakın olduğundan, tahminimiz: 3 = 1,7'dir. Bu değeri kök işaretteki sayı ile çarpıyoruz: 7 x 1.7 \u003d 11.9. Bir hesap makinesinde hesaplamaları yaparsanız, cevabımıza oldukça yakın olan 12.13'ü elde edersiniz.

Bu yöntem aynı zamanda büyük sayılarla da çalışır. Örneğin 35'i ele alalım. Kök sayı 35'tir. Buna en yakın kare sayılar 25 (25=5) ve 36'dır (36=6). Böylece 35 değeri 5 ile 6 arasındadır. 35 değeri 6'ya 5'ten çok daha yakın olduğu için (çünkü 35, 36'dan sadece 1 eksiktir), 35'in 6'dan biraz daha az olduğunu söyleyebiliriz. bize cevap 5.92 - haklıydık.

Başka bir yol, kök sayıyı asal çarpanlara ayırmaktır. Bir sayının yalnızca 1'e ve kendisine bölünebilen asal çarpanları. Asal çarpanları arka arkaya yazın ve özdeş çarpan çiftlerini bulun. Bu tür faktörler kökün işaretinden çıkarılabilir.

Örneğin, 45'in karekökünü hesaplayın. Kök sayısını asal faktörlere ayırıyoruz: 45 \u003d 9 x 5 ve 9 \u003d 3 x 3. Böylece, 45 \u003d (3 x 3 x 5). 3 kök işaretinden çıkarılabilir: 45 = 35. Şimdi 5'i tahmin edebiliriz.

Başka bir örnek düşünün: 88.

= (2x4x11)

= (2x2x2x11). Üç çarpan 2'niz var; birkaçını alıp kökün burcundan çıkar.

2(2 x 11) = 22 x 11. Şimdi 2 ve 11'i değerlendirebilir ve yaklaşık bir cevap bulabilirsiniz.

Bu eğitim videosu da yardımcı olabilir:

Bir sayıdan kökü çıkarmak için bir hesap makinesi kullanmalısınız veya uygun bir hesap yoksa bu siteye gitmenizi ve sorunu kullanarak çözmenizi tavsiye ederim. cevrimici hesap makinesi, saniye cinsinden doğru değeri verecektir.

kök nedir

Kural olarak, bu konuyu matematikte öğretmek kareköklerle başlar. Hemen belirlemek için bir lise öğrencisinin çarpım tablosunu ezbere bilmesi gerekir. Bu tabloyu iyi bilmeyenler için ipuçlarını kullanmalısınız. Genellikle bir sayıdan kök kare çıkarma işlemi birçok okul matematik defterinin kapağında tablo şeklinde verilir.

Kökler aşağıdaki türlerdendir:

Meydan;
kübik (veya sözde üçüncü derece);
dördüncü derece;
beşinci derece.

Toplama kuralları

Köklü ifadelerin birbirinden farklı olduğu ödevlerde toplamaya izin verilmez. Bu, açıklayıcı bir örnekle gösterilebilir:

öğrenci şu görevle karşı karşıyadır: 4 ve 9'un karekökünü toplamak;
kuralı bilmeyen deneyimsiz bir öğrenci genellikle şöyle yazar: "4'ün kökü + 9'un kökü \u003d 13'ün kökü."
bu çözüm yolunun yanlış olduğunu kanıtlamak çok kolaydır. Bunu yapmak için 13'ün karekökünü bulmanız ve örneğin doğru çözülüp çözülmediğini kontrol etmeniz gerekir;
bir mikro hesap makinesi kullanarak yaklaşık 3,6 olduğunu belirleyebilirsiniz. Şimdi çözümü kontrol etmeye kalıyor;
4=2 ve 9=3'ün kökü;
İki ile üçün toplamı beştir. Bu nedenle, bu çözüm algoritması yanlış kabul edilebilir.

Kökler aynı derecede fakat farklı sayısal ifadelere sahipse parantezden çıkarılır ve iki radikal ifadenin toplamı. Böylece, zaten bu miktardan çıkarılır.

Toplama algoritması

En basit sorunu doğru bir şekilde çözmek için gereklidir:

Tam olarak neyin eklenmesi gerektiğini belirleyin.
Matematikte var olan kuralların rehberliğinde birbirine değer eklemenin mümkün olup olmadığını öğrenin.
Eğer eklenemezlerse eklenebilecek şekilde dönüştürmeniz gerekir.
Gerekli tüm dönüşümleri yaptıktan sonra, toplama yapmak ve bitmiş cevabı yazmak gerekir. Toplama, örneğin karmaşıklığına bağlı olarak zihinsel olarak veya bir hesap makinesiyle yapılabilir.

benzer kökler nelerdir

Benzer olanları bulun ve onları bir gruba (veya birkaç gruba) ayırın.
Mevcut örneği, aynı göstergeye sahip kökler birbirini net bir şekilde takip edecek şekilde yeniden yazın (buna "gruplama" denir).
Daha sonra ifadeyi tekrar, bu sefer benzerleri (aynı göstergeye ve aynı kök şekle sahip) de birbirini takip edecek şekilde tekrar yazmalısınız.

Bundan sonra, basitleştirilmiş bir örneğin çözülmesi genellikle kolaydır.

Herhangi bir toplama örneğini doğru bir şekilde çözmek için, toplamanın temel kurallarını açıkça anlamanız ve ayrıca kökün ne olduğunu ve nasıl olduğunu bilmeniz gerekir.

Şimdi okul müfredatında bir şey tam olarak net değil. Matematikte her şeyin değişmeden kalması sevindirici. Köklerle çalışmak, yani toplama ve çıkarma, çok zor bir işlem değildir. Ancak bazı öğrenciler belirli zorluklarla karşılaşırlar.

Ve bu yazıda toplama ve çıkarma kurallarını inceleyeceğiz. Karekök.

Bu köklerin aynı kök ifadelere sahip olması koşulu tetiklenirse, çıkarma ve karekök toplama işlemi yapabilirsiniz. Başka bir deyişle, 2√3 ve 4√3 üzerinde işlem yapabiliriz, ancak 2√3 ve 2√7 üzerinde işlem yapamayız. Ancak, radikal ifadeyi basitleştirmek için harekete geçebilir, ardından onları aynı radikal ifadelere sahip olacak köklere getirebilirsiniz. Ve ancak bundan sonra zaten toplamaya veya çıkarmaya başlayın.

Karekök toplama ve çıkarma teorisi

İlkenin kendisi çok basittir. Ve üç adımdan oluşacak. Radikal ifadeyi sadeleştirmemiz gerekiyor. Ortaya çıkan özdeş radikal ifadeleri bulun ve kökleri ekleyin veya çıkarın.

Köklü bir ifade nasıl basitleştirilir

Bunu yapmak için, iki faktörden oluşacak olan kök sayıyı ayrıştırmanız gerekir. Ana koşul. Bu sayılardan biri tam kare olmalıdır (örnek: 25 veya 9). Bu işlemden sonra verilen kare sayının kökünü çıkarıyoruz. Ve bu sayıyı kökümüzün önüne yazıyoruz ve kök altında ikinci çarpanımız var.

Örneğin, 6√50 - 2√8 + 5√12

6√50 = 6√(25x2) = (6x5)√2 = 30√2. Burada 50'yi 25 ve 2 olmak üzere iki çarpana ayırıyoruz. Sonra 25'ten karekökü çıkarıyoruz (5 sayısını elde ediyoruz) ve kökün altından çıkarıyoruz. Sonra 5'i 6 ile çarparız ve 30√2 elde ederiz.

2√8 = 2√(4x2) = (2x2)√2 = 4√2. AT verilen örnekler 8'i 4 ve 2 olmak üzere iki sayıya ayırıyoruz. 4'ten kökü çıkarıyoruz ve elde edilen sayıyı kökten alıp zaten kökün arkasında bulunan sayı ile çarpıyoruz.

5√12 = 5√(4x3) = (5x2)√3 = 10√3. Burada, daha önce olduğu gibi, kökün altındaki sayıyı 4 ve 3 olmak üzere iki sayıya ayırıyoruz. 4'ten kökü çıkarıyoruz. Ortaya çıkan sayıyı kök olarak alıp kökün arkasındaki sayı ile çarpıyoruz.

Sonuç olarak 6√50 - 2√8 + 5√12 denklemini 30√2 - 4√2 + 10√3 formuna dönüştürdük.

Aynı kök ifadelere sahip köklerin altını çiziyoruz

Örneğimizde 30√2 - 4√2 + 10√3, 30√2 ve 4√2'yi seçiyoruz, çünkü bu sayılar aynı kök 2'ye sahip.
Örneğinizde birkaç özdeş radikal ifade varsa. Aynı olanların altını farklı çizgilerle çizin.

Köklerimizi ekleyin veya çıkarın

Şimdi aynı kök ifadelere sahip sayıları toplar veya çıkarırız. Ve kökün altında olanı değiştirmeden bırakıyoruz. Amaç, belirli bir denklemde belirli radikal ifadelere sahip kaç kök olduğunu göstermektir.

Örneğimizde, 30√2 - 4√2 + 10√3, 30'dan 4 çıkarır ve 26√2 elde ederiz

Örneğimizde cevap şöyle olacaktır: 26√2 + 10√3

Sabibon - İnternetteki en ilginç şey

Matematiksel kök nedir?

Bu eylem, üs almanın aksine ortaya çıktı. Matematik, iki zıt işlemin varlığını varsayar. Toplama için çıkarma vardır. Çarpma, bölmenin karşıtıdır. Derecenin tersi, karşılık gelen kökün çıkarılmasıdır.

Üs 2 ise, kök kare olacaktır. En yaygın olanıdır okul matematiği. Kare olduğuna dair bir gösterge bile yoktur, yani kendisine 2 sayısı atanmamıştır.Bu operatörün (köklü) matematiksel gösterimi şekilde gösterilmiştir.

Açıklanan eylemden, tanımı sorunsuz bir şekilde takip eder. Belirli bir sayının karekökünü çıkarmak için, kök ifadesinin kendisiyle çarpıldığında ne vereceğini bulmanız gerekir. Bu sayı karekök olacaktır. Bunu matematiksel olarak yazarsak, şunu elde ederiz: x * x \u003d x 2 \u003d y, yani √y \u003d x.

Onlarla hangi işlemler yapılabilir?

Özünde kök, payında bir birim bulunan kesirli bir kuvvettir. Ve payda herhangi bir şey olabilir. Örneğin, karekök iki değerine sahiptir. Dolayısıyla derecelerle yapılabilecek tüm işlemler kökler için de geçerli olacaktır.

Ve bu eylemler için aynı gereksinimlere sahipler. Çarpma, bölme ve üs alma öğrenciler için zorluklarla karşılaşmazsa, köklerin eklenmesi ve çıkarılması bazen karışıklığa yol açar. Ve hepsi bu işlemleri kökün işaretine bakmadan gerçekleştirmek istediğiniz için. Ve hatalar burada başlıyor.

Toplama ve çıkarmanın kuralları nelerdir?

Öncelikle iki kategorik "hayır" ı hatırlamanız gerekir:

asal sayılarda olduğu gibi köklerde toplama ve çıkarma yapmak, yani toplamın kök ifadelerini tek işaret altında yazıp bunlarla matematiksel işlemler yapmak mümkün değildir;
Kökleri ekleyemez veya çıkaramazsınız farklı göstergeler kare ve kübik gibi.

İlk yasağın açıklayıcı bir örneği: √6 + √10 ≠ √16 ancak √(6 + 10) = √16.

İkinci durumda, kendimizi köklerin kendisini basitleştirmekle sınırlamak daha iyidir. Ve cevapta toplamlarını bırakın.

Şimdi kurallara

Benzer kökleri bulun ve gruplandırın. Yani, sadece sahip olmayanlar aynı numaralar radikal altında, ancak kendilerinin bir göstergesi var.
İlk eylemle bir grupta birleştirilmiş köklerin eklenmesini gerçekleştirin. Uygulaması kolaydır, çünkü yalnızca köklerden önce gelen değerleri eklemeniz gerekir.
Köklü ifadenin tam bir kare oluşturduğu terimlerdeki kökleri çıkarın. Başka bir deyişle, radikal işareti altında hiçbir şey bırakmayın.
Kök ifadeleri basitleştirin. Bunu yapmak için, onları asal çarpanlara ayırmanız ve herhangi bir sayının karesini verip vermediklerini görmeniz gerekir. Karekök söz konusu olduğunda bunun doğru olduğu açıktır. Üs üç veya dört olduğunda, asal çarpanlar küpü veya sayının dördüncü kuvvetini vermelidir.
Radikal işaretinin altından bir tamsayı kuvveti veren bir çarpanı çıkarın.
Benzer terimlerin tekrar görünüp görünmediğine bakın. Evet ise, ikinci adımı tekrar gerçekleştirin.

Problemin kökün tam değerini gerektirmediği bir durumda, bir hesap makinesinde hesaplanabilir. Penceresinde görüntülenecek olan sonsuz ondalık kesri yuvarlayın. Çoğu zaman bu, yüzde birine kadar yapılır. Ve sonra ondalık kesirler için tüm işlemleri gerçekleştirin.

Köklerin eklenmesinin nasıl yapıldığına dair tüm bilgiler bu kadar. Aşağıdaki örnekler yukarıdakileri açıklayacaktır.

İlk görev

İfadelerin değerini hesaplayın:

a) √2 + 3√32 + ½ √128 - 6√18;

b) √75 - √147 + √48 - 1/5 √300;

c) √275 - 10√11 + 2√99 + √396.

a) Yukarıdaki algoritmayı takip ederseniz, bu örnekte ilk iki eylem için hiçbir şey olmadığını görebilirsiniz. Ancak bazı radikal ifadeleri sadeleştirebilirsiniz.

Örneğin, 32'yi 2 ve 16 olmak üzere iki faktöre ayırın; 18, 9 ve 2'nin çarpımına eşit olacaktır; 128, 2'ye 64'tür. Buna göre, ifade şu şekilde yazılacaktır:

√2 + 3√(2 * 16) + ½ √(2 * 64) - 6 √(2 * 9).

Şimdi, sayının karesini veren faktörleri kök işaretinin altından çıkarmanız gerekiyor. Bu 16=4 2 , 9=3 2 , 64=8 2 . İfade şu şekli alacaktır:

√2 + 3 * 4√2 + ½ * 8 √2 - 6 * 3√2.

Yazımı biraz sadeleştirmemiz gerekiyor. Bunun için katsayılar kökün işaretlerinden önce çarpılır:

√2 + 12√2 + 4 √2 — 12√2.

Bu ifadede, tüm terimlerin benzer olduğu ortaya çıktı. Bu nedenle, sadece katlanmaları gerekir. Cevap: 5√2 olacaktır.

b) Bir önceki örnekte olduğu gibi, köklerin toplanması onların sadeleştirilmesiyle başlar. 75, 147, 48 ve 300 kök ifadeleri aşağıdaki çiftlerle temsil edilecektir: 5 ve 25, 3 ve 49, 3 ve 16, 3 ve 100. Her birinin kök işaretinin altından çıkarılabilecek bir numarası vardır. :

5√5 — 7√3 + 4√3 — 1/5 * 10√3.

Sadeleştirmeden sonra cevap: 5√5 - 5√3. Bu formda bırakılabilir, ancak ortak çarpan 5'i parantezden çıkarmak daha iyidir: 5 (√5 - √3).

c) Ve yine çarpanlara ayırma: 275 = 11 * 25, 99 = 11 * 9, 396 = 11 * 36. Kök işaretini çarpanlara ayırdıktan sonra şunu elde ederiz:

5√11 - 10√11 + 2 * 3√11 + 6√11. Benzer terimleri indirgedikten sonra şu sonucu elde ederiz: 7√11.

kesirli örnek

√(45/4) — √20 — 5√(1/18) — 1/6 √245 + √(49/2).

Aşağıdaki sayıların çarpanlarına ayrılması gerekecek: 45 = 5 * 9, 20 = 4 * 5, 18 = 2 * 9, 245 = 5 * 49. Daha önce ele alınanlara benzer şekilde, çarpanları kökünden çıkarmanız gerekir. ifadeyi imzalayın ve basitleştirin:

3/2 √5 - 2√5 - 5/ 3 √(½) - 7/6 √5 + 7 √(½) = (3/2 - 2 - 7/6) √5 - (5/3 - 7) ) √(½) = - 5/3 √5 + 16/3 √(½).

Bu ifade paydadaki irrasyonellikten kurtulmayı gerektirir. Bunu yapmak için ikinci terimi √2/√2 ile çarpın:

- 5/3 √5 + 16/3 √(½) * √2/√2 = - 5/3 √5 + 8/3 √2.

İşlemi tamamlamak için çarpanların köklerin önündeki tamsayı kısmını seçmeniz gerekiyor. Birincisi 1, ikincisi 2'dir.

Kök formüller. kareköklerin özellikleri.

Dikkat!
ek var
Özel Bölüm 555'teki malzeme.
Kesinlikle "çok değil ..." olanlar için
Ve "çok fazla..." olanlar için)

Bir önceki derste karekökün ne olduğunu bulmuştuk. ne olduğunu anlamanın zamanı geldi kökler için formüller, neler kök özellikleri ve tüm bunlar hakkında ne yapılabilir?

Kök Formülleri, Kök Özellikleri ve Köklü İşlemler İçin Kurallar- temelde aynı şey. Karekökler için şaşırtıcı derecede az sayıda formül vardır. Hangisi, elbette memnun! Aksine, her türden pek çok formül yazabilirsiniz, ancak köklerle pratik ve kendinden emin çalışma için yalnızca üçü yeterlidir. Diğer her şey bu üçünden akar. Köklerin üç formülünde başıboş olsa da, evet ...

En basitinden başlayalım. İşte orada:

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözme alıştırmaları yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Öğrenmek - ilgiyle!)

fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Paylaşmak: